3.2.1 第一课时　函数的单调性课件-2025-2026学年高一上学期数学人教A版必修第一册

该高中数学课件聚焦函数单调性，涵盖概念理解、定义证明、单调区间求解及应用。通过课前预习任务单（教材梳理填空、微思考辨析定义关键点）搭建基础，课堂师生共研结合证明四步骤与图象分析示例，形成“预习-探究-应用”学习支架，衔接前后知识。 其亮点是以核心素养为导向，结构化证明步骤培养逻辑推理，图象分析发展直观想象，变条件题与创新性问题激发创新意识。递进式设计助学生深化理解与应用，教师可直接用任务单和题型示例提升教学效率。

3．2　函数的基本性质 3. 2. 1　单调性与最大(小)值 第一课时　函数的单调性 明确目标 发展素养 1.理解函数的单调性的概念，能运用函数图象理解和研究函数的单调性 2.会用函数单调性的定义判断(证明)一些函数的单调性 3.会求一些具体函数的单调区间 1.借助单调性的证明，培养逻辑推理素养 2.通过求单调区间及应用单调性解题，培养直观想象和数学运算素养 知识点　函数的单调性 (一)教材梳理填空 1．增函数与减函数的定义： [微思考]　(1)所有的函数在定义域上都具有单调性吗？ 提示：不是． (2)增(减)函数定义中的x1，x2有什么特征？ 提示：定义中的x1，x2有以下三个特征． ①任意性，即“任意取x1，x2”中“任意”二字绝不能去掉，证明时不能以特殊代替一般；②有大小，通常规定x1<x2；③属于同一个单调区间． 续表 2．单调性与单调区间： 如果函数y＝f(x)在区间I上单调递增或单调递减，那么就说函数y＝f(x)在这一区间具有(严格的)单调性，区间I叫做y＝f(x)的 ． (二)基本知能小试 1．判断正误： (1)所有函数在定义域上都具有单调性． (　　) (2)因为f(－1)＜f(2)，所以函数f(x)在[－1,2]上单调递增． (　　) (3)若f(x)是R上的减函数，则f(－3)>f(2)． (　　) (4)若函数f(x)在区间(1,2]和(2,3)上均单调递增，则函数f(x)在区间(1,3)上也单调递增． (　　) 答案：(1)×　(2)×　(3)√　(4)× 单调区间 2．函数y＝f(x)的图象如图所示，其增区间是 (　　) A．[－4,4] B．[－4，－3]∪[1,4] C．[－3,1] D．[－3,4] 解析：由图可知，函数y＝f(x)的单调递增区间为[－3,1]，选C. 答案：C　 解析：选项A、B、C中的函数在(0，＋∞)上都是增函数，选项D满足条件． 答案：D　 4．函数f(x)＝－x2－2x的单调递增区间是_______． 答案：(－∞，－1] 5．若y＝(2k－1)x＋b是R上的减函数，则k的取值范围为________，b的取值范围为________． 利用定义证明函数单调性的四个步骤 题型二　求函数的单调区间　 【学透用活】 (1)如果函数f(x)在其定义域内的两个区间A，B上都是增(减)函数，则两个区间用“，”或“和”连接，不能用“∪”连接． (2)书写单调区间时，若函数在区间的端点处有定义，则写成闭区间、开区间均可．但若函数在区间的端点处无定义，则必须写成开区间． [典例2]　画出函数y＝－x2＋2|x|＋3的图象，并指出函数的单调区间． 2．[变条件]将本例中“y＝－x2＋2|x|＋3”改为“y＝|－x2＋2x＋3|”，如何求解？ 解：函数y＝|－x2＋2x＋3|的图象如图所示． 由图象可知其单调递增区间为[－1,1]，[3，＋∞)；单调递减区间为(－∞，－1)，(1,3)． 题型三　函数单调性的应用　 【学透用活】 [典例3]　(1)已知函数f(x)＝－x2－2(a＋1)x＋3. ①若函数f(x)在区间(－∞，3]上是增函数，则实数a的取值范围是________； ②若函数f(x)的单调递增区间是(－∞，3]，则实数a的值为________． (2)若函数f(x)＝x2＋ax＋b在区间[1,2]上不单调，则实数a的取值范围为________． [方法技巧] 函数单调性的应用策略 (1)比较函数值的大小：解决此类问题时，应根据函数的性质(如对称性等)将自变量转化到函数的同一个单调区间上，利用单调性比较大小． (2)解函数不等式：求解此类问题，主要是利用函数的单调性将“f”符号脱掉，使其转化为具体的不等式求解．