17 第二章 第10课时 微点突破1 嵌套函数的零点问题-【名师导航】2026年高考数学一轮总复习课件（人教A版）

第二章　函数的概念与性质 第10课时　函数的零点与方程的解 [考试要求]　1.理解函数的零点与方程的解的联系.2.理解函数零点存在定理，并能简单应用.3.了解用二分法求方程的近似解． 第10课时　函数的零点与方程的解 链接教材·夯基固本 1．函数的零点与方程的解 (1)函数零点的概念 对于一般函数y＝f(x)，我们把使_________的实数x叫做函数y＝f(x)的零点． (2)函数零点与方程实数解的关系 方程f(x)＝0有实数解⇔函数y＝f(x)有______⇔函数y＝f(x)的图象与_____有公共点． f(x)＝0 零点 x轴 课时分层作业 典例精研·核心考点 链接教材·夯基固本 微点突破 第10课时　函数的零点与方程的解 (3)函数零点存在定理 如果函数y＝f(x)在区间[a，b]上的图象是一条_________的曲线，且有__________，那么，函数y＝f(x)在区间_______内至少有一个零点，即存在c∈(a，b)，使得_______，这个c也就是方程f(x)＝0的解． 提醒：函数f(x)的零点不是一个“点”，而是方程f(x)＝0的实根． 连续不断 f(a)f(b)<0 (a，b) f(c)＝0 课时分层作业 典例精研·核心考点 链接教材·夯基固本 微点突破 第10课时　函数的零点与方程的解 2．二分法 对于在区间[a，b]上图象_________且___________的函数y＝f(x)，通过不断地把函数f(x)的零点所在区间一分为二，使所得区间的两个端点逐步逼近______，进而得到零点近似值的方法叫做二分法，二分法只能求变号零点． 连续不断 f(a)f(b)<0 零点 课时分层作业 典例精研·核心考点 链接教材·夯基固本 微点突破 第10课时　函数的零点与方程的解 [常用结论] 1．若连续不断的函数f(x)在(a，b)上是单调函数，而且f(a)f(b)<0，则f(x)在(a，b)上有且仅有一个零点． 2．由函数y＝f(x)(图象是连续不断的)在闭区间[a，b]上有零点不一定能推出f(a)·f(b)<0，如图所示，所以f(a)·f(b)<0是y＝f(x)在闭区间[a，b]上有零点的充分不必要条件. 课时分层作业 典例精研·核心考点 链接教材·夯基固本 微点突破 第10课时　函数的零点与方程的解 一、易错易混辨析(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)函数的零点就是函数的图象与x轴的交点．(　 　) (2)若函数y＝f(x)在区间(a，b)内有零点(函数图象连续不断)，则f(a)·f(b)＜0.(　 　) (3)若函数y＝f(x)为R上的单调函数，则f(x)有且仅有一个零点．(　　) (4)只要函数有零点，我们就可以用二分法求出零点的近似值．(　　) × × × × 课时分层作业 典例精研·核心考点 链接教材·夯基固本 微点突破 第10课时　函数的零点与方程的解 二、教材经典衍生 1．(人教A版必修第一册P155习题4.5T1改编)下列函数图象与x轴均有交点，其中不能用二分法求图中函数零点的是(　　) A　[根据二分法的概念可知选项A中函数不能用二分法求零点．] √ 课时分层作业 典例精研·核心考点 链接教材·夯基固本 微点突破 第10课时　函数的零点与方程的解 2．(多选) (人教A版必修第一册P155习题4.5T2改编)已知函数f(x)的图象是连续不断的，且有如下对应值表： √ x 1 2 3 4 5 6 7 f(x) －4 －2 1 4 2 －1 －3 在下列区间中，函数f(x)必有零点的区间为(　　) A．(1,2)　　　　　　 B．(2,3) C．