12 第二章 第6课时 幂函数与二次函数-【名师导航】2026年高考数学一轮总复习课件（人教A版）

第二章　函数的概念与性质 第6课时　幂函数与二次函数 [考试要求]　1.通过具体实例，了解幂函数及其图象的变化规律.2.掌握二次函数的图象与性质(单调性、对称性、顶点、最值等)，能用二次函数与一元二次方程、不等式之间的关系解决简单问题． 第6课时　幂函数与二次函数 链接教材·夯基固本 1．幂函数 (1)幂函数的定义 一般地，函数_______叫做幂函数，其中x是自变量，α为常数． (2)常见的五种幂函数的图象 y＝xα 课时分层作业 典例精研·核心考点 链接教材·夯基固本 第6课时　幂函数与二次函数 (3)幂函数的性质 ①幂函数在(0，＋∞)上都有定义； ②当α>0时，幂函数的图象都过点______和______，且在(0，＋∞)上单调递增； ③当α<0时，幂函数的图象都过点_____，且在(0，＋∞)上单调递减； ④当α为奇数时，y＝xα为_______；当α为偶数时，y＝xα为_______. (1,1) (0,0) (1,1) 奇函数 偶函数 课时分层作业 典例精研·核心考点 链接教材·夯基固本 第6课时　幂函数与二次函数 2．二次函数 (1)二次函数解析式的三种形式 一般式：f(x)＝_________________. 顶点式：f(x)＝a(x－m)2＋n(a≠0)，顶点坐标为_______. 零点式：f(x)＝a(x－x1)(x－x2)(a≠0)，x1，x2为f(x)的_____. ax2＋bx＋c(a≠0) (m，n) 零点 课时分层作业 典例精研·核心考点 链接教材·夯基固本 第6课时　幂函数与二次函数 (2)二次函数的图象和性质 课时分层作业 典例精研·核心考点 链接教材·夯基固本 第6课时　幂函数与二次函数 b＝0 b≠0 减 增 增 减 课时分层作业 典例精研·核心考点 链接教材·夯基固本 第6课时　幂函数与二次函数 [常用结论] 二次函数在闭区间上的最值 设二次函数f(x)＝ax2＋bx＋c(a＞0)，x∈[m，n]． 课时分层作业 典例精研·核心考点 链接教材·夯基固本 第6课时　幂函数与二次函数 × √ √ × 课时分层作业 典例精研·核心考点 链接教材·夯基固本 第6课时　幂函数与二次函数 二、教材经典衍生 1．(人教A版必修第一册P86T7改编)函数f(x)＝－2x2＋4x，x∈[－1,2]的值域为(　　) A．[－6,2]　　　 B．[－6,1] C．[0,2] D．[0,1] A　[函数f(x)＝－2x2＋4x图象的对称轴为x＝1， 则f(x)在[－1,1]上单调递增，在[1,2]上单调递减， 所以f(x)max＝f(1)＝2，f(x)min＝f(－1)＝－2－4＝－6，即f(x)的值域为[－6,2]．] √ 课时分层作业 典例精研·核心考点 链接教材·夯基固本 第6课时　幂函数与二次函数 2．(人教A版必修第一册P100复习参考题3T4改编)若函数f(x)＝3x2－kx－8在[5,20]上具有单调性，则实数k的取值范围为___________. 课时分层作业 典例精研·核心考点 链接教材·夯基固本 第6课时　幂函数与二次函数 课时分层作业 典例精研·核心考点 链接教材·夯基固本 第6课时　幂函数与二次函数 4．(人教A版必修第一册P91练习T2改编)已知a＝0.40.3，b＝0.30.3，c＝0.30.4，则a，b，c的大小关系是________.(用“<”连接) c<b<a　[由指数函数、幂函数的单调性可知0.30.4<0.30.3,0.40.3>0.30.3，即c<b<a.] 课时分层作业 典例精研·核心考点 链接教材·夯基固本 第6课时　幂函数与二次函数 典例精研·核心考点 　考点一　幂函数的图象及性质 [典例1]　(1)若幂函数y＝x－1，y＝xm与y＝xn在第一象限内的图象如图所示，则m与n的取值情况为(　　) A．－1<m<0<n<1　　 B．－1<n<0<m C．