3.2.1 第二课时 函数的最大(小)值课件-2025-2026学年高一上学期数学人教A版必修第一册

该高中数学课件聚焦函数的最大(小)值，涵盖概念理解、图象与单调性求法及实际应用。通过自主学习任务单梳理定义与几何意义，结合微思考辨析关键点，知能小试衔接旧知，搭建从概念到应用的学习支架。 其亮点是分层递进设计，课前预习夯实基础，课堂典例（如分段函数图象分析、二次函数含参最值讨论）培养直观想象与数学运算素养，实际应用问题（如利润计算）强化数学建模。学生提升问题解决能力，教师可直接用于教学，高效落实素养目标。

3. 2. 1 第二课时　函数的最大(小)值 明确目标 发展素养 1.理解函数的最大值和最小值的概念 2.能借助函数的图象和单调性，求一些简单函数的最值 3.能利用函数的最值解决有关的实际应用问题 1.借助函数最值的求法，培养直观想象和数学运算素养 2.利用函数的最值解决实际问题，培养数学建模素养 知识点　函数的最大值与最小值 (一)教材梳理填空 函数最大值与最小值：   最大值 最小值 条件 一般地，设函数y＝f(x)的定义域为D，如果存在实数M满足：∀x∈D，都有 f(x) M f(x) M ∃x0∈D，使得_________ 结论 M是函数y＝f(x)的最大值 M是函数y＝f(x)的最小值 几何意义 f(x)图象上最高点的______ f(x)图象上最低点的______ ≤ ≥ f(x0)＝M 纵坐标 纵坐标 [微思考]　若函数f(x)≤M，则M一定是函数的最大值吗？ 提示：不一定，只有定义域内存在一点x0， 使f(x0)＝M时，M才是函数的最大值，否则不是． (二)基本知能小试 1．判断正误： (1)若对任意x∈D，都有f(x)≤M，则M是函数f(x)的最大值． (　　) (2)如果函数有最值，则最值一定是其值域中的一个元素． (　　) (3)如果函数的值域是确定的，则它一定有最值． (　　) (4)函数的最大值一定比最小值大． (　　) (5)若函数f(x)在区间[－1,2]上是减函数，则函数f(x)在区间[－1,2]上的最大值为f(－1)． (　　) 答案：(1)×　(2)√　(3)×　(4)√　(5)√ 3．设函数f(x)＝3x－1(x＜0)，则f(x) (　　) A．有最大值 B．有最小值 C．既有最大值又有最小值 D．既无最大值又无最小值 解析：∵f(x)在(－∞，0)上单调递增， ∴f(x)＜f(0)＝－1，故选D. 答案：D　 题型一　图象法求函数的最值问题　 【学透用活】 [解]　(1)图象如图所示． (2)由图象可知f(x)的单调递增区间为[－1,0]，[2,5]；单调递 减区间为(0,2)，值域为[－1,3]． [方法技巧] 利用图象求函数最值的步骤 (1)画出函数y＝f(x)的图象． (2)观察图象，找出图象的最高点和最低点． (3)写出最值，最高点的纵坐标是函数的最大值，最低点的纵坐标是函数的最小值．　　 题型二　利用单调性求函数最值　 【学透用活】 利用单调性求最值的常用结论 (1)如果函数f(x)在区间[a，b]上是增(减)函数，则f(x)在区间[a，b]的左、右端点处分别取得最小(大)值和最大(小)值． (2)如果函数f(x)在区间(a，b]上是增函数，在区间[b，c)上是减函数，则函数f(x)在区间(a，c)上有最大值f(b)．　 (3)如果函数f(x)在区间(a，b]上是减函数，在区间[b，c)上是增函数，则函数f(x)在区间(a，c)上有最小值f(b)．　 利用单调性求函数的最大(小)值的一般步骤 (1)判断函数的单调性． (2)利用单调性求出最大(小)值． 提醒：(1)求最值时一定要求定义域． (2)闭区间上的最值，不判断单调性而直接将两端点值代入是最容易出现的错误，求解时一定注意．　　 因为2≤x1<x2≤4， 所以x1－x2<0,1－x1<0,1－x2<0， 所以f(x1)－f(x2)<0，即f(x1)<f(x2)， 所以f(x)在[2,4]上是增函数， 所以f(x)max＝f(4)＝1，f(x)min＝f(2)＝－3. 题型三　二次函数在区间上的最值　 【学透用活】 [典例3]　已知函数f(x)＝x2－ax＋1. (1)求f(x)在[0,1]上的最大值； (2)当a＝1时，求f(x)在闭区间[t，t＋1](t∈R)上的最小值．  [方法技巧] 1．含参数的二次函数最值问题的解法 解决含参数的二次函数的最值问题，首先将二次函数化为y＝a(x＋h)2＋k的形式，再依a的符号确定抛物线的开口方向，依对称轴x＝－h得出顶点的位置，再根据x的定义区间结合大致图象确定最大值或最小值． 2．含参数的二次函数最值问题的三种类型 (1)区间固定，对称轴变动(含参数)，求最值． (2)对称轴固定，区间变动(含参数)，求最值． (3)区间固定，最值也固定，对称轴变动，求参数． 