04 第一章 第4课时 基本不等式-【名师导航】2026年高考数学一轮总复习课件（人教A版）

第一章　集合、常用逻辑用语、不等式 第4课时　基本不等式 [考试要求]　1.了解基本不等式的推导过程.2.会用基本不等式解决简单的最值问题.3.理解基本不等式在实际问题中的应用． 第4课时　基本不等式 链接教材·夯基固本 (1)基本不等式成立的条件：___________. (2)等号成立的条件：当且仅当_____时取等号． (3)其中，_______叫做正数a，b的算术平均数，_____叫做正数a，b的几何平均数． a>0，b>0 a＝b 课时分层作业 典例精研·核心考点 链接教材·夯基固本 第4课时　基本不等式 2．利用基本不等式求最值 已知x>0，y>0，则 提醒：利用基本不等式求最值应满足三个条件：“一正、二定、三相等”． 课时分层作业 典例精研·核心考点 链接教材·夯基固本 第4课时　基本不等式 [常用结论] 几个重要的不等式 课时分层作业 典例精研·核心考点 链接教材·夯基固本 第4课时　基本不等式 一、易错易混辨析(正确的打“√”，错误的打“×”) × × × × 课时分层作业 典例精研·核心考点 链接教材·夯基固本 第4课时　基本不等式 二、教材经典衍生 1．(人教A版必修第一册P45例2改编)设x＞0，y＞0，且x＋y＝18，则xy的最大值为(　　) A．80　　 B．77　　 C．81　　 D．82 √ 课时分层作业 典例精研·核心考点 链接教材·夯基固本 第4课时　基本不等式 √ 课时分层作业 典例精研·核心考点 链接教材·夯基固本 第4课时　基本不等式 3．(多选)(人教A版必修第一册P46练习T2改编)若a，b∈R，则下列不等式成立的是(　　) √ √ 课时分层作业 典例精研·核心考点 链接教材·夯基固本 第4课时　基本不等式 4．(人教A版必修第一册P46例3(2)改编)一段长为30 m的篱笆围成一个一边靠墙的矩形菜园，墙长18 m，当这个矩形的长为________m，宽为________m时，菜园面积最大． 课时分层作业 典例精研·核心考点 链接教材·夯基固本 第4课时　基本不等式 典例精研·核心考点 考点一　利用基本不等式求最值 　配凑法 A．最大值0　　　　 B．最小值9 C．最大值－3 D．最小值－3 √ 课时分层作业 典例精研·核心考点 链接教材·夯基固本 第4课时　基本不等式 课时分层作业 典例精研·核心考点 链接教材·夯基固本 第4课时　基本不等式 课时分层作业 典例精研·核心考点 链接教材·夯基固本 第4课时　基本不等式 　常数代换法 课时分层作业 典例精研·核心考点 链接教材·夯基固本 第4课时　基本不等式 课时分层作业 典例精研·核心考点 链接教材·夯基固本 第4课时　基本不等式 　消元法 [典例3]　已知x>0，y>0，x＋3y＋xy＝9，则x＋3y的最小值为 ______. 6　[法一(换元消元法)： 由已知得x＋3y＝9－xy， 因为x>0，y>0， 课时分层作业 典例精研·核心考点 链接教材·夯基固本 第4课时　基本不等式 当且仅当x＝3y，即x＝3，y＝1时取等号， 即(x＋3y)2＋12(x＋3y)－108≥0， 令x＋3y＝t，则t>0且t2＋12t－108≥0， 解得t≥6，即x＋3y的最小值为6. 课时分层作业 典例精研·核心考点 链接教材·夯基固本 第4课时　基本不等式 课时分层作业 典例精研·核心考点 链接教材·夯基固本 第4课时　基本不等式 　1．利用配凑法求最值，主要是配凑成“和为常数”或“积为常数”的形式，常用手段有添加项、拆项、调整参数、分离参数等． 