－1<m<0<n D．－1<n<0<m<1 √ 课时分层作业 典例精研·核心考点 链接教材·夯基固本 第6课时　幂函数与二次函数 (2)(2025·济南模拟)幂函数f(x)＝(m2－3m－3)xm在区间(0，＋∞)上单调递减，则下列说法正确的是(　　) A．m＝4 B．f(x)是减函数 C．f(x)是奇函数 D．f(x)是偶函数 √ 课时分层作业 典例精研·核心考点 链接教材·夯基固本 第6课时　幂函数与二次函数 (2)函数f(x)＝(m2－3m－3)xm为幂函数，则m2－3m－3＝1，解得m＝4或m＝－1. 当m＝4时，f(x)＝x4在区间(0，＋∞)上单调递增，不满足题意， 当m＝－1时，f(x)＝x－1在区间(0，＋∞)上单调递减，满足题意，A错误； 函数f(x)＝x－1在(－∞，0)和(0，＋∞)上单调递减，但不是减函数，B错误； 课时分层作业 典例精研·核心考点 链接教材·夯基固本 第6课时　幂函数与二次函数 课时分层作业 典例精研·核心考点 链接教材·夯基固本 第6课时　幂函数与二次函数 　与幂函数有关问题的解题思路 (1)关于幂函数y＝xα，若α∈Z且函数是偶函数，则α必为偶数．当α是分数时，一般将xα先化为根式，再分析函数的性质． (2)若幂函数y＝xα在(0，＋∞)上单调递增，则α＞0；若幂函数y＝xα在(0，＋∞)上单调递减，则α＜0. (3)在比较幂值的大小时，结合幂值的特点，选择适当的函数，借助其单调性进行比较． 课时分层作业 典例精研·核心考点 链接教材·夯基固本 第6课时　幂函数与二次函数 [跟进训练] 1．(2025·潍坊模拟)写出满足下列条件①②③的一个函数：f(x)＝___. 课时分层作业 典例精研·核心考点 链接教材·夯基固本 第6课时　幂函数与二次函数 课时分层作业 典例精研·核心考点 链接教材·夯基固本 第6课时　幂函数与二次函数 课时分层作业 典例精研·核心考点 链接教材·夯基固本 第6课时　幂函数与二次函数 　考点二　二次函数的图象与解析式 [典例2]　(1)(多选)已知二次函数y＝ax2＋bx＋c(a≠0)的部分图象如图所示，图象过点A(－3,0)，对称轴为直线x＝－1，则(　　) A．b2＞4ac B．2a－b＝1 C．a－b＋c＝0 D．5a＜b (2)已知二次函数f(x)满足f(2)＝－1，f(－1)＝－1，且f(x)的最大值是8，则f(x)＝__________. √ √ 课时分层作业 典例精研·核心考点 链接教材·夯基固本 第6课时　幂函数与二次函数 课时分层作业 典例精研·核心考点 链接教材·夯基固本 第6课时　幂函数与二次函数 (2)法一(利用“一般式”) 设f(x)＝ax2＋bx＋c(a≠0)． 课时分层作业 典例精研·核心考点 链接教材·夯基固本 第6课时　幂函数与二次函数 法二(利用“顶点式”) 设f(x)＝a(x－m)2＋n(a≠0)． 课时分层作业 典例精研·核心考点 链接教材·夯基固本 第6课时　幂函数与二次函数 法三(利用“零点式”) 由已知f(x)＋1＝0的两根为x1＝2，x2＝－1， 故可设f(x)＋1＝a(x－2)(x＋1)(a≠0)，即f(x)＝ax2－ax－2a－1. 又函数有最大值8， 课时分层作业 典例精研·核心考点 链接教材·夯基固本 第6课时　幂函数与二次函数 　研究二次函数图象及解析式应从“三点一线一开口”进行分析，“三点”中有一个点是顶点，另两个点是图象上关于对称轴对称的两个点，常取零点；“一线”是指对称轴这条直线；“一开口”是指抛物线的开口方向． 课时分层作业 典例精研·核心考点 链接教材·夯基固本 第6课时　幂函数与二次函数 [跟进训练] 2．(1)若abc＞0，则二次函数f(x)＝ax2＋bx＋c的图象可能是(　　) √ 课时分层作业 典例精研·核心考点 链接教材·夯基固本 第6课时　幂函数与二次函数 (1)D　(2)f(x)＝x2－4x＋5(答案不唯一)　[(1)在A中，a＜0，b＜0，c＜0，不符合题意；B中，a＜0，b＞0，c＞0，不符合题意；C中，a＞0，b＞0，c＜0，不符合题意；D中，a＞0，b＜0，c＜0，符合题意．