14 第二章 第8课时 对数与对数函数-【名师导航】2026年高考数学一轮总复习课件（人教A版）

第二章　函数的概念与性质 第8课时　对数与对数函数 [考试要求]　1.理解对数的概念及运算性质，能用换底公式将一般对数转化成自然对数或常用对数.2.通过实例，了解对数函数的概念，会画对数函数的图象，理解对数函数的单调性与特殊点.3.了解指数函数y＝ax(a＞0，且a≠1)与对数函数y＝logax(a>0，且a≠1)互为反函数． 第8课时　对数与对数函数 链接教材·夯基固本 1．对数的概念 一般地，如果ax＝N(a>0，且a≠1)，那么数x叫做以a为底N的对数，记作__________，其中___叫做对数的底数，___叫做真数． 以______为底的对数叫做常用对数，log10N记为______.以___为底的对数叫做自然对数，logeN记为______. x＝logaN a N 10 lg N e ln N 课时分层作业 典例精研·核心考点 链接教材·夯基固本 第8课时　对数与对数函数 2．对数的性质与运算性质 (1)对数的性质：loga1＝___，logaa＝___(a＞0，且a≠1)． (2)对数的运算性质：如果a>0，且a≠1，M>0，N>0，那么 ①loga(MN)＝____________； 0 1 logaM＋logaN logaM－logaN nlogaM N 课时分层作业 典例精研·核心考点 链接教材·夯基固本 第8课时　对数与对数函数 3．对数函数 (1)一般地，函数___________(a＞0，且a≠1)叫做对数函数，其中x是自变量，定义域是___________. (2)对数函数的图象与性质 y＝logax (0，＋∞) 课时分层作业 典例精研·核心考点 链接教材·夯基固本 第8课时　对数与对数函数 项目 a>1 0<a<1 定义域 __________ 值域 R 性质 过定点________，即x＝1时，y＝0 当x>1时，______； 当0<x<1时，______ 当x>1时，______； 当0<x<1时，______ 在(0，＋∞)上是___函数 在(0，＋∞)上是___函数 (0，＋∞) (1,0) y>0 y<0 y<0 y>0 增 减 课时分层作业 典例精研·核心考点 链接教材·夯基固本 第8课时　对数与对数函数 4．反函数 指数函数y＝ax(a>0，且a≠1)与对数函数y＝logax(a>0，且a≠1)互为反函数，它们的图象关于直线______对称． y＝x 课时分层作业 典例精研·核心考点 链接教材·夯基固本 第8课时　对数与对数函数 [常用结论] 1．换底公式的三个重要结论 课时分层作业 典例精研·核心考点 链接教材·夯基固本 第8课时　对数与对数函数 2．对数函数的图象与底数大小的关系 如图，作直线y＝1，则该直线与四个函数图象交点的横坐标为相应的底数，故0＜c＜d＜1＜a＜b.由此我们可得到规律：在第一象限内从左到右底数逐渐增大. 课时分层作业 典例精研·核心考点 链接教材·夯基固本 第8课时　对数与对数函数 一、易错易混辨析(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)log2x2＝2log2x.(　 　) (2)函数y＝log2(x＋1)是对数函数．(　 　) × × √ √ 课时分层作业 典例精研·核心考点 链接教材·夯基固本 第8课时　对数与对数函数 课时分层作业 典例精研·核心考点 链接教材·夯基固本 第8课时　对数与对数函数 2．(人教A版必修第一册P135练习T2改编)比较下列两个值的大小： (1)log0.56___log0.54； < ＝ 课时分层作业 典例精研·核心考点 链接教材·夯基固本 第8课时　对数与对数函数 3．(人教A版必修第一册P126练习T3(2)改编)(log43＋log83)·log32＝________. 