(5,6) D．(5,7) BCD　[由所给的函数值表知， f(1)f(2)>0，f(2)f(3)<0，f(5)f(6)<0，f(5)f(7)<0，所以函数f(x)必有零点的区间为(2,3)，(5,6)，(5,7)．故选BCD.] √ √ 课时分层作业 典例精研·核心考点 链接教材·夯基固本 微点突破 第10课时　函数的零点与方程的解 A．b>c>a B．a>b>c C．c>b>a D．c>a>b √ 课时分层作业 典例精研·核心考点 链接教材·夯基固本 微点突破 第10课时　函数的零点与方程的解 课时分层作业 典例精研·核心考点 链接教材·夯基固本 微点突破 第10课时　函数的零点与方程的解 课时分层作业 典例精研·核心考点 链接教材·夯基固本 微点突破 第10课时　函数的零点与方程的解 典例精研·核心考点 　考点一　判定函数零点所在的区间 √ [典例1]　函数f(x)＝2x＋log2x的零点所在区间是(　　) 微点突破 典例精研·核心考点 链接教材·夯基固本 课时分层作业 第10课时　函数的零点与方程的解 [四字解题] 微点突破 典例精研·核心考点 链接教材·夯基固本 课时分层作业 第10课时　函数的零点与方程的解 A　[法一(定理法)：因为y＝2x，y＝log2x在(0，＋∞)上单调递增，所以f(x)＝2x＋log2x在(0，＋∞)上单调递增，所以f(x)至多有一个零点． 微点突破 典例精研·核心考点 链接教材·夯基固本 课时分层作业 第10课时　函数的零点与方程的解 微点突破 典例精研·核心考点 链接教材·夯基固本 课时分层作业 第10课时　函数的零点与方程的解 　确定函数零点所在区间的常用方法 (1)利用函数零点存在定理：首先看函数y＝f(x)在区间[a，b]上的图象是否连续，若连续，则再看是否有f(a)·f(b)<0.若有，则函数y＝f(x)在区间(a，b)内必有零点． (2)数形结合法：通过画函数图象，观察图象与x轴在给定区间上是否有交点． 微点突破 典例精研·核心考点 链接教材·夯基固本 课时分层作业 第10课时　函数的零点与方程的解 [跟进训练] 1．(1)若a<b<c，则函数f(x)＝(x－a)(x－b)＋(x－b)(x－c)＋(x－c)(x－a)的两个零点分别位于区间(　　) A．(a，b)和(b，c)内 B．(－∞，a)和(a，b)内 C．(b，c)和(c，＋∞)内 D．(－∞，a)和(c，＋∞)内 (2)已知函数f(x)＝logax＋x－b(a>0且a≠1)．当2<a<3<b<4时，函数f(x)的零点x0∈(n，n＋1)，n∈N*，则n＝________. √ 微点突破 典例精研·核心考点 链接教材·夯基固本 课时分层作业 第10课时　函数的零点与方程的解 (1)A　(2)2　[(1)函数y＝f(x)是图象开口向上的二次函数，最多有两个零点，由于a<b<c，则a－b<0，a－c<0，b－c<0，因此f(a)＝(a－b)(a－c)>0，f(b)＝(b－c)(b－a)<0，f(c)＝(c－a)(c－b)>0.所以f(a)·f(b)<0，f(b)f(c)<0，即f(x)在区间(a，b)和区间(b，c)内各有一个零点． (2)对于函数y＝logax，当x＝2时，可得y<1，当x ＝3时，可得y>1，在同一坐标系中画出函数y＝ loga x，y＝－x＋b的图象，判断出两个函数图象 的交点的横坐标在(2,3)内，所以函数f(x)的零点 x0∈(n，n＋1)时，n＝2. 微点突破 典例精研·核心考点 链接教材·夯基固本 课时分层作业 第10课时　函数的零点与方程的解 　考点二　确定函数零点的个数 √ A．1　　 B．2 C．3　　 D．4 微点突破 典例精研·核心考点 链接教材·夯基固本 课时分层作业 第10课时　函数的零点与方程的解 A．