故选D. 课时分层作业 典例精研·核心考点 链接教材·夯基固本 第6课时　幂函数与二次函数 (2)由二次函数的对称性、值域及单调性可知解析式取f(x)＝(x－2)2＋1， 此时f(x)图象的对称轴为x＝2，开口向上，满足②， 因为对任意x1，x2∈(－∞，0)，且x1≠x2， 等价于f(x)在(－∞，0)上单调递减， 所以f(x)＝(x－2)2＋1满足③， 又f(x)＝(x－2)2＋1≥1，满足①， 故f(x)的解析式可以为f(x)＝x2－4x＋5.] 课时分层作业 典例精研·核心考点 链接教材·夯基固本 第6课时　幂函数与二次函数 　考点三　二次函数的单调性与最值 [典例3]　(2025·济南模拟)已知函数f(x)＝|x2－6x＋7|在[1，m](m>1)上的最大值为A，在[m,2m－1]上的最大值为B.若A≥2B，则实数m的取值范围是____________. 课时分层作业 典例精研·核心考点 链接教材·夯基固本 第6课时　幂函数与二次函数 由题意得f(1)＝f(3)＝f(5)＝2， 当1<m≤5时，函数f(x)＝|x2－6x＋7|在[1，m](m>1)上的最大值为2，即A＝2. 课时分层作业 典例精研·核心考点 链接教材·夯基固本 第6课时　幂函数与二次函数 课时分层作业 典例精研·核心考点 链接教材·夯基固本 第6课时　幂函数与二次函数 　二次函数在闭区间上的最值主要有三种类型：轴定区间定、轴动区间定、轴定区间动．无论哪种类型，解题的关键都是图象的对称轴与区间的位置关系，当含有参数时，要依据图象的对称轴与区间的位置关系进行分类讨论． 课时分层作业 典例精研·核心考点 链接教材·夯基固本 第6课时　幂函数与二次函数 [跟进训练] 3．(1)(2025·烟台模拟)已知函数f(x)＝x2＋mx－2x＋1在区间[2，＋∞)上单调递增，则实数m的取值范围是____________. (2)设函数f(x)＝x2－2x＋2，x∈[t，t＋1]，t∈R，求函数f(x)的最小值． 课时分层作业 典例精研·核心考点 链接教材·夯基固本 第6课时　幂函数与二次函数 课时分层作业 典例精研·核心考点 链接教材·夯基固本 第6课时　幂函数与二次函数 (2)解：f(x)＝x2－2x＋2＝(x－1)2＋1，x∈[t，t＋1]，t∈R，函数图象的对称轴为x＝1. 当t＋1≤1，即t≤0时，函数图象如图1所示，函数f(x)在区间[t，t＋1]上为减函数，所以最小值为f(t＋1)＝t2＋1. 当t<1<t＋1，即0<t<1时，函数图象如图2所示，在对称轴x＝1处f(x)取得最小值，最小值为f(1)＝1. 当t≥1时，函数图象如图3所示，函数f(x)在区间[t，t＋1]上为增函数，所以最小值为f(t)＝t2－2t＋2. 课时分层作业 典例精研·核心考点 链接教材·夯基固本 第6课时　幂函数与二次函数 函数 y＝ax2＋bx＋c (a>0) y＝ax2＋bx＋c (a<0) 图象 (抛物线) 定义域 R 值域 _______________ _______________ 函数 y＝ax2＋bx＋c (a>0) y＝ax2＋bx＋c (a<0) 对称轴 方程 x＝－ 顶点 坐标 ________________ 奇偶性 当______时是偶函数，当_____时是非奇非偶函数 单调性 在上单调递___； 在上单调递___ 在上单调递___； 在上单调递___ (1)当－≤m时，最小值为f(m)，最大值为f(n)； (2)当m＜－≤时，最小值为f，最大值为f(n)； (3)当＜－≤n时，最小值为f，最大值为f(m)； (4)当－＞n时，最小值为f(n)，最大值为f(m)． 一、易错易混辨析(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)函数y＝2x是幂函数．