专题 2.4 等腰三角形的判定定理（知识梳理 + 题型精析 +同步练习）-基础知识专项突破讲练2025-2026学年八年级数学上册（浙教版 2024）

专题 2.4 等腰三角形的判定定理 目录 一．知识梳理与题型分类精析 1 知识点引入： 1 知识点（一）等腰三角形判定定理 2 【题型1】利用“同一个三角形中，等角对等边”求值 3 【题型2】利用“同一个三角形中，等角对等边”证明 3 知识点引入： 4 知识点（二）等边三角形判定定理 4 【题型3】利用等边三角形的判定求值 5 【题型4】利用等边三角形的判定证明 6 知识点（三）等腰三角形性质和判定定理 7 【题型5】利用等腰三角形的性质与判定求值 7 【题型6】利用等腰三角形的性质与判定证明 8 知识点（四）等边三角形性质和判定定理 9 【题型7】利用等边三角形的性质与判定求值 9 【题型8】利用等边三角形的性质与判定证明 10 二．同步练习 11 【基础巩固（16题）】 11 【能力提升（20题）】 15 【中考真题12题】 20 一．知识梳理与题型分类精析 知识点引入： 【例题1】（24-25八年级上·江苏连云港·期中）写出已知、求证内容，并完成证明过程： 证明：有两个角相等的三角形是等腰三角形． 已知：如图，在中，________， 求证：________． 证明： 解：已知：如图，在中，， 求证：， 证明：过点作，垂足为， ， 在和中， ， ， ， 故答案为：；． 知识点（一）等腰三角形判定定理 等腰三角形判定定理1：有两个角相等的三角形是等腰三角形，可以简单地说成：在同一个三角形中，等角对等边。 数学语言：如图1，在中， （已知） （在同一个三角形中，等角边对等边） 图1 【题型1】利用“同一个三角形中，等角对等边”求值 【例题2】（24-25八年级下·四川泸州·开学考试）如图，一艘轮船由西向东航行，在处测得小岛在北偏东方向，又航行10海里后，在处测得小岛在北偏东方向，若小岛周围4海里范围内有暗礁，则该船一直向东航行有无触礁危险？请说明理由． 【变式1】（24-25八年级上·广东广州·期中）如图，的周长为，和的平分线相交于点，过点作交于点，交于点，若，，，那么的周长是（    ） A． B． C． D． 【变式2】（23-24八年级上·北京海淀·期中）如图，是的角平分线，，将沿所在直线翻折，点B在边上的落点记为点E，若，，则的长为 ． 【变式3】（2025·广东广州·二模）如图，已知． （1）尺规作图：作点关于的对称点，连接；（不写作法，保留作图痕迹） （2）在（1）的图形下，过点作，交于点．若，，求的长度． 【题型2】利用“同一个三角形中，等角对等边”证明 【例题3】（24-25九年级下·广东茂名·期中）如图，在中，，是角平分线，是高，、相交于点．求证：． 【变式1】（23-24八年级上·河北张家口·期中）如图，中，、平分、且相交于点D，过D作直线平行于，交、于E、F，当的位置及大小变化时，线段和的大小关系（　 ） A． B． C． D．不能确定 【变式2】（24-25七年级下·上海闵行·期末）已知：如图，在中，，点D在边上，，图中共有 个等腰三角形． 知识点引入： 【例题4】求证：有一个角等于60°的等腰三角形是等边三角形． 知识点（二）等边三角形判定定理 判定1：三个边都相等的三角形是等边三角形。 判定2：三个角都相等的三角形是等边三角形。 数学语言：如图2，在中， （已知） （在同一个三角形中，等角对等边） 图2 图3 判定3：有一个角是的等腰三角形是等边三角形。 数学语言：如图2，在等腰中，， （或）（已知） （在同一个三角形中，等角对等边） 【题型3】利用等边三角形的判定求值 【例题5】（2024八年级·全国·竞赛）如图，在中，，，分别是，的中垂线，，则 ． 【变式1】（24-25八年级下·辽宁沈阳·阶段练习）一艘轮船由海平面上A地出发向南偏东的方向行驶100海里到达B地，再由B地向北偏东的方向行驶100海里到C地，则A，C两地相距（   ） A．100海里 B．海里 C．70海里 D．60海里 【变式2】（24-25九年级上·山东滨州·期中）如图，已知，点在内部，与关于对称，与关于对称，则、、三点所构成的三角形的形状是 ；连接，，交于，交于，，则的周长为 ． 【题型4】利用等边三角形的判定证明 【例题6】（24-25八年级上·上海徐汇·期中）如图1，和都是顶角为的等腰三角形，其中，点D在上． （1）求证： ； （2）求证：如图2，当点E在的延长线上，为等边三角形． 