课时分层作业 典例精研·核心考点 链接教材·夯基固本 第4课时　基本不等式 3．当所求最值的代数式中的变量比较多时，通常考虑利用已知条件消去部分变量后，凑出“和为常数”或“积为常数”的形式，最后利用基本不等式求最值． 4．构建目标式的不等式求最值，在既含有和式又含有积式的等式中，对和式或积式利用基本不等式，构造目标式的不等式求解． 课时分层作业 典例精研·核心考点 链接教材·夯基固本 第4课时　基本不等式 [跟进训练] 1．(1)(多选)下列函数中，函数的最小值为4的是(　　) √ (2)已知x>0，y>0，且xy＋x－2y＝4，则2x＋y的最小值是(　　) A．4　　 B．5　　　 C．7　　　 D．9 √ √ 课时分层作业 典例精研·核心考点 链接教材·夯基固本 第4课时　基本不等式 课时分层作业 典例精研·核心考点 链接教材·夯基固本 第4课时　基本不等式 课时分层作业 典例精研·核心考点 链接教材·夯基固本 第4课时　基本不等式 (3)令x－1＝m,2y－1＝n， 则m>0，n>0且m＋n＝x－1＋2y－1＝1， 课时分层作业 典例精研·核心考点 链接教材·夯基固本 第4课时　基本不等式 考点二　基本不等式的常见变形应用 [典例4]　(多选)若a＞0，b＞0，a＋b＝4，则下列不等式对一切满足条件的a，b恒成立的是(　　) √ √ √ 课时分层作业 典例精研·核心考点 链接教材·夯基固本 第4课时　基本不等式 课时分层作业 典例精研·核心考点 链接教材·夯基固本 第4课时　基本不等式 课时分层作业 典例精研·核心考点 链接教材·夯基固本 第4课时　基本不等式 　基本不等式的常见变形 课时分层作业 典例精研·核心考点 链接教材·夯基固本 第4课时　基本不等式 [跟进训练] 2．(1)(多选)(2022·新高考Ⅱ卷)若实数x，y满足x2＋y2－xy＝1，则(　　) A．x＋y≤1 B．x＋y≥－2 C．x2＋y2≤2 D．x2＋y2≥1 √ √ 课时分层作业 典例精研·核心考点 链接教材·夯基固本 第4课时　基本不等式 课时分层作业 典例精研·核心考点 链接教材·夯基固本 第4课时　基本不等式 课时分层作业 典例精研·核心考点 链接教材·夯基固本 第4课时　基本不等式 考点三　基本不等式的实际应用 [典例5]　(2025·泰安模拟)某水产公司拟在养殖室修建三个形状、大小完全相同的长方体育苗池，其平面图如图所示．每个育苗池的底面面积为200 m2，深度为2 m，育苗池的四周均设计为2 m宽的甬路．设育苗池底面的一条边长为x m(10≤x≤20)，甬路的面积为S m2. (1)求S与x之间的函数关系式； (2)已知育苗池四壁的造价为200元/m2，池底的造价为600元/m2，甬路的造价为100元/m2，若不考虑其他费用，求x 为何值时，总造价最低，并求最低造价． 课时分层作业 典例精研·核心考点 链接教材·夯基固本 第4课时　基本不等式 课时分层作业 典例精研·核心考点 链接教材·夯基固本 第4课时　基本不等式 课时分层作业 典例精研·核心考点 链接教材·夯基固本 第4课时　基本不等式 　利用基本不等式解决实际问题的注意点 (1)设变量时，一般把求最大值或最小值的变量定义为函数． (2)解题时，一定要注意变量的实际意义对变量取值范围的影响． (4)在实际问题中利用基本不等式求最值，必须指明等号成立的条件． 课时分层作业 典例精研·核心考点 链接教材·夯基固本 第4课时　基本不等式 A．135 B．149 C．165 D．