专题 2.6 直角三角形（知识梳理 + 题型精析 +同步练习） 基础知识专项突破讲练2025-2026学年八年级数学上册（浙教版 2024）

专题 2.6 直角三角形 目录 一．知识梳理与题型分类精析 1 知识点（一）直角三角形性质定理1 1 【题型1】利用直角三角形两锐角互余求值 2 【题型2】利用直角三角形两锐角互余证明 2 知识点（二）直角三角形性质定理2 3 【题型3】利用“直角三角形斜边上的中线等于斜边一半”求值 4 【题型4】利用“直角三角形斜边上的中线等于斜边一半”证明 5 知识点（三）直角三角形的判定 6 【题型5】利用“有两个角互余的三角形是直角三角形”求值 6 【题型6】利用“有两个角互余的三角形是直角三角形”证明 7 二．同步练习 8 【基础巩固（16题）】 8 【能力提升（20题）】 12 【中考真题10题】 17 一．知识梳理与题型分类精析 知识点（一）直角三角形性质定理1 我们知道，有一个角是直角的三角形叫作直角三角形，直角三角形可以用符号“”表示，如图1的三角形可记为。 因为“三角形三个内角的和等于180°”，直角三角形两个锐角的和为，所以直角三角形有以下性质定理: 直角三角形的两个锐角互余。 几何语言：在中，； . 图1 【题型1】利用直角三角形两锐角互余求值 【例题1】（2025八年级上·全国·专题练习）如图，是的边上的高，平分交于点，若，，求和的度数． 【变式1】（24-25八年级上·安徽淮南·阶段练习）如图是个边长相等的小正方形组合成的图形，则的度数之和为（   ） A． B． C． D． 【变式2】（24-25七年级下·山东·期末）如图，在中，，、分别是的高和角平分线，点E为边上一点，当为直角三角形时，则 ．    【题型2】利用直角三角形两锐角互余证明 【例题2】（24-25八年级下·陕西渭南·期中）如图，D为内部一点，E为上一点，连接、，，于点D．求证：是等腰三角形． 【变式1】（2025八年级上·全国·专题练习）如图，在中，直角顶点在直线上，过点、分别作直线的垂线，垂足分别为、求证：． 【变式2】（2025八年级上·全国·专题练习）如图，在锐角三角形中，点，分别在边，上，于点，于点，，求证：． 知识点引入1： 【例题3】（2025·山东潍坊·二模） 如图，中，是的中点，连接．求证： 由例题3，可以得到： 知识点（二）直角三角形性质定理2 直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半。 图2 数学语言：在中，， 斜边中线， . 【题型3】利用“直角三角形斜边上的中线等于斜边一半”求值 【例题4】（24-25八年级下·全国·期中）如图，在中， ，是边上的中线，于点，交的延长线于点，若 ，求的度数． 【变式1】（24-25八年级下·北京西城·期末）如图，在Rt与Rt中，，点和点位于边的同侧，为边的中点．连接，若，则 ． 【变式2】（24-25八年级下·四川达州·期末） 如图，在中，，分别以点C，B为圆心，以大于为半径画弧，两弧相交于点M，N，作直线分别交于点D，E，连接相交于点P．若，则的大小为 ． 【变式3】（22-23八年级下·河北廊坊·期末）如图，在中，为边的中点，若，则（　　）    A．3 B．4 C．5 D． 【题型4】利用“直角三角形斜边上的中线等于斜边一半”证明 【例题5】（24-25八年级下·广东东莞·期中）如图，已知，，E为的中点．求证：． 【变式1】（24-25八年级下·北京房山·期末）如图，在中，，，分别是斜边上的高和中线，那么下列结论不一定成立的是（   ） A． B． C． D． 【变式2】（24-25八年级上·全国·课后作业）如图，在四边形中，，分别是的中点，证明： （1）； （2）． 知识点引入1： 【例题6】（23-24七年级下·江苏南京·期中）“直角三角形的两个锐角互余”的逆命题是_________，请证明这个逆命题是真命题， 已知：_________ 求证：_________ 由例题6可以得出 知识点（三）直角三角形的判定 有两个角互余的三角形是直角三角形 图3 数学语言：（如图3），在中， 为直角三角形。 【题型5】利用“有两个角互余的三角形是直角三角形”求值 【例题7】（2024·广东潮州·一模）如图所示，和都是等腰直角三角形，是的中点，． （1）求证：； （2）求的长． 【变式1】（24-25九年级上·湖南株洲·开学考试）如图 ，中 ， ，以点为圆心 ，适当长为半径画弧 ，交于点，交于点，再分别以点为圆心 ，大于的长为半径画弧 ，两弧（所在圆的半径相等）在的内部相交于点；画射线与相交于点，则的大小为（  ） A． B． C． D． 【变式2】（2024八年级上·全国·专题练习）裁剪师傅将一块长方形布料沿着折叠，使点落在边上的点处，若，则 ． 【题型6】利用“有两个角互余的三角形是直角三角形”证明 【例题8】（24-25七年级下·上海·期中）如图，已知，与相交于点． （1）求证：；（2）求证：． 【变式1】（22-23八年级·全国·课堂例题）如图，在中，是边上的高，E是边上一点，交于点M，且．求证：是直角三角形． 【变式2】（23-24八年级上·海南省直辖县级单位·期中）已知为的中线，． （1）是怎样的角？ （2）证明你的猜想． 【变式3】（2025·河北邯郸·三模）如图，，，交于点E，M为斜边的中点，若，．对于和之间的数量关系，三位同学给出了不同的猜测：甲：，乙：，丙：，其中正确的是（　　） A．甲 B．乙 C．丙 D．甲和丙都有可能 二．同步练习 【基础巩固（16题）】 一、单选题 1．（24-25八年级下·山东德州·期末）如图，将直角三角尺放置在刻度尺上，斜边上三个点A，D，B对应的刻度分别为1，4，7（单位：），则的长度为（    ） A． B． C． D． 2．（24-25七年级下·四川成都·期末）如图，将直角三角形纸片进行折叠，使得点B恰好落到纸片边缘上的点处，折痕为，若，则的度数为（   ） A． B． C． D． 3．（24-25八年级下·广东河源·期末）如图，的斜边的垂直平分线与交于点M，，，则的面积为（   ） A．1 B．2 C．3 D．4 4．（24-25七年级下·福建泉州·期末）如图，在中，，以点为圆心，适当的长度为半径作弧，交于点，，再分别以点，为圆心，大于的长为半径作弧，两弧相交于点，作射线交于点．若，则的度数是（   ） A． B． C． D． 5．（24-25七年级下·河南南阳·期末）如图，，点在同一条直线上，则有下列4个结论：①；②；③与互补；④为等腰直角三角形．其中成立的有（    ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 6．（24-25六年级下·山东济宁·期中）如图是一种躺椅及其简化结构示意图，扶手与底座都平行于地面，靠背与支架平行，前支架与后支架分别与交于点和点，与交于点，当前支架与后支架正好垂直，时，人躺着最舒服，则此时扶手与靠背的夹角的度数为（   ） A． B． C． D． 二、填空题 7．（24-25七年级下·黑龙江哈尔滨·期末）如图，直线，直线与、分别相交于点，交于点，若，则的度数为 度． 8．