【变式1】（23-24八年级上·北京西城·期中）的三边长分别为，，，若满足，则的形状为（   ） A．等边三角形 B．等腰直角三角形 C．有角的直角三角形 D．钝角三角形 【变式2】（24-25八年级上·陕西延安·期中）如图，在中，D是上一点，于点E，的延长线与的延长线交于点F，，试判断的形状，并说明理由． 知识点（三）等腰三角形性质和判定定理 如图3，在中，； 图3 数学语言：如图3，在中， 如图4，在中， （1）；（2）； （3）。 图4 【题型5】利用等腰三角形的性质与判定求值 【例题7】（24-25七年级下·辽宁本溪·期末）如图，等腰直角三角板的顶点落在射线上，，，交延长线于E，若，求的长． 【变式1】（24-25八年级上·河南驻马店·期中）如图，在中，是高和的交点，，则线段的长为（   ） A．4 B．5 C．6 D．8 【变式2】（24-25七年级下·陕西咸阳·期末）如图，在中，点在边上，，是的垂直平分线．若，，则的长为 ． 【题型6】利用等腰三角形的性质与判定证明 【例题8】（24-25八年级下·山东·期末）已知：如图，是的角平分线，交于点． （1）求证：； （2）当时，请判断与的数量关系，并说明理由． 【变式1】（24-25八年级下·云南临沧·期中）如图，在和中，，，，连接并延长分别交，于点，，恰好平分，连接，下列结论错误的是（　　） A． B． C． D． 【变式2】（24-25七年级下·山东青岛·期末）如图，在中，，，平分交于点D，延长到点E，使，连接交的延长线于点F．给出下面四个结论：①；②；③；④的面积是的面积的2倍；其中正确的结论有 （填写序号）． 知识点（四）等边三角形性质和判定定理 如图3，在中，； 图3 图4 如图4，在中，是等边三角形. 【题型7】利用等边三角形的性质与判定求值 【例题9】（24-25八年级下·陕西西安·期中）如图，在中，，，平分，交于点，过点作，交于点． （1）求的度数． （2）若与的周长分别为和，求的长． 【变式1】（24-25七年级下·上海杨浦·阶段练习）如图，是等边中边上的点，，，则的度数为 ．    【变式2】（2025八年级上·全国·专题练习）如图是等边三角形，点在的延长线上，点在上，且，若，那么 【题型8】利用等边三角形的性质与判定证明 【例题10】（24-25八年级上·陕西渭南·阶段练习）如图，在中，，，，连接交于点，，求证：． 【变式1】（24-25七年级下·辽宁丹东·期末）如图，和均是等边三角形， 、、三点共线，与相交于点，与分别与交于点．则下列结论：①；②；③；④；⑤，其中正确的结论有（　　） A．5个 B．2个 C．3个 D．4个 【变式2】（24-25八年级下·江西赣州·期中）如图为等边三角形，点在的延长线上，点在边上，且．求证：． 二．同步练习​ 【基础巩固（16题）】 一、单选题 1．（24-25八年级下·广东佛山·期末）三角形两个角的度数如图所示，则该三角形是（　　） A．锐角三角形 B．直角三角形 C．等腰三角形 D．等边三角形 2．（24-25八年级下·陕西榆林·期末）如图，，若，则的长度为（    ） A．3 B．4 C．5 D．6 3．（24-25八年级下·内蒙古包头·期末）下列条件中，能判定为等边三角形的是（   ） A． B． C． D． 4．（24-25八年级下·陕西咸阳·期中）为了使桥面更加稳固，桥面上的斜拉钢缆一般与桥面呈三角形结构，如图是桥面上两条绳索与桥面的示意图，已知，则的长度为（　　） A． B． C． D． 5．（24-25八年级下·辽宁丹东·期末）如图，在等边中，，垂足为，是上一点，．则的度数为（   ） A． B． C． D． 6．（24-25八年级上·福建·期中）如图，在等边三角形中，为上一点，过点的直线交于点，交延长线于点，作垂足为，如，则的长为（   ） A．2 B．3 C．4 D．6 二、填空题 7．（24-25七年级下·山东青岛·期末）如图，，平分，若的周长为，，则 ． 8．（24-25七年级下·山东威海·期末）如图，分别作两个内角的角平分线，过点作直线，分别交、于点、．若，，则的周长为 ． 9．（24-25八年级上·河南南阳·阶段练习）如图，在中，，，点在边上，、关于直线对称，的角平分线交边于点，连接．，当的值等于 时，为等腰三角形． 