08 第二章 第2课时 函数的单调性与最值-【名师导航】2026年高考数学一轮总复习课件（人教A版）

第二章　函数的概念与性质 第2课时　函数的单调性与最值 [考试要求]　1.借助函数图象，会用符号语言表达函数的单调性、最大值、最小值.2.理解函数的单调性、最大值、最小值的作用和实际意义． 第2课时　函数的单调性与最值 链接教材·夯基固本 1．函数的单调性 (1)单调函数的定义   增函数 减函数 定义 一般地，设函数f(x)的定义域为D，区间I⊆D，如果∀x1，x2∈I 当x1<x2时，都有___________，那么就称函数f(x)在区间I上单调递增．特别地，当函数f(x)在它的定义域上单调递增时，我们就称它是增函数 当x1<x2时，都有____________，那么就称函数f(x)在区间I上单调递减．特别地，当函数f(x)在它的定义域上单调递减时，我们就称它是减函数 f(x1)<f(x2) f(x1)>f(x2) 课时分层作业 典例精研·核心考点 链接教材·夯基固本 第2课时　函数的单调性与最值   增函数 减函数 图象 描述 自左向右看图象是上升的 自左向右看图象是下降的 课时分层作业 典例精研·核心考点 链接教材·夯基固本 第2课时　函数的单调性与最值 (2)单调区间的定义 如果函数y＝f(x)在区间I上____________或____________，那么就说函数y＝f(x)在这一区间具有(严格的)单调性，_______叫做y＝f(x)的单调区间． 提醒：若函数有多个单调区间应分开写，不能用符号“∪”联结，也不能用“或”联结，只能用“逗号”或“和”联结． 单调递增 单调递减 区间I 课时分层作业 典例精研·核心考点 链接教材·夯基固本 第2课时　函数的单调性与最值 2．函数的最值 前提 一般地，设函数y＝f(x)的定义域为D，如果存在实数M满足 条件 ①∀x∈D，都有___________； ②∃x0∈D，使____________ ①∀x∈D，都有___________； ②∃x0∈D，使得___________ 结论 M为最大值 M为最小值 f(x)≤M f(x0)＝M f(x)≥M f(x0)＝M 课时分层作业 典例精研·核心考点 链接教材·夯基固本 第2课时　函数的单调性与最值 [常用结论] 1．函数单调性的两个等价结论 设∀x1，x2∈D(x1≠x2)，则 课时分层作业 典例精研·核心考点 链接教材·夯基固本 第2课时　函数的单调性与最值 2．若函数f(x)，g(x)在区间D上具有单调性，则在区间D上具有以下性质： (1)当f(x)，g(x)都是增(减)函数时，f(x)＋g(x)是增(减)函数； (2)若k＞0，则kf(x)与f(x)单调性相同， 若k＜0，则kf(x)与f(x)单调性相反； (4)复合函数y＝f(g(x))的单调性与y＝f(u)和u＝g(x)的单调性有关，简记为“同增异减”． 3．最值定理：闭区间上的连续函数必有最值，最值产生于区间端点或极值点处． 课时分层作业 典例精研·核心考点 链接教材·夯基固本 第2课时　函数的单调性与最值 (2)若函数y＝f(x)在[1，＋∞)上单调递增，则函数y＝f(x)的单调递增区间是[1，＋∞)．(　 　) (3)如果一个函数在定义域内的某几个子区间上都是单调递增的，那么这个函数在定义域上是增函数．(　 　) (4)若函数在闭区间上具有单调性，则其最值一定在区间端点取到． (　 　) × × × √ 课时分层作业 典例精研·核心考点 链接教材·夯基固本 第2课时　函数的单调性与最值 二、教材经典衍生 1．(人教A版必修第一册P85习题3.2T1改编)如图是函数y＝f(x)，x∈[－4,3]的图象，则下列说法正确的是(　 　) A．f(x)在[－4，－1]上单调递减，在[－1,3]上单调递增 B．