（24-25八年级下·河北沧州·期末）一个直角三角形斜边上的中线为5，斜边上的高为4，则此三角形的面积为 ． 9．（24-25七年级下·四川成都·期末）如图，在中，，分别以点B，C为圆心，大于为半径画弧，两弧相交于点P，作射线．若，则的度数为 ． 10．（24-25八年级下·河北秦皇岛·期中）如图，一根木杆斜靠在竖直的墙上，，木杆的顶端沿墙面下滑至位置，此时，，分别是斜边，上的中线，则的度数为 ．    11．（24-25七年级下·陕西西安·期末）如图，直线，点在直线与之间，点在直线上，连接，的平分线交于点，连接，过点分别作交于点，于点．若，，则的度数为 ． 12．（24-25七年级下·重庆荣昌·期末）如图，长方形中，点E，F分别是，上一点，将长方形沿所在直线折叠到这个长方形所在的平面内，点B与点D重合，点C对应点是点G，，则的度数是 度，的度数是 度． 三、解答题 13．（24-25八年级下·福建福州·期中）如图，，点在上，且满足． （1）尺规作图：在上求作点，使得；（不写作法，保留作图痕迹） （2）若交于点，是的中点，连接，求证：． 14．（2025八年级上·全国·专题练习）如图，在中，直角顶点在直线上，过点、分别作直线的垂线，垂足分别为、求证：． 15．（24-25七年级下·福建泉州·期末）如图，在中，于点D，平分，，相交于点F，，，求和的度数． 16． （24-25八年级上·全国·课后作业）如图，在四边形中，，分别是的中点， 证明：（1）；（2）． 【能力提升（20题）】 一、单选题 1．（24-25八年级上·山东聊城·阶段练习）等腰三角形一腰上的高与另一腰的夹角为，则该等腰三角形的底角的度数为（    ） A． B． C．或 D．或 2．（24-25八年级上·广西钦州·阶段练习）如图，在中，于点，则等于（　　） A． B． C． D． 3．（24-25八年级上·山东济南·阶段练习）如图，在中，，，于点，是的中点，若，则的长为（    ） A．2.5 B．5 C．7.5 D．10 4．（24-25七年级下·陕西咸阳·期末）如图，在等腰三角形中，，为边上的中线，，则的度数为（   ） A． B． C． D． 5．（24-25八年级下·天津南开·期末）如图，在中，，在中，，点D为的中点，连接，若，则的度数为（    ） A． B． C． D． 6．（24-25八年级下·四川达州·期末）如图，在中，，D为上一点，，过点C作于点E，交于点F．若，则的大小为（   ） A． B． C． D． 7．（24-25八年级下·山西运城·期末）如图，在中，，于点，线段的垂直平分线交于点，交于点，连接． 若，则的度数为 （    ） A． B． C． D． 8．（24-25八年级下·安徽·期末）如图，在等腰三角形中，，点为的中点，连结． 以为边向左作，且，． 连结，记和的面积分别为和，则的最大值是（ ） A．8 B． C． D．6 二、填空题 9．（24-25七年级下·黑龙江哈尔滨·期末）如图，在中，是的角平分线，，，，则的度数为 度 10．（24-25八年级下·四川达州·期末） 如图，在中，，分别以点C，B为圆心，以大于为半径画弧，两弧相交于点M，N，作直线分别交于点D，E，连接相交于点P．若，则的大小为 ． 11．（24-25七年级下·河南南阳·期末）如图，在中，，，是边上的一个动点，连接，将沿着翻折得到，当与的一边垂直时， ． 12．（24-25八年级下·北京西城·期末）如图，在Rt与Rt中，，点和点位于边的同侧，为边的中点．连接，若，则 ． 13．（24-25八年级下·湖北武汉·期中）如图所示，在四边形中，，，P为的中点，连接，若，则的度数为 °． 14．（24-25八年级下·山东济宁·期中）如图，在中，，记斜边AC的中点为，连接，过点作，垂足为；记的中点为，连接，过点作，垂足为……按照这种规律继续操作下去，若斜边AC的长为2，则的长为 ． 15．（24-25八年级上·天津·期中）如图，是等边三角形，点E在的延长线上，点D在线段上，连接交线段于点F，过点F作于点N，，，则． （1） ； （2）若，则 ． 16．（24-25七年级下·河南许昌·期中）如图，，点在直线上，点在直线上，，平分，，则下列结论： ①；②； ③；④平分， 其中不一定正确的是 ．（填序号） 三、解答题 17．（24-25八年级上·江苏南通·阶段练习）如图，中，，，于，平分分别与，交于点，． （1）求证：是等边三角形；（2）若，求的长． 18．（23-24八年级下·湖南永州·期中）如图，在中，，M为中点． （1）求证：； （2）若，求的度数； （3）若，求． 19．（24-25七年级下·河南驻马店·阶段练习）如图1，在中，，D是上一点，且． （1）请说明； （2）如图2，若平分，交于点F，交于点E，与相等吗？请说明理由． 20．（24-25七年级下·福建泉州·期末）如图1，是的角平分线，E为射线上一点，过点E作，垂足为点F． （1）若，且点E在线段上． ①_______，理由是________； ②若平分交于点H，求证：； （2）如图2，若点E在线段的延长线上，平分交的延长线于点I，用等式表示与的数量关系，并证明． 【中考真题10题】 一、单选题 1．（2023·浙江衢州·中考真题）如图是脊柱侧弯的检测示意图，在体检时为方便测出Cobb角的大小，需将转化为与它相等的角，则图中与相等的角是（    ）    A． B． C． D． 2．（2024·青海·中考真题）如图，在中，D是的中点，，，则的长是（    ） A．3 B．6 C． D． 3．（2025·陕西·中考真题）如图，在中，，，为边上的中线，，则图中与互余的角共有（    ） A．2个 B．3个 C．4个 D．5个 4．（2025·四川德阳·中考真题）如图，在中，，将沿方向向右平移至处，使恰好过边的中点D，连接，若，则（  ） A．3 B．2 C．1 D． 5．（2024·四川巴中·中考真题）如图，在中，是的中点，，与交于点，且．下列说法错误的是（    ）    A．的垂直平分线一定与相交于点 B． C．当为中点时，是等边三角形 D．当为中点时， 二、填空题 6．（2025·福建·中考真题）某房梁如图所示，立柱，E，F分别是斜梁，的中点．若，则的长为 m． 7．（2023·湖南·中考真题）《周礼考工记》中记载有：“……半矩谓之宣（xuān），一宣有半谓之欘（zhú）……”意思是：“……直角的一半的角叫做宣，一宣半的角叫做欘……”．即：1宣矩，1欘宣（其中，1矩），问题：图（1）为中国古代一种强弩图，图（2）为这种强弩图的部分组件的示意图，若矩，欘，则 度．        8．（2023·吉林·中考真题）如图，在中，．点，分别在边，上，连接，将沿折叠，点的对应点为点．若点刚好落在边上，，则的长为 ．    9．（2024·新疆·中考真题）如图，在中，．若点D在直线上（不与点A，B重合），且，则的长为 ．    10．（2025·山东东营·中考真题）如图，在中，，，的平分线交于点，、分别是和上的动点，则的最小值是 ． 2 / 30 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题 2.6 直角三角形 目录 一．