3.2.1 第二课时 函数的最大（小）值课时分层训练-2025-2026学年高一上学期数学人教A版必修第一册

3.2.1 第二课时 函数的最大（小）值 层级(一)　“四基”落实练 1．函数f(x)＝－x2＋4x－6，x∈[0,5]的值域为(　　) A．[－6，－2]　　　　　　 B．[－11，－2] C．[－11，－6] D．[－11，－1] 2．函数f(x)＝则f(x)的最大值、最小值分别为(　　) A．10,6 B．10,8 C．8,6 D．以上都不对 3．若函数y＝ax＋1在[1,2]上的最大值与最小值的差为2，则实数a的值是(　　) A．2 B．－2 C．2或－2 D．0 4．某公司在甲、乙两地同时销售一种品牌车，利润(单位：万元)分别为L1＝－x2＋21x和L2＝2x(其中销售量单位：辆)．若该公司在两地共销售15辆，则能获得的最大利润为(　　) A．90万元 B．60万元 C．120万元 D．120.25万元 5．已知定义在R上的函数f(x)＝x2＋2ax＋3在(－∞，1]上是减函数，当x∈[a＋1,1]时，f(x)的最大值与最小值之差为g(a)，则g(a)的最小值为(　　) A. B．1 C. D．2 6．若一次函数f(x)的定义域为[－3,2]，值域为[2,7]，则f(x)＝__________________. 7．用min{a，b}表示a，b两个数中的最小值．设f(x)＝min{x＋2，10－x}(x≥0)，则f(x)的最大值为________． 8．已知函数f(x)＝，x∈[3,5]． (1)判断函数f(x)的单调性； (2)求函数f(x)的最大值和最小值． 层级(二)　“能力”提升练 1．(多选)已知函数f(x)＝x2－2x＋2，关于f(x)的最大(小)值有如下结论，其中正确的是(　　) A．f(x)在区间[－1,0]上的最小值为1 B．f(x)在区间[－1,2]上既有最小值，又有最大值 C．f(x)在区间[2,3]上有最小值2，最大值5 D．当0<a<1时，f(x)在区间[0，a]上的最小值为f(a)；当a>1时，f(x)在区间[0，a]上的最小值为1 2．(多选)定义一种运算min{a，b}＝设f(x)＝min{4＋2x－x2，|x－t|}(t为常数)，且x∈[－3,3]，则使函数f(x)最大值为4的t值可以是(　　) A．－2 B．6 C．4 D．－4 3．若函数f(x)＝在区间[2,4]上的最小值为5，则k的值为________． 4．某家庭进行理财投资，根据长期收益率市场预测，投资债券等稳健型产品的年收益与投资额成正比，投资股票等风险型产品的年收益与投资额的算术平方根成正比．已知投资1万元时两类产品的年收益分别为0.125万元和0.5万元(如图1和图2)． 　　　　图1　　　　　　　　图2 (1)分别写出两种产品的年收益与投资额的函数关系式； (2)该家庭现有20万元资金，全部用于理财投资，问：怎样分配资金能使投资获得最大年收益，最大年收益是多少万元？ 5．已知函数g(x)＝ax2－2ax＋1＋b(a＞0)在区间[2,3]上有最大值4和最小值1. (1)求a，b的值； (2)设f(x)＝，若不等式f(x)－k＞0在x∈(2,5]上恒成立，求实数k的取值范围． 6．已知函数f(x)对任意的x，y∈R，总有f(x)＋f(y)＝f(x＋y)，且当x>0时，f(x)<0，f(1)＝－. (1)求证：f(x)在R上为减函数； (2)求f(x)在[－3,3]上的最大值及最小值． 2 学科网（北京）股份有限公司 $$ 3.2.1 第二课时 函数的最大（小）值 层级(一)　“四基”落实练 1．函数f(x)＝－x2＋4x－6，x∈[0,5]的值域为(　　) A．[－6，－2]　　　　　　 B．[－11，－2] C．[－11，－6] D．[－11，－1] 解析：选B　函数f(x)＝－x2＋4x－6＝－(x－2)2－2，x∈[0,5]，所以当x＝2时，f(x)取得最大值为－(2－2)2－2＝－2；当x＝5时，f(x)取得最小值为－(5－2)2－2＝－11，所以函数f(x)的值域为[－11，－2]． 2．函数f(x)＝则f(x)的最大值、最小值分别为(　　) A．10,6 B．