195 √ 课时分层作业 典例精研·核心考点 链接教材·夯基固本 第4课时　基本不等式 (2)某公司计划租地建仓库，已知每月土地费用与仓库到车站的距离成反比，每月货物的运输费用与仓库到车站的距离成正比．经测算，若在距离车站10 km处建仓库，则每月的土地费用与运输费用分别为2万元和8万元．要使每月的两项费用之和最小，仓库和车站的距离应为(　　) A．4 km B．5 km C．6 km D．7 km √ 课时分层作业 典例精研·核心考点 链接教材·夯基固本 第4课时　基本不等式 课时分层作业 典例精研·核心考点 链接教材·夯基固本 第4课时　基本不等式 (2)设仓库到车站距离为x，每月土地费用为y1，每月货物的运输费用为y2， 课时分层作业 典例精研·核心考点 链接教材·夯基固本 第4课时　基本不等式 1．基本不等式：≤ (1)x＋y≥2，若xy等于定值p，那么当且仅当x＝y时，x＋y有最小值______(简记：积定和最小)． (2)xy≤2，若x＋y等于定值q，那么当且仅当x＝y时，xy有最大值___(简记：和定积最大)． 2 (1)两个不等式a2＋b2≥2ab与≥成立的条件是相同的．(　　) (2)若a>0，则a3＋的最小值为2.(　　) (3)函数f(x)＝sin x＋，x∈(0，π)的最小值为4.(　　) (4)“x＞0且y＞0”是“＋≥2”的充要条件．(　 　) C　[xy≤2＝81，当且仅当x＝y＝9时，等号成立．故选C．] 2．(人教A版必修第一册P48习题2.2T1(1)改编)已知x>2，则x＋的最小值是(　　) A．1 B．2 C．2 D．4 D　[因为x>2，所以x＋＝x－2＋＋2≥2＋2＝4，当且仅当x－2＝，即x＝3时，等号成立．故选D.] A．＋≥2 B．ab≤ C．≥2 D．≤ BC　[当<0时，A不成立；当ab<0时，D不成立．] 15　　[设矩形的长为x m，宽为y m，则x＋2y＝30(0＜x≤18)，所以S＝xy＝x·2y≤2＝，当且仅当x＝2y，即x＝15，y＝时取等号．] [典例1]　(1)若x<，则函数f(x)＝3x＋1＋有(　　) (2)函数y＝(x>1)的最小值为________. (1)C　(2)2＋2　[(1)因为x<，故3x－2<0，f(x)＝3x＋1＋＝3x－2＋＋3 ＝－＋3 ≤－2＋3＝－3， 当且仅当－(3x－2)＝，即x＝－时取等号．故选C． (2)因为x>1，所以x－1>0，则 y＝＝ ＝ ＝(x－1)＋＋2≥2＋2. 当且仅当x－1＝，即x＝＋1时，取等号．] [典例2]　已知x，y都是正数，且x＋y＝1，则＋的最小值为_______；＋的最小值为________. 9　3　[由x＞0，y＞0，x＋y＝1，得＋＝(x＋y)＝5＋＋≥5＋2＝9，当且仅当4x2＝y2，即x＝，y＝时，等号成立，所以＋的最小值为9.＋＝＋＝1＋＋，又x＞0，y＞0，所以＋≥2＝2，所以＋≥1＋2＝3，当且仅当x＝y，即x＝，y＝时，等号成立，所以＋的最小值为3.] 所以x＋3y≥2， 所以3xy≤2， 所以x＋3y＋2≥9， 法二(代入消元法)： 由x＋3y＋xy＝9，得x＝， 所以x＋3y＝＋3y＝ ＝＝ ＝3(1＋y)＋－6≥2－6 ＝12－6＝6， 当且仅当3(1＋y)＝，即x＝3，y＝1时等号成立， 所以x＋3y的最小值为6.] 2．常数代换法，主要解决形如“已知x＋y＝t(t为常数)，求＋的最值”的问题，先将＋转化为·，再用基本不等式求最值． A．y＝x(4－x) B．y＝ C．y＝＋(0＜x＜1) D．