21 第三章 第2课时 导数与函数的单调性-【名师导航】2026年高考数学一轮总复习课件（人教A版）

第三章　一元函数的导数及其应用 第2课时　导数与函数的单调性 [考试要求]　1.结合实例，借助几何直观了解函数的单调性与导数的关系.2.能利用导数研究函数的单调性，会求函数的单调区间(其中多项式函数一般不超过三次)． 第2课时　导数与函数的单调性 链接教材·夯基固本 1．函数的单调性与导数的关系 条件 恒有 结论 函数y＝f(x)在区间(a，b)上可导 f′(x)>0 f(x)在区间(a，b)上____________ f′(x)<0 f(x)在区间(a，b)上____________ f′(x)＝0 f(x)在区间(a，b)上是____________ 单调递增 单调递减 常数函数 课时分层作业 典例精研·核心考点 链接教材·夯基固本 第2课时　导数与函数的单调性 2．利用导数判断函数单调性的步骤 第1步，确定函数的_________； 第2步，求出导数f′(x)的______； 第3步，用f′(x)的零点将f(x)的定义域划分为若干个区间，列表给出f′(x)在各区间上的正负，由此得出函数y＝f(x)在定义域内的单调性． 定义域 零点 课时分层作业 典例精研·核心考点 链接教材·夯基固本 第2课时　导数与函数的单调性 [常用结论] 1．若函数f(x)在(a，b)上单调递增，则当x∈(a，b)时，f′(x)≥0恒成立；若函数f(x)在(a，b)上单调递减，则当x∈(a，b)时，f′(x)≤0恒成立． 2．若函数f(x)在(a，b)上存在单调递增区间，则当x∈(a，b)时，f′(x)>0有解；若函数f(x)在(a，b)上存在单调递减区间，则当x∈(a，b)时，f′(x)<0有解. 3．f′(x)＞0在(a，b)上恒成立是f(x)在(a，b)上单调递增的充分不必要条件，举例：f(x)＝x3在R上单调递增，但f′(0)＝0. 课时分层作业 典例精研·核心考点 链接教材·夯基固本 第2课时　导数与函数的单调性 一、易错易混辨析(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)若函数f(x)在某个区间内恒有f′(x)＝0，则f(x)在此区间内没有单调性．(　 　) (2)若函数f(x)在[a，b]上连续，在(a，b)内f′(x)≤0且f′(x)＝0的根有有限个，则f(x)在(a，b)上单调递减．(　 　) (3)若函数f(x)在定义域上都有f′(x)>0，则f(x)在定义域上一定单调递增．(　 　) (4)函数f(x)＝x－sin x在R上单调递增．(　 　) √ √ × √ 课时分层作业 典例精研·核心考点 链接教材·夯基固本 第2课时　导数与函数的单调性 二、教材经典衍生 1. (人教A版选择性必修第二册P103复习参考题5T3改编) f′(x)是f(x)的导函数，若f′(x)的图象如图所示，则f(x)的图象可能是(　　) √ 课时分层作业 典例精研·核心考点 链接教材·夯基固本 第2课时　导数与函数的单调性 C　[由f′(x)的图象知， 当x∈(－∞，0)时，f′(x)>0，所以f(x)单调递增； 当x∈(0，x1)时，f′(x)<0，所以f(x)单调递减； 当x∈(x1，＋∞)时，f′(x)>0， 所以f(x)单调递增．故选C．] 课时分层作业 典例精研·核心考点 链接教材·夯基固本 第2课时　导数与函数的单调性 2．(人教A版选择性必修第二册P86例1改编)函数f(x)＝cos x－x在(0，π)上的单调性是(　　) A．先增后减 B．先减后增 C．单调递增 D．