此时应特别注意函数的定义域． (3)求参数范围：其方法是根据函数的单调性，构建含参数的方程(组)或不等式(组)进行求解，或先得到图象的升降情况，再结合图象求解．　　 1．函数f(x)是R上的增函数且f(a)＋f(b)＞f(－a)＋f(－b)，则 (　　) A．a＞b＞0 B．a－b＞0 C．a＋b＞0 D．a＞0，b＞0 解析：当a＋b＞0时，a＞－b，b＞－a. ∵函数f(x)是R上的增函数， ∴f(a)＞f(－b)，f(b)＞f(－a)， ∴f(a)＋f(b)＞f(－a)＋f(－b)．故选C. 答案：C　 3．已知函数f(x)＝x2＋ax＋b在(－∞，1]上单调递减，在[1，＋∞)上单调递增，且f(m＋2)<f(2)，则实数m的取值范围是________． 二、创新性——强调创新意识和创新思维 2．是否存在函数f(x)，其在定义域上既不是增函数，也不是减函数？如果不存在，说明理由；如果存在，举出实例． 提示：存在，如f(x)＝c(c为常数)，f(x)＝x2在定义域R上既不是增函数，也不是减函数．(答案不唯一) 减 条件 一般地，设函数f(x)的定义域为D，区间I⊆D：如果∀x1，x2∈I，当x1＜x2时 都有 都有 结论 那么就称函数f(x)在区间I上是 函数 那么就称函数f(x)在区间I上是 函数 f(x1)＞f(x2) f(x1)＜f(x2) 增 图示 3．下列函数中，在区间(0，＋∞)上是减函数的是 (　　) A．y＝－eq \f(1,x)　　　　　　 B．y＝x C．y＝x2 D．y＝1－x 答案：eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－∞，\f(1,2)))　R 题型一　判断(证明)函数的单调性　 【学透用活】 [典例1]　求证：函数f(x)＝x＋eq \f(1,x)在(0,1)上是减函数． [证明]　设x1，x2是区间(0,1)上的任意两个实数，且x1<x2，则f(x1)－f(x2)＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x1＋\f(1,x1)))－eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x2＋\f(1,x2)))＝(x1－x2)＋eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,x1)－\f(1,x2)))＝(x1－x2)＋eq \f(x2－x1,x1x2)＝(x1－x2)·eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1－\f(1,x1x2)))＝eq \f(x1－x2－1＋x1x2,x1x2). ∵0<x1<x2<1， ∴x1－x2<0,0<x1x2<1.则－1＋x1x2<0， ∴eq \f(x1－x2－1＋x1x2,x1x2)>0，即f(x1)>f(x2)， ∴f(x)＝x＋eq \f(1,x)在(0,1)上是减函数． eq \a\vs4\al([方法技巧]) 【对点练清】 试用函数单调性的定义证明：f(x)＝eq \f(2x,x－1)在(1，＋∞)上是减函数． 证明：f(x)＝2＋eq \f(2,x－1)，设x1>x2>1， 则f(x1)－f(x2)＝eq \f(2,x1－1)－eq \f(2,x2－1)＝eq \f(2x2－x1,x1－1x2－1)， 因为x1>x2>1， 所以x2－x1<0，x1－1>0，x2－1>0，所以f(x1)<f(x2)， 所以f(x)在(1，＋∞)上是减函数． [解]　y＝－x2＋2|x|＋3＝eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\co1(－x－12＋4，x≥0，,－x＋12＋4，x<0.))函数图象如图所示．函数在(－∞，－1]，[0,1]上是增函数，函数在[－1,0]，[1，＋∞)上是减函数．所以函数的单调递增区间是(－∞，－1]和[0,1]，单调递减区间是(－1,0)和(1，＋∞)． eq \a\vs4\al([方法技巧]) 1．用图象法求函数单调区间的步骤 (1)作图：作出函数的图象． (2)结论：上升图象对应单调递增区间，下降图象对应单调递减区间． 