(　　) (2)当n>0时，幂函数y＝xn在(0，＋∞)上单调递增．(　　) (3)如果幂函数的图象与坐标轴相交，那么交点一定是原点．(　　) (4)二次函数y＝ax2＋bx＋c(a≠0)，x∈[m，n]的最值一定是.(　　) (－∞，30]∪[120，＋∞)　[依题意知，≥20或≤5，解得k≥120或k≤30.] 3. (人教A版必修第一册P100复习参考题3T5改编)已知幂函数y＝f(x)的图象过点，则此函数的解析式为________；在区间________上单调递减． y＝x－　(0，＋∞)　[设y＝f(x)＝xα，因为图象过点，代入解析式得α＝－，所以y＝x－，由性质可知函数y＝x－在(0，＋∞)上单调递减．] (3)若(a＋1)<(3－2a)，则实数a的取值范围是________. (1)D　(2)C　(3)　[(1)幂函数y＝xα，当α>0时，y＝xα在(0，＋∞)上单调递增，且0<α<1时，图象上凸，所以0<m<1；当α<0时，y＝xα在(0，＋∞)上单调递减，不妨令x＝2，根据图象可得2－1<2n，所以－1<n<0.综上所述，故选D. 因为函数的定义域关于原点对称，且f(－x)＝＝－f(x)，所以函数f(x)是奇函数，不是偶函数，故C正确，D错误．故选C． (3)易知函数y＝x的定义域为[0，＋∞)，在定义域内为增函数， 所以 解得－1≤a<.] ①f(x)的定义域为R；②∀x∈R，f(－x)＝－f(x)；③∀0<x1<x2，都有2<<. x(答案不唯一，形如f(x)＝x，p，q为奇数，且1<<2均可)　[由③知(不妨取x>0时，f(x)>0)， 所以函数在(0，＋∞)上是增函数，函数在(0，＋∞)上是减函数． 又由①②，函数为奇函数且定义域为R， 所以可取幂函数f(x)＝x. 故答案为：x(答案不唯一，形如f(x)＝x，p，q为奇数，且1<<2均可)．] (1)AD　(2)－4x2＋4x＋7　[(1)在题图中，二次函数的图象与x轴交于两点，所以b2－4ac＞0，即b2＞4ac，A正确；对称轴为直线x＝－1，即－＝－1,2a－b＝0，B错误；结合题图，当x＝－1时，y＞0，即a－b＋c＞0，C错误；由对称轴为x＝－1知，b＝2a，根据抛物线开口向下，知a＜0，所以5a＜2a，即5a＜b，D正确． 由题意得 解得 所以所求二次函数的解析式为f(x)＝－4x2＋4x＋7. 因为f(2)＝f(－1)，所以抛物线的对称轴为x＝＝，所以m＝. 又根据题意，函数有最大值8，所以n＝8， 所以f(x)＝a2＋8. 因为f(2)＝－1，所以a2＋8＝－1，解得a＝－4， 所以f(x)＝－42＋8＝－4x2＋4x＋7. 即＝8， 解得a＝－4或a＝0(舍)． 故所求函数的解析式为f(x)＝－4x2＋4x＋7.] (2)函数f(x)满足下列性质：①定义域为R，值域为[1，＋∞)；②图象关于直线x＝2对称；③对任意x1，x2∈(－∞，0)，且x1≠x2，都有＜0.请写出函数f(x)的一个解析式：____________.(写出一个即可) 都有＜0， 　[由函数f(x)＝|x2－6x＋7|＝|(x－3)2－2|，作出f(x)的图象如图． 要使A≥2B，则B≤1，令f(x)＝1，解得x1＝3－，x2＝2，x3＝4，x4＝3＋. 由图可得，要使函数f(x)＝|x2－6x＋7|在[m,2m－1]上的最大值为B，且B≤1，则或解得3－≤m≤. 当m>5时， 由图可得，f(x)＝|x2－6x＋7|在[1，m](m>1)上的最大值A＝f(m)＝m2－6m＋7>0，在[m,2m－1]上单调递增，最大值B＝f(2m－1)>f(m)＝A>0，A≥2B不可能成立． 综上，实数m的取值范围是.] (1)[－2，＋∞)　[二次函数f(x)＝x2＋(m－2)x＋1的图象开口向上，对称轴为直线x＝－. 因为函数f(x)在区间[2，＋∞)上单调递增，所以－≤2，解得m≥－2. 所以实数m的取值范围是[－2，＋∞)．] 综上可知，f(x)min＝ $$