8　　 B．7 C．5　　 D．2 √ 微点突破 典例精研·核心考点 链接教材·夯基固本 课时分层作业 第10课时　函数的零点与方程的解 微点突破 典例精研·核心考点 链接教材·夯基固本 课时分层作业 第10课时　函数的零点与方程的解 微点突破 典例精研·核心考点 链接教材·夯基固本 课时分层作业 第10课时　函数的零点与方程的解 　求解函数零点个数的基本方法 (1)直接法：令f(x)＝0，方程有多少个解，则f(x)有多少个零点； (2)定理法：利用定理时往往还要结合函数的单调性、奇偶性等； (3)图象法：一般是把函数拆分为两个简单函数，依据两函数图象的交点个数得出函数的零点个数． 微点突破 典例精研·核心考点 链接教材·夯基固本 课时分层作业 第10课时　函数的零点与方程的解 (2)(2021·北京高考)已知f(x)＝|lg x|－kx－2，给出下列四个结论： ①若k＝0，则f(x)有两个零点； ②∃k＜0，使得f(x)有一个零点； ③∃k＜0，使得f(x)有三个零点； ④∃k＞0，使得f(x)有三个零点． 以上正确结论的序号是________. 微点突破 典例精研·核心考点 链接教材·夯基固本 课时分层作业 第10课时　函数的零点与方程的解 (1)6　(2)①②④　[(1)因为f(x)＝f(x＋4)，所以y＝f(x)的周期T＝4， 微点突破 典例精研·核心考点 链接教材·夯基固本 课时分层作业 第10课时　函数的零点与方程的解 (2)将f(x)＝|lg x|－kx－2转化成两个函数y1＝|lg x|，y2＝kx＋2图象的交点问题． 对于①，当k＝0时，|lg x|＝2，两函数图象有两个交点，①正确； 对于②，存在k＜0，使y1＝|lg x|与y2＝kx＋2相切，②正确； 对于③，若k＜0，y1＝|lg x|与y2＝kx＋2最多有2个交点，③错误； 对于④，当k＞0时，过点(0,2)存在函数g(x)＝lg x(x＞1)的切线，此时共有两个交点，当直线斜率稍微小于相切时的斜率时，就会有3个交点，故④正确．] 微点突破 典例精研·核心考点 链接教材·夯基固本 课时分层作业 第10课时　函数的零点与方程的解 √ 　 考点三　函数零点的应用 　根据函数零点个数求参数 [典例3]　(2024·新高考Ⅰ卷)设函数f(x)＝a(x＋1)2－1，g(x)＝cos x＋2ax.当x∈(－1,1)时，曲线y＝f(x)与y＝g(x)恰有一个交点，则a＝(　　) 微点突破 典例精研·核心考点 链接教材·夯基固本 课时分层作业 第10课时　函数的零点与方程的解 D　[法一：令f(x)＝g(x)， 即a(x＋1)2－1＝cos x＋2ax，可得ax2＋a－1＝cos x， 令f(x)＝ax2＋a－1，g(x)＝cos x. 原题等价于当x∈(－1,1)时，曲线y＝f(x)与y＝g(x)恰有一个交点， 易知f(x)，g(x)均为偶函数，所以该交点只能在y轴上． 由F(0)＝G(0)，即a－1＝1，解得a＝2. 若a＝2，令f(x)＝g(x)，可得2x2＋1－cos x＝0. 因为x∈(－1,1)，所以2x2≥0,1－cos x≥0，当且仅当x＝0时，等号成立． 微点突破 典例精研·核心考点 链接教材·夯基固本 课时分层作业 第10课时　函数的零点与方程的解 可得2x2＋1－cos x≥0，当且仅当x＝0时，等号成立， 因此方程2x2＋1－cos x＝0有且仅有一个实根0，即曲线y＝f(x)与y＝g(x)恰有一个交点，所以a＝2符合题意． 综上所述，a＝2. 微点突破 典例精研·核心考点 链接教材·夯基固本 课时分层作业 第10课时　函数的零点与方程的解 法二：令h(x)＝f(x)－g(x)＝ax2＋a－1－cos x，x∈(－1,1)， 原题等价于h(x)有且仅有一个零点． 