f(x)在区间(－1,3)上的最大值为3，最小值为－2 C．f(x)在[－4,1]上有最小值－2，最大值3 D．当直线y＝t与f(x)的图象有三个交点时，－1<t<2 √ 课时分层作业 典例精研·核心考点 链接教材·夯基固本 第2课时　函数的单调性与最值 2．(人教A版必修第一册P78例1改编)若函数y＝(2k＋1)x＋b在R上是减函数，则k的取值范围是________. 课时分层作业 典例精研·核心考点 链接教材·夯基固本 第2课时　函数的单调性与最值 3．(人教A版必修第一册P100复习参考题3T4改编)若函数f(x)＝x2－2mx＋1在[2，＋∞)上单调递增，则实数m的取值范围是________. (－∞，2]　[由题意知，[2，＋∞)⊆[m，＋∞)，所以m≤2.] 课时分层作业 典例精研·核心考点 链接教材·夯基固本 第2课时　函数的单调性与最值 课时分层作业 典例精研·核心考点 链接教材·夯基固本 第2课时　函数的单调性与最值 典例精研·核心考点 考点一　确定函数的单调性(单调区间) 　图象法、性质法确定函数的单调性 √ (2)函数f(x)＝－x2＋2|x|＋1的单调递增区间为________. 课时分层作业 典例精研·核心考点 链接教材·夯基固本 第2课时　函数的单调性与最值 课时分层作业 典例精研·核心考点 链接教材·夯基固本 第2课时　函数的单调性与最值 画出函数图象如图所示， 可知函数f(x)＝－x2＋2|x|＋1的单调递增区间为(－∞，－1]和[0,1]．] 课时分层作业 典例精研·核心考点 链接教材·夯基固本 第2课时　函数的单调性与最值 [拓展变式]　本例(2)的函数换成“y＝|－x2＋2x＋1|”，其单调递增区间是________. 课时分层作业 典例精研·核心考点 链接教材·夯基固本 第2课时　函数的单调性与最值 　定义法、导数法确定函数的单调性 课时分层作业 典例精研·核心考点 链接教材·夯基固本 第2课时　函数的单调性与最值 所以x2－x1>0，x1－1<0，x2－1<0， 故当a>0时，f(x1)－f(x2)>0，即f(x1)>f(x2)，函数f(x)在(－1,1)上单调递减； 当a<0时，f(x1)－f(x2)<0， 即f(x1)<f(x2)，函数f(x)在(－1,1)上单调递增． 课时分层作业 典例精研·核心考点 链接教材·夯基固本 第2课时　函数的单调性与最值 当a>0时，f′(x)<0，函数f(x)在(－1,1)上单调递减； 当a<0时，f′(x)>0，函数f(x)在(－1,1)上单调递增． 课时分层作业 典例精研·核心考点 链接教材·夯基固本 第2课时　函数的单调性与最值 　确定函数单调性的四种方法 (1)定义法：取值、作差、变形(因式分解、配方、有理化、通分等)、定号、下结论． (2)复合法：同增异减，即内、外函数的单调性相同时为增函数，不同时为减函数． (3)图象法：如果f(x)是以图象形式给出的，或者f(x)的图象易作出，可由图象直观地判断函数单调性． (4)导数法：利用导函数的正负判断函数的单调性． 提醒：定义域先行，单调区间是定义域的子集． 课时分层作业 典例精研·核心考点 链接教材·夯基固本 第2课时　函数的单调性与最值 [跟进训练] 1．(1)函数f(x)＝3－x2－2x的单调递增区间是(　　) A．[－1，＋∞) B．(－∞，－1] C．(－∞，0) D．(0，＋∞) (2)(2023·北京高考)下列函数中，在区间(0，＋∞)上单调递增的是(　　) √ √ 课时分层作业 典例精研·核心考点 链接教材·夯基固本 第2课时　函数的单调性与最值 (1)B　(2)C　[(1)f(x)＝3－x2－2x分解为y＝3u和u＝－x2－2x两个函数，y＝3u在R上单调递增，u＝－x2－2x＝－(x＋1)2＋1在(－∞，－1]上单调递增，在[－1，＋∞)上单调递减， 根据复合函数的单调性可得函数f(x)＝3－x2－2x在(－∞，－1]上单调递增． 