10,8 C．8,6 D．以上都不对 解析：选A　当1≤x≤2时，8≤2x＋6≤10；当－1≤x<1时，6≤x＋7<8， ∴f(x)min＝f(－1)＝6，f(x)max＝f(2)＝10. 3．若函数y＝ax＋1在[1,2]上的最大值与最小值的差为2，则实数a的值是(　　) A．2 B．－2 C．2或－2 D．0 解析：选C　由题意知a≠0，当a＞0时，函数y＝ax＋1在[1,2]上单调递增，有(2a＋1)－(a＋1)＝2，解得a＝2；当a＜0时，函数y＝ax＋1在[1,2]上单调递减，有(a＋1)－(2a＋1)＝2，解得a＝－2.综上知，a＝±2. 4．某公司在甲、乙两地同时销售一种品牌车，利润(单位：万元)分别为L1＝－x2＋21x和L2＝2x(其中销售量单位：辆)．若该公司在两地共销售15辆，则能获得的最大利润为(　　) A．90万元 B．60万元 C．120万元 D．120.25万元 解析：选C　设公司在甲地销售x辆，则在乙地销售(15－x)辆，公司获利为L＝－x2＋21x＋2(15－x)＝－x2＋19x＋30＝－2＋30＋， ∴当x＝9或10时，L最大为120万元． 5．已知定义在R上的函数f(x)＝x2＋2ax＋3在(－∞，1]上是减函数，当x∈[a＋1,1]时，f(x)的最大值与最小值之差为g(a)，则g(a)的最小值为(　　) A. B．1 C. D．2 解析：选B　∵f(x)在(－∞，1]上是减函数， ∴－a≥1，即a≤－1. ∴f(x)在[a＋1,1]上的最大值为f(a＋1)＝3a2＋4a＋4，最小值为f(1)＝4＋2a， ∴g(a)＝3a2＋2a＝32－， ∵g(a)在(－∞，－1]上单调递减， ∴g(a)的最小值为g(－1)＝1. 6．若一次函数f(x)的定义域为[－3,2]，值域为[2,7]，则f(x)＝__________________. 解析：设y＝kx＋b， 则当k＞0时，得解得 当k＜0时，得解得 故f(x)＝x＋5或－x＋4. 答案：x＋5或－x＋4 7．用min{a，b}表示a，b两个数中的最小值．设f(x)＝min{x＋2，10－x}(x≥0)，则f(x)的最大值为________． 解析：在同一平面直角坐标系内画出函数y＝x＋2和y＝10－x的图象．根据min{x＋2，10－x}(x≥0)的含义可知，f(x)的图象应为图中实线部分．解方程x＋2＝10－x，得x＝4，此时y＝6，故两图象的交点坐标为(4,6)．由图象可知，函数f(x)的最大值为6. 答案：6 8．已知函数f(x)＝，x∈[3,5]． (1)判断函数f(x)的单调性； (2)求函数f(x)的最大值和最小值． 解：(1)任取x1，x2∈[3,5]且x1<x2，则f(x1)－f(x2) ＝－＝ ＝ ＝. ∵x1，x2∈[3,5]且x1<x2， ∴x1－x2<0，x1＋2>0，x2＋2>0， ∴f(x1)－f(x2)<0，∴f(x1)<f(x2)， ∴函数f(x)＝在[3,5]上为增函数． (2)由(1)知，当x＝3时，函数f(x)取得最小值，为f(3)＝；当x＝5时，函数f(x)取得最大值，为f(5)＝. 层级(二)　“能力”提升练 1．(多选)已知函数f(x)＝x2－2x＋2，关于f(x)的最大(小)值有如下结论，其中正确的是(　　) A．f(x)在区间[－1,0]上的最小值为1 B．f(x)在区间[－1,2]上既有最小值，又有最大值 C．f(x)在区间[2,3]上有最小值2，最大值5 D．当0<a<1时，f(x)在区间[0，a]上的最小值为f(a)；当a>1时，f(x)在区间[0，a]上的最小值为1 解析：选BCD　函数f(x)＝x2－2x＋2＝(x－1)2＋1的图象开口向上，对称轴为直线x＝1.在选项A中，因为f(x)在区间[－1,0]上单调递减，所以f(x)在区间[－1,0]上的最小值为f(0)＝2，A错误；在选项B中，因为f(x)在区间[－1,1]上单调递减，在[1,2]上单调递增，所以f(x)在区间[－1,2]上的最小值为f(1)＝1，又因为f(－1)＝5，f(2)＝2，f(－1)>f(2)，所以f(x)在区间[－1,2]上的最大值为f(－1)＝5，B正确；在选项C中，因为f(x)在区间[2,3]上单调递增，所以f(x)在区间[2,3]上的最小值为f(2)＝2，最大值为f(3)＝5，C正确；在选项D中，当0<a<1时，f(x)在区间[0，a]上单调递减，所以f(x)的最小值为f(a)，当a>1时，因为f(x)在区间[0,1]上单调递减，在[1，a]上单调递增，所以f(x)在区间[0，a]上的最小值为f(1)＝1，D正确．