精品解析：甘肃省兰州市城关区兰州天庆实验中学2024-2025学年八年级上学期1月期末考试数学试题

2024—2025学年第一学期八年级数学期末试卷 一、选择题（共12小题，满分36分，每小题3分） 1. 下列数，，，，，（相邻两个1之间0的个数逐次加1）中，无理数有（ ） A. 3个 B. 4个 C. 5个 D. 6个 【答案】A 【解析】 【分析】本题主要考查了无理数的定义，解题的关键是熟练掌握无理数的定义． 利用无理数的定义逐项进行判断即可． 【详解】解：，有理数； ，为有理数； ，为无理数； ，为无理数； ，为有理数； （相邻两个1之间0的个数逐次加1），为无理数． ∴无理数有：，，（相邻两个1之间0的个数逐次加1）， 故选：A． 2. 如图，在中，，以和为边向两边分别作正方形，面积分别为和．已知，且，则的值为（ ） A. 14 B. 10 C. 44 D. 100 【答案】D 【解析】 【分析】本题主要考查正方形的面积以及勾股定理，熟练掌握勾股定理是解题的关键．根据题意求出的长，再由勾股定理求出，即可得到答案． 【详解】解：， ， ， ， ， 故选D． 3. 要使在实数范围内有意义，则的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据二次根式有意义条件“被开方数为非负数”解答即可． 【详解】解：∵在实数范围内有意义， ∴， ∴． 故选A． 【点睛】本题考查二次根式有意义的条件．掌握二次根式被开方数为非负数是解题关键． 4. 如图，一副直角三角尺如图摆放，点在的延长线上．，，，则的度数是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】先根据平行线的性质求出的度数，再由补角的性质得出的度数，根据三角形内角和定理即可得出结论． 【详解】解：一副直角三角尺如图摆放， 是等腰直角三角形， ， ， ． ，， ， ， ． 故选：． 【点睛】本题考查的是三角形内角和定理及平行线的性质，熟知直角三角板的性质是解题的关键． 5. 将直线向下平移6个单位后，正好经过点，则k的值为（ ） A. 3 B. 4 C. 5 D. 6 【答案】D 【解析】 【分析】本题主要考查了函数图象的平移，利用待定系数法求函数解析式，解题的关键是掌握平移的性质． 根据平移的性质得出，将点的坐标代入即可求解． 【详解】解：直线向下平移6个单位得，， 将代入解析式得，， 解得， 故选：D． 6. 已知方程组的解满足，则k的值为（ ） A. B. C. 2 D. 4 【答案】C 【解析】 【分析】本题主要考查了二元一次方程组的特殊解法，根据方程组的解求参数等内容，解题的关键是掌握加减法． 两方程相加得到，然后利用根的和进行求解即可． 【详解】解： ①+②得， ∴， 解得， 故选：C． 7. 生活中常见一种折叠拦道闸如图1所示．若想求解某些特殊状态下的角度，需将其抽象为如图2所示的几何图形，其中，垂足为A，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】过B作，然后根据平行线的性质和垂线的定义即可得解 ． 详解】解：如图，过B作， ∵， 则， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 故选：A． 【点睛】本题考查平行线的综合应用，熟练掌握平行线的性质和垂线的定义是解题关键． 8. 正比例函数和一次函数的大致图象是（　） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了一次函数、正比例函数的图象．此类题可用数形结合的思想进行解答，这也是速解习题常用的方法．根据正比例函数图象所在的象限判定k的符号，根据k的符号来判定一次函数图象所经过的象限．. 【详解】解：A、正比例函数图象经过第一、三象限，则，则一次函数的图象应该经过第二、三、四象限．故本选项错误； B、正比例函数图象经过第一、三象限，则，则一次函数的图象应该经过第二、三、四象限．