单调递减 D　[因为f′(x)＝－sin x－1＜0在(0，π)上恒成立，所以f(x)在(0，π)上单调递减．故选D.] √ 课时分层作业 典例精研·核心考点 链接教材·夯基固本 第2课时　导数与函数的单调性 3．(人教A版选择性必修第二册P97 习题5.3T1改编)函数f(x)＝x－ln x的单调递减区间为________. 课时分层作业 典例精研·核心考点 链接教材·夯基固本 第2课时　导数与函数的单调性 4．(人教A版选择性必修第二册P87 例3改编)已知f(x)＝x3－ax在[1，＋∞)上单调递增，则实数a的最大值是________. 3　[f′(x)＝3x2－a≥0，即a≤3x2， 又因为x∈[1，＋∞)，所以a≤3，即a的最大值是3.] 课时分层作业 典例精研·核心考点 链接教材·夯基固本 第2课时　导数与函数的单调性 典例精研·核心考点 　 考点一　不含参数的函数的单调性 [典例1]　(1)(2025·菏泽调研)下列函数在(0，＋∞)上单调递增的是(　　) A．f(x)＝sin 2x　 B．f(x)＝xex C．f(x)＝x3－x D．f(x)＝－x＋ln x √ 课时分层作业 典例精研·核心考点 链接教材·夯基固本 第2课时　导数与函数的单调性 课时分层作业 典例精研·核心考点 链接教材·夯基固本 第2课时　导数与函数的单调性 课时分层作业 典例精研·核心考点 链接教材·夯基固本 第2课时　导数与函数的单调性 　利用导函数求函数单调区间的注意点 (1)必须先求函数定义域，单调区间是定义域的子集． (2)正确求导函数． (3)当f′(x)＝0无解时，可根据f′(x)的结构特征确定f′(x)的符号． (4)所求函数的单调区间不止一个时，这些区间之间不能用“∪”及“或”连接，只能用“，”及“和”隔开． 课时分层作业 典例精研·核心考点 链接教材·夯基固本 第2课时　导数与函数的单调性 课时分层作业 典例精研·核心考点 链接教材·夯基固本 第2课时　导数与函数的单调性 由h(1)＝0知，当0＜x＜1时，h(x)＞0， 所以f′(x)＞0； 当x＞1时，h(x)＜0，所以f′(x)＜0. 综上，f(x)的单调递增区间是(0,1)．] 课时分层作业 典例精研·核心考点 链接教材·夯基固本 第2课时　导数与函数的单调性 　考点二　含参数的函数的单调性 课时分层作业 典例精研·核心考点 链接教材·夯基固本 第2课时　导数与函数的单调性 课时分层作业 典例精研·核心考点 链接教材·夯基固本 第2课时　导数与函数的单调性 课时分层作业 典例精研·核心考点 链接教材·夯基固本 第2课时　导数与函数的单调性 课时分层作业 典例精研·核心考点 链接教材·夯基固本 第2课时　导数与函数的单调性 [拓展变式]　若将本例中a>0改为a∈R，其他条件不变，试讨论f(x)的单调性． 解：当a>0时，讨论同例题解析； 当a≤0时，ax－1<0， 所以x∈(0,1)时，f′(x)>0；x∈(1，＋∞)时，f′(x)<0，所以函数f(x)在(0,1)上单调递增，在(1，＋∞)上单调递减． 综上，当a≤0时，函数f(x)在(0,1)上单调递增，在(1，＋∞)上单调递减； 课时分层作业 典例精研·核心考点 链接教材·夯基固本 第2课时　导数与函数的单调性 课时分层作业 典例精研·核心考点 链接教材·夯基固本 第2课时　导数与函数的单调性 　(1)对于含参数的函数的单调性，常见的分类讨论点按讨论的先后顺序有以下三个： 分类讨论点1(根的有无讨论)：求导后，考虑f′(x)＝0是否有实数根，从而引起分类讨论； 分类讨论点2(根在不在定义域内讨论)：求导后，f′(x)＝0有实数根，但不清楚f′(x)＝0的实数根是否落在定义域内，从而引起分类讨论； 分类讨论点3(根的大小的讨论)：求导后，f′(x)＝0有实数根，f′(x)＝0的实数根也落在定义域内，但不清楚这些实数根的大小关系，从而引起分类讨论． (2)求出f′(x)后，先观察f′(x)的解析式的特征，当参数取某些特殊值或在某一取值范围内时，f′(x)≥0(≤0)恒成立，再解不等式． 