知识梳理与题型分类精析 1 知识点（一）直角三角形性质定理1 1 【题型1】利用直角三角形两锐角互余求值 2 【题型2】利用直角三角形两锐角互余证明 4 知识点（二）直角三角形性质定理2 7 【题型3】利用“直角三角形斜边上的中线等于斜边一半”求值 8 【题型4】利用“直角三角形斜边上的中线等于斜边一半”证明 10 知识点（三）直角三角形的判定 14 【题型5】利用“有两个角互余的三角形是直角三角形”求值 14 【题型6】利用“有两个角互余的三角形是直角三角形”证明 17 二．同步练习 20 【基础巩固（16题）】 20 【能力提升（20题）】 31 【中考真题10题】 52 一．知识梳理与题型分类精析 知识点（一）直角三角形性质定理1 我们知道，有一个角是直角的三角形叫作直角三角形，直角三角形可以用符号“”表示，如图1的三角形可记为。 因为“三角形三个内角的和等于180°”，直角三角形两个锐角的和为，所以直角三角形有以下性质定理: 直角三角形的两个锐角互余。 几何语言：在中，； . 图1 【题型1】利用直角三角形两锐角互余求值 【例题1】（2025八年级上·全国·专题练习）如图，是的边上的高，平分交于点，若，，求和的度数． 【答案】 【分析】此题考查了三角形内角和定理，角平分线和直角三角形的性质，解题的关键是熟练掌握以上性质，并灵活应用． 根据是边上的高，可得，再由角平分线的定义，可得，然后根据三角形内角和定理，即可求解． 解：是边上的高， ， ． ， ． 平分， ． ，， ． 【变式1】（24-25八年级上·安徽淮南·阶段练习）如图是个边长相等的小正方形组合成的图形，则的度数之和为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了全等三角形的判定和性质，直角三角形两锐角互余，先证明，得到，进而由得到，即可求解，掌握全等三角形的判定和性质是解题的关键． 解：如图，在和中， ， ∴， ∴， ∵， ∴， 故选：． 【变式2】（24-25七年级下·山东·期末）如图，在中，，、分别是的高和角平分线，点E为边上一点，当为直角三角形时，则 ．    【答案】或 【分析】本题考查的是直角三角形的两锐角互余，三角形外角的性质．根据三角形内角和定理得，由角平分线的定义得，当为直角三角形时，存在两种情况：分别根据三角形外角的性质即可得出结论． 解：∵， ∴， ∵平分， ∴， 当为直角三角形时，有以下两种情况： ①当时，如图1，    ∵， ∴； ②当时，如图2，    ∴， ∵， ∴， 综上，的度数为或． 故答案为：或． 【题型2】利用直角三角形两锐角互余证明 【例题2】（24-25八年级下·陕西渭南·期中）如图，D为内部一点，E为上一点，连接、，，于点D．求证：是等腰三角形． 【答案】见分析 【分析】本题考查了等腰三角形的判定，直角三角形的两个锐角互余，正确掌握相关性质内容是解题的关键．先根据，则，整理得，运用等角对等边，即，进行作答即可． 解：∵，， ∴， ∴， ∴， ∴是等腰三角形． 【变式1】（2025八年级上·全国·专题练习）如图，在中，直角顶点在直线上，过点、分别作直线的垂线，垂足分别为、求证：． 【分析】本题主要考查了余角的性质，直角三角形两锐角互余：根据，可得，再利用垂直定义可得，从而可得，然后利用同角的余角相等即可求证． 解：证明：， ， ， ， ， ． 【变式2】（2025八年级上·全国·专题练习）如图，在锐角三角形中，点，分别在边，上，于点，于点，，求证：． 【分析】本题考查了垂直的定义，直角三角形两锐角互余，等角的余角相等，掌握知识点的应用是解题的关键． 由，则，再通过等角的余角相等得出． 解：证明：∵， ∴， ∴， ∵， ∴． 知识点引入1： 【例题3】（2025·山东潍坊·二模） 如图，中，是的中点，连接．求证： 【分析】（1）延长至点E，使得，连接．证明，得出，，，再证明，得出，即可证明． 解：（1）证明：延长至点E，使得，连接． ∵点D是的中点， ∴， 在和中 ， ∴， ∴，，， 又∵， ∴， ∴， ∴在和中 ， ∴， ∴， ∵， ∴． 由例题3，可以得到： 知识点（二）直角三角形性质定理2 直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半。 图2 数学语言：在中，， 斜边中线， . 【题型3】利用“直角三角形斜边上的中线等于斜边一半”求值 【例题4】（24-25八年级下·全国·期中）如图，在中， ，是边上的中线，于点，交的延长线于点，若 ，求的度数． 【答案】 【分析】本题主要考查了直角三角形的性质，根据垂线的定义得到，再由直角三角形两锐角互余得到，再由直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半可得，则由等边对等角得到 ，再由三角形内角和定理可得答案． 解：， ． ， ． ，是边上的中线， ， ， ． 【变式1】（24-25八年级下·北京西城·期末）如图，在Rt与Rt中，，点和点位于边的同侧，为边的中点．连接，若，则 ． 【答案】77 【分析】本题考查直角三角形斜边中线的性质，等腰三角形的判定和性质，关键是由直角三角形斜边中线的性质推出． 由直角三角形斜边中线的性质推出，，得到，推出． 解：，为边的中点， ，， ， ， ． 故答案为：77． 【变式2】（24-25八年级下·四川达州·期末） 如图，在中，，分别以点C，B为圆心，以大于为半径画弧，两弧相交于点M，N，作直线分别交于点D，E，连接相交于点P．若，则的大小为 ． 【答案】/69度 【分析】本题考查作图基本作图，线段的垂直平分线的性质，直角三角形斜边中线的性质等知识，解题的关键是读懂图象信息，灵活运用所学知识解决问题．由作图可知，可得，根据直角三角形斜边上中线的性质可得，然后由角的和差关系可得答案． 解：由作图可知是的垂直平分线， ， ， ， ，，， ∴， ， ， ， 故答案为：． 【变式3】（22-23八年级下·河北廊坊·期末）如图，在中，为边的中点，若，则（　　）    A．3 B．4 C．5 D． 【答案】B 【分析】首先可得是直角三角形，由直角三角形斜边上中线的性质即可求得结果． 解：∵， ∴，即是直角三角形， ∵D为边的中点，且， ∴； 故选：B． 【点拨】本题考查了直角三角形的判定，直角三角形斜边中线的性质，掌握这两个知识点是关键． 【题型4】利用“直角三角形斜边上的中线等于斜边一半”证明 【例题5】（24-25八年级下·广东东莞·期中）如图，已知，，E为的中点．求证：． 【答案】证明见分析 【分析】本题考查直角三角形斜边的中线，熟练掌握直角三角形斜边的中线等于斜边的一半是解题的关键．由直角三角形斜边中线的性质推出，，即可证明． 解：证明：，， ， 为的中点， ，， ． 【变式1】（24-25八年级下·北京房山·期末）如图，在中，，，分别是斜边上的高和中线，那么下列结论不一定成立的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了直角三角形的性质、三角形外角的性质、等腰三角形的性质，解决本题的关键是根据特殊三角形中边和角之间的关系，判断三角形中角之间的关系． 