2.2.4 第2课时 均值不等式的应用 （Word教参）-【新课程学案】2025-2026学年高中数学必修第一册（人教B版）

第2课时　均值不等式的应用 [教学方式:拓展融通课习题讲评式教学] [课时目标] 1.进一步熟练掌握均值不等式,能够通过配凑、变形等利用均值不等式求最值. 2.要灵活应用不等式解决问题,能够利用均值不等式解决实际问题. 题型(一)　利用均值不等式求最值的方法 方法1　配凑法 [例1]　(1)若x<,则3x+1+有 (　　) A.最大值0 B.最小值9 C.最大值-3 D.最小值-3 (2)已知0<x<,则x的最大值为　　　　.  解析:(1)选C　因为x<,所以3x-2<0,所以3x-2++3=-+3≤-2+3=-3,当且仅当2-3x=,即x=-时,取等号. (2)因为0<x<,所以1-2x2>0,所以x=·≤·=,当且仅当2x2=1-2x2,即x=时等号成立. 答案: |思|维|建|模| 配凑法的运用技巧 配凑法就是将相关代数式进行适当的变形,通过添项、拆项、配系数、凑常数等方法凑成“和为定值”或“积为定值”的形式,如凑成x+(a>0)、+的形式等,然后利用均值不等式求解最值.拆项、添项时应注意检验利用均值不等式的条件. 方法2　常数代换法求最值 [例2]　已知x>0,y>0,且2x+y=1,则的最小值为 (　　) A.4 　　　　　B.4 C.6 　　　　　D.2+3 解析:选D　因为x>0,y>0,且2x+y=1,所以=+==++3≥2+3=2+3,当且仅当=,即x=,y=-1时取等号. |思|维|建|模| 常数代换法求最值的步骤 (1)根据已知条件或其变形确定定值. (2)把确定的定值(常数)变形为1. (3)把“1”的表达式与所求最值的表达式相乘或相除,进而构造和或积的形式. (4)利用均值不等式求解最值. 　　[针对训练] 1.已知m,n∈(0,+∞),+n=4,则m+的最小值为 (　　) A.3 B.4 C.5 D.6 解析:选B　由题意得m+==≥=4,当且仅当mn=,即m=1,n=3时等号成立. 2.已知x<,求 4x-2+的最大值. 解:因为x<,所以5-4x>0. 所以4x-2+=-+3≤-2+3=1,当且仅当5-4x=,即x=1时,上式等号成立. 故当x=1时,4x-2+的最大值为1. 3.已知x>1,求的最小值. 解:因为x>1,所以x-1>0,所以==x-1++3≥2+3=2+3,当且仅当x-1=,即x=+1时取等号,所以的最小值为3+2. 题型(二)　利用均值不等式解决实际问题 [例3]　小明的爸爸要在家用围栏做一个面积为16 m2的矩形游乐园,当这个矩形的边长为多少时,所用围栏最省,并求所需围栏的长度. [解]　设矩形围栏相邻两条边长分别为x m,y m,围栏的长度为2(x+y) m. 法一　由已知xy=16, 由≥,可知x+y≥2=8, 所以2(x+y)≥16, 当且仅当x=y=4时,等号成立, 因此,当这个矩形游乐园是边长为4 m的正方形时,所用围栏最省,所需围栏的长度为16 m. 法二　由已知xy=16,得y=. 所以2(x+y)=2≥2×2=16. 当且仅当x=y=4时,等号成立, 因此,当这个矩形游乐园是边长为4 m的正方形时,所用围栏最省,所需围栏的长度为16 m. 　　[变式拓展] 　如果小明的爸爸只有12 m长的围栏,如何设计,才能使游乐园的面积最大? 解:由已知得2(x+y)=12,故x+y=6,面积为xy, 由≤==3,或=≤=3,可得xy≤9, 当且仅当x=y=3时,等号成立. 因此,当游乐园是边长为3 m的正方形时,面积最大,最大面积为9 m2. |思|维|建|模| 利用均值不等式解决实际问题的步骤 (1)理解题意,设变量,并理解变量的实际意义; (2)构造定值,利用均值不等式求最值; (3)检验,检验等号成立的条件是否满足题意; (4)结论.　　 [针对训练] 4.某单位用2 160万元购得一块空地,计划在该地块上建造一栋至少10层,每层2 000平方米的楼房.经测算,如果将楼房建为x(x≥10)层,则每平方米的平均建筑费用为560+48x(单位:元).为了使楼房每平方米的平均综合费用最少,该楼房应建为多少层?注:平均综合费用=平均建筑费用+平均购地费用,平均购地费用=. 解:设将楼房建为x层,则每平方米的平均购地费用为=. ∴每平方米的平均综合费用 y=560+48x+=560+48. 当x+取最小值时,y有最小值. ∵x≥10,∴x+≥2=30. 