故选B、C、D. 2．(多选)定义一种运算min{a，b}＝设f(x)＝min{4＋2x－x2，|x－t|}(t为常数)，且x∈[－3,3]，则使函数f(x)最大值为4的t值可以是(　　) A．－2 B．6 C．4 D．－4 解析：选AC　如图，要使y＝4＋2x－x2在x∈[－3,3]上取到4，由4＋2x－x2＝4，解得x＝2或x＝0，所以要使函数f(x)最大值为4，则根据定义和图象可知，当t＜1，即x＝2时，|2－t|＝4，此时解得t＝－2；当t＞1，即x＝0时，|0－t|＝4，此时解得t＝4，故t＝－2或4. 3．若函数f(x)＝在区间[2,4]上的最小值为5，则k的值为________． 解析：当k＝0时，不满足．当k>0时，y＝f(x)＝在[2,4]上是减函数，∴f(x)min＝f(4)＝＝5，∴k＝20满足条件．当k<0时，y＝f(x)＝在[2,4]上是增函数，∴f(x)min＝f(2)＝＝5，∴k＝10.又∵k<0，∴k＝10舍去．综上有k＝20. 答案：20 4．某家庭进行理财投资，根据长期收益率市场预测，投资债券等稳健型产品的年收益与投资额成正比，投资股票等风险型产品的年收益与投资额的算术平方根成正比．已知投资1万元时两类产品的年收益分别为0.125万元和0.5万元(如图1和图2)． 　　　　图1　　　　　　　　图2 (1)分别写出两种产品的年收益与投资额的函数关系式； (2)该家庭现有20万元资金，全部用于理财投资，问：怎样分配资金能使投资获得最大年收益，最大年收益是多少万元？ 解：(1)依题意可设投资债券类产品的年收益f(x)＝k1x(x≥0)，投资股票类产品的年收益g(x)＝k2(x≥0)． ∵f(1)＝k1＝，g(1)＝k2＝， ∴f(x)＝x(x≥0)，g(x)＝(x≥0)． (2)设投资债券类产品x万元，则投资股票类产品(20－x)万元，年收益为y万元． 依题意得y＝f(x)＋g(20－x)， 即y＝＋(0≤x≤20)． 令t＝，则x＝20－t2，t∈[0,2]， ∴y＝＋，t∈[0,2]， 即y＝－(t－2)2＋3，t∈[0,2]， ∴当t＝2，即x＝20－t2＝16时，年收益最大，最大年收益为3万元． 5．已知函数g(x)＝ax2－2ax＋1＋b(a＞0)在区间[2,3]上有最大值4和最小值1. (1)求a，b的值； (2)设f(x)＝，若不等式f(x)－k＞0在x∈(2,5]上恒成立，求实数k的取值范围． 解：(1)∵g(x)的图象开口向上，且对称轴方程为x＝1， ∴g(x)在[2,3]上单调递增． ∴ 解得a＝1，b＝0. (2)∵f(x)－k＞0在x∈(2,5]上恒成立， ∴只需k＜f(x)min. 由(1)知f(x)＝＝x＋ ＝x－2＋＋2≥2 ＋2＝4. 当且仅当x－2＝，即x＝3时等号成立， ∴k＜4，故k的取值范围为(－∞，4)． 6．已知函数f(x)对任意的x，y∈R，总有f(x)＋f(y)＝f(x＋y)，且当x>0时，f(x)<0，f(1)＝－. (1)求证：f(x)在R上为减函数； (2)求f(x)在[－3,3]上的最大值及最小值． 解：(1)证明：令x＝y＝0，则2f(0)＝f(0)，∴f(0)＝0. 令x＝－y，则f(－y)＋f(y)＝f(－y＋y)． ∴f(y)＋f(－y)＝f(0)＝0，即f(－y)＝－f(y)． 令x－y>0， 则f(x－y)＝f(x)＋f(－y)＝f(x)－f(y)<0， 即f(x)<f(y)．∴函数f(x)在R上为减函数． (2)∵f(x)在R上为减函数， ∴f(x)在[－3,3]上单调递减， ∴f(x)max＝f(－3)＝3f(－1)＝－3f(1)＝－3×＝2，f(x)min＝f(3)＝－f(－3)＝－2. 2 学科网（北京）股份有限公司 $$