故本选项错误； C、正比例函数图象经过第二、四象限，则，则一次函数的图象应该经过第一、二、三象限．故本选项正确； D、正比例函数图象经过第二、四象限，则，则一次函数的图象应该经过第一、二、三象限．故本选项错误； 故选：C 9. 如图，从海盗分别同时沿北偏西方向，北偏东驶出甲、乙两艘货船，若两艘货船的速度均为20海里/时，两小时后，两艘货船之间的距离为（ ） A. 60海里 B. 40海里 C. 30海里 D. 20海里 【答案】B 【解析】 【分析】根据等边三角形的判定定理，易证∆ABC是等边三角形，进而即可得到答案． 【详解】连接AC， ∵AB=AC=2×20=40（海里），∠ABC=20°+40°=60°， ∴∆ABC是等边三角形， ∴AC= AB=AC=40（海里），即：两艘货船之间的距离为40海里． 故选B． 【点睛】本题主要考查等边三角形的判定定理和定义，掌握等边三角形的判定定理是解题的关键． 10. 若直线与直线的交点的横坐标为2，则关于x，y的二元一次方程组的解是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题主要考查了一次函数交点坐标和二元一次方程组的解的关系，解题的关键是掌握数形结合的数学思想． 先求出点的纵坐标，再利用一次函数交点坐标和二元一次方程组的解的关系即可求解． 【详解】解：当时，， ∴直线与直线的交点坐标为 ∴二元一次方程组的解是， 故选：D． 11. 如图，在平面直角坐标系中，点在第一象限，点B，A分别在x轴正半轴和y轴正半轴上，，则等于（ ） A. m B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题主要考查了平面直角坐标系中点的坐标，全等三角形的判定和性质，解题的关键是熟练掌握全等三角形的判定和性质． 过点作轴，交轴于点，过点作轴，交轴于点，通过点的坐标和条件证明，即可得出答案． 【详解】解：如图，过点作轴，交轴于点，过点作轴，交轴于点， ∴， ∵， ∴， ∴ ∵， ∴， ∴， , ∴， 故选：B． 12. 在某款游戏的周边制作中，某工厂安排工人制作手办和徽章．已知一共有60名工人参与制作，每人每天能制作手办5个或者徽章8个，且每1个手办要搭配3个徽章进行套装售卖，设安排x名工人制作手办，y名工人制作徽章，能恰好全部配成套装，下面所列方程组正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了二元一次方程组的应用； 根据“一共有60名工人参与制作”可得，根据“每人每天能制作手办5个或者徽章8个，且每1个手办要搭配3个徽章进行套装售卖”可得． 【详解】解：设安排x名工人制作手办，y名工人制作徽章， 由题意得：， 故选：C． 二、填空题（共4小题，满分12分，每小题3分） 13. 如图，面积为2的正方形的顶点在数轴上，且表示的数为，若以为原点，为半径画弧交数轴于点，点在点的右边，则数轴上点所表示的数为______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查实数与数轴，根据正方形的面积，求出的长，进而得到的长，根据数轴上两点间的距离，求解即可． 【详解】解：∵正方形的面积为2， ∴， 又∵点在点的右边， ∴点所表示的数为， 故答案为：． 14. 如图，教室的墙面与地面垂直，点在墙面上．若米，点到的距离是6米，有一只蚂蚁要从点爬到点，它的最短行程是________米． 【答案】 【解析】 【分析】可将教室的墙面与地面展开，连接P、B，根据两点之间线段最短，利用勾股定理求解即可． 【详解】解：如图，将教室的墙面与地面展成一个平面， 过P作于G，连接， ∵米，米， ∴(米)， ∴米， ∴（米）． 故这只蚂蚁的最短行程应该是米． 故答案为：． 【点睛】本题考查了平面展开-最短路径问题，立体图形中的最短距离，通常要转换为平面图形的两点间的线段长来进行解决． 