专题03 代数式的化简求值（数学竞赛真题汇编）七年级全国通用

专题03 代数式的化简求值 1．（2024七年级下·山东济宁·竞赛）下列运算中，正确的是（    ） A． B． C． D． 2．（2024九年级上·浙江金华·竞赛）已知，，则的值等于（   ） A．10 B． C．0 D．10或 3．（24-25八年级上·江苏扬州）已知两个分式：；将这两个分式进行如下操作：第一次操作：将这两个分式作和，结果记为；作差，结果记为；（即）；第二次操作，将作和，结果记为；作差，结果记为；（即）；将每一次操作的结果再作和，作差，继续依次操作下去，通过实际操作，有以下结论： ①；②当时，； ③在第（n为正整数）次操作的结果中：．以上结论正确的个数是（   ） A．0 B．1 C．2 D．3 4．（2024七年级上·浙江宁波·竞赛）已知，则 ． 5．（2024七年级下·江苏无锡·竞赛），则的值为 ． 6．（2024七年级下·浙江杭州·竞赛）将一个三位数中间数码去掉，成为一个两位数，且满足，如．则所有这样的三位数有 个． 7．（2024九年级上·吉林长春·竞赛）已知是一元二次方程的一个根，则的值为 ． 8．（2024七年级下·江苏无锡·竞赛）如图，长方形中，若图中阴影部分的面积分别为，，，则 ． 9．（2024七年级上·江苏）当时，代数式的值是，当时，该式子的值是 ． 10．（2024·山东日照）对于有理数，若，则称x和y关于a的“和谐关联数”为m，例如，，则5和3关于2的“和谐关联数”为4．若和关于2的“和谐关联数”为1，和关于3的“和谐关联数”为1，…，和关于10的“和谐关联数”为1，…则的最小值为 ． 11．（24-25八年级上·贵州）若一个多位数的最高位数字与最低位数字之和为9，且最高位数字与最低位数字至少相差2，其余各数位上的数字均为9，我们把这样的多位数称为“完美数”，如：18，297，8991． 若将一个完美数按照以下程序操作： 完美数颠倒数的颠倒数称为和值． 案例1：． 案例2：． 若一个六位数是一个完美数，它的和值，则 ． 12．（2023七年级上·四川眉山·竞赛）已知，． (1)化简：； (2)若（1）中代数式的值与的取值无关，求的值． 1．（2024七年级·全国·竞赛）已知代数式的值与字母的取值无关，则代数式的值为 ． 2．（2024八年级·全国·竞赛）已知实数、、满足等式和，那么 ． 3．（2024七年级·全国·竞赛）已知在数轴上与实数对应的点如图所示，则化简的结果为 ． 4．（2024七年级·全国·竞赛）望望在计算一个多项式加上时，误将“加上”弄成了“减去”，算得的结果为，正确的结果应该是 ． 5．（2024七年级·全国·竞赛）如果与是同类项，那么代数式的值等于 ． 6．（2024七年级·全国·竞赛）已知，求的值． 7．（2024七年级·全国·竞赛）已知为常数，且对任意有理数，有恒成立．求的值． 8．（2024七年级·全国·竞赛）已知有理数a、b、c的相应点A、B、C在数轴上的位置如图所示，其中．化简． 9．（2024七年级·全国·竞赛）已知关于的多项式是二次三项式， (1)求和的值； (2)设，当时，求的值． 10．（2024七年级·全国·竞赛）一辆轻轨上原有人，在途中某站下车，又上车若干人，这时车上共有乘客人．问：在站上车的乘客是多少人？当时，在站上车的乘客是多少人？ 1 / 1 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题03 代数式的化简求值 1．（2024七年级下·山东济宁·竞赛）下列运算中，正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了合并同类项，积的乘方，单项式除以单项式，根据以上运算法则进行计算即可得到答案． 【详解】解：A. ，故该选项不正确，不符合题意；     B. ，故该选项不正确，不符合题意； C. ，故该选项不正确，不符合题意；     D. ，故该选项正确，符合题意； 故选：D． 2．（2024九年级上·浙江金华·竞赛）已知，，则的值等于（   ） A．10 B． C．0 D．10或 【答案】D 【分析】此题考查了完全平方公式，求平方根，代数式求值等知识，解题的关键是将式子正确变形． 首先由变形得到，然后计算，然后求平方根即可． 【详解】解：∵ ∴ ∴ ∵ ∴ ∴或． 故选：D． 3．（24-25八年级上·江苏扬州）已知两个分式：；将这两个分式进行如下操作：第一次操作：将这两个分式作和，结果记为；作差，结果记为；（即）；第二次操作，将作和，结果记为；作差，结果记为；（即）；将每一次操作的结果再作和，作差，继续依次操作下去，通过实际操作，有以下结论： ①；②当时，； ③在第（n为正整数）次操作的结果中：．