因为h(x)的定义域为(－1,1)，关于原点对称，且h(－x)＝a(－x)2＋a－1－cos(－x)＝ax2＋a－1－cos x＝h(x)， 所以h(x)为(－1,1)上的偶函数． 根据偶函数的对称性，可知h(x)的零点只能为0，即h(0)＝a－2＝0，解得a＝2. 若a＝2，则h(x)＝2x2＋1－cos x， x∈(－1,1)． 微点突破 典例精研·核心考点 链接教材·夯基固本 课时分层作业 第10课时　函数的零点与方程的解 又因为x∈(－1,1)，所以2x2≥0,1－cos x≥0，当且仅当x＝0时，等号成立． 可得h(x)≥0，当且仅当x＝0时，等号成立，即h(x)有且仅有一个零点0，所以a＝2符合题意．故选D.] 微点突破 典例精研·核心考点 链接教材·夯基固本 课时分层作业 第10课时　函数的零点与方程的解 √ 　根据函数零点范围求参数 [典例4]　 (1)函数f(x)＝log2x＋x2＋m在区间(1,2)上存在零点，则实数m的取值范围是(　　) A．(－∞，－5) B．(－5，－1) C．(1,5) D．(5，＋∞) 微点突破 典例精研·核心考点 链接教材·夯基固本 课时分层作业 第10课时　函数的零点与方程的解 √ 微点突破 典例精研·核心考点 链接教材·夯基固本 课时分层作业 第10课时　函数的零点与方程的解 (1)B　(2)D　[(1)由y1＝log2x在(0，＋∞)上单调递增，y2＝x2＋m在(0，＋∞)上单调递增，得函数f(x)＝log2x＋x2＋m在区间(0，＋∞)上单调递增， 因为函数f(x)＝log2x＋x2＋m在区间(1,2)上存在零点， 微点突破 典例精研·核心考点 链接教材·夯基固本 课时分层作业 第10课时　函数的零点与方程的解 微点突破 典例精研·核心考点 链接教材·夯基固本 课时分层作业 第10课时　函数的零点与方程的解 　已知函数有零点求参数值或取值范围常用的方法和思路 (1)直接法：直接根据题设条件构建关于参数的不等式，再通过解不等式确定参数的取值范围． (2)分离参数法：将参数分离，转化成求函数值域的问题加以解决． (3)数形结合法：先对解析式变形，在同一平面直角坐标系中，画出函数的图象，然后数形结合求解． 微点突破 典例精研·核心考点 链接教材·夯基固本 课时分层作业 第10课时　函数的零点与方程的解 √ [跟进训练] 3．(1)已知函数f(x)是定义在R上的偶函数，对于任意x∈R，都有f(x＋4)＝f(x)，且当x∈[0,2]时，f(x)＝x2－3，若方程f(x)＝logax(a＞0，且a≠1)在区间(0,10)上有5个不同的实数根，则实数a的取值范围为(　　) (2)若函数f(x)＝(m－2)x2＋mx＋2m＋1的两个零点分别在区间(－1,0)和区间(1,2)内，则m的取值范围是________. 微点突破 典例精研·核心考点 链接教材·夯基固本 课时分层作业 第10课时　函数的零点与方程的解 因为f(x)＝logax(a＞0，且a≠1)在区间(0,10)上有5个不同的实数根，所以函数f(x)与y＝logax的图象在(0,10)上有5个交点． 微点突破 典例精研·核心考点 链接教材·夯基固本 课时分层作业 第10课时　函数的零点与方程的解 当a＞1时，如图2所示， 微点突破 典例精研·核心考点 链接教材·夯基固本 课时分层作业 第10课时　函数的零点与方程的解 当0＜a＜1时，如图3所示， 微点突破 典例精研·核心考点 链接教材·夯基固本 课时分层作业 第10课时　函数的零点与方程的解 微点突破 典例精研·核心考点 链接教材·夯基固本 课时分层作业 第10课时　函数的零点与方程的解 微点突破1　嵌套函数的零点问题 函数的零点是命题的热点，常与函数的性质和相关问题交汇．