课时分层作业 典例精研·核心考点 链接教材·夯基固本 第2课时　函数的单调性与最值 (2)对于A，y＝ln x在(0，＋∞)上单调递增，所以f(x)＝－ln x在(0，＋∞)上单调递减，A选项错误； 课时分层作业 典例精研·核心考点 链接教材·夯基固本 第2课时　函数的单调性与最值 √ 考点二　函数单调性的应用 　比较函数值的大小 A．c>a>b B．c>b>a C．a>c>b D．b>a>c 课时分层作业 典例精研·核心考点 链接教材·夯基固本 第2课时　函数的单调性与最值 课时分层作业 典例精研·核心考点 链接教材·夯基固本 第2课时　函数的单调性与最值 　解抽象不等式 √ 课时分层作业 典例精研·核心考点 链接教材·夯基固本 第2课时　函数的单调性与最值 课时分层作业 典例精研·核心考点 链接教材·夯基固本 第2课时　函数的单调性与最值 √ 　求参数的取值范围 [典例5]　(1)已知函数f(x)＝lg(x2－4x－5)在(a，＋∞)上单调递增，则a的取值范围是(　　) A．(－∞，－1] B．(－∞，2] C．[2，＋∞) D．[5，＋∞) A．(－∞，0] B．[－1,0] C．[－1,1] D．[0，＋∞) √ 课时分层作业 典例精研·核心考点 链接教材·夯基固本 第2课时　函数的单调性与最值 (1)D　(2)B　[(1)由x2－4x－5＞0，解得x＞5或x＜－1，所以函数f(x)的定义域为(－∞，－1)∪(5，＋∞)．又函数y＝x2－4x－5在(5，＋∞)上单调递增，在(－∞，－1)上单调递减，所以函数f(x)＝lg(x2－4x－5)在(5，＋∞)上单调递增，所以a≥5.故选D. (2)因为f(x)在R上单调递增，且x≥0时，f(x)＝ex＋ln(x＋1)单调递增， 课时分层作业 典例精研·核心考点 链接教材·夯基固本 第2课时　函数的单调性与最值 　函数单调性应用问题的解题策略 (1)比较函数值的大小时，转化到同一个单调区间内，然后利用函数的单调性解决． (2)解与抽象函数有关的不等式，由条件脱去“f”，转化为自变量间的大小关系，一般转化为不等式组，应注意等价转化和函数的定义域． (3)利用单调性求参数的取值(范围)，根据函数的单调性可以直接构建参数满足的方程(组)(或不等式(组))，也可以先得到函数图象的升降，再结合图象求解．对于分段函数，要注意衔接点的取值，在衔接点处需建立一个不等式． 课时分层作业 典例精研·核心考点 链接教材·夯基固本 第2课时　函数的单调性与最值 √ √ 课时分层作业 典例精研·核心考点 链接教材·夯基固本 第2课时　函数的单调性与最值 (2)(2023·新高考Ⅰ卷)设函数f(x)＝2x(x－a)在区间(0,1)上单调递减，则a的取值范围是(　　) A．(－∞，－2] B．[－2,0) C．(0,2] D．[2，＋∞) √ 课时分层作业 典例精研·核心考点 链接教材·夯基固本 第2课时　函数的单调性与最值 课时分层作业 典例精研·核心考点 链接教材·夯基固本 第2课时　函数的单调性与最值 (2)因为函数y＝2x在R上单调递增，而函数f(x)＝2x(x－a)在区间(0,1)上单调递减， 课时分层作业 典例精研·核心考点 链接教材·夯基固本 第2课时　函数的单调性与最值 考点三　求函数的值域或最值 [典例6]　(1)(2025·滨州模拟)已知max{a，b，c}表示a，b，c中的最大值，例如max{1,2,3}＝3，若函数f(x)＝max{－x2＋4，－x＋2，x＋3}，则f(x)的最小值为(　　) A．2.5 B．3 C．4 D．5 √ 课时分层作业 典例精研·核心考点 链接教材·夯基固本 第2课时　函数的单调性与最值 A．