10．（24-25八年级下·陕西宝鸡·期末）如图．在中，，，D是上一点，连接，，过点C作于点E，此时平分，则的长为 ． 11．（24-25八年级下·河北保定·期中）如图，已知射线，以为圆心，任意长为半径画弧，与射线交于点，再以点为圆心，长为半径画弧，两弧交于点，画射线，作，垂足为，则的度数是 ． 12．（24-25七年级下·四川成都·期末）如图，在“问题解决策略：特殊化”课中，小茗同学拿了两块相同的含的三角尺，即等腰直角和等腰直角做了一个探究活动：将的直角顶点放在的斜边的中点处，设，此时重叠部分四边形的面积为 ． 三、解答题 13．（24-25八年级下·湖南株洲·期末）在中，是的中点，交于点． （1）求的度数；（2）求证： 14．（2025·海南海口·三模）如图，是等边的中线，以D为圆心，的长为半径画弧，交的延长线于E，连接． （1）求证：： （2）若的边长为6，求的长． 15．（24-25七年级下·上海嘉定·期末）如图，和是等边三角形，连接交于点P，交于点Q．点F为线段上一点，且． 求证：（1）；（2）是等边三角形． 16．（24-25八年级下·广东清远·期中）如图，在中，的平分线交于点D，过点D作交于点E． （1）求证：是等腰三角形； （2）若，，求的度数． 【能力提升（20题）】 一、单选题 1．（2024·河南周口·二模）已知的三边分别为、、，且 则为（   ） A．等腰三角形 B．等腰直角三角形 C．直角三角形 D．等边三角形 2．（24-25八年级上·湖北十堰·期末）如图，是的角平分线，过点D作交于点E，交的平分线于点F，若，则的长为（    ） A．4 B．3 C．2 D．无法求出 3．（24-25八年级下·四川成都·期中）如图，在中，为内一点，平分，，垂足为，交于点，若，，则的长为（   ） A． B． C． D． 4．（2025·湖北·三模）如图，在中，，分别以点B，C为圆心，以大于长为半径画弧，两弧交于点M，N，直线交于点D，交于点E，连接．下列结论不一定成立的是（    ） A． B． C． D． 5．（20-21八年级下·安徽合肥·期末）如图，点P为等边的边上一点，Q为延长线上一点，，连接交于D，若，，则的长为（   ） A．2 B． C． D． 6．（24-25八年级上·重庆渝北·期中）如图，已知的大小为，P是内部的一个定点，且，点E，F分别是、上的动点，若周长的最小值等于8，则（   ） A． B． C． D． 7．（18-19八年级上·江苏扬州·阶段练习）如图所示，已知和都是等边三角形，下列结论：①；②；③；④是等边三角形；⑤，其中正确的有（    ） A．5个 B．4个 C．3个 D．2个 8．（24-25八年级上·安徽芜湖·期末）已知为等边三角形，为的中点，，交线段于点E，DF交于点．下列说法中正确的结论有（   ）个 ①； ②； ③若，则； ④若，则． A．4 B．3 C．2 D．1 二、填空题 9．（2024八年级下·全国·专题练习）如图，，，则图中的等腰三角形有 个． 10．（23-24八年级上·广西河池·期中）如图，中，、分别平分、，，，，则的周长 ． 11．（24-25七年级下·江苏常州·期中）如图，直线是四边形的对称轴，，点E、F分别是，上一点，且，若，，则 ． 12．（24-25八年级上·广西钦州·期中）一艘轮船由西向东航行，在A处测得小岛的方位是北偏东， 又继续航行7海里后，在处测得小岛的方位是北偏东，则的距离是 海里． 13．（24-25八年级下·湖南永州·期中）如图，在中，平分，，若与互补，，则的长为 ． 14．（24-25七年级下·陕西渭南·期末）如图，在中，，点在边上，连接，与关于所在的直线对称，的平分线交边于点，连接．当是以为底边的等腰三角形时，的度数为 ． 15．（24-25七年级下·四川成都·期中）如图，在面积为的锐角中，，，D是内部一点，E，F分别是边上的动点，连接．若的面积为2，则周长的最小值为 ． 16．（24-25七年级下·四川成都·期末）如图，为的中线，过点B作交的延长线于点E，点F在线段上且满足，延长交于点G，若，，则线段的长度为 ． 三、解答题 17．（24-25八年级上·辽宁大连·阶段练习）如图，，是的中点，平分，，，求的长． 18．（24-25七年级上·山东淄博·阶段练习）如图，在中，，，是的平分线，交于点D，E是的中点，连接并延长，交的延长线于点F，连接． （1）试说明：； （2）若，，求的长． 