通常都是根据区间端点和对称轴的相对位置进行分类讨论．　　 2．已知二次函数f(x)＝x2－2x＋3. (1)当x∈[－2,0]时，求f(x)的最值； (2)当x∈[－2,3]时，求f(x)的最值； (3)(定轴动区间)当x∈[t，t＋1]时，求f(x)的最小值g(t)． 解：f(x)＝x2－2x＋3＝(x－1)2＋2，其对称轴为x＝1，开口向上． (1)当x∈[－2,0]时，f(x)在[－2,0]上是减函数， 故当x＝－2时，f(x)有最大值f(－2)＝11； 当x＝0时，f(x)有最小值f(0)＝3. 题型四　函数最值的实际应用　 【学透用活】 [典例4]　一个工厂生产某种产品每年需要固定投资100万元，此外每生产1件该产品还需要增加投资1万元，年产量为x(x∈N*)件．当x≤20时，年销售总收入为(33x－x2)万元；当x＞20时，年销售总收入为260万元．记该工厂生产并销售这种产品所得的年利润为y万元．(年利润＝年销售总收入－年总投资) (1)求y(单位：万元)与x(单位：件)的函数关系式． (2)当该工厂的年产量为多少件时，所得年利润最大？最大年利润是多少？ [方法技巧] 求解实际问题的四个步骤 【对点练清】 1．用长为24 m的材料围一矩形场地，中间加两道隔墙(隔墙也用这种材料)，要使矩形面积最大，则隔墙的长度为_______m. 2．将进货单价为40元的商品按50元一个出售时，能卖出500个．已知这种商品每涨价1元，其销售量就减少10个，为得到最大利润，售价应为多少元？最大利润为多少？ 解：设售价为x元，利润为y元，单个涨价(x－50)元，销量减少10(x－50)个，销量为500－10(x－50)＝(1 000－10x)个，则y＝(x－40)(1 000－10x)＝－10(x－70)2＋9 000.故当x＝70时，ymax＝9 000. 即售价为70元时，利润最大，最大利润为9 000元． 提示：(1)不正确．没有考虑到u还可以小于0. [析题建模]　销售收入(数学运算)→总成本(数学运算)→利润(逻辑推理)→求最值(数学运算)． 三、创新性——强调创新意识和创新思维 3．有如下条件：①函数的最小值为1；②函数图象过点(－2,2)；③函数的图象与y轴交点的纵坐标为2.在这三个条件中任选一个，将下面问题补充完整，并求解． 已知二次函数f(x)＝ax2＋bx＋c(a≠0)，满足f(x＋1)－f(x)＝2x＋3，且满足________(填所选条件的序号)． (1)求函数f(x)的解析式； (2)设g(x)＝f(x)－2tx，当x∈[1，＋∞)时，函数g(x)的最小值为－2，求实数t的值． 2.函数y＝f(x)在[－2,2]上的图象如图所示，则此函数的最小值、最大值分别是 (　　) A．－1,0　　　　 B．0,2 C．－1,2 D.eq \f(1,2)，2 解析：由图可知，f(x)的最大值为f(1)＝2，f(x)的最小值为f(－2)＝－1. 答案：C　 4．函数f(x)＝eq \f(1,x)，x∈[1,2]，则f(x)的最大值为________，最小值为________． 解析：∵f(x)＝eq \f(1,x)在区间[1,2]上为减函数， ∴f(2)≤f(x)≤f(1)，即eq \f(1,2)≤f(x)≤1. 答案：1　eq \f(1,2) [典例1]　已知函数f(x)＝eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\co1(3－x2，x∈[－1，2]，,x－3，x∈2，5].)) (1)在直角坐标系内画出f(x)的图象； (2)根据函数的图象写出函数的单调区间和值域． 【对点练清】 对于每个实数x，设f(x)是y＝4x＋1，y＝x＋2和y＝－2x＋4这三个函数值中的最小值，则函数f(x)的最大值为 (　　) A.eq \f(8,3)　　　　　　　　 B．3 C.eq \f(2,3) D.eq \f(1,2) 解析：由题意，可得函数f(x)的图象如图所示． 由eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\co1(y＝－2x＋4，,y＝x＋2))得Aeq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(2,3)，\f(8,3)))， ∴f(x)的最大值为eq \f(8,3). 答案：A　 [典例2]　已知函数f(x)＝eq \f(2x＋1,x＋1). (1)判断函数在区间(－1，＋∞)上的单调性，并用定义证明你的结论； (2)求该函数在区间[2,4]上的最大值和最小值． [解]　(1)f(x)在(－1，＋∞)上为增函数，证明如下： 设∀x1，x2∈(－1，＋∞)，且x1＜x2， 则f(x1)－f(x2)＝eq \f(2x1＋1,x1＋1)－eq \f(2x2＋1,x2＋1)＝eq \f(x1－x2,x1＋1x2＋1). 