2.2.4 第2课时 均值不等式的应用 （Word教参）-【新课程学案】2025-2026学年高中数学必修第一册（人教B版）

 

第2课时　均值不等式的应用 [教学方式:拓展融通课习题讲评式教学]

[课时目标]

1.进一步熟练掌握均值不等式,能够通过配凑、变形等利用均值不等式求最值.

2.要灵活应用不等式解决问题,能够利用均值不等式解决实际问题.

题型(一)　利用均值不等式求最值的方法

 方法1　配凑法

[例1]　(1)若x<,则3x+1+有 (　　)

A.最大值0 B.最小值9

C.最大值-3 D.最小值-3

(2)已知0<x<,则x的最大值为　　　　. 

解析:(1)选C　因为x<,所以3x-2<0,所以3x-2++3=-+3≤-2+3=-3,当且仅当2-3x=,即x=-时,取等号.

(2)因为0<x<,所以1-2x2>0,所以x=·≤·=,当且仅当2x2=1-2x2,即x=时等号成立.

答案:

|思|维|建|模|  配凑法的运用技巧

配凑法就是将相关代数式进行适当的变形,通过添项、拆项、配系数、凑常数等方法凑成“和为定值”或“积为定值”的形式,如凑成x+(a>0)、+的形式等,然后利用均值不等式求解最值.拆项、添项时应注意检验利用均值不等式的条件.

方法2　常数代换法求最值

[例2]　已知x>0,y>0,且2x+y=1,则的最小值为 (　　)

A.4 　　　　　B.4

C.6 　　　　　D.2+3

解析:选D　因为x>0,y>0,且2x+y=1,所以=+==++3≥2+3=2+3,当且仅当=,即x=,y=-1时取等号.

 

|思|维|建|模|      常数代换法求最值的步骤

(1)根据已知条件或其变形确定定值.

(2)把确定的定值(常数)变形为1.

(3)把“1”的表达式与所求最值的表达式相乘或相除,进而构造和或积的形式.

(4)利用均值不等式求解最值.

　　[针对训练]

1.已知m,n∈(0,+∞),+n=4,则m+的最小值为 (　　)

A.3 B.4 C.5 D.6

解析:选B　由题意得m+==≥=4,当且仅当mn=,即m=1,n=3时等号成立.

2.已知x<,求 4x-2+的最大值.

解:因为x<,所以5-4x>0.

所以4x-2+=-+3≤-2+3=1,当且仅当5-4x=,即x=1时,上式等号成立.

故当x=1时,4x-2+的最大值为1.

3.已知x>1,求的最小值.

解:因为x>1,所以x-1>0,所以==x-1++3≥2+3=2+3,当且仅当x-1=,即x=+1时取等号,所以的最小值为3+2.

 

题型(二)　利用均值不等式解决实际问题

 [例3]　小明的爸爸要在家用围栏做一个面积为16 m2的矩形游乐园,当这个矩形的边长为多少时,所用围栏最省,并求所需围栏的长度.

[解]　设矩形围栏相邻两条边长分别为x m,y m,围栏的长度为2(x+y) m.

法一　由已知xy=16,

由≥,可知x+y≥2=8,

所以2(x+y)≥16,

当且仅当x=y=4时,等号成立,

因此,当这个矩形游乐园是边长为4 m的正方形时,所用围栏最省,所需围栏的长度为16 m.

法二　由已知xy=16,得y=.

所以2(x+y)=2≥2×2=16.

当且仅当x=y=4时,等号成立,

因此,当这个矩形游乐园是边长为4 m的正方形时,所用围栏最省,所需围栏的长度为16 m.

　　[变式拓展]

　如果小明的爸爸只有12 m长的围栏,如何设计,才能使游乐园的面积最大?

解:由已知得2(x+y)=12,故x+y=6,面积为xy,

由≤==3,或=≤=3,可得xy≤9,

当且仅当x=y=3时,等号成立.

因此,当游乐园是边长为3 m的正方形时,面积最大,最大面积为9 m2.