18 第二章 第11课时 函数模型的应用-【名师导航】2026年高考数学一轮总复习课件（人教A版）

第二章　函数的概念与性质 第11课时　函数模型的应用 [考试要求]　1.了解指数函数、对数函数与一次函数增长速度的差异.2.理解“指数爆炸”“对数增长”“直线上升”等术语的含义.3.会选择合适的函数模型刻画现实问题的变化规律，了解函数模型在社会生活中的广泛应用． 第11课时　函数模型的应用 链接教材·夯基固本 1．指数、对数、幂函数模型性质比较 　　函数 性质　　 y＝ax(a>1) y＝logax(a>1) y＝xn (n>0) 在(0，＋∞) 上的增减性 单调______ 单调______ 单调递增 增长速度 越来______ 越来______ 相对平稳 图象的变化 随x的增大逐渐表现为与______平行 随x的增大逐渐表现为与______平行 随n值变化而各有不同 递增 递增 越快 越慢 y轴 x轴 课时分层作业 典例精研·核心考点 链接教材·夯基固本 第11课时　函数模型的应用 2．几种常见的函数模型 函数模型 函数解析式 一次函数模型 f(x)＝ax＋b(a，b为常数，a≠0) 二次函数模型 f(x)＝ax2＋bx＋c(a，b，c为常数，a≠0) 与指数函数 相关的模型 f(x)＝bax＋c(a，b，c为常数，a>0且a≠1，b≠0) 与对数函数 相关的模型 f(x)＝blogax＋c(a，b，c为常数，a>0且a≠1，b≠0) 与幂函数相 关的模型 f(x)＝axn＋b(a，b，n为常数，a≠0) 课时分层作业 典例精研·核心考点 链接教材·夯基固本 第11课时　函数模型的应用 [常用结论] 1．“直线上升”是匀速增长，其增长量固定不变；“指数增长”先慢后快，其增长量成倍增加，常用“指数爆炸”来形容；“对数增长”先快后慢，其增长量越来越小． 课时分层作业 典例精研·核心考点 链接教材·夯基固本 第11课时　函数模型的应用 一、易错易混辨析(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)函数y＝2x的函数值比y＝x2的函数值大．(　 　) (2)在(0，＋∞)上，随着x的增大，y＝ax(a＞1)的增长速度会超过并远远大于y＝xa(a＞1)的增长速度．(　 　) (3)“指数爆炸”是指数型函数y＝a·bx＋c(a≠0，b＞0且b≠1)增长速度越来越快的形象比喻．(　 　) × √ × 课时分层作业 典例精研·核心考点 链接教材·夯基固本 第11课时　函数模型的应用 二、教材经典衍生 1．(人教A版必修第一册P138探究改编)当x越来越大时，下列函数中增长速度最快的是(　　) A．y＝2x　　　　 B．y＝lg x C．y＝x2 D．y＝2x D　[结合函数的性质可知，几种函数模型中，指数函数的增长速度最快．] √ 课时分层作业 典例精研·核心考点 链接教材·夯基固本 第11课时　函数模型的应用 2．(人教A版必修第一册P148例3改编)根据一组试验数据画出的散点图如图所示． 现有如下4个模拟函数： ①y＝0.6x－0.12；②y＝2x－2.02； ③y＝x2－5.4x＋6；④y＝log2x. 请从中选择一个模拟函数，使它能近似地反映这些数据的规律，应选 ________(填序号)． ④　[由题图可知，上述点大体在函数y＝log2x的图象上，故选择y＝log2x可以近似地反映这些数据的规律．] 课时分层作业 典例精研·核心考点 链接教材·夯基固本 第11课时　函数模型的应用 课时分层作业 典例精研·核心考点 链接教材·夯基固本 第11课时　函数模型的应用 4．(人教A版必修第一册P72练习T2改编)某城市客运公司确定客运票价格的方法是：如果行程不超过100 km，票价是0.5元/km，如果超过100 km，超过100 km的部分按0.4元/km定价．则客运票价y(元)与 行程x(km)之间的函数关系式是______________________ 课时分层作业 典例精研·核心考点 链接教材·夯基固本 第11课时　函数模型的应用 典例精研·核心考点 　 考点一　用函数图象刻画实际问题 [典例1]　(1) 高为H，满缸水量为V的鱼缸的轴截面如图所示，若鱼缸水深为h时水的体积为v，则函数v＝f(h)的大致图象是(　　) √ 课时分层作业 典例精研·核心考点 链接教材·夯基固本 第11课时　函数模型的应用 (2)如图是根据2009年6月发布的《中国7岁以下儿童生长发育参照标准》绘制的我国7岁以下女童身高(长)的中位数散点图，下列可近似刻画身高y(单位：cm)随年龄x(单位：岁)变化规律的函数模型是(　　) A．