06 第一章 高考研究在线1 预备知识在高考中的五大创新命题点-【名师导航】2026年高考数学一轮总复习课件（人教A版）

第一章　集合、常用逻辑用语、不等式 高考研究在线1　预备知识在高考中的五大创新命题点 　 　由八省联考开幕的新高考打破了本单元命题的“送分”模式，如：2021年新高考Ⅱ卷第20题第(2)问将三点共线问题与充要条件交汇在一起，2022年北京高考第9题将集合与立体几何动点轨迹问题交汇在一起，2022年新高考Ⅱ卷第17题第(2)问将集合与数列交汇在一起，2023年新高考Ⅰ卷第7题将充要条件与数列交汇在一起，2024年全国甲卷第9题、北京高考第5题将充分必要条件与平面向量交汇在一起……可见，高考命题在考查基础知识点的同时，也加强了知识模块间的相互渗透．因此，在备考复习中，我们既要熟练掌握数学的本质(概念、性质、运算、思想方法等)，也要重视知识间的内在联系，同时提升自己分析问题和解决问题的能力，全方位、多角度备战新高考． 高考研究在线1　预备知识在高考中的五大创新命题点 命题点一　集合运算的创新考法 [典例1]　(1)已知M，N均为R的子集，若N∪(∁RM)＝N，则(　　) A．M⊆N　　　　　　 B．N⊆M C．M⊆∁RN D．∁RN⊆M (2)某中学的学生积极参加体育锻炼，其中有96%的学生喜欢足球或游泳，60%的学生喜欢足球，82%的学生喜欢游泳，则该中学既喜欢足球又喜欢游泳的学生数占该校学生总数的比例是(　　) A．62%　 B．56% C．46%　 D．42% √ √ 高考研究在线1　预备知识在高考中的五大创新命题点 (1)D　(2)C　[(1)由题意知，∁RM⊆N，其Venn图如图所示， 所以只有∁RN⊆M正确．故选D. (2)设既喜欢足球又喜欢游泳的学生比例数为x. 由Venn图可知，82%－x＋60%＝96%， 解得x＝46%.故选C．] 高考研究在线1　预备知识在高考中的五大创新命题点 　两道考题与我们日常训练的题目的风格有点不同，尤其是第(1)题过于抽象，如果不深入思考很难找到解题的切入点； 第(2)题情境化较浓，若对容斥原理(人教A版必修第一册P15阅读与思考)不熟，也难以解答．实际上两道试题均考查Venn图的应用，考查直观想象素养． 高考研究在线1　预备知识在高考中的五大创新命题点 √ 命题点二　集合与其他知识的交汇问题 [典例2]　 (2022·北京高考)已知正三棱锥P-ABC的六条棱长均为6，S是△ABC及其内部的点构成的集合．设集合T＝{Q∈S|PQ≤5}，则T表示的区域的面积为(　　) 高考研究在线1　预备知识在高考中的五大创新命题点 高考研究在线1　预备知识在高考中的五大创新命题点 　该题源自人教A版必修第二册P163T5，虽然是空间动态问题，但整体难度不大，解答的关键是发现集合T＝{Q∈S|PQ≤5}的本质，同时抓住正三棱锥P-ABC的顶点P到平面ABC距离(PO)的不变性，借助直角三角形的三边关系求出圆O的半径． 高考研究在线1　预备知识在高考中的五大创新命题点 √ 命题点三　基于数学知识的逻辑推理问题 [典例3]　 关于x的方程x2＋ax＋b＝0，有下列四个命题： 甲：x＝1是该方程的根； 乙：x＝3是该方程的根； 丙：该方程两根之和为2； 丁：该方程两根异号. 如果只有一个假命题，则该命题是(　　) A．甲 B．乙 C．丙 D．丁 高考研究在线1　预备知识在高考中的五大创新命题点 A　[因为1×3>0,1＋3≠2，又四个命题三真一假，故甲、乙必有一个是假命题，由甲为假命题易知，符合题意，由乙为假命题推出矛盾．故选A．] 高考研究在线1　预备知识在高考中的五大创新命题点 　此题是基于数学知识背景下的逻辑推理问题，实际考查中，也可能基于数学文化、生活生产等，体现对逻辑推理素养及批判性思维能力的考查. 高考研究在线1　预备知识在高考中的五大创新命题点 √ 命题点四　 不等式与基本不等式问题 [典例4]　 (多选)已知a>0，b>0，且a＋b＝1，则(　　) √ √ 高考研究在线1　预备知识在高考中的五大创新命题点 高考研究在线1　预备知识在高考中的五大创新命题点 高考研究在线1　预备知识在高考中的五大创新命题点 √ 命题点五　充要条件的探求与证明问题 A．甲是乙的充分条件但不是必要条件 B．