15. 嘉淇本学期的数学测试成绩如表，如果规定平时成绩、期中成绩、期末成绩按照计算得出总成绩，则本学期嘉淇的数学总成绩为_________分． 测试类别 平时 期中 期末 得分/分 80 85 90 【答案】86 【解析】 【分析】本题考查了加权平均数，熟练掌握加权平均数的计算公式是解题关键．根据加权平均数的计算公式计算即可得． 【详解】解：本学期嘉淇的数学总成绩为（分）， 故答案为：86． 16. 如图，在平面直角坐标系中，． 若过A作直线轴，则直线上是否存在点P，使是以为腰的等腰三角形．若存在写出所有满足条件的点P的坐标______． 【答案】或或 【解析】 【分析】本题考查了坐标与图形的性质及等腰三角形的判定；根据等腰三角形的判定解答是正确解答本题的关键． 根据题意可得，再根据情况为等腰三角形一条腰计算求解． 【详解】解：∵， ∴， ∵直线轴， ∴直线上所有点的纵坐标都为3， 当为等腰三角形一条腰，则点的坐标是，，； 故答案为：，，． 三、解答题（共13小题，满分72分） 17. 计算： （1） （2） 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题考查了二次根式的混合运算，熟练掌握运算法则是解题的关键． （1）先化简二次根式，再进行加减混合运算； （2）先计算乘法，再进行加减计算． 【小问1详解】 解： ； 【小问2详解】 解： ． 18. 解方程组：． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了解二元一次方程组，解题的关键在于掌握消元的思想． 利用加减消元法求解即可． 【详解】解： 由得， 解得：， 将代入①得，， 解得：， ∴原方程组的解为： 19. 先化简，再求值：，其中． 【答案】； 【解析】 【分析】本题考查了多项式乘多项式化简－求值，二次根式的混合运算．先利用多项式乘多项式，单项式乘多项式，结合平方差公式化简，再将a的值代入计算即可． 【详解】解：原式 ； 当时，原式． 20. 已知的立方根是3，的算术平方根是，c是的整数部分，求的平方根． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查的是算术平方根以及立方根的意义，无理数的估算，掌握立方根的定义、算术平方根的定义和平方根的定义是解决此题的关键．利用立方根的意义、算术平方根的意义、无理数的估算方法，求出a、b、c的值，代入代数式求出值后，进一步求得平方根即可． 【详解】解： 27的立方根是3， ， ； 12的算术平方根是， ， ； ， ， c是的整数部分， ； ， 的平方根为． 21. 如图，已知，E、在线段上，与交于点，且，．求证： 【答案】见详解 【解析】 【分析】由于与是直角三角形，根据直角三角形全等的判定的方法即可证明．此题考查了直角三角形全等的判定，解题关键是由通过等量代换得到． 【详解】证明：， ，即， ， 与都为直角三角形， 在和中， ， ． 22. 如图，在△ABC中，AD是BC边上的高线，AE平分∠BAC，若∠BAC∶∠B∶∠C=4∶3∶2，求∠DAE的度数． 【答案】∠DAE=10°. 【解析】 【分析】利用三角形内角和定理，求出△ABC的三个内角的度数，再利用角平分线定义求出∠CAE的度数，利用三角形的高的定义，求出∠CAD的度数，然后根据∠DAE=∠CAD-∠CAE，可求得结果 【详解】解：∵∠BAC：∠B：∠C=4:3:2 ∴∠BAC=80°,∠C=40° ∵AE平分∠BAC ∴ ∵AD是BC边上的高线 ∴∠ADC=90° ∵∠C=40° ∴∠CAD=50° ∴∠DAE=∠CAD-∠CAE=50°-40°=10° 【点睛】本题考查三角形的角平分线、中线和高，三角形内角和定理. 23. 已知方程组，王芳看错了方程①中的a得到方程组的解为，李明看错了方程②中的b得到方程组的解为，求原方程组的解． 【答案】原方程组的解为 【解析】 【分析】本题考查了解二元一次方程组错题复原问题．