课时分层作业 典例精研·核心考点 链接教材·夯基固本 第8课时　对数与对数函数 课时分层作业 典例精研·核心考点 链接教材·夯基固本 第8课时　对数与对数函数 典例精研·核心考点 　考点一　对数的运算 [典例1]　(1)(2025·重庆模拟)已知a＝log25,8＝5b，则ab＝__________. (1)3　(2)64　[(1)由8＝5b，得b＝log58，所以ab＝log25·log58＝3log25·log52＝3. 课时分层作业 典例精研·核心考点 链接教材·夯基固本 第8课时　对数与对数函数 5log2a－6＝0， 解得log2a＝－1或log2a＝6. 又因为a>1， 所以log2a＝6，故a＝26＝64.] 课时分层作业 典例精研·核心考点 链接教材·夯基固本 第8课时　对数与对数函数 　解决对数运算问题的常用方法 (1)将真数化为底数的指数幂的形式进行化简． (2)将同底对数的和、差、倍合并． (3)利用换底公式将不同底的对数式转化成同底的对数式，要注意换底公式的正用、逆用及变形应用． 课时分层作业 典例精研·核心考点 链接教材·夯基固本 第8课时　对数与对数函数 [跟进训练] 1．(1)(2025·八省适应性测试)已知函数f(x)＝ax(a>0，a≠1)，若f(ln 2)f(ln 4)＝8，则a＝________. (2)计算：lg 25＋lg 50＋lg 2×lg 500＋(lg 2)2＝________. (1)e　(2)4　[(1)因为f(ln 2)＝aln 2，f(ln 4)＝aln 4，所以f(ln 2)f(ln 4)＝aln 2·aln 4＝aln 2＋ln 4＝a3ln 2＝(aln 2)3＝8，所以aln 2＝2，所以a＝e. 课时分层作业 典例精研·核心考点 链接教材·夯基固本 第8课时　对数与对数函数 (2)原式＝2lg 5＋lg(5×10)＋lg 2×lg(5×102)＋(lg 2)2 ＝2lg 5＋lg 5＋1＋lg 2×(lg 5＋2)＋(lg 2)2 ＝3lg 5＋1＋lg 2×lg 5＋2lg 2＋(lg 2)2 ＝3lg 5＋2lg 2＋1＋lg 2(lg 5＋lg 2) ＝3lg 5＋2lg 2＋1＋lg 2 ＝3(lg 5＋lg 2)＋1 ＝4.] 课时分层作业 典例精研·核心考点 链接教材·夯基固本 第8课时　对数与对数函数 　考点二　对数函数的图象及应用 √ A．一、二象限 B．一、三象限 C．二、四象限 D．三、四象限 √ 课时分层作业 典例精研·核心考点 链接教材·夯基固本 第8课时　对数与对数函数 则当0<a<1时，如图1，函数图象过二、三、四象限； 图1 图2 则当a>1时，如图2，函数图象过一、三、四象限． 课时分层作业 典例精研·核心考点 链接教材·夯基固本 第8课时　对数与对数函数 课时分层作业 典例精研·核心考点 链接教材·夯基固本 第8课时　对数与对数函数 [拓展变式]　将本例(2)中“4x＜logax”变为“关于x的方程4x＝logax有解”，则a的取值范围是________. 课时分层作业 典例精研·核心考点 链接教材·夯基固本 第8课时　对数与对数函数 　对数函数图象的识别及应用方法 (1)在识别函数图象时，要善于利用已知函数的性质、函数图象上的特殊点(与坐标轴的交点、最高点、最低点等)排除不符合要求的选项． (2)一些对数型方程、不等式问题常转化为相应的函数图象问题，利用数形结合法求解． 课时分层作业 典例精研·核心考点 链接教材·夯基固本 第8课时　对数与对数函数 [跟进训练] 2．(1)(多选)若函数f(x)＝ax－2，g(x)＝loga|x|，其中a＞0，且a≠1，则函数f(x)，g(x)在同一平面直角坐标系中的大致图象可能是(　　) √ √ (2)已知函数f(x)＝|ln x|，若0<a<b，且f(a)＝f(b)，则a＋2b的取值范围是________. 课时分层作业 典例精研·核心考点 链接教材·夯基固本 第8课时　对数与对数函数 (1)AD　(2)(3，＋∞)　[(1)易知g(x)＝loga|x|为偶函数．