解：A选项：在中，， ， ， ， ， ， 故A选项一定成立； B选项：在中，，是边上的中线， ， ， 由A选项可知， ， 故B选项一定成立； C选项：是的外角， ， 由B选项可知， ， ， 故C选项一定成立； D选项：当时，是等边三角形， ， 平分， 则有， 若，则不成立， 故D选项不一定成立． 故选：D． 【变式2】（24-25八年级上·全国·课后作业）如图，在四边形中，，分别是的中点，证明： （1）； （2）． 【分析】（）由直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半可得，，进而即可求解； （）根据三线合一即可求证； 本题考查了直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半，等腰三角形的性质，掌握以上知识点是解题的关键． 解：（1）证明：∵，是的中点， ∴，， ∴； （2）证明：由（）可知， ∵是的中点， ∴． 知识点引入1： 【例题6】（23-24七年级下·江苏南京·期中）“直角三角形的两个锐角互余”的逆命题是_________，请证明这个逆命题是真命题， 已知：_________ 求证：_________ 【答案】如果三角形有两个角互余，则三角形为直角三角形；如图，在中，；是直角三角形；证明见分析 【分析】本题考查了互逆命题的知识，两个命题中，如果第一个命题的条件是第二个命题的结论，而第一个命题的结论又是第二个命题的条件，那么这两个命题叫做互逆命题．其中一个命题称为另一个命题的逆命题． 解：“直角三角形的两个锐角互余”的逆命题是如果三角形有两个角互余，则三角形为直角三角形； 已知：如图，在中，， 求证：是直角三角形． 证明：∵在中，，， ∴， ∴是直角三角形． 故答案为：如果三角形有两个角互余，则三角形为直角三角形；如图，在中，；是直角三角形． 由例题6可以得出 知识点（三）直角三角形的判定 有两个角互余的三角形是直角三角形 图3 数学语言：（如图3），在中， 为直角三角形。 【题型5】利用“有两个角互余的三角形是直角三角形”求值 【例题7】（2024·广东潮州·一模）如图所示，和都是等腰直角三角形，是的中点，． （1）求证：； （2）求的长． 【答案】（1）见分析；（2） 【分析】本题考查等腰直角三角形的性质，全等三角形的性质 根据，可以得到，又由是的中点,所以，即可证得； 由和可以得到，于是可求得，即可求得答案. 解：（1）解：证明：和都是等腰直角三角形，， ． ． 又是的中点， ． ． ． （2）解：，见答图，    ． ， ． ，， ． ． 在中，是的中点， ． 【变式1】（24-25九年级上·湖南株洲·开学考试）如图 ，中 ， ，以点为圆心 ，适当长为半径画弧 ，交于点，交于点，再分别以点为圆心 ，大于的长为半径画弧 ，两弧（所在圆的半径相等）在的内部相交于点；画射线与相交于点，则的大小为（  ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查基本作图—角平分线，直角三角形两锐角互余以及三角形外角的性质，掌握基本作图—角平分线，直角三角形两锐角互余以及三角形外角的性质等知识点是解答本题的关键． 由直角三角形两锐角互余可求出，由作图可得，由三角形的外角的性质可得，即可求解． 解：，， ， 由作图知，平分， ， 又， ， 故选：B． 【变式2】（2024八年级上·全国·专题练习）裁剪师傅将一块长方形布料沿着折叠，使点落在边上的点处，若，则 ． 【答案】70 【分析】本题主要考查了折叠的性质，直角三角形的性质，掌握折叠的性质，直角三角形两锐角互余是解题的关键． 根据长方形的性质可求出，由折叠可得对应角相等可得，，由直角三角形两锐角互余即可求解． 解：∵， ， 由折叠的性质知，， ∴在中，， 故答案为：． 【题型6】利用“有两个角互余的三角形是直角三角形”证明 【例题8】（24-25七年级下·上海·期中）如图，已知，与相交于点． （1）求证：； （2）求证：． 【分析】本题考查“手拉手”模型证全等，涉及三角形全等判定与性质、直角三角形性的判定与性质等知识，准确识别“手拉手”模型，掌握三角形全等的判定与性质是解决问题的关键． （1）由“手拉手”模型，结合两个三角形全等的判定定理即可得证； （2）由（1）中三角形全等得到，在中，，从而在中，求得即可得证． 解：（1）证明：， ， ， 即， 在和中， ， ， ；. （2）证明：由（1）知，， ， 在中，， 在中，， ． 【变式1】（22-23八年级·全国·课堂例题）如图，在中，是边上的高，E是边上一点，交于点M，且．求证：是直角三角形． 【答案】见分析 【分析】本题考查了直角三角形的性质与判定；由是边上的高，得；再由，即可得结论成立． 解：∵是边上的高， ∴， ∴． ∵， ∴， ∴是直角三角形． 【变式2】（23-24八年级上·海南省直辖县级单位·期中）已知为的中线，． （1）是怎样的角？ （2）证明你的猜想． 【答案】（1）是直角；（2）见分析 【分析】本题考查等腰三角形的性质，三角形内角和定理，关键是熟练掌握这些性质和定理． （1）猜想是直角． （2）由等腰三角形的性质推出，，得到，由三角形内角和定理即可求出，得到． 解：（1）是直角． （2）证明：∵， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∴． 【变式3】（2025·河北邯郸·三模）如图，，，交于点E，M为斜边的中点，若，．对于和之间的数量关系，三位同学给出了不同的猜测：甲：，乙：，丙：，其中正确的是（　　） A．甲 B．乙 C．丙 D．甲和丙都有可能 【答案】A 【分析】本题考查全等三角形的判定与性质、直角三角形斜边中线的性质、等腰三角形的性质、三角形内角和等知识，是重要考点，掌握相关知识是解题关键． 根据题意可得，，再由直角三角形斜边的中线等于斜边的一半，可证，继而证明，解得，最后根据三角形内角和定理，分别解得和的关系，整理即可解题． 解：， ， M为斜边的中点， ， ， ， ， ， ， ， ， ， 故甲正确，乙丙都不正确， 故选A． 二．同步练习 【基础巩固（16题）】 一、单选题 1．（24-25八年级下·山东德州·期末）如图，将直角三角尺放置在刻度尺上，斜边上三个点A，D，B对应的刻度分别为1，4，7（单位：），则的长度为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查的是直角三角形斜边上的中线，在直角三角形中，斜边上的中线等于斜边的一半．根据直角三角形斜边上的中线的性质解答即可． 解：由题意可知：， 在中，是的中线， ， 故选：A． 2．（24-25七年级下·四川成都·期末）如图，将直角三角形纸片进行折叠，使得点B恰好落到纸片边缘上的点处，折痕为，若，则的度数为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据得到，根据折叠的性质，得，结合，解答即可． 本题考查了直角三角形的性质，折叠的性质，三角形外角性质，熟练掌握性质是阶梯的关键． 解：∵， ∴， 根据折叠的性质，得， ∵， ∴． 故选：B． 3．