根据没看错的方程和方程的解代入可求得的值，然后还原方程组，根据加减或代入消元法求解即可． 【详解】解：由题意得，解得， ，解得， 代入可得， 解得． 24. 为了宣传垃圾分类从我做起活动，我校举行了垃圾分类相关知识竞赛，为了了解初一、初二两个年级学生的掌握情况．现从两个年级各随机抽取20名学生的竞赛成绩（百分制）进行统计、分析，过程如下： 收集数据： 初一的20名学生的垃圾分类相关知识竞赛成绩统计（单位：分） 65 68 70 76 77 78 87 88 88 88 89 89 89 89 93 95 97 97 98 99 初二的20名学生的垃圾分类相关知识竞赛成绩统计（单位：分） 69 72 72 73 74 74 74 74 76 76 78 89 96 97 97 98 98 99 99 99 整理数据（垃圾分类相关知识竞赛成绩得分用x表示） 分数年级 初一（人数） 2 4 a 6 初二（人数） 1 10 1 8 分析数据（平均数、中位数、众数、方差） 平均分 中位数 众数 方差 初一 86 c 初二 b 74 请根据以上信息，回答下列问题： （1）填空：______，______，______； （2）根据以上数据，你认为哪个年级的同学的垃圾分类相关知识掌握更好一些，请说明你的理由（一条理由即可）； （3）若我校初一、初二两个年级共有1800名学生参加了此活动，请估计两个年级垃圾分类相关知识竞赛成绩，成绩达到90分及以上的学生共有多少人？ 【答案】（1）8，77，89 （2）初一，初一年级的平均数大于初二年级，其平均水平高（答案不唯一） （3）人 【解析】 【分析】本题考查了众数、中位数以及平均数、方差，掌握众数、中位数以及平均数、方差的定义和意义是解题的关键． （1）由初一的 20 名同学的竞赛成绩统计可得初一成绩在的人数，再根据众数的概念一组数据中出现次数最多的数据叫做众数可得的值，继而由初二年级第10、11个数据可得其中位数的值； （2）从平均数、中位数或方差的意义求解即可； （3）分别用初一、初二年级的总人数乘以各自样本中 90 分及以上人数所占比例，再求和即可． 【小问1详解】 解：由初一的 20 名同学的竞赛成绩统计知，众数， 由初二的 20 名同学的竞赛成绩统计知其中位数， 故答案为：8，77，89； 【小问2详解】 解：根据以上数据，我认为初一的同学的垃圾分类相关知识掌握更好一些，理由是初一年级的平均数大于初二年级，其平均水平高 （答案不唯一）． 故答案为：初一，初一年级的平均数大于初二年级，其平均水平高． 【小问3详解】 解：估计两个年级成绩达到 90 分及以上的学生共有（人）． 25. 如图，甲、乙两人分别从同一公路上的A、B两地同时出发骑车前往C地，两人行驶的路程与甲行驶的时间之间的关系如图所示，请根据图象所提供的信息解答下列问题： （1）求甲在的时间段内的函数关系式； （2）在的时间段内，当为何值时甲、乙两人相距5千米． 【答案】（1） （2）当为3小时或5小时时甲、乙两人相距5千米 【解析】 【分析】本题考查一次函数的应用，利用数形结合的思想和分类讨论的思想是解答本题的关键． （1）根据函数图象中的数据，可以计算出甲在的时间段内y与x之间的函数关系式； （2）根据题意，可知存在两种情况甲、乙两人相距5千米，然后分别计算出即可． 【小问1详解】 解：设甲在时，y与x之间的函数关系式是， ∵点在该函数图象上， ， 解得， 即甲在时，y与x之间的函数关系式是； 【小问2详解】 解：设乙在时，y与x之间的函数关系式是， ∵点在函数图象上， ∴， 解得． 即乙在时，y与x之间的函数关系式是， 相遇之前两人相距，则， 解得． 相遇之后且甲到达C地之前相距，则， 解得． 答：当为3小时或5小时时甲、乙两人相距5千米． 