当且仅当x=,即x=15时,上式等号成立. ∴当x=15时,y有最小值2 000元. 因此该楼房建为15层时,每平方米的平均综合费用最少. 题型(三)　均值不等式的综合运用 [例4]　(1)已知x>1时,不等式2x+m+>0恒成立,则实数m的取值范围是 (　 ) A.{m|m<-8} B.{m|m>-8} C.{m|m<-6} D.{m|m>-6} (2)已知4x+(x>0, a>0)在x=3时取得最小值,则a=　　　　.  [解析]　(1)不等式2x+m+>0化为2(x-1)+>-m-2, ∵x>1,∴2(x-1)+≥2×=4,当且仅当x=2时,等号成立. ∵不等式2x+m+>0对一切x∈{x|x>1}恒成立,∴-m-2<4,解得m>-6. (2)∵x>0,a>0,∴y=4x+≥2=4. 当且仅当4x=,即4x2=a时y取得最小值, 又∵x=3,∴a=4×32=36. [答案]　(1)D　(2)36 |思|维|建|模| 含参数不等式的求解策略 (1)观察题目特点,利用均值不等式确定相关成立条件,从而得参数的值或取值范围. (2)在处理含参数的不等式恒成立问题时,往往将已知不等式看作关于参数的不等式,体现了主元与次元的转化.　　[针对训练] 5.已知正实数a,b满足+=m,若·的最小值为4,则实数m的取值范围是 (　 ) A.{2} B.{m|m≥2} C.{m|0<m≤2} D.{m|m>0} 解析:选B　因为a,b为正实数,=ab++2≥2+2=4,当且仅当ab=, 即ab=1时等号成立,此时有b=,又因为+=m,所以a+=m, 由均值不等式可知a+≥2(当且仅当a=1时等号成立),所以m≥2. 6.已知a>0,b>0,若+≥恒成立,则m的取值范围是　　　　.  解析:根据题意,a>0,b>0,+≥恒成立等价于(a+3b)≥m恒成立.所以(a+3b)=3+++3=6++≥6+2=12,当且仅当=,即a=3b时等号成立,所以m≤12. 答案:{m|m≤12} [课时检测] 1.下列各式中最小值为2的是 (　 ) A.y=t+(t>1) B.y=+ C.y=t+(t>1) D.y=t++1(t>0) 解析:选B　对于A,y=t+≥2,当且仅当t=1时,等号成立;对于B,y=+≥2,当且仅当t=1时,等号成立;对于C,y=t+=t-1++1≥3;对于D,y=t++1≥3. 2.已知(x>1)在x=t时取得最小值,则t等于 (　 ) A.1+ B.2 C.3 D.4 解析:选B　=x+=x-1++1≥2+1=3,当且仅当x-1=,即x=2时,等号成立. 3.3x2+的最小值是 (　 ) A.3-3 B.3 C.6 D.6-3 解析:选D　3(x2+1)+-3≥2-3=2-3=6-3,当且仅当x2=-1时,等号成立,故选D. 4.已知a>0,b>0,a+b=+,则+的最小值为 (　 ) A.4 B.2 C.8 D.16 解析:选B　由a+b=+=,得ab=1,则+≥2=2,当且仅当=时,等号成立. 5.已知正实数a,b满足a+b=2,则+的最大值为 (　 ) A.2 B.4 C.4 D.16 解析:选A　因为(+)2=(a+1)+(b+1)+2·≤(a+1)+(b+1)+(a+1)+(b+1)=2(a+b+2)=8,当且仅当a=b=1时,等号成立,所以+的最大值为2. 6.最早发现勾股定理的人应是我国西周时期的数学家商高,根据记载,商高曾经和周公讨论过这个定理的有关问题.如果一个直角三角形的斜边长等于2,则当这个直角三角形周长取最大值时,其面积为 (　 ) A. B.1 C.2 D.6 解析:选C　设该直角三角形的斜边为c=2,直角边为a,b,则a2+b2=c2=8.因为2ab≤a2+b2,所以a2+b2+2ab≤2(a2+b2),即(a+b)2≤16,当且仅当a=b,且a2+b2=8,即a=b=2时,等号成立.因为a>0,b>0,所以a+b≤4,所以a+b的最大值为4.该直角三角形周长为a+b+c≤4+2.故这个直角三角形周长取最大值4+2时,a=b=2,此时三角形的面积为×2×2=2. 7.(5分)已知0<x<1,则x(1-x)的最大值为　　　　,此时x=　　　　.  解析:因为0<x<1,所以1-x>0,所以x(1-x)≤==,当且仅当x=1-x,即x=时,等号成立,即当x=时,x(1-x)取得最大值. 答案:　 8.(5分)若矩形的长为a,宽为b,且面积为64,则矩形周长的最小值为　　　　.  