1.1.1 第2课时 集合的表示方法 （Word教参）-【新课程学案】2025-2026学年高中数学必修第一册（人教B版）

第2课时　集合的表示方法 [教学方式:基本概念课逐点理清式教学] [课时目标] 1.掌握集合的表示方法——列举法和描述法,会用这两种方法描述简单的集合问题. 2.会用集合中元素的共同特征描述一些集合,如数集、解集和一些基本图形构成的集合. 3.理解区间的含义,能正确使用“区间”的符号表示一些集合. 逐点清(一)　列举法 [多维理解] 　　列举法的定义及一般形式 定义 把集合中的元素一一列举出来(相邻元素之间用逗号分隔),并写在大括号内,以此来表示集合的方法称为列举法 一般形式 {a1,a2,a3,…,an} |微|点|助|解| (1)集合中的元素间用“,”隔开,元素不重复,一般不考虑元素的顺序. (2)元素个数较少时,把元素一一列举并用“{}”括起来即可;元素个数较多时,若元素能够按照一定的规律排列,可用列举法,但必须把元素的规律显示清楚,然后加省略号. [微点练明] 1.下列命题正确的是 (　 ) A.0与{0}表示同一个集合 B.由1,2,3组成的集合可表示为{1,2,3}或{3,2,1} C.方程(x-1)2(x-2)=0的所有解的集合可表示为{1,1,2} D.集合{x|4<x<5}可以用列举法表示 解析:选B　由于“0”是元素,而“{0}”表示含0元素的集合,所以A错误;根据集合中元素的无序性,知B正确;根据集合元素的互异性,知C错误;由于该集合为无限集,且无明显的规律性,所以不能用列举法表示,所以D错误. 2.已知集合P={1,2},Q={2,3},若M={x|x∈P,x∉Q},则M= (　 ) A.{1} B.{2} C.{1,3} D.{1,2,3} 解析:选A　因为集合P={1,2},Q={2,3},则M={x|x∈P,x∉Q}={1}. 3.用列举法表示下列集合: (1)不大于10的非负偶数组成的集合; (2)方程x2=2x的所有实数解组成的集合; (3)直线y=2x+1与y轴的交点所组成的集合; (4)由所有正整数构成的集合. 解:(1)因为不大于10是指小于或等于10,非负是大于或等于0的意思,所以不大于10的非负偶数集是{0,2,4,6,8,10}. (2)方程x2=2x的解是x=0或x=2,所以方程的解组成的集合为{0,2}. (3)将x=0代入y=2x+1,得y=1,即交点是(0,1),故交点组成的集合是{(0,1)}. (4)正整数有1,2,3,…,故所求集合为{1,2,3,…}. 逐点清(二)　描述法 [多维理解] 一般地,如果属于集合A的任意一个元素x都具有性质p(x),而不属于集合A的元素都不具有这个性质,则性质p(x)称为集合A的一个特征性质.此时,集合A可以用它的特征性质p(x)表示为{x|p(x)}.这种表示集合的方法,称为特征性质描述法,简称为描述法. |微|点|助|解| 1.描述法表示集合的注意点 (1)描述法表示集合要关注竖线“|”左边元素的形式,是数,是点或有序实数组大不相同. (2)所有描述内容都要写在花括号内,如写法{x|x=2k-1},k∈Z,不符合要求,应写为{x|x=2k-1,k∈Z}. 2.两步认识描述法表示的集合 (1)一看代表元素:例如{x|P(x)}表示数集,{(x,y)|y=P(x)}表示点集. (2)二看条件:即看代表元素满足什么条件(公共特征). [微点练明] 1.由大于-3且小于11的偶数所组成的集合是 (　 ) A.{x|-3<x<11,x∈Z} B.{x|-3<x<11} C.{x|-3<x<11,x=2k} D.{x|-3<x<11,x=2k,k∈Z} 答案:D 2.(多选)集合{1,3,5,7,9}用描述法可表示为 (　 ) A.{x|x是不大于9的非负奇数} B.{x|x=2k+1,k∈N,且k≤4} C.{x|x≤9,x∈N+} D.{x|0≤x≤9,x∈Z} 解析:选AB　对A,{x|x是不大于9的非负奇数}表示的集合是{1,3,5,7,9},故A正确;对B,{x|x=2k+1,k∈N,且k≤4}表示的集合是{1,3,5,7,9},故B正确;对C,{x|x≤9,x∈N+}表示的集合是{1,2,3,4,5,6,7,8,9},故C错误;对D,{x|0≤x≤9,x∈Z}表示的集合是{0,1,2,3,4,5,6,7,8,9},故D错误. 3.用描述法表示下列集合: (1)函数y=-2x2+x图象上的所有点组成的集合; (2)不等式2x-3<5的解组成的集合; (3)如图中阴影部分的点(含边界)的集合; (4)3和4的所有正的公倍数构成的集合. 