（24-25八年级下·广东河源·期末）如图，的斜边的垂直平分线与交于点M，，，则的面积为（   ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】A 【分析】根据垂直平分线的性质可得，根据等边对等角可得，根据三角形的外角性质可得，根据含30度角的直角三角形的性质可得，根据三角形的面积公式可得的面积为，即可求解 解：∵是的垂直平分线，， ∴， ， ， 又∵ 故选A． 【点拨】本题考查了垂直平分线的性质，等边对等角，三角形的外角的性质，含30度角的直角三角形的性质，掌握以上知识是解题的关键． 4．（24-25七年级下·福建泉州·期末）如图，在中，，以点为圆心，适当的长度为半径作弧，交于点，，再分别以点，为圆心，大于的长为半径作弧，两弧相交于点，作射线交于点．若，则的度数是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了做垂线，直角三角形的两个锐角互余，先由作图过程得出，则，根据，解得，又因为，则，即可作答． 解：依题意，由作图过程得出， ∴， ∴， ∵， ∴， 解得， 故， ∵在中，， ∴， 故选：C． 5．（24-25七年级下·河南南阳·期末）如图，，点在同一条直线上，则有下列4个结论：①；②；③与互补；④为等腰直角三角形．其中成立的有（    ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】C 【分析】本题考查了全等三角形的性质，平行线的判定，直角三角形的两个锐角互余，正确掌握相关性质内容是解题的关键．先结合同旁内角互补得出，根据对应边相等，故，再结合得对应角相等以及直角三角形的两个锐角互余，则与互余，，即可作答． 解：∵， 即， ∴， 故①符合题意； ∵， ∴， ∵， ∴， 故②符合题意； ∵ ∴ ∵ ∴ ∴ 即与互余； 故③不符合题意； ∵ ∴， ∵ ∴ ∴ 则 故④符合题意； 故选：C 6．（24-25六年级下·山东济宁·期中）如图是一种躺椅及其简化结构示意图，扶手与底座都平行于地面，靠背与支架平行，前支架与后支架分别与交于点和点，与交于点，当前支架与后支架正好垂直，时，人躺着最舒服，则此时扶手与靠背的夹角的度数为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了平行线的性质，直角三角形的性质，熟练掌握平行线的性质是解题的关键． 根据题意求出，继而得到，推出，即可得到答案． 解：， ， ， ， ， ， ， 故选：B． 二、填空题 7．（24-25七年级下·黑龙江哈尔滨·期末）如图，直线，直线与、分别相交于点，交于点，若，则的度数为 度． 【答案】60 【分析】本题考查了平行线的性质、垂直的定义以及三角形内角和定理，解题的关键是利用平行线的性质找到角之间的等量关系，再结合垂直的定义和三角形内角和定理计算角度． 利用平行线的性质并结合垂直的定义与三角形内角和定理即可求出的度数． 解：由可得，，则， ∵，则， 由推得，， ∴， 故答案为：60． 8．（24-25八年级下·河北沧州·期末）一个直角三角形斜边上的中线为5，斜边上的高为4，则此三角形的面积为 ． 【答案】20 【分析】本题考查了直角三角形的性质以及三角形的面积计算方法，熟练应用直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半这一性质是解答本题的关键． 根据直角三角形的性质可得出斜边的长，进而可根据三角形的面积公式求出此三角形的面积． 解：∵一个直角三角形斜边上的中线为5， ∴该三角形斜边长为， ∵斜边上的高为4， 该三角形面积为 故答案为：20 9．（24-25七年级下·四川成都·期末）如图，在中，，分别以点B，C为圆心，大于为半径画弧，两弧相交于点P，作射线．若，则的度数为 ． 【答案】/69度 【分析】本题考查了角平分线的作法，直角三角形的特征，由作法得，直角三角形的特征得，即可求解． 解：由作法得平分， ， ， ， 故答案为：． 10．（24-25八年级下·河北秦皇岛·期中）如图，一根木杆斜靠在竖直的墙上，，木杆的顶端沿墙面下滑至位置，此时，，分别是斜边，上的中线，则的度数为 ．    【答案】/26度 【分析】本题主要查了直角三角形斜边中线的性质，等腰三角形的性质．根据直角三角形斜边中线的性质，可得，从而得到，，即可求解． 解：∵，分别是斜边，上的中线， ∴， ∴，， ∵， ∴． 故答案为： 11．（24-25七年级下·陕西西安·期末）如图，直线，点在直线与之间，点在直线上，连接，的平分线交于点，连接，过点分别作交于点，于点．若，，则的度数为 ． 【答案】 【分析】本题考查了平行线的判定与性质，直角三角形的两个锐角互余，角平分线的定义，先整理得，再结合，平分，得，则，故，，最后在中，列式进行计算，即可作答． 解：，， ， ，平分， ， ， ∴ 则，， ， ， 在中，． 故答案为：． 12．（24-25七年级下·重庆荣昌·期末）如图，长方形中，点E，F分别是，上一点，将长方形沿所在直线折叠到这个长方形所在的平面内，点B与点D重合，点C对应点是点G，，则的度数是 度，的度数是 度． 【答案】 40 115 【分析】此题考查了折叠的性质，平行线的性质，直角三角形两锐角互余等知识，解题的关键是掌握以上知识点． 由长方形得到，然后由折叠得到，等量代换求出；然后求出，结合折叠和平行线的性质求解即可． 解：∵长方形中， ∴， 由折叠得，， ∴； ∵，， ∴， ∴， 由折叠得，， ∵， ∴． 故答案为：40，115． 三、解答题 13．（24-25八年级下·福建福州·期中）如图，，点在上，且满足． （1）尺规作图：在上求作点，使得；（不写作法，保留作图痕迹） （2）若交于点，是的中点，连接，求证：． 【答案】（1）见详解；（2）见详解 【分析】（1）过点A作于点G，故，则点G即为所求． （2）由（1）可知，由平行线的性质可得，，结合直角三角形斜边上的中线的性质可得，则，可得，进而可得，则可得． 解：（1）解：如图，点G即为所求． （2）证明：由（1）可知，． ∵， ∴，， ∴为直角三角形． ∵F是的中点， ∴ ∴， ∴． ∵，， ∴， ∴， ∴． 【点拨】本题考查作图—复杂作图、平行线的性质、三角形的外角性质、等腰三角形的判定与性质、直角三角形斜边上的中线，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题． 14．（2025八年级上·全国·专题练习）如图，在中，直角顶点在直线上，过点、分别作直线的垂线，垂足分别为、求证：． 【答案】见分析 【分析】本题主要考查了余角的性质，直角三角形两锐角互余：根据，可得，再利用垂直定义可得，从而可得，然后利用同角的余角相等即可求证． 解：证明：， ， ， ， ， ． 15．（24-25七年级下·福建泉州·期末）如图，在中，于点D，平分，，相交于点F，，，求和的度数． 【答案】； 【分析】本题主要考查了三角形内角和定理，三角形外角的性质．根据直角三角形两锐角互余，可求出；再根据三角形内角和定理可得，再结合角平分线的定义可得，即可求解 解：， ， ， ． ， ， 平分， ， ． 16．