2．常见函数的单调区间 (1)y＝ax＋b，a>0时，单调递增区间为(－∞，＋∞)；a<0时，单调递减区间为(－∞，＋∞)． (2)y＝eq \f(a,x)，a>0时，单调递减区间为(－∞，0)和(0，＋∞)；a<0时，单调递增区间为(－∞，0)和(0，＋∞)． (3)y＝a(x－m)2＋n，a>0时，单调递减区间为(－∞，m]，单调递增区间为(m，＋∞)；a<0时，单调递增区间为(－∞，m]，单调递减区间为(m，＋∞)．　　 【对点练清】 1．函数f(x)＝eq \f(1,x－1)的单调递减区间为________． 解析：函数f(x)＝eq \f(1,x－1)的定义域为(－∞，1)∪(1，＋∞)， 设∀x1，x2∈(－∞，1)，且x1<x2， 则f(x1)－f(x2)＝eq \f(1,x1－1)－eq \f(1,x2－1)＝eq \f(x2－x1,x1－1x2－1). 因为x1<x2<1，所以x2－x1>0，x1－1<0，x2－1<0， 所以f(x1)－f(x2)>0，即f(x1)>f(x2)． 所以函数f(x)在(－∞，1)上单调递减． 同理，函数f(x)在(1，＋∞)上单调递减． 综上，函数f(x)的单调递减区间是(－∞，1)，(1，＋∞)． 答案：(－∞，1)，(1，＋∞) [解析]　(1)f(x)＝－x2－2(a＋1)x＋3 ＝－(x＋a＋1)2＋(a＋1)2＋3. 因此函数的单调递增区间为(－∞，－a－1]． ①由f(x)在(－∞，3]上是增函数知3≤－a－1， 解得a≤－4，即实数a的取值范围为(－∞，－4]． ②由题意得－a－1＝3，a＝－4. (2)函数f(x)的对称轴方程为x＝－eq \f(a,2)，要使函数f(x)在区间[1,2]上不单调，则1＜－eq \f(a,2)＜2，解得－4＜a＜－2. [答案]　(1)①(－∞，－4]　②－4　(2)(－4，－2) 2．已知函数f(x)＝ax2－x＋a＋1在(－∞，2)上单调递减，则a的取值范围是(　　) A.eq \b\lc\(\rc\](\a\vs4\al\co1(0，\f(1,4))) B.eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(0，\f(1,4))) C．[2，＋∞) D．[0,4] 解析：当a＝0时f(x)＝－x＋1满足条件；当a≠0时， 由题可知a＞0且－eq \f(b,2a)＝eq \f(1,2a)≥2得0＜a≤eq \f(1,4). 综上所述，a∈eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(0，\f(1,4))).故选B. 答案：B　 解析：∵f(x)在(－∞，1]上单调递减， 在[1，＋∞)上单调递增， ∴－eq \f(a,2)＝1，∴a＝－2.如图． ∵f(m＋2)<f(2)，f(0)＝f(2)， ∴0<m＋2<2， ∴－2<m<0， 则实数m的取值范围为(－2,0)． 答案：(－2,0) 【课堂思维激活】 一、综合性——强调融会贯通 1．已知f(x)＝eq \f(x,x－a)(x≠a)． (1)若a＝－2，试证f(x)在(－∞，－2)上单调递增； (2)若a＞0且f(x)在(1，＋∞)上单调递减，求a的取值范围． 解：(1)证明：当a＝－2时，f(x)＝eq \f(x,x＋2). 任取x1，x2∈(－∞，－2)，且x1＜x2， 则f(x1)－f(x2)＝eq \f(x1,x1＋2)－eq \f(x2,x2＋2)＝eq \f(2x1－x2,x1＋2x2＋2). 因为x1，x2∈(－∞，－2)，且x1＜x2， 所以(x1＋2)(x2＋2)＞0，x1－x2＜0， 所以f(x1)－f(x2)＜0，即f(x1)＜f(x2)， 所以f(x)在(－∞，－2)上单调递增． (2)任取x1，x2∈(1，＋∞)，且x1＜x2， 则f(x1)－f(x2)＝eq \f(x1,x1－a)－eq \f(x2,x2－a)＝eq \f(ax2－x1,x1－ax2－a). 因为a＞0，x2－x1＞0，又由题意知f(x1)－f(x2)＞0， 所以(x1－a)(x2－a)＞0恒成立，所以a≤1， 即0＜a≤1，所以a的取值范围为(0,1]． $$