解:(1)函数y=-2x2+x的图象上的所有点组成的集合可表示为{(x,y)|y=-2x2+x}. (2)不等式2x-3<5的解组成的集合可表示为{x|2x-3<5},即{x|x<4}. (3)题图中阴影部分的点(含边界)的集合可表示为. (4)3和4的最小公倍数是12,因此3和4的所有正的公倍数构成的集合是{x|x=12n,n∈N+}. 逐点清(三)　区间及其表示 [多维理解] 1.区间的概念(a,b为实数,且a<b) 定义 名称 符号 数轴表示 {x|a≤x≤b} 闭区间 [a,b] {x|a<x<b} 开区间 (a,b) {x|a≤x<b} 半开半闭区间 [a,b) {x|a<x≤b} 半开半闭区间 (a,b] 2.其他区间的表示 定义 R {x|x≥a} {x|x>a} {x|x≤a} {x|x<a} 符号 (-∞,+∞) [a,+∞) (a,+∞) (-∞,a] (-∞,a) |微|点|助|解| 对区间概念的理解 (1)区间的左端点必小于右端点; (2)区间符号里面的两个字母(或数字)之间用“,”隔开; (3)用数轴表示区间时,要特别注意属于这个区间端点的实数用实心点表示,不属于这个区间端点的实数用空心点表示; (4)包含端点用闭区间,不包含端点用开区间,以“+∞”或“-∞”为区间的一个端点时,这一端必须是小括号. [微点练明] 1.不等式x-2≥0的所有解组成的集合表示成区间是 (　 ) A.(2,+∞) B.[2,+∞) C.(-∞,2) D.(-∞,2] 解析:选B　不等式x-2≥0的所有解组成的集合为{x|x≥2},表示成区间为[2,+∞). 2.不等式0<2x-1≤3的解集用区间可表示为 (　 ) A. B.(0,2] C. D. 解析:选D　由0<2x-1≤3,解得<x≤2,用区间表示为.故选D. 3.若[0,3a-1]为一确定区间,则a的取值范围是　　　　.  解析:根据区间表示数集的方法原则可知,3a-1>0,解得a>.所以a的取值范围是. 答案: 4.已知△ABC的两边长AB=2,BC=3,则第三边AC的长的取值范围用区间表示为　　　　.  解析:因为△ABC的两边长AB=2,BC=3,所以BC-AB<AC<AB+BC,即1<AC<5. 答案:(1,5) 逐点清(四)　集合与方程的综合问题 [典例]　已知集合A={x∈R|ax2+2x+1=0,a∈R}.若A中只有一个元素,求a的值. [解]　当a=0时,原方程变为2x+1=0,即x=-,符合题意;当a≠0时,由Δ=0,得a=1,此时x=-1. 所以若A中只有一个元素,则a的值为0或1. 　　[变式拓展] 1.将本例中“只有一个”改为“有两个”,a的取值情况是什么. 解:若A中有两个元素,即关于x的方程ax2+2x+1=0有两个不相等的实数根,所以a≠0且Δ=4-4a>0,即a<1且a≠0,故a的取值范围为{a|a<1且a≠0}. 2.若将本例中“只有”改为“至多有”,求a的取值范围. 解:当a≠0时,若A中至多含有一个元素, 则方程ax2+2x+1=0有两个相等的实根或没有实根. 由Δ=4-4a≤0,得a≥1. 当a=0时,由例题知方程有唯一解. 所以若A中至多有一个元素,a的取值范围为{a|a≥1或a=0}. 3.把本例中“只有”改为“至少有”,求a的取值范围. 解:A中至少有一个元素,即A中有一个或两个元素.当a≠0时,由Δ≥0,得a≤1且a≠0;当a=0时,由例题解析可知方程有唯一解.综上,a≤1.故a的取值范围为{a|a≤1}. |思|维|建|模| 集合与方程的综合问题的解题步骤 (1)弄清方程与集合的关系,往往是用集合表示方程的解集,集合中的元素就是方程的实数根. (2)当方程中含有参数时,一般要根据方程实数根的情况来确定参数的值或取值范围,必要时要分类讨论. (3)求出参数的值或取值范围后还要检验是否满足集合中元素的互异性. [课时检测] 1.如果A={x|x>-1},那么 (　 ) A.-2∈A B.{0}∈A C.-3∈A D.0∈A 解析:选D　∵0>-1,∴0∈A,故选D. 2.集合{x|-2≤x<4}用区间表示为 (　　) A.[-2,4] B.(-2,4) C.(-2,4] D.[-2,4) 答案:D 3.把集合{x|x2-4x-5=0}用列举法表示为 (　 ) A.{x=-1,x=5} B.{x|x=-1或x=5} C.{x2-4x-5=0} D.{-1,5} 解析:选D　根据题意,解x2-4x-5=0可得x=-1或x=5,用列举法表示为{-1,5}. 4.已知集合A={1,2,3,4},集合B={y|y=3x-2,x∈A}表示正确的是　 (　 ) A.B={3,6,9,12} B.B={1,2,3,4} C.B={1,4,7,10} D.B={-2,1,4,7} 解析:选C　x∈A表示x的取值有1,2,3,4,对应的y值分别为1,4,7,10. 