[－1,2] B．[－1,0] C．[1,2] D．[0,2] √ 课时分层作业 典例精研·核心考点 链接教材·夯基固本 第2课时　函数的单调性与最值 (1)B　(2)D　[(1)在同一平面直角坐标系中作出函数y＝－x2＋4，y＝－x＋2，y＝x＋3的图象， 因为f(x)＝max{－x2＋4，－x＋2，x＋3}，所以f(x)的图象如图实线所示， 课时分层作业 典例精研·核心考点 链接教材·夯基固本 第2课时　函数的单调性与最值 课时分层作业 典例精研·核心考点 链接教材·夯基固本 第2课时　函数的单调性与最值 因为f(x)的最小值为f(0)，所以当x≤0时，f(x)＝(x－a)2单调递减，故a≥0，此时的最小值为f(0)＝a2，故2＋a≥a2，得－1≤a≤2. 又a≥0，得0≤a≤2.故选D.] 课时分层作业 典例精研·核心考点 链接教材·夯基固本 第2课时　函数的单调性与最值 　求函数最值的五种常用方法 课时分层作业 典例精研·核心考点 链接教材·夯基固本 第2课时　函数的单调性与最值 √ 课时分层作业 典例精研·核心考点 链接教材·夯基固本 第2课时　函数的单调性与最值 课时分层作业 典例精研·核心考点 链接教材·夯基固本 第2课时　函数的单调性与最值 课时分层作业 典例精研·核心考点 链接教材·夯基固本 第2课时　函数的单调性与最值 (1)>0(或(x1－x2)[f(x1)－f(x2)]>0)⇔f(x)在D上单调递增； (2)<0(或(x1－x2)[f(x1)－f(x2)]<0)⇔f(x)在D上单调递减. (3)函数y＝f(x)(f(x)≠0)在公共定义域内与y＝－f(x)，y＝的单调性相反； 一、易错易混辨析(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)函数y＝的单调递减区间是(－∞，0)∪(0，＋∞)．(　 　) 　[因为函数y＝(2k＋1)x＋b在R上是减函数，所以2k＋1＜0，即k＜－.] 4．(人教A版必修第一册P81例5改编)已知函数f(x)＝，x∈[2,6]，则f(x)的最大值为________，最小值为________. －　－2　[可判断函数f(x)＝在区间[2,6]上单调递增，所以f(x)max＝f(6)＝－，f(x)min＝f(2)＝－2.] [典例1]　(1)函数f(x)＝log(－x2＋x＋6)的单调递增区间为(　　) A．　　　　　　 B． C．(－2,3) D． (1)A　(2)(－∞，－1]和[0,1]　[(1)由－x2＋x＋6>0，得－2<x<3，故函数f(x)的定义域为(－2,3)，令t＝－x2＋x＋6，则y＝logt，易知其为减函数，由复合函数的单调性法则可知，本题等价于求函数t＝－x2＋x＋6在(－2,3)上的单调递减区间．利用二次函数的性质可得t＝－x2＋x＋6在定义域(－2,3)上的单调递减区间为.故选A． (2)f(x)＝ ＝ [1－，1]，[1＋，＋∞)　[作出函数的图象如图所示，由图象知，其单调递增区间是[1－，1]，[1＋，＋∞)． 　] [典例2]　试讨论函数f(x)＝(a≠0)在(－1,1)上的单调性. 解：法一(定义法)：∀x1，x2∈(－1,1)，且x1＜x2， f(x)＝a＝a， f(x1)－f(x2)＝a－a＝.由于－1<x1<x2<1， 法二(导数法)：f′(x) ＝ ＝＝－. A．f(x)＝－ln x B．f(x)＝ C．f(x)＝－ D．f(x)＝3|x－1| 对于B，y＝2x在(0，＋∞)上单调递增，所以f(x)＝在(0，＋∞)上单调递减，B选项错误； 对于C，y＝在(0，＋∞)上单调递减，所以f(x)＝－在(0，＋∞)上单调递增，C选项正确； 对于D，f(x)＝3|x－1|在(0，＋∞)上不单调，D选项错误．