以上结论正确的个数是（   ） A．0 B．1 C．2 D．3 【答案】C 【分析】本题考查分式的化简以及探究式子的规律．通过计算确定第个式子的变化规律和第个式子的变化规律，然后确定一般形式，进行判定即可． 【详解】解：∵，， ∴，， ，， ，， ， 当为奇数时（1除外）， ，， 当为偶数时， ，， ∵，故①正确； 当时，，故②正确； 由规律知，故③错误； 综上，正确的有①②，一共2个． 故选：C． 4．（2024七年级上·浙江宁波·竞赛）已知，则 ． 【答案】5 【分析】本题考查了代数式求值，由可得，再代入代数式计算即可求值，掌握整体代入思想是解题的关键． 【详解】解：∵， ∴， ∴， ∴原式， 故答案为：． 5．（2024七年级下·江苏无锡·竞赛），则的值为 ． 【答案】 【分析】本题考查了代数式求值，令，再把得到的两个式子相加即可得出的值，即可得解． 【详解】解：∵， ∴令，则， 令，则， 由可得：， ∴， 故答案为：． 6．（2024七年级下·浙江杭州·竞赛）将一个三位数中间数码去掉，成为一个两位数，且满足，如．则所有这样的三位数有 个． 【答案】6 【分析】本题考查了整式加减的应用，设三位数可以表示为，两位数可以表示为，可得，即得，得到是的倍数，进而得到，，据此即可求解，利用代数式求出三位数和两位数是解题的关键． 【详解】解：设三位数可以表示为，两位数可以表示为， ∴可表示为， 整理得，， 即， 可知是的倍数， ∵，， ∴， ∴， ∵，， ∴或或或或或，或或或或或， ∴这个三位数为或或或或或； 故答案为：6． 7．（2024九年级上·吉林长春·竞赛）已知是一元二次方程的一个根，则的值为 ． 【答案】 【分析】本题考查了一元二次方程的解的定义，求代数式的值，根据一元二次方程的解的定义，可得，然后把变形为，再利用整体代入的方法计算即可． 【详解】解：∵m是一元二次方程的一个根， ∴， ∴， ∴． 故答案为：． 8．（2024七年级下·江苏无锡·竞赛）如图，长方形中，若图中阴影部分的面积分别为，，，则 ． 【答案】11 【分析】本题考查了图形面积，整体代入的思想；设长方形面积为S，则， 观察图形可得，，得出，从而得出，即可求出结果． 【详解】解：如图所示， 设长方形面积为S，则， 由图形可知： ， ， ∴， ∵， ∴， ∵，，， ∴， 故答案为：． 9．（2024七年级上·江苏）当时，代数式的值是，当时，该式子的值是 ． 【答案】 【分析】本题考查了代数式求值，先化简代数式，再把代入化简后的结果可得，求出的值，再把以及的值代入代数式计算即可求解，解题的关键是求出的值． 【详解】解： ， ， ， 把代入得，， 解得， 把，代入代数式得， ． 故答案为：． 10．（2024·山东日照）对于有理数，若，则称x和y关于a的“和谐关联数”为m，例如，，则5和3关于2的“和谐关联数”为4．若和关于2的“和谐关联数”为1，和关于3的“和谐关联数”为1，…，和关于10的“和谐关联数”为1，…则的最小值为 ． 【答案】55 【分析】本题主要考查了绝对值的计算和绝对值的几何意义、数字类的规律探索等知识点，理解“和谐关联数”的定义是解题的关键． 根据绝对值的几何意义得出、的最小值，易得的最小值为，然后再运算该规律求解即可． 【详解】解：∵和关于2的“和谐关联数”为1， ∴， 当时，则，即， 当时，则，即， ， ， 当时，则，即， ， ； 当时，则，即， ∴的最小值为3； 同理的最小值为， 以此类推，可得的最小值为， ∴的最小值为，的最小值为，的最小值为；的最小值为； ∴的最小值为． 故答案为：55． 11．（24-25八年级上·贵州）若一个多位数的最高位数字与最低位数字之和为9，且最高位数字与最低位数字至少相差2，其余各数位上的数字均为9，我们把这样的多位数称为“完美数”，如：18，297，8991． 若将一个完美数按照以下程序操作： 完美数颠倒数的颠倒数称为和值． 案例1：． 案例2：． 若一个六位数是一个完美数，它的和值，则 ． 【答案】122221 【分析】本题考查了主要新定义运算，整式加减的应用，正确理解题意是解题的关键． 设完美数为，则数值为，那么颠倒数为，数值为，化简得到差值的绝对值为，则，可得可为7或5或3，再分类讨论求解即可． 【详解】解：设完美数为， 由完美数定义得：， ∴完美数数值为：， 则颠倒数为， ∴数值为：， 则差值的绝对值为：， ∵， ∴， ∵， ∴可为7或5或3， ①， ∴， ∴； ②， ∴， ∴； ③， ∴， ∴； 综上：， 故答案为：． 12．