19．（24-25八年级下·贵州贵阳·阶段练习）如图，P是上一点，，都是等边三角形，连接和． （1）求证：； （2）与交于M，与交于N，判断的形状，并说明理由； （3）与交于点E，求的度数． 20．（24-25八年级上·贵州遵义·期中）如图，点是等边内一点，是外的一点，且有，，，连接，． （1）求证：是等边三角形； （2）时，试判断的形状，并说明理由； （3）探究：当为多少度时，是等腰三角形． 【中考真题12题】 一、单选题 1．（2025·江苏扬州·中考真题）在如图的房屋人字梁架中，，点在上，下列条件不能说明的是（   ） A． B． C． D．平分 2．（2025·北京·中考真题）如图，，点A在射线上，以点O为圆心，长为半径画弧，交射线于点B．若分别以点A，B为圆心，长为半径画弧，两弧在内部交于点C，连接，则的大小为（    ） A． B． C． D． 3．（2025·吉林·中考真题）如图，在中，．尺规作图操作如下：（1）以点B为圆心，适当长为半径画弧，分别交边于点M，N；（2）以点C为圆心，长为半径画弧，交边于点；再以点为圆心，长为半径画弧，与前一条以点C为圆心的弧相交于三角形内部的点；（3）过点画射线交边于点D．下列结论错误的为（    ） A． B． C． D． 4．（2025·天津·中考真题）如图，是的角平分线．按以下步骤作图：①以点为圆心，适当长为半径画弧，与边相交于点，与边相交于点；②以点为圆心，长为半径画弧，与边相交于点；③以点为圆心，长为半径画弧，与第②步中所画的弧相交于点；④作射线，与相交于点，与边相交于点．则下列结论一定正确的是（   ） A． B． C． D． 二、填空题 5．（2024·重庆·中考真题）如图，在中，，，平分交于点．若，则的长度为 ． 6．（2024·辽宁·中考真题）如图，四边形中，，，，．以点为圆心，以长为半径作图，与相交于点，连接．以点为圆心，适当长为半径作弧，分别与，相交于点，，再分别以点，为圆心，大于的长为半径作弧，两弧在的内部相交于点，作射线，与相交于点，则的长为 （用含的代数式表示）． 7．（2025·四川资阳·中考真题）如图，在四边形中，，点E在线段上，．若使成为等边三角形，可增加的一个条件是 ．    8．（2024·黑龙江绥化·中考真题）如图，已知，点为内部一点，点为射线、点为射线上的两个动点，当的周长最小时，则 ． 三、解答题 9．（2025·四川自贡·中考真题）如图，，．求证：． 10．（2025·山东青岛·中考真题）已知：如图，是内部一点．求作：等腰，使点，分别在射线，上，且底边经过点． 11．（2025·福建·中考真题）如图，是等边三角形，D是的中点，，垂足为C，是由沿方向平移得到的．已知过点A，交于点G． （1）求的大小； （2）求证：是等边三角形． 12．（2025·河北·中考真题）如图．四边形的对角线，相交于点，，，点在上，． （1）求证：； （2）若，求证：． 2 / 30 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题 2.4 等腰三角形的判定定理 目录 一．知识梳理与题型分类精析 1 知识点引入： 1 知识点（一）等腰三角形判定定理 2 【题型1】利用“同一个三角形中，等角对等边”求值 3 【题型2】利用“同一个三角形中，等角对等边”证明 6 知识点引入： 8 知识点（二）等边三角形判定定理 9 【题型3】利用等边三角形的判定求值 9 【题型4】利用等边三角形的判定证明 12 知识点（三）等腰三角形性质和判定定理 15 【题型5】利用等腰三角形的性质与判定求值 16 【题型6】利用等腰三角形的性质与判定证明 18 知识点（四）等边三角形性质和判定定理 22 【题型7】利用等边三角形的性质与判定求值 22 【题型8】利用等边三角形的性质与判定证明 25 二．同步练习 29 【基础巩固（16题）】 29 【能力提升（20题）】 42 【中考真题12题】 65 一．知识梳理与题型分类精析 知识点引入： 【例题1】（24-25八年级上·江苏连云港·期中）写出已知、求证内容，并完成证明过程： 证明：有两个角相等的三角形是等腰三角形． 已知：如图，在中，________， 求证：________． 证明： 解：已知：如图，在中，， 求证：， 证明：过点作，垂足为， ， 在和中， ， ， ， 故答案为：；． 