（24-25八年级上·全国·课后作业）如图，在四边形中，，分别是的中点，证明： （1）； （2）． 【答案】（1）证明见分析；（2）证明见分析 【分析】（）由直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半可得，，进而即可求解； （）根据三线合一即可求证； 本题考查了直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半，等腰三角形的性质，掌握以上知识点是解题的关键． 解：（1）证明：∵，是的中点， ∴，， ∴； （2）证明：由（）可知， ∵是的中点， ∴． 【能力提升（20题）】 一、单选题 1．（24-25八年级上·山东聊城·阶段练习）等腰三角形一腰上的高与另一腰的夹角为，则该等腰三角形的底角的度数为（    ） A． B． C．或 D．或 【答案】D 【分析】本题考查了等腰三角形的性质和直角三角形的性质．由于题中没有图，要根据已知画出图形并注意要分类讨论．由于此高不能确定是在三角形的内部，还是在三角形的外部，所以要分锐角三角形和钝角三角形两种情况求解． 解：如图，分两种情况： 如图①，，，， ， ； 如图②，，，， ，， ． 故选：D． 2．（24-25八年级上·广西钦州·阶段练习）如图，在中，于点，则等于（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了等腰三角形的性质（等边对等角）、直角三角形的性质（两锐角互余）及三角形内角和定理，解题的关键是通过等腰三角形性质求出底角的度数，再利用直角三角形内角关系计算． 由和，求；利用得，在中求． 解：∵， ∴ 是等腰三角形，． ∵，三角形内角和为， ∴． ∵， ∴（垂直定义）． 在中，． 故选：C. 3．（24-25八年级上·山东济南·阶段练习）如图，在中，，，于点，是的中点，若，则的长为（    ） A．2.5 B．5 C．7.5 D．10 【答案】D 【分析】本题考查了三角形内角和定理、直角三角形斜边的中线的性质、等边三角形的判定与性质、含有角的直角三角形的性质，熟练掌握以上知识点是解题的关键． 先根据三角形内角和定理可得，由直角三角形斜边的中线性质定理可得，利用等边三角形的性质及含有角的直角三角形的性质进行计算，可得答案． 解：∵， ∴， ∵E是的中点， ∴， ∴为等边三角形， ∵， ∴， ∴， 故选：D． 4．（24-25七年级下·陕西咸阳·期末）如图，在等腰三角形中，，为边上的中线，，则的度数为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题主要考查了等腰三角形的性质、直角三角形的性质等知识，理解等腰三角形底边上的高、底边的中线及顶角的平分线互相重合是解题的关键．首先根据三角形“三线合一”的性质得到，，然后根据直角三角形的两锐角互余得到答案即可． 解：∵，为边上的中线， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∴， 故选：A． 5．（24-25八年级下·天津南开·期末）如图，在中，，在中，，点D为的中点，连接，若，则的度数为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了直角三角形斜边上的中线，三角形的外角性质，根据题目的已知条件并结合图形进行分析是解题的关键．先利用直角三角形斜边上的中线可得，，从而利用等腰三角形的性质可得，然后利用三角形的外角性质可得，，从而可得，再利用等量代换可得，最后利用等腰三角形的性质以及三角形内角和定理即可解答． 解：，点为的中点， ， ， 是的一个外角， ， ，点为的中点， ， ， 是的一个外角， ， ， ，， ， ， 故选：A． 6．（24-25八年级下·四川达州·期末）如图，在中，，D为上一点，，过点C作于点E，交于点F．若，则的大小为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】此题考查了等腰三角形的性质，三角形外角的性质，直角三角形两锐角互余，熟练掌握等腰三角形的性质是解决问题的关键． 根据三角形外角性质求出，根据等腰三角形的性质求出，进而得，然后根据即可得出的度数． 解：在中，，， ∴， ∵， ∴， 在中，， ∵， ∴， ∴， 故选：A． 7．（24-25八年级下·山西运城·期末）如图，在中，，于点，线段的垂直平分线交于点，交于点，连接． 若，则的度数为 （    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了等腰三角形的三线合一性质，线段垂直平分线的性质，直角三角形两锐角互余，全等三角形的判定与性质等知识，熟练掌握相关知识是解题的关键．先根据等腰三角形的三线合一性质求得，然后根据线段垂直平分线的性质及直角三角形两锐角互余，可求得，进一步证明，即可求得答案． 解：如图，连结， ，，, ， 线段的垂直平分， ，， ，， ，，， ， ， ． 故选：C． 8．（24-25八年级下·安徽·期末）如图，在等腰三角形中，，点为的中点，连结． 以为边向左作，且，． 连结，记和的面积分别为和，则的最大值是（ ） A．8 B． C． D．6 【答案】A 【分析】取的中点，连接，得出，进而证明得出，结合已知条件得出，进而可得，即可求解． 解：如图所示，取的中点，连接， ∵， ∴， ∴， ∵，为的中点， ∴， ∵ ∴ ∴ 又∵， ∴ ∴， 在中， ∴ ∴ 又∵ ∴ ∵点为的中点， ∴ ∴， ∴ ∴ ∴当时，取得最大值，即的最大值是． 故选：A． 【点拨】本题考查了三角形中线的性质，直角三角形中斜边上的中线等于斜边的一半，全等三角形的性质与判定，等腰三角形性质与判定，垂直平分线的性质与判定，得出是解题的关键． 二、填空题 9．（24-25七年级下·黑龙江哈尔滨·期末）如图，在中，是的角平分线，，，，则的度数为 度 【答案】 【分析】本题考查的是直角三角形的性质、角平分线的性质、三角形的外角性质，熟记以上知识点是解答此题的关键． 首先根据角平分线的定义求出，由可得出，然后根据三角形外角的性质即可解答． 解：在中，是的角平分线，， ， ， ， ， ， ， 故答案为：． 10．（24-25八年级下·四川达州·期末） 如图，在中，，分别以点C，B为圆心，以大于为半径画弧，两弧相交于点M，N，作直线分别交于点D，E，连接相交于点P．若，则的大小为 ． 【答案】/69度 【分析】本题考查作图基本作图，线段的垂直平分线的性质，直角三角形斜边中线的性质等知识，解题的关键是读懂图象信息，灵活运用所学知识解决问题．由作图可知，可得，根据直角三角形斜边上中线的性质可得，然后由角的和差关系可得答案． 解：由作图可知是的垂直平分线， ， ， ， ，，， ∴， ， ， ， 故答案为：． 11．（24-25七年级下·河南南阳·期末）如图，在中，，，是边上的一个动点，连接，将沿着翻折得到，当与的一边垂直时， ． 【答案】或或 【分析】本题主要考查了三角形折叠中的角度问题，直角三角形两锐角互余，正确进行计算是解题关键，分当D点在线段上时，当点D点在线段延长线上讨论，画出对应的图形，根据三角形内角和定理和折叠的性质求解即可． 