26. “世界读书日”是在每年的4月23日，设立目的是推动更多的人去阅读和写作，希望所有人都能尊重和感谢为人类文明做出过巨大贡献的文学、文化、科学、思想大师们，保护知识产权某批发商在“世界读书日”前夕，订购A、B两种具有纪念意义的书签进行销售，若订购A种书签100张，B种书签200张，共花费5000元；订购A种书签120张，B种书签400张，共花费8400元． （1）求A、B两种书签的进价分别为多少元： （2）该批发商准备在进价的基础上将A、B两种书签提高售出，若该批发商购进A、B两种书签共计500张，并且A种书签不超过230张，则该批发商所获最大利润为多少元． 【答案】（1）A、B两种书签的进价分别为20元，15元 （2）该批发商所获最大利润为3460元 【解析】 【分析】本题主要考查了一次函数的实际应用，二元一次方程组的实际应用： （1）设A、B两种书签的进价分别为x元，y元，根据订购A种书签100张，B种书签200张，共花费5000元；订购A种书签120张，B种书签400张，共花费8400元列出方程组求解即可； （2）设购买A种书签m张，利润为W元，则购买B种书签张，根据总利润单张A种书签利润A种书签的数量单张B种书签利润B种书签的数量列出W关于m的一次函数关系式，再利用一次函数的性质求解即可． 【小问1详解】 解：设A、B两种书签的进价分别为x元，y元， 由题意得，， 解得， 答：A、B两种书签的进价分别为20元，15元； 【小问2详解】 解：设购买A种书签m张，利润为W元，则购买B种书签张， 由题意得， ， ∵， ∴W随m的增大而增大， ∴当时，W最大，最大值为， ∴该批发商所获最大利润为3460元． 27. 综合与实践 【问题情境】 在平面直角坐标系中，有不重合的两点和点，若，则轴，且线段的长度为：若，则轴，且线段的长度为． 【知识应用】 （1）若点，，则轴，的长度为________； 【拓展延伸】 我们规定：平面直角坐标系中，任意不重合的两点，之间的折线距离为．例如：图1中，点与点之间的折线距离为． 【问题解决】 （2）如图2，已知，若，则________； （3）如图2，已知，，若，则t的值为________； （4）如图3，已知，，点P是的边上一点，若，求点P的坐标． 【答案】（1）3；（2）4；（3）2或；（4）或 【解析】 【分析】（1）根据线段的长度为，代入数据即可得出结论； （2）根据两点之间的折线距离公式，代入数据即可得出结论； （3）根据两点之间的折线距离公式，可得，即可求解； （4）分三种情况讨论，结合两点之间的折线距离公式，以及一次函数的图象和性质，即可得出结论． 【详解】解：（1）的长度为， 故答案为：3； （2）∵，， ∴； 故答案为：4； （3）∵，，， ∴， 解得∶ ， 故答案为：2或； （4）设点， 当点P在上时，， ∵，， ∴， 解得：或（舍去）， 此时点P的坐标为； 当点P上时，， ∵，， ∴， 解得：（舍去）或（舍去）； 当点P在上时， 设直线的解析式为， 把点，代入得： ， 解得：， ∴直线的解析式为， ∴， ∴此时点P的坐标为， ∵，， ∴， 解得：或（舍去）， 此时点P的坐标为； 综上所述，点P的坐标为或． 【点睛】本题考查了两点间的距离公式，一次函数的图象和性质，读懂题意并熟练运用两点间的距离及两点之间的折线距离公式是解题的关键． 28. 【模型建立】 如图1，等腰中，，，直线经过点C，过点A作于点D，过点B作于点E，求证：． 【模型应用】 （1）如图2，在图1中建立平面直角坐标系，使点E与坐标原点O重合，和所在直线分别为x轴、y轴，若，，请解答下列问题： ①点C的坐标是________，点A的坐标是________； ②在x轴上存在点M，使得以O，A，B，M为顶点的四边形的面积为4，请直接写出点M的坐标：________； （2）如图3，已知直线：与x轴交于点A，与y轴交于点B，将直线绕点B旋转至直线，求直线的函数表达式． 【答案】模型建立：见解析；模型应用：（1）①，；②或；（2） 【解析】 【分析】（1）利用证明即可； （2）①根据即可得到点C的坐标，根据全等三角形的性质即可得到，，从而得到，即可得到点A的坐标； ②分M在原点右侧和在原点左侧两种情况讨论求解即可； （3）过点A作交于点C，过点C作轴，求出，，然后证明出，，，求出，然后利用待定系数法求解即可． 