因为－1＜x1＜x2⇒x1＋1＞0，x2＋1＞0，x1－x2＜0， 所以f(x1)－f(x2)＜0⇒f(x1)＜f(x2)， 所以f(x)在(－1，＋∞)上为增函数． (2)由(1)知f(x)在[2,4]上单调递增， 所以f(x)的最小值为f(2)＝eq \f(2×2＋1,2＋1)＝eq \f(5,3)， 最大值为f(4)＝eq \f(2×4＋1,4＋1)＝eq \f(9,5). eq \a\vs4\al([方法技巧]) 【对点练清】 已知函数f(x)＝eq \f(6,1－x)＋3(x∈[2,4])，求函数f(x)的最大值和最小值． 解：设x1，x2是[2,4]上任意两个实数，且x1<x2， 所以f(x1)－f(x2)＝eq \f(6,1－x1)＋3－eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(6,1－x2)＋3)) ＝eq \f(6,1－x1)－eq \f(6,1－x2) ＝eq \f(61－x2－61－x1,1－x11－x2)＝eq \f(6x1－x2,1－x11－x2)， [解]　(1)因为函数f(x)＝x2－ax＋1的图象开口向上，其对称轴为x＝eq \f(a,2)， 所以区间[0,1]的哪一个端点离对称轴远，则在哪个端点取到最大值， 当eq \f(a,2)≤eq \f(1,2)，即a≤1时，f(x)的最大值为f(1)＝2－a； 当eq \f(a,2)>eq \f(1,2)，即a>1时，f(x)的最大值为f(0)＝1. (2)当a＝1时，f(x)＝x2－x＋1，其图象的对称轴为x＝eq \f(1,2). ①当t≥eq \f(1,2)时，f(x)在[t，t＋1]上是增函数， 所以f(x)min＝f(t)＝t2－t＋1； ②当t＋1≤eq \f(1,2)，即t≤－eq \f(1,2)时，f(x)在[t，t＋1]上是减函数， 所以f(x)min＝f(t＋1)＝t2＋t＋1； ③当t<eq \f(1,2)<t＋1，即－eq \f(1,2)<t<eq \f(1,2)时，函数f(x)在eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(t，\f(1,2)))上单调递减，在eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\f(1,2)，t＋1))上单调递增， 所以f(x)min＝feq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))＝eq \f(3,4). 【对点练清】 1．二次函数f(x)＝eq \f(1,2)x2－2x＋3在[0，m]上有最大值3，最小值1，则实数m的取值范围是________． 解析：因为f(x)＝eq \f(1,2)x2－2x＋3在[0,2]上单调递减，在[2，＋∞)上单调递增．则当0<m<2时，eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\co1(f0＝3，,fm＝1，))此时无解；当2≤m≤4时，在x＝2处有最小值1，在x＝0或x＝4处有最大值3，此时条件成立；当m>4时，最大值必大于f(4)＝3，此时条件不成立．综上可知，实数m的取值范围是[2,4]． 答案：[2,4] (2)当x∈[－2,3]时，f(x)在[－2,3]上先递减后递增， 故当x＝1时，f(x)有最小值f(1)＝2. 又|－2－1|>|3－1|， 所以f(x)的最大值为f(－2)＝11. (3)①当t>1时，f(x)在[t，t＋1]上是增函数，所以当x＝t时，f(x)取得最小值，此时g(t)＝f(t)＝t2－2t＋3. ②当t≤1≤t＋1，即0≤t≤1时， f(x)在[t，t＋1]上先递减后递增， 故当x＝1时，f(x)取得最小值，此时g(t)＝f(1)＝2. ③当t＋1<1，即t<0时，f(x)在[t，t＋1]上是减函数，所以当x＝t＋1时，f(x)取得最小值，此时g(t)＝f(t＋1)＝t2＋2，综上得g(t)＝eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\co1(t2－2t＋3，t>1，,2，0≤t≤1，,t2＋2，t<0.)) [解]　(1)当0＜x≤20时， y＝(33x－x2)－x－100＝－x2＋32x－100； 当x＞20时，y＝260－100－x＝160－x. 