解：当D点在线段上且时， 由折叠可知：， ， ， ， ； 当D点在线段上且时， 由折叠的性质可得， ； 当D点在线段延长线上且时， 同理可得； 当D点在线段延长线上且时， ， ， ， ， 故答案为：或或． 12．（24-25八年级下·北京西城·期末）如图，在Rt与Rt中，，点和点位于边的同侧，为边的中点．连接，若，则 ． 【答案】77 【分析】本题考查直角三角形斜边中线的性质，等腰三角形的判定和性质，关键是由直角三角形斜边中线的性质推出． 由直角三角形斜边中线的性质推出，，得到，推出． 解：，为边的中点， ，， ， ， ． 故答案为：77． 13．（24-25八年级下·湖北武汉·期中）如图所示，在四边形中，，，P为的中点，连接，若，则的度数为 °． 【答案】 【分析】连接并延长交的延长线于点E，证明，构造等腰三角形，利用直角三角形的性质结合等边对等角进行求解即可． 解：连接并延长交的延长线于点E， ∵点P为的中点， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴，，， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴， 故答案为：53． 【点拨】本题考查了全等三角形的判定与性质、等腰三角形的性质、直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半，平行线的性质等知识；熟练掌握等腰三角形的性质，证明三角形全等是解题的关键． 14．（24-25八年级下·山东济宁·期中）如图，在中，，记斜边AC的中点为，连接，过点作，垂足为；记的中点为，连接，过点作，垂足为……按照这种规律继续操作下去，若斜边AC的长为2，则的长为 ． 【答案】 【分析】此题主要考查直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半，解题的关键是根据计算结果发现规律进行求解. 根据已知分别求出，，，发现变化规律即可. 解：在中，点为中点，， ∴， 在中，点为中点，， ∴， 同理 …， ∴ 当时， 故答案为: . 15．（24-25八年级上·天津·期中）如图，是等边三角形，点E在的延长线上，点D在线段上，连接交线段于点F，过点F作于点N，，，则． （1） ； （2）若，则 ． 【答案】 12 【分析】本题主要考查等边三角形的性质，关键是要构造出等边三角形，再利用全等三角形的性质和等边三角形的性质即可求解． （1）利用直角三角形两个锐角互余求出的度数即可； （2）延长到G，连接，使三角形为等边三角形，证明得到，设，则，，利用线段的和差求出x值，最后得到线段的长即可． 解：（1）∵是等边三角形， ∴， ∵， ∴， ∴， 故答案为：； （2）由（1）可知， 如图，延长到G，连接，使三角形为等边三角形， ∴， 在和中， ， ∴ ∴， 设，则，， ∴ ∵， ∴， ∴， 即， ∴． 故答案为：12． 16．（24-25七年级下·河南许昌·期中）如图，，点在直线上，点在直线上，，平分，，则下列结论： ①；②； ③；④平分， 其中不一定正确的是 ．（填序号） 【答案】③ 【分析】本题考查了平行线的判定和性质，角平分线的定义，直角三角形的性质，熟练掌握相关知识点是解题的关键． 根据平行线的判定和性质，角平分线的定义，直角三角形的性质逐项判断即可． 解：平分， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ，故①正确； ，故②正确； ， ， ， 平分，故④正确； 不一定等于， 故③不一定正确， 故答案为：③． 三、解答题 17．（24-25八年级上·江苏南通·阶段练习）如图，中，，，于，平分分别与，交于点，． （1）求证：是等边三角形； （2）若，求的长． 【答案】（1）见分析；（2）4 【分析】本题主要考查了直角三角形两锐角互余，等边三角形的判定和性质，等腰三角形的判定，熟练运用等腰三角形及等边三角形的性质及判定是解题的关键． （1）由可得，根据平分得，根据，得到，从而，即可得是等边三角形； （2）由是等边三角形得到，证明，得到，从而，由，可得． 解：（1）证明：∵， ∴， ∵平分， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴是等边三角形； （2）解： 由（1）知是等边三角形，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ， ． 18．（23-24八年级下·湖南永州·期中）如图，在中，，M为中点． （1）求证：； （2）若，求的度数； （3）若，求． 【答案】（1）见分析；（2）；（3）1． 【分析】本题考查了直角三角形斜边中线的性质，等腰三角形的性质，三角形外角的性质，熟练运用相关性质是解题的关键． （1）由题意可知为直角三角形，根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半，即可得证； （2）由（1）可得：，根据等边对等角和三角形外角的性质得，，进而可得； （3）设，由（2）可得，由，解出x的值，得，过点E作于点F，由即可求出答案． 解：（1）证明：∵， ∴为直角三角形， ∵M为中点， ∴， ∴； （2）解：由题意可得：， 由（1）可得：， ∴， ∵，， ∴； （3）解：设，由（2）可得： ， ∵， 即， 解得：， ∴， ∵， ∴， 过点E作于点F， ∴， ∴． 19．（24-25七年级下·河南驻马店·阶段练习）如图1，在中，，D是上一点，且． （1）请说明； （2）如图2，若平分，交于点F，交于点E，与相等吗？请说明理由． 【答案】（1）见分析；（2），理由见分析 【分析】本题考查了垂直的定义、对顶角相等、三角形的内角和定理等知识，熟练掌握三角形的内角和定理是解题关键． （1）先求出，再根据等量代换可得，从而可得，由此即可得； （2）先根据角平分线的定义可得，再求出，然后根据对顶角相等可得，由此即可得． 解：（1）解：∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴． （2）解：，理由如下： ∵平分， ∴， ∵， ∴， 由（1）已得：， ∴， ∴， 由对顶角相等得：， ∴． 20．（24-25七年级下·福建泉州·期末）如图1，是的角平分线，E为射线上一点，过点E作，垂足为点F． （1）若，且点E在线段上． ①_______，理由是________； ②若平分交于点H，求证：； （2）如图2，若点E在线段的延长线上，平分交的延长线于点I，用等式表示与的数量关系，并证明． 【答案】（1）①90，直角三角形的两个锐角互余 ②证明见分析；（2）；证明见分析 【分析】（1）①根据直角三角形的两个锐角互余即可得到结论； ②先证明，再利用三角形外角的性质证明，进而可证； （2）设，，由三角形外角的性质得出，，消去x，y即可求解． 解：（1）①∵， ∴，理由是直角三角形的两个锐角互余． 故答案为：90，直角三角形的两个锐角互余； ②证明：平分， ， ，， ，， ， 又， ， ． 