y＝ (3)若实数x>1，y>且x＋2y＝3，则＋的最小值为________. (1)CD　(2)C　(3)4　[(1)y＝x(4－x)≤2＝4，A错误； y＝＝＋，而＝无解，B错误； 因为x(1－x)≤2＝， 所以y＝＋＝≥4， 当且仅当x＝1－x，即x＝时取等号，C正确；y＝＝＋≥2＝4，当且仅当＝2时取等号，D正确．故选CD. (2)因为xy＋x－2y＝4，故(y＋1)x＝4＋2y，即x＝＝2＋， 故2x＋y＝4＋＋y＋1－1≥4＋2－1＝7，当且仅当＝y＋1，即x＝3，y＝1时取等号．故选C． 所以＋＝＋＝·(m＋n)＝2＋＋≥2＋2＝4， 当且仅当＝，即m＝n＝，x＝，y＝时取“＝”． 所以＋的最小值为4.] A．≤2 B．＋≤2 C．＋b2≥4 D．＋≥1 ACD　[对于A，a＞0，b＞0，a＋b≥2，即≤＝2，当且仅当a＝b＝2时等号成立，所以A正确； 对于B，a＞0，b＞0，(＋)2＝a＋b＋2＝4＋2≤4＋2×2＝8， 又＋＞0，则＋≤2，当且仅当a＝b＝2时等号成立，所以B错误； 对于C，a＋b＝4，b＝4－a＞0，所以0＜a＜4， 则＋b2＝＋(4－a)2＝－8a＋16＝(a－3)2＋4≥4，并且a＝3时等号成立，所以C正确； 对于D，a＞0，b＞0，a＋b＝4，所以＝1， 则＋＝·＝×≥×＝1， 当且仅当＝，即a＝b＝2时等号成立，所以D正确． 故选ACD.] (1)ab≤2≤(a∈R，b∈R)． (2)≤≤≤(a>0，b>0)． (2)当＜x＜时，函数y＝＋的最大值为________. (1)BC　(2)2　[(1)由x2＋y2－xy＝1，可得(x＋y)2－3xy＝1，而xy≤， 即1＝(x＋y)2－3xy≥(x＋y)2－＝，所以(x＋y)2≤4， 所以－2≤x＋y≤2，故A错误，B正确； 由x2＋y2－xy＝1，得x2＋y2－1＝xy≤，所以x2＋y2≤2，故C正确； 对于D选项，当x＝，y＝－时，满足题设条件，但x2＋y2＝，D错误．故选BC． (2)由≤，得a＋b≤2，则y＝＋≤2＝2， 当且仅当＝，即x＝时等号成立．] 解：(1)由题意可得每个育苗池底面的另一边长为 m， 则S＝(x＋4)－600＝8x＋＋32,10≤x≤20. (2)设总造价为w元，则w＝200×2＋600×3×200＋100S ＝2 400x＋＋360 000＋800x＋＋3 200 ＝3 200x＋＋363 200,10≤x≤20， 其中3 200x＋≥2＝96 000， 当且仅当3 200x＝，即x＝15∈[10,20]时，等号成立，故w＝3 200x＋＋363 200≥459 200， 所以当x＝15 m时，总造价最低，最低总造价为459 200元． (3)在应用基本不等式求函数最值时，若等号取不到，可利用函数的单调性求解，如利用f(x)＝x＋(a＞0)的单调性． [跟进训练] 3．(1)单位时间内通过道路上指定断面的车辆数被称为“道路容量”，“道路容量”与道路设施、交通服务、环境、气候等诸多条件相关．假设某条道路1 h通过的车辆数N满足关系N＝，其中d0(单位：m)为安全距离，v(单位：m/s)为车速．当安全距离d0取30 m时，该道路1 h“道路容量”的最大值约为(　　) (1)B　(2)B　[(1)由题意得， N＝＝≤ ≈149，当且仅当0.3v＝，即v＝10时取“＝”，所以该道路1 h“道路容量”的最大值约为149.故选B. 由题意可设y1＝，y2＝k2x， 把x＝10，y1＝2与x＝10，y2＝8分别代入上式得k1＝20，k2＝，所以y1＝，y2＝x，费用之和y＝y1＋y2＝＋x≥2＝8， 当且仅当＝x，即x＝5时等号成立． 所以当仓库建在离车站5 km处时，两项费用之和最小．故选B.] $$