课时分层作业 典例精研·核心考点 链接教材·夯基固本 第2课时　导数与函数的单调性 课时分层作业 典例精研·核心考点 链接教材·夯基固本 第2课时　导数与函数的单调性 课时分层作业 典例精研·核心考点 链接教材·夯基固本 第2课时　导数与函数的单调性 课时分层作业 典例精研·核心考点 链接教材·夯基固本 第2课时　导数与函数的单调性 √ 　 考点三　函数单调性的应用 　比较大小或解不等式 [典例3]　(1) 已知a<5且ae5＝5ea，b<4且be4＝4eb，c<3且ce3＝3ec，则(　　) A．c<b<a B．b<c<a C．a<c<b D．a<b<c (2)已知定义在(0，＋∞)上的函数f(x)满足xf′(x)－f(x)>0，且f(1)＝2，则f(ex)>2ex的解集为(　　) A．(0，＋∞) B．(ln 2，＋∞) C．(1，＋∞) D．(0,1) √ 课时分层作业 典例精研·核心考点 链接教材·夯基固本 第2课时　导数与函数的单调性 (1)D　(2)A　[(1)由题意得0<a<5,0<b<4,0<c<3. 即f(5)＝f(a)，而0<a<5， 故0<a<1.同理0<b<1,0<c<1，f(4)＝f(b)，f(3)＝f(c)． 因为f(5)>f(4)>f(3)，所以f(a)>f(b)>f(c)，所以0<a<b<c<1.故选D. 课时分层作业 典例精研·核心考点 链接教材·夯基固本 第2课时　导数与函数的单调性 课时分层作业 典例精研·核心考点 链接教材·夯基固本 第2课时　导数与函数的单调性 　灵活构造函数，利用函数单调性比较大小或解抽象不等式． 课时分层作业 典例精研·核心考点 链接教材·夯基固本 第2课时　导数与函数的单调性 　求参数的取值范围 因为函数g(x)在[1,2]上单调递增， 所以g′(x)≥0在[1,2]上恒成立， 课时分层作业 典例精研·核心考点 链接教材·夯基固本 第2课时　导数与函数的单调性 所以a≥－2x2－x在[1,2]上恒成立， 所以a≥(－2x2－x)max，x∈[1,2]． 在[1,2]上，(－2x2－x)max＝－3， 所以a≥－3， 所以实数a的取值范围是[－3，＋∞)． 课时分层作业 典例精研·核心考点 链接教材·夯基固本 第2课时　导数与函数的单调性 (2)g(x)在[1,2]上存在单调递增区间， 则g′(x)＞0在[1,2]上有解， 即a＞－2x2－x在[1,2]上有解， 所以a＞(－2x2－x)min. 又(－2x2－x)min＝－10，所以a＞－10. 所以实数a的取值范围为(－10，＋∞)． 课时分层作业 典例精研·核心考点 链接教材·夯基固本 第2课时　导数与函数的单调性 [拓展变式]　(1)(变条件)若函数g(x)在区间[1,2]上单调递减，求实数a的取值范围； (2)(变条件)若函数g(x)在区间[1,2]上不单调，求实数a的取值范围． t＝－2x2－x取得最小值－10. 所以a≤－10， 即实数a的取值范围为(－∞，－10]． 课时分层作业 典例精研·核心考点 链接教材·夯基固本 第2课时　导数与函数的单调性 (2)因为函数g(x)在区间[1,2]上不单调， 所以g′(x)＝0在区间(1,2)内有解， 所以y＝－2x2－x在(1,2)上的值域为(－10，－3)，所以实数a的取值范围为(－10，－3)． 