当0＜a＜1时，f(x)＝ax－2单调递减，g(x)＝loga|x|在(0，＋∞)上单调递减，此时A选项符合题意．当a＞1时，f(x)＝ax－2单调递增，g(x)＝loga|x|在(0，＋∞)上单调递增，此时D选项符合题意．故选AD. 课时分层作业 典例精研·核心考点 链接教材·夯基固本 第8课时　对数与对数函数 (2)f(x)＝|ln x|的图象如图，因为f(a)＝f(b)，所以|ln a|＝|ln b|.因为0<a<b，所以ln a<0，ln b>0，所以0<a<1，b>1，所以－ln a＝ln b， 所以ln a＋ln b＝ln(ab)＝0， 课时分层作业 典例精研·核心考点 链接教材·夯基固本 第8课时　对数与对数函数 √ 　考点三　对数函数的性质及应用 　比较大小 A．a＞b＞c B．b＞a＞c C．c＞b＞a D．c＞a＞b 课时分层作业 典例精研·核心考点 链接教材·夯基固本 第8课时　对数与对数函数 (2)若实数a，b，c满足loga2<logb2<logc2<0，则下列关系中正确的是(　　) A．a<b<c B．b<a<c C．c<b<a D．a<c<b √ 课时分层作业 典例精研·核心考点 链接教材·夯基固本 第8课时　对数与对数函数 课时分层作业 典例精研·核心考点 链接教材·夯基固本 第8课时　对数与对数函数 √ 　解与对数有关的不等式 课时分层作业 典例精研·核心考点 链接教材·夯基固本 第8课时　对数与对数函数 A．(－1,0)∪(0,1) B．(－∞，－1)∪(1，＋∞) C．(－1,0)∪(1，＋∞) D．(－∞，－1)∪(0,1) √ 课时分层作业 典例精研·核心考点 链接教材·夯基固本 第8课时　对数与对数函数 课时分层作业 典例精研·核心考点 链接教材·夯基固本 第8课时　对数与对数函数 　对数函数性质的综合应用 [典例5]　(1)若f(x)＝lg(x2－2ax＋1＋a)在(－∞，1]上单调递减，则a的取值范围为(　　) A．[1,2) B．[1,2] C．[1，＋∞) D．[2，＋∞) √ 课时分层作业 典例精研·核心考点 链接教材·夯基固本 第8课时　对数与对数函数 (3)(2025·滨州模拟)已知函数f(x)＝ln(eax＋1)－x是偶函数，则实数a的值为________. √ √ √ 课时分层作业 典例精研·核心考点 链接教材·夯基固本 第8课时　对数与对数函数 课时分层作业 典例精研·核心考点 链接教材·夯基固本 第8课时　对数与对数函数 课时分层作业 典例精研·核心考点 链接教材·夯基固本 第8课时　对数与对数函数 课时分层作业 典例精研·核心考点 链接教材·夯基固本 第8课时　对数与对数函数 (3)由题意知f(x)的定义域为R，函数f(x)＝ln(eax＋1)－x是偶函数，则f(－x)＝ln(e－ax＋1)＋x＝f(x)＝ln(eax＋1)－x， 课时分层作业 典例精研·核心考点 链接教材·夯基固本 第8课时　对数与对数函数 　求与对数函数有关的复合函数的单调性、值域问题，必须弄清三个问题：一是定义域；二是底数与1的大小关系；三是复合函数的构成． 课时分层作业 典例精研·核心考点 链接教材·夯基固本 第8课时　对数与对数函数 √ √ √ 课时分层作业 典例精研·核心考点 链接教材·夯基固本 第8课时　对数与对数函数 √ √ 课时分层作业 典例精研·核心考点 链接教材·夯基固本 第8课时　对数与对数函数 (4)已知f(x)＝1＋log3x(1≤x≤9)，设函数g(x)＝[f(x)]2＋f(x2)，则g(x)max－g(x)min＝____________. 所以ln x＋x＞ln y＋y. 