解析:由题意,矩形的长为a,宽为b,且面积为64,即ab=64,所以矩形的周长为2a+2b=2a+≥2=32,当且仅当a=8时,等号成立,即矩形周长的最小值为32. 答案:32 9.(5分)已知x>0,y>0,且x+2y=4,则(1+x)(1+2y)的最大值为　　　　　.  解析:(1+x)(1+2y)≤==9,当且仅当1+x=1+2y,即x=2,y=1时,等号成立. 答案:9 10.(5分)已知正数x,y满足(x-2)(y-1)=2,若不等式x+2y>m恒成立,则实数m的取值范围是　　　　.  解析:因为x>0,y>0,则(x-2)(y-1)=xy-(x+2y)+2=2,所以x+2y=xy, 所以+=1. 所以x+2y=(x+2y)=4++≥4+2=8, 当且仅当=时,即x=4,y=2时,等号成立. 又x+2y>m恒成立,所以m<8. 答案:{m|m<8} 11.(5分)设自变量x对应的因变量为y,在满足对任意的x,不等式y≤M都成立的所有常数M中,将M的最小值叫做y的上确界.若a,b为正实数,且a+b=1,则--的上确界为　　　　　.  解析:因为a,b为正实数,且a+b=1,所以+=×(a+b)=+≥+2=,当且仅当b=2a,即a=,b=时,等号成立,因此有--≤-,即--的上确界为-. 答案:- 12.(5分)在下面等号右侧两个分数的分母方块处,各填上一个正整数,并且使这两个正整数的和最小,1=+,则这两个数分别为　　　　.  解析:设+=1,a,b∈N+, ∴a+b=(a+b)·1=(a+b)=1+9++≥10+2=10+2×3=16, 当且仅当=,即b=3a时,等号成立. 又+=1,∴+=1,∴a=4,b=12. 这两个数分别是4,12. 答案:4,12 13.(5分)若a>0,b>0,且a2+=1,则a的最大值为　　　　.  解析:∵a>0,b>0,a2+=1, ∴a== = ≤ = =, 当且仅当正数a,b满足a2=且a2+=1, 即a=,b=时,等号成立. ∴a的最大值为. 答案: 14.(10分)如图,汽车行驶时,由于惯性作用,刹车后还要向前滑行一段距离才能停住,我们把这段距离叫做“刹车距离”.在某公路上,“刹车距离”s(米)与汽车车速v(米/秒)之间有经验公式:s=v2+v.为保证安全行驶,要求在这条公路上行驶着的两车之间保持的“安全距离”为“刹车距离”再加25米.现假设行驶在这条公路上的汽车的平均身长5米,每辆车均以相同的速度v行驶,并且每两辆车之间的间隔均是“安全距离”. (1)试写出经过观测点A的每辆车之间的时间间隔T与速度v的函数关系式;(3分) (2)问v为多少时,经过观测点A的车流量(即单位时间通过的汽车数量)最大?(7分) 解:(1)T===++. (2)经过A点的车流量最大,即每辆车之间的时间间隔T最小. ∵T=++≥2+=, 当且仅当=,即v=20时取等号. ∴当v=20米/秒时,经过观测点A的车流量最大. 15.(10分)设a,b为正实数,且+=2. (1)求a2+b2的最小值;(5分) (2)若(a-b)2≥4(ab)3,求ab的值.(5分) 解:(1)∵a,b为正实数,且+=2≥2,当且仅当a=b时,等号成立,即ab≥,当且仅当a=b时,等号成立. ∵a2+b2≥2ab≥2×=1,当且仅当a=b时,等号成立,∴a2+b2的最小值为1. (2)∵+=2,∴a+b=2ab.∵(a-b)2≥4(ab)3, ∴(a+b)2-4ab≥4(ab)3,即(2ab)2-4ab≥4(ab)3, 即(ab)2-2ab+1≤0,(ab-1)2≤0. ∵a,b为正实数,∴ab=1. 16.(10分)志愿者团队要设计一个如图所示的矩形队徽ABCD,已知点E在边CD上,AE=CE,AB>AD,矩形的周长为8 cm. (1)设AB=x cm,试用x表示出图中DE的长度,并求出x的取值范围.(4分) (2)计划在△ADE区域涂上蓝色代表星空,如果要使△ADE的面积最大,那么应怎样设计队徽的长和宽?(6分) 解:(1)由题意可得AD=4-x,且x>4-x>0,可得2<x<4.又AE=CE=x-DE, 在直角三角形ADE中,可得AE2=AD2+DE2, 即(x-DE)2=(4-x)2+DE2, 化简可得DE=4-(2<x<4). (2)S△ADE=AD·DE=(4-x)=2≤2=12-8, 当且仅当x=2,4-x=4-2, 即队徽的长和宽分别为2,4-2时,△ADE的面积最大. 学科网（北京）股份有限公司 $$