y＝mx＋n(m>0) √ 课时分层作业 典例精研·核心考点 链接教材·夯基固本 第11课时　函数模型的应用 (1)B　(2)B　[(1)由题图可知水深h越大，水的体积v就越大，故函数v＝f(h)是个增函数，故排除A，C项，由鱼缸形状可知，下面细中间粗，上面较细，所以随着水深的增加，体积的变化的速度是先慢后快再慢的，所以B正确．故选B. (2)A选项，由散点图知身高y随时间x变化不是线性增长，故A错误；C选项，指数函数模型中y随x增长越来越快，与图象不符合；D选项，对数函数模型在x＝0时没有意义；B选项符合散点图中y随x增长越来越慢，且在x＝0时有意义．故选B.] 课时分层作业 典例精研·核心考点 链接教材·夯基固本 第11课时　函数模型的应用 　判断函数图象与实际问题变化过程是否吻合的两种方法 (1)构建函数模型法：当根据题意容易构建函数模型时，先建立函数模型，再结合模型选图象． (2)验证法：根据实际问题中两变量的变化快慢等特点，结合图象的变化趋势，验证是否吻合，从中排除不符合实际的情况，选出符合实际的情况． 课时分层作业 典例精研·核心考点 链接教材·夯基固本 第11课时　函数模型的应用 课时分层作业 典例精研·核心考点 链接教材·夯基固本 第11课时　函数模型的应用 课时分层作业 典例精研·核心考点 链接教材·夯基固本 第11课时　函数模型的应用 　 考点二　已知函数模型的实际问题 √ 课时分层作业 典例精研·核心考点 链接教材·夯基固本 第11课时　函数模型的应用 课时分层作业 典例精研·核心考点 链接教材·夯基固本 第11课时　函数模型的应用 　已知函数模型解决实际问题的关键 (1)认清所给函数模型，弄清哪些量为待定系数． (2)根据已知利用待定系数法，确定模型中的待定系数． (3)利用该函数模型，借助函数的性质、导数等求解实际问题，并进行检验． 课时分层作业 典例精研·核心考点 链接教材·夯基固本 第11课时　函数模型的应用 [跟进训练] 2．住房的许多建材都会释放甲醛．甲醛是一种无色、有着刺激性气味的气体，对人体健康有着极大的危害．新房入住时，空气中甲醛浓度不能超过0.08 mg/m3，否则，该新房达不到安全入住的标准．若某套住房自装修完成后，通风x(x＝1,2,3，…，50)周与室内甲醛浓度y(单位：mg/m3)之间近似满足函数关系式y＝0.48－0.1f(x)(x∈N*)，其中f(x)＝loga[k(x2＋2x＋1)](k>0，x＝1,2,3，…，50)，且f(2)＝2，f(8)＝3，则该住房装修完成后要达到安全入住的标准，至少需要通风(　　) A．17周　 B．24周　 C．28周　 D．26周 √ 课时分层作业 典例精研·核心考点 链接教材·夯基固本 第11课时　函数模型的应用 D　[f(x)＝loga[k(x＋1)2]＝logak＋2loga(x＋1)，由f(2)＝2，f(8)＝3，得logak＋2loga(2＋1)＝2，logak＋2loga(8＋1)＝3，两式相减得loga9＝1，则a＝9，所以logak＋2＝3，k＝9.该住房装修完成后要达到安全入住的标准，则0.48－0.1f(x)≤0.08，则f(x)≥4，即1＋2log9(x＋1)≥4，解得x≥26，故至少需要通风26周．故选D.] 课时分层作业 典例精研·核心考点 链接教材·夯基固本 第11课时　函数模型的应用 　 考点三　构建函数模型的实际问题 (1)写出年利润L(x)(万元)关于年产量x(万件)的函数解析式；(注：年利润＝年销售收入－年固定成本－流动成本) (2)年产量为多少万件时，小王在这一商品的生产中所获年利润最大？最大年利润是多少？ 课时分层作业 典例精研·核心考点 链接教材·夯基固本 第11课时　函数模型的应用 课时分层作业 典例精研·核心考点 链接教材·夯基固本 第11课时　函数模型的应用 即x＝10时，L(x)取得最大值，最大值为15万元． 