对于A，设f(x)＝ln x＋x，则f(x)在(0，＋∞)上单调递增，因为ln x＋x＞ln y＋y，所以f(x)＞f(y)， 所以x＞y，故A正确； 课时分层作业 典例精研·核心考点 链接教材·夯基固本 第8课时　对数与对数函数 课时分层作业 典例精研·核心考点 链接教材·夯基固本 第8课时　对数与对数函数 课时分层作业 典例精研·核心考点 链接教材·夯基固本 第8课时　对数与对数函数 课时分层作业 典例精研·核心考点 链接教材·夯基固本 第8课时　对数与对数函数 课时分层作业 典例精研·核心考点 链接教材·夯基固本 第8课时　对数与对数函数 所以1≤x≤3，所以g(x)的定义域为[1,3]， g(x)＝[f(x)]2＋f(x2) ＝(1＋log3x)2＋1＋log3x2 ＝(log3x)2＋4log3x＋2. 设t＝log3x，则0≤t≤1， 则y＝t2＋4t＋2＝(t＋2)2－2在[0,1]上单调递增， 所以当t＝0，即x＝1时，g(x)min＝g(1)＝2， 当t＝1，即x＝3时，g(x)max＝g(3)＝7， 所以g(x)max－g(x)min＝5.] 点拨：易忽视g(x)的定义域． 课时分层作业 典例精研·核心考点 链接教材·夯基固本 第8课时　对数与对数函数 ②loga＝_____________； ③logaMn＝____________(n∈R)． (3)对数恒等式：alogaN＝___(a>0，且a≠1，N>0)． (4)换底公式：logab＝(a>0，且a≠1；b>0；c>0，且c≠1)． 项目 a>1 0<a<1 图象 (1)logab＝； (2)logambn＝logab； (3)logab·logbc·logcd＝logad. (a＞0，且a≠1；b＞0，且b≠1；c＞0，且c≠1；d＞0) (3)函数y＝ln与y＝ln(1＋x)－ln(1－x)的定义域相同．(　 　) (4)函数y＝log2x与y＝log的图象重合．(　 　) 二、教材经典衍生 1．(人教A版必修第一册P140习题4.4T1改编)函数y＝的定义域是________. 　[由log(2x－1)≥0，得0＜2x－1≤1，所以＜x≤1. 所以函数y＝的定义域是.] (2)log2___log3. 　[(log43＋log83)×log32＝×＝.] 4．(人教A版必修第一册P141习题4.4T12改编)若loga<1，则实数a的取值范围是________________． ∪(1，＋∞)　[当a>1时，满足条件； 当0<a<1时，由得0<a<. 综上，a∈∪(1，＋∞)．] (2)(2024·全国甲卷)已知a>1，－＝－，则a＝_______. (2)由题意得－＝－·log2a＝－，整理得(log2a)2－ [典例2]　(1)(2025·深圳模拟)已知a>0，且a≠1，则函数y＝loga的图象一定经过(　　) (2)当0＜x≤时，4x＜logax，则a的取值范围是(　　) A． B． C．(1，) D．(，2) (1)D　(2)B　[(1)当x＝0时，y＝loga＝－1， 所以函数y＝loga的图象一定经过三、四象限． 故选D. (2)构造函数f(x)＝4x和g(x)＝logax，当a＞1时，不满足条件；当0＜a＜1时，画出两个函数大致的图象，如图所示，由题意可知f＜g，即2＜loga，则a＞，所以a的取值范围为.] 　[若方程4x＝logax在上有解，则函数y＝4x的图象和函数y＝logax的图象在上有交点． 由图象可知解得0＜a≤.] 所以ab＝1，则b＝，所以a＋2b＝a＋. 令g(x)＝x＋(0<x<1)，则g(x)在(0,1)上单调递减， 所以g(x)>g(1)＝1＋2＝3，所以a＋2b>3， 所以a＋2b的取值范围为(3，＋∞)．] [典例3]　(1)已知a＝log2e，b＝ln 2，c＝log，则a，b，c的大小关系为(　　) (1)D　(2)C　[(1)法一(中间量法)：因为a＝log2e＞1，b＝ln 2∈(0,1)，c＝log＝log23＞log2e＞1，所以c＞a＞b. 