3.1二次根式的概念及性质（第1课时二次根式的概念）（教学课件）数学新教材湘教版八年级上册

湘教版2024·八年级上册 3.1 二次根式的概念及性质 第1课时 二次根式的概念 第3章 二次根式 学 习 目 标 1 2 3 了解二次根式的定义； 理解二次根式在实数范围内有意义的条件；（重点） 掌握二次根式的两条重要性质.（重点） 知识回顾 问题1 什么叫做平方根? 问题2 什么叫做算术平方根? 一般地，如果一个数的平方等于 a，那么这个数叫做 a 的平方根. a 的算术平方根表示为： a 的平方根表示为： （1）2，3，5的算术平方根分别是怎样表示的？ （2）用运载火箭发射航天飞船时，火箭必须达到一定的速度(称为第一宇宙速度)，才能克服地球的引力，将飞船送入环地球运行的轨道.第一字宙速度 v与地球半径R之间存在如下关系：v2=gR，其中g为重力加速度.若已知地球半径R，则第一宇宙速度 是多少？（用带有根号的式子表示） （3）比较（1）（2）的结果，它们在表达形式上有什么共同特征？ 新知探究 思 考 ① 都含有""，根指数都为 2; ② 被开方数为非负数. 新知探究 总结归纳 二次根式的概念： 形如的式子叫作二次根式， 根号下的数叫作被开方数. 判断二次根式，抓住二次根式两个必备特征： ①外貌特征：含有""; ②内在特征：被开方数a≥0. 新知探究 总结归纳 注意：可以是数，也可以是式. 二次根式满足什么条件时有意义？ 注意：由于在实数范围内，负实数没有平方根，因此只有当被开方数是非负实数(a≥0)时，二次根式才在实数范围内有意义． 新知探究 总结归纳 二次根式的双重非负性 二次根式的被开方数或式非负 二次根式的值非负 典例分析 例1 当x是怎样的实数时, 二次根式 在实数范围内有意义? 解：由x-1≥0，解得x≥1. 因此，当x≥1时，二次根式 在实数范围内有意义. 方法技巧 注意：由于在实数范围内，负实数没有平方根，因此只有当被开方数a≥0时，二次根式才在实数范围内有意义． 被开方数 新知探究 我们知道一个非负数a的平方根有两个，是，是a的算术平方根。 那么是a的一个平方根，就有. 典例分析 例2 计算： （1） （2） 的性质： 一般地 ， ＝a (a≥0). 解：（1） （2） 新知探究 做一做 填空： (1) , (2) , (3) , (4) . 思考： 1.(1)与(3)、(2)与(4)这两组题的被开方数下乘方的底数有什么联系？ 2.每组题的结果与它们的被开方数下乘方的底数有什么关系？ 2 2 1.2 1.2 互为相反数 底数的绝对值 =∣∣ 新知探究 总结归纳 的性质 =∣∣= a (a≥0) - a (a＜0) 典例分析 例2 计算： （1） （2） =∣∣ 新知应用 基础巩固题 1. 判断下列式子是否是二次根式 是 是 是 不是 是 不是 不是 不是 判断一个式子是否为二次根式，看所给的式子是否同时具备两个特征： (1)含根号且根指数为2(通常省略不写)；(2)被开方数(式)为非负数 非负数+正数恒大于零 根指数是3 非负数+正数恒大于零 非负数 负数 新知应用 基础巩固题 2.若式子 在实数范围内有意义，则 x 的取值 范围是_______； A 被开方数a≥0 紧扣与的结构特征 ＝a (a≥0). =∣∣ x=0 新知应用 基础巩固题 4. 则a的取值范围是( ) A.a>3 B.a≥3 C.a<3 D. a≤3 B 5.当1＜x＜4时，化简结果是（　　） A．﹣3 B．3 C．2x﹣5 D．5 解：当1＜x＜4时，1﹣x＜0，x﹣4＜0， ∴＝|1﹣x|﹣|x﹣4|＝x﹣1+x﹣4＝2x﹣5 C =∣∣ 新知应用 基础巩固题 6.当x是怎样的实数时，下列二次根式有意义． (1) ； (2) 方法技巧 注意：由于在实数范围内，负实数没有平方根，因此只有当被开方数a≥0时，二次根式才在实数范围内有意义． 解：(1)由1-x≥0，解得x1. 因此，当x1时，二次根式 在实数范围内有意义. (2)由2x-3≥0，解得x. 因此，当x时，二次根式 在实数范围内有意义. 新知应用 基础巩固题 7.计算： (1) (2) 解：（1） （2） ＝a (a≥0). 新知应用 基础巩固题 8.计算： (1); (2) (3): (4) 解：（1） （2） -3∣=3 （3） （4） 正确运用 =∣∣ ①先加绝对值 ②根据正负性去绝对值 新知应用 能力提升题 方法技巧 求使代数式有意义的字母取值范围的类型 ①二次根式型：被开方数≥0 ②含分母型：分母≠0 ③0指数幂型：a中a≠0 ④复合型：应取各个部分字母取值范围的公共部分． 9.当x是怎样的实数时，下列二次根式有意义． (1) ； (2) (3)+ 解：(1)由题意可得， 所以，得 解得 新知应用 能力提升题 (2)因为被开方数需大于或等于零，且分母不能等于零， 所以，得 解得 (3)由题意可得， 所以，得 解得且 10.化简． （1）m＜﹣3时；（2）﹣3≤m≤2时；（3）m＞2时． 新知应用 能力提升题 分析：可先利用二次根式的性质把所给代数式化为|m﹣2|+|m+3|，再分别根据所给的m的取值范围去掉绝对值号进行合并即可． 解：∵|m﹣2|+|m+3|， （1）当m＜﹣3时，m﹣2＜0，m+3＜0， ∴原式＝﹣（m﹣2）﹣（m+3）＝﹣m+2﹣m﹣3＝﹣2m﹣1； （2）当﹣3≤m≤2时，m﹣2≤0，m+3≥0， ∴原式＝﹣（m﹣2）+（m+3）＝﹣m+2+m+3＝5； （3）当m＞2时，m﹣2＞0，m+3＞0，∴原式＝m﹣2+m+3＝2m+1． 新知应用 能力提升题 11.已知 y = ， 求 3x + 2y 的算术平方根. 解：由题意得 x-3≥0 且3-x≥0 ∴ x≥3 且x ∴x = 3. ∴ y = 8. ∴ 3x + 2y = 25. 方法技巧 关键是根据二次根式有意义的条件，建立不等式组，求得待定字母的取值，进而解决问题 ∵ 25 的算术平方根为 5， ∴ 3x + 2y 的算术平方根为 5． 新知应用 能力提升题 12.已知 | 3x - y - 1 |和 互为相反数，求 x + 4y 的平方根． 解：由题意得 3x - y - 1 = 0 且 2x + y - 4 = 0． 解得 x = 1，y = 2． ∴ x + 4y = 1 + 2×4 = 9. ∴ x + 4y 的平方根为 ±3. 多个非负式的和为零，则可得每个非负式均为零.初中阶段学过的非负式主要有绝对值、偶次幂及二次根式. 课堂小结 二次根式 二次根式的概念 二次根式有意义的条件 被开方数≥0 二次根式的性质 感谢聆听! 3．下列计算正确的是(　　) A．－()2＝－6 B．()2＝9 C.＝±16 D．＝ $$