平分， ， ， ． （2），理由如下： ，分别平分，， 设，， ， 即，① ， 即，② 由①②，得， 即． 【点拨】本题考查了直角三角形的两个锐角互余，角平分线的定义，三角形外角的性质，平行线的判定，正确的识别图形是解题的关键． 【中考真题10题】 一、单选题 1．（2023·浙江衢州·中考真题）如图是脊柱侧弯的检测示意图，在体检时为方便测出Cobb角的大小，需将转化为与它相等的角，则图中与相等的角是（    ）    A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据直角三角形的性质可知：与互余，与互余，根据同角的余角相等可得结论． 解：由示意图可知：和都是直角三角形， ，， ， 故选：B． 【点拨】本题考查直角三角形的性质的应用，掌握直角三角形的两个锐角互余是解题的关键． 2．（2024·青海·中考真题）如图，在中，D是的中点，，，则的长是（    ） A．3 B．6 C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半的性质，等边三角形的判定和性质．根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半结合等边三角形的判定得到等边三角形，据此求解即可． 解：∵在中，，D是的中点， ∴， ∵， ∴等边三角形， ∴． 故选：A． 3．（2025·陕西·中考真题）如图，在中，，，为边上的中线，，则图中与互余的角共有（    ） A．2个 B．3个 C．4个 D．5个 【答案】C 【分析】该题考查了直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半，三角形内角和定理，等腰三角形的性质，根据三角形内角和定理求出，根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半得出，根据等边对等角得出，再结合根据三角形内角和定理求出，最后根据余角的性质求解即可． 解：∵在中，，， ∴， ∵为边上的中线， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴图中与互余的角是，共有4个， 故选：C． 4．（2025·四川德阳·中考真题）如图，在中，，将沿方向向右平移至处，使恰好过边的中点D，连接，若，则（  ） A．3 B．2 C．1 D． 【答案】B 【分析】本题考查直角三角形斜边中线性质和平移的性质，熟练掌握直角三角形斜边中线的性质是解题的关键． 根据直角三角形斜边中线等于斜边的一半，结合，得，由平移得到，根据平移对应线段相等，可知，进而得． 解：在中，，是中点， ∴， ∵， ∴， ∵沿方向向右平移至， ∴， 故选：B． 5．（2024·四川巴中·中考真题）如图，在中，是的中点，，与交于点，且．下列说法错误的是（    ）    A．的垂直平分线一定与相交于点 B． C．当为中点时，是等边三角形 D．当为中点时， 【答案】D 【分析】连接，根据，点是的中点得，则，进而得点在线段的垂直平分线上，由此可对选项Ａ进行判断；设，根据得，的，再根据得，则，由此可对选项Ｂ进行判断；当为中点时，则，是线段的垂直平分线，由此得，然后根据，，得，由此可对选项Ｃ进行判断；连接并延长交于，根据是等边三角形得，则，进而得，，由此得，，由为中点，则，由此可对选项Ｄ进行判断，综上所述即可得出答案． 解：连接，如图1所示：    ，点是的中点， 为斜边上的中线， ， ， ， 点在线段的垂直平分线上， 即线段的垂直平分线一定与相交于点，故选项A正确，不符合题意； 设， ， ， ， ， ， ， 即，故选B正确，不符合题意； 当为中点时，则， ， 是线段的垂直平分线， ， ，，， ， ， 是等边三角形，故选C正确，不符合题意； 连接，并延长交于，如图2所示：      当为中点时， 点为的中点， 根据三角形三条中线交于一点得：点为的中点， 当为中点时，是等边三角形， ，，平分，平分， ， ， 在中，， ， ， ，， ∵为中点， ∴ ，故选项D不正确，符合题意． 故选：D． 【点拨】此题主要考查了直角三角形斜边上的中线，线段垂直平分线的性质，等腰三角形的判定与性质，等边三角形的判定和性质，理解直角三角形斜边上的中线，线段垂直平分线的性质，熟练掌握等腰三角形的判定与性质，等边三角形的判定和性质是解决问题的关键． 二、填空题 6．（2025·福建·中考真题）某房梁如图所示，立柱，E，F分别是斜梁，的中点．若，则的长为 m． 【答案】4 【分析】本题主要考查了直角三角形的性质，熟练掌握直角三角形斜边的中线等于斜边的一半，是解题的关键．根据，得出为直角三角形，根据直角三角形的性质得出． 解：∵， ∴为直角三角形， ∵E是斜梁的中点， ∴． 故答案为：4． 7．（2023·湖南·中考真题）《周礼考工记》中记载有：“……半矩谓之宣（xuān），一宣有半谓之欘（zhú）……”意思是：“……直角的一半的角叫做宣，一宣半的角叫做欘……”．即：1宣矩，1欘宣（其中，1矩），问题：图（1）为中国古代一种强弩图，图（2）为这种强弩图的部分组件的示意图，若矩，欘，则 度．        【答案】//． 【分析】根据矩、宣、欘的概念计算即可． 解：由题意可知， 矩， 欘宣矩， ， 故答案为：． 【点拨】本题考查了新概念的理解，直角三角形锐角互余，角度的计算；解题的关键是新概念的理解，并正确计算． 8．（2023·吉林·中考真题）如图，在中，．点，分别在边，上，连接，将沿折叠，点的对应点为点．若点刚好落在边上，，则的长为 ．    【答案】 【分析】根据折叠的性质以及含30度角的直角三角形的性质得出，即可求解． 解：∵将沿折叠，点的对应点为点．点刚好落在边上，在中，，， ∴， ∴， 故答案为：． 【点拨】本题考查了折叠的性质，含30度角的直角三角形的性质，熟练掌握以上知识是解题的关键． 9．（2024·新疆·中考真题）如图，在中，．若点D在直线上（不与点A，B重合），且，则的长为 ．    【答案】6或12 【分析】本题考查了含的直角三角形的性质，三角形外角的性质，等角对等边等知识，分①点D在线段时，②点D在线段延长线上时， ③点D在线段延长线上时，三种情况讨论求解即可． 解：∵，，， ∴，， ①点D在线段时，      ∵，， ∴， ∴， ∴； ②点D在线段延长线上时，    ∵，， ∴， ∴， ∴； ③点D在线段延长线上时，    此时，即，故不符合题意，舍去， 综上，的长为6或12． 10．（2025·山东东营·中考真题）如图，在中，，，的平分线交于点，、分别是和上的动点，则的最小值是 ． 【答案】 【分析】本题考查了角平分线的性质，含角的直角三角形，垂线段最短，解题的关键是正确作出辅助线． 作于点，根据垂线段最短可知，的最小值是线段的长度，根据解含角的直角三角形即可． 解：如图，作于点， ∵平分， 作点关于的对称点， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴的最小值是， 故答案为：． 2 / 30 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$