课时分层作业 典例精研·核心考点 链接教材·夯基固本 第2课时　导数与函数的单调性 　根据函数单调性求参数的一般思路 (1)利用集合间的包含关系处理：y＝f(x)在(a，b)上单调，则区间(a，b)是相应单调区间的子集． (2)f(x)在区间(a，b)上单调递增的充要条件是对任意的x∈(a，b)都有f′(x)≥0，且在(a，b)内的任一非空子区间上，f′(x)不恒为零．应注意此时式子中的等号不能省略，否则漏解，但有时等号取不到或f′(x)＝0恒成立． (3)函数在某个区间上存在单调区间可转化为不等式有解问题． 课时分层作业 典例精研·核心考点 链接教材·夯基固本 第2课时　导数与函数的单调性 √ [跟进训练] 3．(1)若函数f(x)＝loga(ax－x3)(a>0且a≠1)在区间(0,1)内单调递增，则a的取值范围是(　　) A．[3，＋∞) B．(1,3] (2)设函数f(x)，g(x)在R上的导函数存在，且f′(x)<g′(x)，则当x∈(a，b)时，(　　) A．f(x)<g(x) B．f(x)>g(x) C．f(x)＋g(a)<g(x)＋f(a) D．f(x)＋g(b)<g(x)＋f(b) √ 课时分层作业 典例精研·核心考点 链接教材·夯基固本 第2课时　导数与函数的单调性 (1)A　(2)C　[(1)令μ＝g(x)＝ax－x3，则g′(x)＝a－3x2， 课时分层作业 典例精研·核心考点 链接教材·夯基固本 第2课时　导数与函数的单调性 此时g(x)在(0,1)上单调递增，则g(x)>g(0)＝0恒成立． 课时分层作业 典例精研·核心考点 链接教材·夯基固本 第2课时　导数与函数的单调性 (2)设h(x)＝f(x)－g(x)， 则h′(x)＝f′(x)－g′(x)<0， 所以h(x)在R上单调递减． 因为a<x<b，所以h(a)>h(x)>h(b)， 即f(a)－g(a)>f(x)－g(x)>f(b)－g(b)， 所以f(x)＋g(a)<g(x)＋f(a)，f(x)＋g(b)>g(x)＋f(b)，即选项C正确，D错误，而选项A和B无法判断． 故选C．] 课时分层作业 典例精研·核心考点 链接教材·夯基固本 第2课时　导数与函数的单调性 (0,1)　[函数f(x)的定义域为{x|x＞0}，由f′(x)＝1－＜0，得0＜x＜1， 所以函数f(x)的单调递减区间为(0,1)．] (2)讨论函数f(x)＝sin x－x2－xcos x在上的单调性． (1)B　[对于A，f′(x)＝2cos 2x，f′＝－1＜0，不符合题意； 对于B，f′(x)＝(x＋1)ex＞0在(0，＋∞)上恒成立，符合题意； 对于C，f′(x)＝3x2－1，f′＝－＜0，不符合题意； 对于D，f′(x)＝－1＋，f′(2)＝－＜0，不符合题意．] (2)解：因为f(x)＝sin x－x2－xcos x， 所以f′(x)＝x(sin x－1)． 因为当－<x<时，sin x＜1， 所以当x∈时，f′(x)＜0， 当x∈时，f′(x)＞0， 所以f(x)在上单调递增，在上单调递减． [跟进训练] 1．(1)函数f(x)＝的单调递减区间为________； (2)函数f(x)＝的单调递增区间为________. (1)(－∞，0)和　(2)(0,1)　[(1)因为f(x)＝，所以f′(x)＝＝， 令f′(x)<0，得x<0或x>， 所以函数f(x)的单调递减区间为(－∞，0)和. (2)由题意知f′(x)＝(x＞0)． 设h(x)＝－ln x－1(x＞0)，则h′(x)＝－－＜0，所以h(x)在(0，＋∞)上单调递减． [典例2]　已知函数f(x)＝ax2－(a＋1)x＋ln x，a>0，试讨论函数y＝f(x)的单调性． 