甲是乙的必要条件但不是充分条件 C．甲是乙的充要条件 D．甲既不是乙的充分条件也不是乙的必要条件 高考研究在线1　预备知识在高考中的五大创新命题点 高考研究在线1　预备知识在高考中的五大创新命题点 高考研究在线1　预备知识在高考中的五大创新命题点 高考研究在线1　预备知识在高考中的五大创新命题点 高考研究在线1　预备知识在高考中的五大创新命题点 高考研究在线1　预备知识在高考中的五大创新命题点 高考研究在线1　预备知识在高考中的五大创新命题点 　第(2)题借助直线与椭圆的位置关系，考查学生对充分性、必要性的认知和推理论证能力．教材中存在大量的充要条件的习题证明，如人教A版必修第一册P22练习T3、P23练习T5、P85练习 T3等，仔细体会教材习题的设计意图，有效备考，实现教考无缝衔接． 高考研究在线1　预备知识在高考中的五大创新命题点 A．　　 B．π C．2π　　 D．3π B　[如图，过点P作PO⊥平面ABC，O为垂足，则由题意知，CO＝2，PC＝6，所以PO＝2，当CO上存在一点Q使得PQ＝5，此时QO＝1，则动点Q在以QO为半径，O为圆心的圆上及圆内，所以T表示的区域的面积为π.故选B. A．a2＋b2≥ B．2a－b> C．log2a＋log2b≥－2 D．＋≤ ABD　[对于选项A，因为a2＋b2≥2ab，所以2(a2＋b2)≥a2＋b2＋2ab＝(a＋b)2＝1，所以a2＋b2≥，A正确；对于选项B，易知0<a<1,0<b<1，所以－1<a－b<1，所以2a－b>2－1＝，B正确；对于选项C，令a＝，b＝，则log2＋log2＝－2＋log2<－2，C错误；对于选项D，因为＝，所以[]2－(＋)2＝a＋b－2＝(－)2≥0，所以＋≤，D正确．故选ABD.] 　　　　　本题融不等式的性质、基本不等式、对数函数、指数函数等知识于一体，较为综合，解答此题的关键是熟知知识间的联系，如教材中重要不等式与基本不等式的关系：若a＞0，b＞0，则≤≤. [典例5]　 (1)(2023·新高考Ⅰ卷)设Sn为数列{an}的前n项和，设甲：{an}为等差数列；乙：为等差数列．则(　　) (2)(2021·新高考Ⅱ卷)已知椭圆C的方程为＋＝1(a>b>0)，右焦点为F(，0)，且离心率为. ①求椭圆C的方程； ②设M，N是椭圆C上的两点，直线MN与曲线x2＋y2＝b2(x>0)相切，证明：M，N，F三点共线的充要条件是|MN|＝. (1)C　[若{an}为等差数列，设其公差为d，则an＝a1＋(n－1)d，所以Sn＝na1＋d，所以＝a1＋(n－1)·，所以－＝a1＋(n＋1－1)·－＝为常数，所以为等差数列，即甲⇒乙；若为等差数列，设其公差为t，则＝＋(n－1)·t＝a1＋(n－1)t，所以Sn＝na1＋n(n－1)t，所以当n≥2时，an＝Sn－Sn－1＝na1＋n(n－1)t－[(n－1)a1＋(n－1)(n－2)t]＝a1＋2(n－1)t，当n＝1时，S1＝a1也满足上式，所以an＝a1＋2(n－1)t(n∈N*)，所以an＋1－an＝a1＋2(n＋1－1)t－[a1＋2(n－1)t]＝2t为常数，所以{an}为等差数列，即乙⇒甲，所以甲是乙的充要条件，故选C．] (2)解：①由题意知 解得所以椭圆C的方程为＋y2＝1. ②证明：证必要性，如图，当M，N，F三点共线时，设直线MN的方程为x＝my＋， 圆心O(0,0)到MN的距离d＝＝1⇒m2＝1， 联立⇒(m2＋3)y2＋2my－1＝0⇒4y2＋2my－1＝0，Δ＝8m2＋16，所以y1＋y2＝－，y1y2＝－，|MN|＝·＝×＝，必要性成立． 证充分性，当|MN|＝时，设直线MN的方程为x＝ty＋n， 此时圆心O(0,0)到MN的距离d＝＝1，n2－t2＝1，联立⇒(t2＋3)y2＋2tny＋n2－3＝0， Δ＝4t2n2－4(t2＋3)(n2－3)＝12(t2－n2＋3)＝24，y1＋y2＝－，y1y2＝，且|MN|＝·＝⇒t2＝1， 所以n2＝2.因为直线MN与曲线x2＋y2＝b2(x＞0)相切，所以n＞0，n＝，所以直线MN的方程为x＝ty＋，恒过点F(，0)， 所以M，N，F三点共线，充分性得证． 所以M，N，F三点共线的充要条件是|MN|＝. $$