【详解】模型建立：解：①∵，， ∴ ∵， ∴， 又∵， ∴； （1）解：①∵，，， ∴，， ∴点C的坐标为， ∴， ∴点A坐标为； ②如图所示，当M在原点右边时，连接，，以O、A、B、M为顶点的四边形的面积为S， ∴ ∴， ∴点M的坐标为； 如图所示，当点M在原点左侧时，连接，， ∴ ， ∴， ∴点M的坐标为； 综上所述，点M的坐标为或； （2）如图所示，过点A作交于点C，过点C作轴 ∵直线：与x轴交于点A，与y轴交于点B， ∴当时， ∴ ∴ 当时， 解得 ∴ ∴， ∵将直线绕点B旋转至直线， ∴ ∵ ∴ ∴是等腰直角三角形 ∴ ∵ ∴ 又∵ ∴ ∴， ∴ ∴ ∴设直线表达式为 ∴ 解得 ∴设直线表达式为． 【点睛】本题主要考查了一次函数与几何综合，全等三角形的性质与判定，等腰直角三角形的性质和判定，坐标与图形等等，熟知全等三角形的性质与判定条件是解题的关键． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 2024—2025学年第一学期八年级数学期末试卷 一、选择题（共12小题，满分36分，每小题3分） 1. 下列数，，，，，（相邻两个1之间0的个数逐次加1）中，无理数有（ ） A. 3个 B. 4个 C. 5个 D. 6个 2. 如图，在中，，以和为边向两边分别作正方形，面积分别为和．已知，且，则的值为（ ） A. 14 B. 10 C. 44 D. 100 3. 要使在实数范围内有意义，则的取值范围是（ ） A. B. C. D. 4. 如图，一副直角三角尺如图摆放，点在的延长线上．，，，则的度数是（ ） A. B. C. D. 5. 将直线向下平移6个单位后，正好经过点，则k值为（ ） A. 3 B. 4 C. 5 D. 6 6. 已知方程组的解满足，则k的值为（ ） A. B. C. 2 D. 4 7. 生活中常见一种折叠拦道闸如图1所示．若想求解某些特殊状态下的角度，需将其抽象为如图2所示的几何图形，其中，垂足为A，，则（ ） A. B. C. D. 8. 正比例函数和一次函数的大致图象是（　） A B. C. D. 9. 如图，从海盗分别同时沿北偏西方向，北偏东驶出甲、乙两艘货船，若两艘货船的速度均为20海里/时，两小时后，两艘货船之间的距离为（ ） A. 60海里 B. 40海里 C. 30海里 D. 20海里 10. 若直线与直线交点的横坐标为2，则关于x，y的二元一次方程组的解是（ ） A. B. C. D. 11. 如图，在平面直角坐标系中，点在第一象限，点B，A分别在x轴正半轴和y轴正半轴上，，则等于（ ） A. m B. C. D. 12. 在某款游戏的周边制作中，某工厂安排工人制作手办和徽章．已知一共有60名工人参与制作，每人每天能制作手办5个或者徽章8个，且每1个手办要搭配3个徽章进行套装售卖，设安排x名工人制作手办，y名工人制作徽章，能恰好全部配成套装，下面所列方程组正确的是（ ） A. B. C. D. 二、填空题（共4小题，满分12分，每小题3分） 13. 如图，面积为2的正方形的顶点在数轴上，且表示的数为，若以为原点，为半径画弧交数轴于点，点在点的右边，则数轴上点所表示的数为______． 14. 如图，教室的墙面与地面垂直，点在墙面上．若米，点到的距离是6米，有一只蚂蚁要从点爬到点，它的最短行程是________米． 15. 嘉淇本学期的数学测试成绩如表，如果规定平时成绩、期中成绩、期末成绩按照计算得出总成绩，则本学期嘉淇的数学总成绩为_________分． 测试类别 平时 期中 期末 得分/分 80 85 90 16. 如图，在平面直角坐标系中，． 若过A作直线轴，则直线上是否存在点P，使是以为腰的等腰三角形．若存在写出所有满足条件的点P的坐标______． 三、解答题（共13小题，满分72分） 17. 计算： （1） （2） 18. 解方程组：． 19. 先化简，再求值：，其中． 