（2023七年级上·四川眉山·竞赛）已知，． (1)化简：； (2)若（1）中代数式的值与的取值无关，求的值． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了整式的加减－－无关型问题，解答本题的关键是理解题目中代数式的取值与哪一项无关的意思，与哪一项无关，就是合并同类项后令其系数等于0，由此建立方程求解． （1）先化简，再把A、B的值代入计算即可； （2）根据“式子的值与a的取值无关”得到关于b的等式，求解即可． 【详解】（1）解： ； 将，，代入上式，得 ． （2）解：∵（1）中式子的值与a的取值无关， 原式． 则， ∴． 1．（2024七年级·全国·竞赛）已知代数式的值与字母的取值无关，则代数式的值为 ． 【答案】 【分析】本题考查了整式的化简与二元一次方程的解．整式的加减运算实际上就是去括号、合并同类项，这是各地中考的常考点．将原式化简提出，则含的项为0，由此可得与的值，再将原代数式化简，代入与的关系式即可． 【详解】解： 此代数式的值与字母的取值无关， ， 得， 当时， 原式． 故答案为：． 2．（2024八年级·全国·竞赛）已知实数、、满足等式和，那么 ． 【答案】 【分析】本题考查完全平方的非负性，代入求值，先把式子变形，代入后得到，然后求出a，b，c代入即可解题． 【详解】解：由可得， 代入可得， 解得：， 解得：， ∴， ∴， 故答案为：． 3．（2024七年级·全国·竞赛）已知在数轴上与实数对应的点如图所示，则化简的结果为 ． 【答案】 【分析】此题考查了整式的加减，数轴，以及绝对值．由数轴上的点的位置及有理数的加减法则判断出绝对值里边式子的正负，利用绝对值的代数意义化简，去括号合并即可求解． 【详解】解：由数轴可知：， ∴，，， ∴ ． 故答案为：． 4．（2024七年级·全国·竞赛）望望在计算一个多项式加上时，误将“加上”弄成了“减去”，算得的结果为，正确的结果应该是 ． 【答案】 【分析】本题主要考查整式的加减，先计算出多项式A，在进行正确计算即可． 【详解】解：∵， ∴， ∴， 故答案为：． 5．（2024七年级·全国·竞赛）如果与是同类项，那么代数式的值等于 ． 【答案】 【分析】本题考查了利用同类项的定义求字母的值，整式的化简求值．先根据同类项的定义求出x，y的值，然后把所给代数式去括号合并同类项，再把求得的x，y的值代入计算即可． 【详解】解：由与为同类项得 ， 解得， ∴ ． 故答案为：． 6．（2024七年级·全国·竞赛）已知，求的值． 【答案】 【分析】本题主要考查了整式的化简求值，非负数的性质，先去括号，然后合并同类项化简，再根据非负数的性质求出a、b的值，最后代值计算即可． 【详解】解： ， ∵，， ∴， ∴， ∴ ∴原式 ． 7．（2024七年级·全国·竞赛）已知为常数，且对任意有理数，有恒成立．求的值． 【答案】 【分析】本题考查整式加减中的化简求值，解二元一次方程组．先根据恒成立求出x和y的值，再将所求整式去括号、合并同类项化简，最后代入求值即可．求出x和y的值是解题的关键． 【详解】解： 恒成立， ， 解得， ． 8．（2024七年级·全国·竞赛）已知有理数a、b、c的相应点A、B、C在数轴上的位置如图所示，其中．化简． 【答案】 【分析】本题考查数轴上表示有理数、化简绝对值，整式的加减，根据数轴得出，，，，再根据整式的加减运算化简即可． 【详解】解：由题意可得： ，，，， 所以原式． 9．（2024七年级·全国·竞赛）已知关于的多项式是二次三项式， (1)求和的值； (2)设，当时，求的值． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了多项式的次数，系数求字母，整式的化简求值，运用正确的运算顺序进行运算是解答本题的关键． （1）根据二次三项式的定义进行求解即可； （2）将代入可求出y的值，再化简式子，将x，y的值代入求解即可． 【详解】（1）解： 的多项式是二次三项式， ，， ，； （2）当时，， ， ，时，原式． 10．（2024七年级·全国·竞赛）一辆轻轨上原有人，在途中某站下车，又上车若干人，这时车上共有乘客人．问：在站上车的乘客是多少人？当时，在站上车的乘客是多少人？ 【答案】人，人 【分析】本题考查了整式加减的应用以及求值，熟练掌握整式的加减运算法则是解题关键．利用站共有乘客人数减去轻轨上的原有乘客在站下车后所剩的乘客即可得在站上车的乘客人数，再将代入计算即可得． 【详解】解：由题意得：在站上车的乘客为 （人）． 将代入得：（人）， 答：在站上车的乘客是人，当时，在站上车的乘客是175人． 1 / 1 学科网（北京）股份有限公司 $$