对于嵌套函数的零点，通常先“换元解套”，将复合函数拆解为两个相对简单的函数，借助函数的图象、性质求解． 课时分层作业 典例精析·核心考点 链接教材·夯基固本 微点突破 [赏析]　第一步：换元解套 设t＝f(x)，令f(f(x))－a＝0，则a＝f(t)． 第二步：辅助图形 在同一坐标系内作y＝a，y＝f(t)的图象(如图)． 微点突破 链接教材·夯基固本 典例精研·核心考点 课时分层作业 第10课时　函数的零点与方程的解 第三步：数形结合 当a≥－1时，y＝a与y＝f(t)的图象有两个交点． 设交点的横坐标为t1，t2(不妨设t2＞t1)，则t1＜－1，t2≥－1. 当t1＜－1时，t1＝f(x)有一解； 当t2≥－1时，t2＝f(x)有两解． 第四步：归纳总结 综上，当a≥－1时，函数g(x)＝f(f(x))－a有三个不同的零点． [答案]　[－1，＋∞) 微点突破 链接教材·夯基固本 典例精研·核心考点 课时分层作业 第10课时　函数的零点与方程的解 　该类问题考查复合函数的零点的判断，利用换元法和数形结合思想是解决本类问题的关键．含参数的嵌套函数方程，应注意让参数的取值“动起来”，抓临界位置，动静结合，如本例由y＝a与y＝f(t)的图象，确定t1，t2的取值范围，进而由y＝f(x)与y＝t的图象确定零点的个数． 微点突破 链接教材·夯基固本 典例精研·核心考点 课时分层作业 第10课时　函数的零点与方程的解 √ A．3　　 B．5　　 C．7　　 D．9 微点突破 链接教材·夯基固本 典例精研·核心考点 课时分层作业 第10课时　函数的零点与方程的解 微点突破 链接教材·夯基固本 典例精研·核心考点 课时分层作业 第10课时　函数的零点与方程的解 微点突破 链接教材·夯基固本 典例精研·核心考点 课时分层作业 第10课时　函数的零点与方程的解 设四个交点为t1，t2，t3，t4(t1<t2<t3<t4)，由图象可知t1<0<t2<1<t3<t4， 作出函数y＝t，y＝f(x)的图象如图， 由此可知f(x)与y＝t1无交点，与y＝t2有三个不同交点，与y＝t3，y＝t4各有两个不同交点， 微点突破 链接教材·夯基固本 典例精研·核心考点 课时分层作业 第10课时　函数的零点与方程的解 √ 微点突破 链接教材·夯基固本 典例精研·核心考点 课时分层作业 第10课时　函数的零点与方程的解 微点突破 链接教材·夯基固本 典例精研·核心考点 课时分层作业 第10课时　函数的零点与方程的解 微点突破 链接教材·夯基固本 典例精研·核心考点 课时分层作业 第10课时　函数的零点与方程的解 3．(人教A版必修第一册P160复习参考题4T5(3)改编)已知函数f(x)＝x＋2x，g(x)＝x＋ln x，h(x)＝x－－1的零点分别为a，b，c，则a，b，c的大小关系是(　　) C　[函数f(x)＝x＋2x，g(x)＝x＋ln x，h(x)＝x－－1的零点分别为a，b，c，即函数y1＝2x，y2＝ln x，y3＝－－1与函数y＝－x的交点的横坐标分别为a，b，c，作出图象，结合图象可得c>b>a.故选C． 4．(人教A版必修第一册P160复习参考题4T4改编)已知函数f(x)＝则f(x)的零点为________. －2，e　[由题意得，或 解得x＝－2或x＝e.] A．　　　　　　 B． C．(1,2) D．(2,3) 读 想 算 思 函数零点所在区间的判断问题 定理法 f，f的正负 等价转化、数形结合 图象法 画y＝2x和y＝－log2x的图象 因为f＝2－2<0，f＝2－1>0， 由零点存在定理知，f(x)在上存在零点， 结合选项，因为⊆， 所以f(x)的零点所在区间是.故选A． 