故y＝eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\co1(－x2＋32x－100，0＜x≤20，,160－x，x＞20))(x∈N*)． (2)当0＜x≤20时，y＝－x2＋32x－100＝－(x－16)2＋156，当x＝16时，ymax＝156. 而当x＞20时，160－x＜140， 故x＝16时取得最大年利润，最大年利润为156万元． 即当该工厂年产量为16件时，取得最大年利润为156万元． 解析：设隔墙长度为x m，场地面积为S m2，则 S＝x·eq \f(24－4x,2)＝12x－2x2＝－2(x－3)2＋18. 所以当x＝3时，S有最大值． 答案：3 【课堂思维激活】 一、综合性——强调融会贯通 1．请先阅读下列材料，然后回答问题． 对于问题“已知函数f(x)＝eq \f(1,3＋2x－x2)，问：函数f(x)是否存在最大值或最小值？若存在，求出最大值或最小值；若不存在，说明理由”，一个同学给出了如下解答： 令u＝3＋2x－x2，则u＝－(x－1)2＋4，当x＝1时，u有最大值，umax＝4，显然u没有最小值．故当x＝1时，f(x)有最小值eq \f(1,4)，没有最大值． (1)你认为上述解答是否正确？若不正确，说明理由，并给出正确的解答． (2)试研究函数y＝eq \f(2,x2＋x＋2)的最值情况． 正解如下： 令u＝3＋2x－x2，则u＝－(x－1)2＋4≤4， 当0＜u≤4时，eq \f(1,u)≥eq \f(1,4)，即f(x)≥eq \f(1,4)；当u＜0时，eq \f(1,u)＜0，即f(x)＜0.∴f(x)＜0或f(x)≥eq \f(1,4)， 即f(x)既无最大值，也无最小值． (2)∵x2＋x＋2＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x＋\f(1,2)))2＋eq \f(7,4)≥eq \f(7,4)， ∴0＜y≤eq \f(8,7)， ∴函数y＝eq \f(2,x2＋x＋2)的最大值为eq \f(8,7)，无最小值． 二、应用性——强调学以致用 2．某产品生产厂家根据以往的销售经验得到下面有关生产销售的统计规律：每生产产品x(单位：万件)，其总成本为G(x)(单位：万元)，其中固定成本为2.8万元，并且每生产1万件的生产成本为1万元(总成本＝固定成本＋生产成本)． 销售收入R(x)(单位：万元)满足：R(x)＝eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\co1(－0.4x2＋4.2x，x∈N，0≤x≤5，,11，x∈N，x>5.)) 假定该产品产销平衡(即生产的产品都能卖掉)，根据上述统计规律，请回答下列问题： (1)写出利润函数y＝f(x)的解析式(利润＝销售收入－总成本)； (2)工厂生产多少万件产品时，可使盈利最多？ 解：(1)由题意得G(x)＝2.8＋x， 所以f(x)＝R(x)－G(x) ＝eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\co1(－0.4x2＋3.2x－2.8，x∈N，0≤x≤5，,8.2－x，x∈N，x>5.)) (2)当x>5时，因为函数f(x)单调递减， 所以f(x)<8.2－5＝3.2(万元)； 当0≤x≤5时，函数f(x)＝－0.4(x－4)2＋3.6， 当x＝4时，f(x)有最大值为3.6(万元)． 综上，当工厂生产4万件产品时，可使盈利最大为3.6万元． 解：(1)∵f(x)＝ax2＋bx＋c(a≠0)，∴f(x＋1)－f(x)＝a(x＋1)2＋b(x＋1)＋c－(ax2＋bx＋c)＝2ax＋a＋b＝2x＋3，∴eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\co1(2a＝2，,a＋b＝3，))解得eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\co1(a＝1，,b＝2.)) ∴f(x)＝x2＋2x＋c. 选择条件①：f(x)＝(x＋1)2＋c－1， ∴f(x)min＝c－1＝1，即c＝2； 选择条件②： f(－2)＝(－2)2＋2(－2)＋c＝2，即c＝2； 选择条件③：f(0)＝c＝2. ∴f(x)＝x2＋2x＋2. (2)由题意g(x)＝f(x)－2tx＝x2＋2x＋2－2tx＝x2＋2(1－t)x＋2，其对称轴为x＝t－1. ①当t－1≤1，即t≤2时，g(x)min＝g(1)＝5－2t＝－2，解得t＝eq \f(7,2)(舍去)； ②当t－1＞1，即t＞2时，g(x)min＝g(t－1)＝－t2＋2t＋1＝－2，解得t＝3或t＝－1(舍去)． 综上，t＝3. $$