解：函数的定义域为(0，＋∞)， f′(x)＝ax－(a＋1)＋＝＝. ①当0<a<1时，>1， 所以x∈(0,1)∪时，f′(x)>0； x∈时，f′(x)<0， 所以函数f(x)在(0,1)和上单调递增，在上单调递减． ②当a＝1时，＝1，所以f′(x)≥0在(0，＋∞)上恒成立， 所以函数f(x)在(0，＋∞)上单调递增． ③当a>1时，0<<1， 所以x∈∪(1，＋∞)时，f′(x)>0； x∈时，f′(x)<0， 所以函数f(x)在和(1，＋∞)上单调递增，在上单调递减． 综上，当0<a<1时，函数f(x)在(0,1)和上单调递增，在上单调递减； 当a＝1时，函数f(x)在(0，＋∞)上单调递增； 当a>1时，函数f(x)在和(1，＋∞)上单调递增，在上单调递减． 当0<a<1时，函数f(x)在(0,1)和上单调递增，在上单调递减； 当a＝1时，函数f(x)在(0，＋∞)上单调递增； 当a>1时，函数f(x)在和(1，＋∞)上单调递增，在上单调递减． [跟进训练] 2．讨论函数f(x)＝－x＋aln x的单调性． 解：f(x)的定义域为(0，＋∞)， f′(x)＝－－1＋＝－. 设y＝x2－ax＋1，其图象过定点(0,1)，开口向上，对称轴为x＝， ①当≤0，即a≤0时，f′(x)＜0， 所以f(x)在(0，＋∞)上单调递减． ②当＞0，即a＞0时， 令x2－ax＋1＝0，Δ＝a2－4， (i)当Δ≤0，即0＜a≤2时，f′(x)≤0，f(x)在(0，＋∞)上单调递减． 故0＜a≤2时，f(x)在(0，＋∞)上单调递减． (ii)当Δ＞0，即a＞2时，令f′(x)＝0，得 x＝或x＝. 当x∈∪时，f′(x)<0； 当x∈时，f′(x)>0. 所以f(x)在，上单调递减，在上单调递增． 综上，当a≤2时，f(x)在(0，＋∞)上单调递减； 当a＞2时，f(x)在，上单调递减，在上单调递增． 令f(x)＝(x>0)，则f′(x)＝， 当0<x<1时，f′(x)<0；当x>1时，f′(x)>0， 故f(x)在(0,1)上单调递减，在(1，＋∞)上单调递增．因为ae5＝5ea，所以＝， (2)设g(x)＝，x>0， 因为xf′(x)－f(x)>0，所以g′(x)＝>0， 所以g(x)在(0，＋∞)上单调递增． 因为f(1)＝2，所以g(1)＝＝2. 由f(ex)>2ex，且ex>0得>2， 则g(ex)＝>2＝g(1)， 所以ex>1＝e0， 所以x∈(0，＋∞)．故选A．] [典例4]　(2025·青岛模拟)已知函数g(x)＝2x＋ln x－. (1)若函数g(x)在区间[1,2]上单调递增，求实数a的取值范围； (2)若g(x)在区间[1,2]上存在单调递增区间，求实数a的取值范围． 解：(1)g(x)＝2x＋ln x－(x>0), g′(x)＝2＋＋(x>0)． 即2＋＋≥0在[1,2]上恒成立， 解：(1)依题意g′(x)＝2＋＋在[1,2]上满足g′(x)≤0恒成立，所以当x∈[1,2]时，a≤－2x2－x恒成立， 又t＝－2x2－x＝－22＋，x∈[1,2]是减函数，所以当x＝2时， 则a＝－2x2－x＝－22＋在(1,2)内有解，易知该函数在(1,2)上单调递减， C． D． 当x>或x<－时，g′(x)<0，当－<x<时，g′(x)>0， 所以g(x)在和上单调递减，在上单调递增． 当a>1时，y＝logaμ为增函数，且函数f(x)在区间(0,1)内单调递增， 所以 解得a≥3， 当0<a<1时，y＝logaμ为减函数，且函数f(x)在区间(0,1)内单调递增，所以无解． 综上所述，a的取值范围是[3，＋∞)．故选A． $$