20. 已知的立方根是3，的算术平方根是，c是的整数部分，求的平方根． 21. 如图，已知，E、在线段上，与交于点，且，．求证： 22. 如图，在△ABC中，AD是BC边上的高线，AE平分∠BAC，若∠BAC∶∠B∶∠C=4∶3∶2，求∠DAE的度数． 23. 已知方程组，王芳看错了方程①中的a得到方程组的解为，李明看错了方程②中的b得到方程组的解为，求原方程组的解． 24. 为了宣传垃圾分类从我做起活动，我校举行了垃圾分类相关知识竞赛，为了了解初一、初二两个年级学生的掌握情况．现从两个年级各随机抽取20名学生的竞赛成绩（百分制）进行统计、分析，过程如下： 收集数据： 初一的20名学生的垃圾分类相关知识竞赛成绩统计（单位：分） 65 68 70 76 77 78 87 88 88 88 89 89 89 89 93 95 97 97 98 99 初二的20名学生的垃圾分类相关知识竞赛成绩统计（单位：分） 69 72 72 73 74 74 74 74 76 76 78 89 96 97 97 98 98 99 99 99 整理数据（垃圾分类相关知识竞赛成绩得分用x表示） 分数年级 初一（人数） 2 4 a 6 初二（人数） 1 10 1 8 分析数据（平均数、中位数、众数、方差） 平均分 中位数 众数 方差 初一 86 c 初二 b 74 请根据以上信息，回答下列问题： （1）填空：______，______，______； （2）根据以上数据，你认为哪个年级的同学的垃圾分类相关知识掌握更好一些，请说明你的理由（一条理由即可）； （3）若我校初一、初二两个年级共有1800名学生参加了此活动，请估计两个年级垃圾分类相关知识竞赛成绩，成绩达到90分及以上的学生共有多少人？ 25. 如图，甲、乙两人分别从同一公路上的A、B两地同时出发骑车前往C地，两人行驶的路程与甲行驶的时间之间的关系如图所示，请根据图象所提供的信息解答下列问题： （1）求甲在的时间段内的函数关系式； （2）在时间段内，当为何值时甲、乙两人相距5千米． 26. “世界读书日”是在每年的4月23日，设立目的是推动更多的人去阅读和写作，希望所有人都能尊重和感谢为人类文明做出过巨大贡献的文学、文化、科学、思想大师们，保护知识产权某批发商在“世界读书日”前夕，订购A、B两种具有纪念意义的书签进行销售，若订购A种书签100张，B种书签200张，共花费5000元；订购A种书签120张，B种书签400张，共花费8400元． （1）求A、B两种书签的进价分别为多少元： （2）该批发商准备在进价的基础上将A、B两种书签提高售出，若该批发商购进A、B两种书签共计500张，并且A种书签不超过230张，则该批发商所获最大利润为多少元． 27. 综合与实践 【问题情境】 在平面直角坐标系中，有不重合的两点和点，若，则轴，且线段的长度为：若，则轴，且线段的长度为． 【知识应用】 （1）若点，，则轴，的长度为________； 【拓展延伸】 我们规定：平面直角坐标系中，任意不重合的两点，之间的折线距离为．例如：图1中，点与点之间的折线距离为． 【问题解决】 （2）如图2，已知，若，则________； （3）如图2，已知，，若，则t的值为________； （4）如图3，已知，，点P是的边上一点，若，求点P的坐标． 28. 模型建立】 如图1，等腰中，，，直线经过点C，过点A作于点D，过点B作于点E，求证：． 【模型应用】 （1）如图2，在图1中建立平面直角坐标系，使点E与坐标原点O重合，和所在直线分别为x轴、y轴，若，，请解答下列问题： ①点C的坐标是________，点A的坐标是________； ②在x轴上存在点M，使得以O，A，B，M为顶点的四边形的面积为4，请直接写出点M的坐标：________； （2）如图3，已知直线：与x轴交于点A，与y轴交于点B，将直线绕点B旋转至直线，求直线的函数表达式． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$