故选C．] [典例3]　已知函数f(x)的图象关于直线x＝1对称，当x2>x1>1时，[f(x2)－f(x1)](x2－x1)<0恒成立，设a＝f，b＝f(2)，c＝f(e)，则a，b，c的大小关系为(　　) D　[因为f(x)的图象关于直线x＝1对称．由此可得f＝f.当x2>x1>1时，[f(x2)－f(x1)](x2－x1)<0恒成立，可知f(x)在(1，＋∞)上单调递减． 因为1<2<<e，所以f(2)>f>f(e)，所以b>a>c.] [典例4]　(2025·青岛模拟)已知函数f(x)是定义在区间[0，＋∞)上的函数，且在该区间上单调递增，则满足f(2x－1)<f的x的取值范围是(　　) A． B． C． D． D　[因为函数f(x)是定义在区间[0，＋∞)上的函数，且在该区间上单调递增，所以2x－1≥0且2x－1＜，所以x≥且x＜，所以≤x＜.故选D.] (2)(2024·新高考Ⅰ卷)已知函数f(x)＝在R上单调递增，则a的取值范围是(　　) 所以需满足解得－1≤a≤0， 即a的取值范围是[－1,0]．故选B.] [跟进训练] 2．(1)(多选)已知函数f(x)，∀x∈R，都有f(－2－x)＝f(x)成立，且任取x1，x2∈[－1，＋∞)，＜0(x1≠x2)，以下说法正确的是(　　) A．f(0)＞f(－3) B．∀x∈R，f(x)≤f(－1) C．f(a2－a＋1)≥f D．若f(m)＜f(2)，则－4＜m＜2 (1)AB　(2)D　[(1)由函数f(x)满足f(－2－x)＝f(x)，可知函数f(x)的图象关于直线x＝－1对称，又x1，x2∈[－1，＋∞)，＜0(x1≠x2)，则函数f(x)在[－1，＋∞)上单调递减．对于选项A，因为|－3－(－1)|＞|0－(－1)|，所以f(0)＞f(－3)，故A正确；对于选项B，由已知可得f(x)在(－∞，－1]上单调递增，在[－1，＋∞)上单调递减，即f(x)max＝f(－1)，故B正确；对于选项C，a2－a＋1＝2＋≥，又f(x)在[－1，＋∞)上单调递减，所以f(a2－a＋1)≤f，故C错误；对于选项D，若f(m)＜f(2)，则|m－(－1)|＞|2－(－1)|，则m＜－4或m＞2，故D错误．故选AB. 所以函数y＝x(x－a)＝2－在区间(0,1)上单调递减，因此≥1，解得a≥2，所以a的取值范围是[2，＋∞)．故选D.] (2)若函数f(x)＝的最小值为f(0)，则实数a的取值范围是(　　) 由x＜0，可得A(－1,3)；由x＞0，可得B. 由图知f(x)在(－∞，－1)上单调递减，在(－1,0)上单调递增，在上单调递减，在上单调递增， 所以当x＝－1时，y＝3， 当x＝时，y＝＞3， 所以f(x)的最小值为3.故选B. (2)当x＞0时，f(x)＝x＋＋a≥2＋a，当且仅当x＝，即x＝1时，等号成立，故当x＝1时取得最小值2＋a. [跟进训练] 3．(1)函数y＝1＋x－的值域为(　　) A． B． C． D． (2)享有“数学王子”美誉的高斯提出了取整函数y＝[x]，[x]表示不超过x的最大整数，例如[1.1]＝1，[－1.1]＝－2.已知f(x)＝，x∈，则函数f(x)的值域为________. (1)B　(2){4,5,6,7,8}　[(1)法一：设＝t，则t≥0，x＝，所以y＝1＋－t＝(－t2－2t＋3)＝－(t＋1)2＋2.因为t≥0，所以y≤. 所以函数y＝1＋x－的值域为. 法二：因为y＝1＋x－在定义域上单调递增，所以y＝1＋x－的值域为. (2)易知y＝x＋，x∈在上单调递减，在[2,6)上单调递增． 当x＝2时，y＝x＋＝4； 当x＝时，y＝x＋＝＋8； 当x＝6时，y＝x＋＝6＋， 所以y＝x＋∈，则函数f(x)的值域为{4,5,6,7,8}．] $$