5.(多选)已知集合A={x∈N|x<6},则下列关系式成立的是 (　 ) A.0∈A B.1.5∉A C.-1∉A D.6∈A 解析:选ABC　∵A={x∈N|x<6}={0,1,2,3,4,5},∴6∉A,故D不成立,其余都成立. 6.下列叙述正确的是 (　 ) A.方程x2+2x+1=0的根构成的集合为{-1,-1} B.{x∈R|x2+2=0}==∅ C.集合M={(x,y)|x+y=5,xy=6}表示的集合是{2,3} D.集合{1,3,5}与集合{3,5,1}是不同的集合 解析:选B　对于A,方程x2+2x+1=0的根构成的集合为{-1},故A错误;对于B,当x∈R时,方程x2+2=0无解,不等式组无解,故{x∈R|x2+2=0}==∅,故B正确;对于C,由⇒或故M={(x,y)|x+y=5,xy=6}={(2,3),(3,2)},故C错误;对于D,由集合中的元素满足无序性可知{1,3,5}={3,5,1},故D错误. 7.第一象限的点组成的集合可以表示为 (　 ) A.{(x,y)|xy>0} B.{(x,y)|xy≥0} C.{(x,y)|x>0且y>0} D.{(x,y)|x>0或y>0} 解析:选C　第一象限的点的坐标满足x>0且y>0,用描述法可表示为{(x,y)|x>0且y>0},故选C. 8.(多选)已知集合A={x|x=2m-1,m∈Z},B={x|x=2n,n∈Z},且x1,x2∈A,x3∈B,则下列判断正确的是 (　 ) A.x1·x2∈A B.x2·x3∈B C.x1+x2∈B D.x1+x2+x3∈A 解析:选ABC　集合A表示奇数集,B表示偶数集,∴x1,x2是奇数,x3是偶数,故A、B、C正确,D错误. 9.已知集合A={a2,0,-1},B={a,b,0},若A=B,则(ab)2 025的值为 (　 ) A.0 B.-1 C.1 D.±1 解析:选B　根据集合中元素的互异性可知a≠0,b≠0, 因为A=B,所以-1=a或-1=b, 当a=-1时,b=a2=1, 此时(ab)2 025=(-1)2 025=-1; 当b=-1时,则a2=a,因为a≠0,所以a=1,此时(ab)2 025=(-1)2 025=-1. 综上可知,(ab)2 025=-1. 10.设集合A={-1,0,1},B={(x,y)|x∈A,y∈A},则B中所含元素的个数为 (　 ) A.3 B.6 C.9 D.12 解析:选C　易得集合B中的元素为(-1,-1),(-1,0),(-1,1),(0,-1),(0,0),(0,1),(1,-1),(1,0),(1,1),共9个元素.故选C. 11.(5分)已知区间(4p-1,2p+1),则p的取值范围为　　 　.  解析:由题意得4p-1<2p+1,解得p<1,即p的取值范围为(-∞,1). 答案:(-∞,1) 12.(5分)已知集合A=,写出一个满足A中有8个元素的m的值　　　　.  解析:m的值可以是6,满足|m|≤9.要∈Z,所以x=1,-1,2,-2,3,-3,6,-6.所以集合A中有8个元素. 答案:6(答案不唯一) 13.(5分)已知集合A={x|ax2+x+1=0},若A中只有一个元素,则a=　　　;若A中有两个元素,则a的取值范围是　　　　　　　.  解析:若A中只有一个元素,则当a=0时,方程有一个根;当a≠0时,Δ=1-4a=0,即a=,此时满足A中只有一个元素.故a=0或a=. 若A中有两个元素,即方程有两个不相等实根,此时应满足即a<且a≠0. 答案:0或　 14.(10分)用适当的方法表示下列集合. (1)不大于10的非负奇数集;(3分) (2)A={x|x=|x|,x∈Z且x<5};(3分) (3)平面直角坐标系内与坐标轴的距离相等的点组成的集合.(4分) 解:(1)由不大于10,即小于或等于10,非负是大于或等于0,所以不大于10的非负奇数集,用列举法可表示为{1,3,5,7,9}. (2)由集合A={x|x=|x|,x∈Z且x<5},则满足x≥0且x∈Z且x<5,所以x=0,1,2,3,4,所以集合A可表示为{0,1,2,3,4}. (3)由平面直角坐标系内,点(x,y)到x轴的距离为|y|,到y轴的距离为|x|,所以与坐标轴的距离相等的点组成的集合可表示为{(x,y)||x|=|y|}. 15.(10分)已知集合A={x∈N},B={∈Nx∈N},试问集合A与B有几个相同的元素?并写出由这些相同元素组成的集合. 解:对于集合A,B,因为x∈N,∈N,所以当x=1时,=1;当x=7时,=3;当x=9时,=9.所以A={1,7,9},B={1,3,9}. 所以集合A与B有2个相同的元素,故集合A,B的相同元素组成的集合为{1,9}. 学科网（北京）股份有限公司 $$