因为9＜15，所以当年产量为10万件时，小王在这一商品的生产中所获年利润最大，最大年利润为15万元． 课时分层作业 典例精研·核心考点 链接教材·夯基固本 第11课时　函数模型的应用 　构建函数模型解决实际问题时需注意以下四个步骤 课时分层作业 典例精研·核心考点 链接教材·夯基固本 第11课时　函数模型的应用 [跟进训练] 3．酒驾是严重危害交通安全的违法行为．为了保障交通安全，根据国家有关规定：100 mL血液中酒精含量达到20～79 mg的驾驶员即为酒后驾车，80 mg及以上认定为醉酒驾车．假设某驾驶员喝了一定量酒后，其血液中的酒精含量上升到了1 mg/mL.如果在停止喝酒以后，他血液中酒精含量会以每小时20%的速度减少，那么他至少经过几小时才能驾驶汽车？(参考数据lg 2≈0.301)(　　) A．5 B．6 C．7 D．8 √ 课时分层作业 典例精研·核心考点 链接教材·夯基固本 第11课时　函数模型的应用 课时分层作业 典例精研·核心考点 链接教材·夯基固本 第11课时　函数模型的应用 2．“对勾”函数f(x)＝x＋(a>0)在(0，＋∞)上的性质：在(0，]上单调递减，在[，＋∞)上单调递增，当x＝时f(x)取最小值2. 3．(人教A版必修第一册P86 T4改编)某超市的某种商品的日利润y(单位：元)与该商品的当日单价x(单位：元)之间的关系式为y＝－＋12x－210，那么，单价为______元时，该商品的日利润最大，最大日利润为_______元． 150　690　[因为y＝－＋12x－210＝－(x－150)2＋690，所以当x＝150，即当日售价为150元时，该商品的最大利润为690元．] y＝ B．y＝m＋n(m>0) C．y＝max＋n(m>0，a>1) D．y＝mlogax＋n(m＞0，a＞1) [跟进训练] 1．在西南高寒山区一种常见树的生长周期中前10年的生长规律研究中，统计显示，生长4年的树高为 m，如图所示的散点图记录了样本树的生长时间t(年)与树高y(m)之间的关系．请你据此判断，在下列函数模型：①y＝2t－a；②y＝a＋log2t；③y＝t＋a；④y＝＋a中(其中a为正的常数)，生长时间与树高的关系拟合最好的是_____(填写序号)，估计该树生长8年的树高为_____m. ②　　[由散点图的走势，知模型①不合适． 曲线过点，则后三个模型的解析式分别为②y＝＋log2t；③y＝t＋；④y＝＋，当t＝1时，代入④中，得y＝，与散点图不符，易知拟合最好的是②. 将t＝8代入②式，得y＝＋log28＝(m)．] [典例2]　(2024·北京高考)生物丰富度指数d＝是河流水质的一个评价指标，其中S，N分别表示河流中的生物种类数与生物个体总数．生物丰富度指数d越大，水质越好．若某河流治理前后的生物种类数S没有变化，生物个体总数由N1变为N2，生物丰富度指数由2.1提高到3.15，则(　　) A．3N2＝2N1 B．2N2＝3N1 C．N＝N D．N＝N D　[由题意，得＝2.1，＝3.15.若S不变，则2.1ln N1＝3.15ln N2，即2ln N1＝3ln N2，所以N＝N.] [典例3]　(2025·临沂模拟)小王大学毕业后，决定利用所学专业进行自主创业．经过市场调查，生产某小型电子产品需投入年固定成本为3万元，每生产x万件，需另投入流动成本W(x)万元，在年产量不足8万件时，W(x)＝x2＋x；在年产量不小于8万件时，W(x)＝6x＋－38.每件商品售价为5元．通过市场分析，小王生产的商品当年能全部售完． 解：(1)因为每件商品售价为5元，则x万件商品销售收入为5x万元， 依题意得，当0＜x＜8时，L(x)＝5x－－3＝－x2＋4x－3； 当x≥8时，L(x)＝5x－－3＝35－. 所以L(x)＝ (2)当0＜x＜8时，L(x)＝－(x－6)2＋9，即当x＝6时，L(x)取得最大值，最大值为9万元； 当x≥8时，L(x)＝35－≤35－2＝35－20＝15，当且仅当x＝，即x＝10时等号成立， D　[设该驾驶员x小时后100 mL血液中酒精含量为y mg，则y＝100(1－20%)x＝100×0.8x，当y＝20时，100×0.8x＝20，即0.8x＝0.2， 所以x＝log0.80.2＝＝＝≈≈7.206.故选D.] $$