法二(图象法)：令f(x)＝0，得2x＝－log2x，作出函数y＝2x和y＝－log2x的图象，如图，显然y＝f(x)在区间内有零点．] [典例2]　(1)(2025·枣庄模拟)已知函数f(x)＝则函数g(x)＝f(x)－的零点个数为(　　) (2)已知函数f(x)＝则关于x的函数y＝4f2(x)－13f(x)＋9的零点个数为(　　) (1)C　(2)B　[(1)令g(x)＝0得f(x)＝， 在同一直角坐标系中作出f(x)及y＝的大致图象如图所示． 由图象可知，函数y＝f(x)与y＝的图象有3个交点，即函数g(x)有3个零点．故选C． (2)根据题意，令4f2(x)－13f(x)＋9＝0，得f(x)＝1或f(x)＝.作出f(x)的简图． 由图象可得当f(x)＝1或f(x)＝时，分别有4个和3个交点，故关于x的函数y＝4f2(x)－13f(x)＋9的零点的个数为7.故选B.] [跟进训练] 2．(1)已知函数y＝f(x)满足：当－2≤x≤2时，f(x)＝－x2＋1，且f(x)＝f(x＋4)对任意x∈R都成立，则方程4f(x)＝|x|的实根个数是______. 如图所示即为函数y＝f(x)的图象，4f(x)＝|x|⇒f(x)＝，作出y＝的图象，观察f(x)与y＝图象有6个交点，则方程4f(x)＝|x|的实根个数是6. A．－1 B． C．1 D．2 (2)已知关于x的方程2x2－mx＋1＝0在上存在两个不同的实数根，则实数m的取值范围为(　　) A．(2,3] B． C． D．(2，3] 所以即解得－5<m<－1， 所以实数m的取值范围是(－5，－1)．故选B. (2)由题意可得，2x2－mx＋1＝0即m＝2x＋在x∈时有2个不同的解， 设f(x)＝2x＋，根据双勾函数的性质可知， f(x)在上单调递减，在上单调递增， 且f＝3，f＝2，f(4)＝， 要使m＝2x＋在x∈时有2个不同的解， 则2<m≤3.故选D.] A．∪[8,10)　　 B．∪[6,10) C．∪(6,10] D．∪(6,10] (1)D　(2)　[(1)由题知函数的周期为4.画出f(x)在区间(0,10)上的图象，如图1所示， 由图象知解得6＜a≤10； 由图象知loga8＞－3，解得0＜a＜. 综上，实数a的取值范围为∪(6,10]． (2)依题意，结合函数f(x)的图象分析可知，m需满足 即 解得<m<.] [典例]　已知函数f(x)＝若函数g(x)＝f(f(x))－a有三个不同的零点，则实数a的取值范围是________. [跟进训练] 1．已知函数f(x)＝则函数F(x)＝f[f(x)]－f(x)－1(e为自然对数的底数)的零点个数为(　　) C　[设f(x)＝t，令F(x)＝0可得f(t)＝t＋1， 对于y＝，y′＝，故y＝在x＝0处切线的斜率值为k1＝1. 设y＝k2x＋1与y＝ln x相切于点(x2，ln x2)， 因为(ln x)′＝，所以切线斜率k2＝，则切线方程为y－ln x2＝(x－x2)， 即y＝·x＋ln x2－1， 所以解得 由于<<1，故作出f(x)与y＝x＋1的图象如图所示， 所以y＝x＋1与f(x)有四个不同交点， 即y＝t＋1与f(t)有四个不同交点． 所以F(x)＝f[f(x)]－f(x)－1的零点个数为7.故选C．] 2．(2025·日照模拟)已知函数f(x)＝|x|＋1，若g(x)＝2f2(x)－(2a＋3)f(x)＋3a有4个零点，则a的取值范围是(　　) A．(1,2) B． C．∪ D．∪ D　[由g(x)＝2f2(x)－(2a＋3)f(x)＋3a＝0，可得[2f(x)－3]·[f(x)－a]＝0， 解得f(x)＝或f(x)＝a.画出f(x)与y＝的图象如图所示， 由图可知，直线y＝与函数f(x)的图象有两个交点， 又因为函数g(x)有四个零点，故直线y＝a与函数f(x)的图象有两个零点，且a≠， 所以1<a<2且a≠. 因此，实数a的取值范围是∪.故选D.] $$