法二(图象法)：log＝log23，在同一平面直角坐标系中作出函数y＝log2x，y＝ln x的图象，如图，由图可知c＞a＞b. (2)根据不等式的性质和对数的换底公式可得 <<<0，即log2c<log2b<log2a<0，可得0<c<b<a<1.故选C．] [典例4]　(1)(2025·济南模拟)已知函数f(x)是定义在R上的偶函数，且在[0，＋∞)上单调递增．若正实数a满足f(log2a)＋f(loga)≤2f(1)，则a的取值范围是(　　) A．[1,2] B． C． D．(0,2] (2)设函数f(x)＝若f(a)>f(－a)，则实数a的取值范围是(　　) (1)C　(2)C　[(1)因为loga＝－log2a，又f(x)是定义在R上的偶函数， 所以f(log2a)＋f(loga)＝f(log2a)＋f(－log2a)＝2f(log2a)，原不等式变为2f(log2a)≤2f(1)，即f(log2a)≤f(1)．又因为f(x)是定义在R上的偶函数，且在[0，＋∞)上单调递增，所以|log2a|≤1，即－1≤log2a≤1，解得≤a≤2.故选C． (2)由题意可得或 解得a>1或－1<a<0.故选C．] (2)(多选)已知函数f(x)＝ln ，下列说法正确的是(　　) A．f(x)为奇函数 B．f(x)为偶函数 C．f(x)在上单调递减 D．f(x)的值域为(－∞，0)∪(0，＋∞) (1)A　(2)ACD　(3)2　[(1)令函数g(x)＝x2－2ax＋1＋a＝(x－a)2＋1＋a－a2，则图象的对称轴为x＝a，要使函数f(x)在(－∞，1]上单调递减，则有即解得1≤a<2，即a∈[1,2)． (2)令>0，解得x>或x<－， 所以f(x)的定义域为∪. 又f(－x)＝ln ＝ln ＝ln－1＝－ln ＝－f(x)， 所以f(x)为奇函数，故A正确，B错误． 又f(x)＝ln ＝ln， 令t＝1＋，t>0且t≠1，则y＝ln t， 又t＝1＋在上单调递减，且y＝ln t为增函数， 所以f(x)在上单调递减，故C正确． 由C分析可得f(x)的值域是(－∞，0)∪(0，＋∞)，故D正确． 即ln＝2x，化简得ln eax＝2x，解得a＝2.] [跟进训练] 3．(1)(多选)已知x＞0，y＞0，且x－y＞ln，则(　　) A．x＞y B．x＋＞y＋ C．ln(x－y)＜0 D．＜2－y (2)(多选)已知函数f(x)＝ln(x2＋x＋m)(m∈R)，则(　　) A．当m>时，f(x)的定义域为R B．f(x)一定存在最小值 C．f(x)的图象关于直线x＝－对称 D．当m≥1时，f(x)的值域为R (3)已知函数f(x)＝ln(－x)＋2，则f(lg 3)＋f＝________. (1)ABD　(2)AC　(3)4　(4)5　[(1)因为x－y＞ln，所以x－y＞ln y－ln x， 对于B，因为x＞0，y＞0，且x＞y， 所以＜，所以x＋＞y＋，故B正确； 对于C，当x－y＝e时，ln(x－y)＝1，故C错误； 对于D，因为x＞y，所以－x＜－y， 所以2－x＜2－y，即＜2－y，故D正确．故选ABD. (2)对于A，若m>，则Δ＝1－4m<0，则x2＋x＋m>0恒成立，所以f(x)的定义域为R，故A正确； 对于B，若m＝0，则f(x)＝ln(x2＋x)的定义域为(－∞，－1)∪(0，＋∞)，值域为R，没有最小值，故B错误； 对于C，由于函数y＝ln为偶函数，其图象关于y轴对称， 将该函数的图象向左平移个单位长度即可得到函数f(x)＝ln＝ln(x2＋x＋m)的图象， 此时f(x)的图象对称轴为直线x＝－，故C正确； 对于D，若m≥1，则y＝x2＋x＋m＝2＋m－≥，故f(x)的值域不是R，故D错误． 故选AC． (3)设g(x)＝ln(－x)，则f(x)＝g(x)＋2，显然有g(－x)＝－g(x)，即g(x)为奇函数，则g(－x)＋g(x)＝0，所以f(lg 3)＋f＝f(lg 3)＋f(－lg 3)＝g(lg 3)＋2＋g(－lg 3)＋2＝4. (4)由题意得 $$