知识点（一）等腰三角形判定定理 等腰三角形判定定理1：有两个角相等的三角形是等腰三角形，可以简单地说成：在同一个三角形中，等角对等边。 数学语言：如图1，在中， （已知） （在同一个三角形中，等角边对等边） 图1 【题型1】利用“同一个三角形中，等角对等边”求值 【例题2】（24-25八年级下·四川泸州·开学考试）如图，一艘轮船由西向东航行，在处测得小岛在北偏东方向，又航行10海里后，在处测得小岛在北偏东方向，若小岛周围4海里范围内有暗礁，则该船一直向东航行有无触礁危险？请说明理由． 【答案】无危险，见分析 【分析】本题考查了等角对等边，含30度角的直角三角形的性质，方向角，证明是解答本题的关键．求出，可证，然后根据30度角的性质即可求解． 解：无危险 由题意得，，， ∵， ∴， ∴海里， ∵在直角中， ∴海里海里， 故若继续向东航行无触礁的危险． 【变式1】（24-25八年级上·广东广州·期中）如图，的周长为，和的平分线相交于点，过点作交于点，交于点，若，，，那么的周长是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查了平行线的性质，角平分线的定义以及等腰三角形的判定，由角平分线定义可得，由平行线的性质可得，则，所以，同理，然后由的周长，，可得，最后由的周长即可求解，熟练掌握以上知识点是解题的关键． 解：∵平分， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 同理：， ∵的周长，， ∴， ∵的周长为 ， ∴的周长是， 故选：． 【变式2】（23-24八年级上·北京海淀·期中）如图，是的角平分线，，将沿所在直线翻折，点B在边上的落点记为点E，若，，则的长为 ． 【答案】3 【分析】本题考查了折叠的性质、等腰三角形的判定等知识，熟练掌握折叠的性质是解题关键．先根据折叠的性质可得，从而可得，再根据等腰三角形的判定可得，由此即可得． 解：由折叠的性质得：， ∵， ∴， ∵， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∴， 故答案为：3． 【变式3】（2025·广东广州·二模）如图，已知． （1）尺规作图：作点关于的对称点，连接；（不写作法，保留作图痕迹） （2）在（1）的图形下，过点作，交于点．若，，求的长度． 【答案】（1）见分析；（2）6 【分析】本题考查作图一轴对称变换，等腰三角形的判定与性质，作垂线，全等三角形的判定与性质，两直线平行内错角相等等知识，熟练掌握相关知识为解题关键． （1）作于O，在射线上截取即可； （2）过点作，交于点，先证明，得到，，再根据两直线平行内错角相等得到，根据等角对等边即可得出结果． 解：（1）解：如图，点D即为所求； （2）如图：过点作，交于点， ，， ， ， ， ， ， ， ， ， ． 【题型2】利用“同一个三角形中，等角对等边”证明 【例题3】（24-25九年级下·广东茂名·期中）如图，在中，，是角平分线，是高，、相交于点．求证：． 【分析】本题考查了余角性质，对顶角的性质，等腰三角形的判定等，由余角性质可得，进而由对顶角相等得，即可求证，掌握以上知识点是解题的关键． 解：证明：∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵是角平分线， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴． 【变式1】（23-24八年级上·河北张家口·期中）如图，中，、平分、且相交于点D，过D作直线平行于，交、于E、F，当的位置及大小变化时，线段和的大小关系（　 ） A． B． C． D．不能确定 【答案】B 【分析】本题主要考查了等腰三角形的判定，平行线的性质，角平分线的定义，熟练掌握等腰三角形的判定定理，平行线的性质定理，角平分线的定义是解题的关键． 由平行线的性质和角平分线的定义可得，则，同理可得，则，可得答案． 解：， ， 平分， ， ， ， 同理， ， 即． 故选：B． 【变式2】（24-25七年级下·上海闵行·期末）已知：如图，在中，，点D在边上，，图中共有 个等腰三角形． 【答案】3 【分析】本题主要考查了等腰三角形的判定，三角形内角和定理应用，根据等腰三角形的判定方法，等角对等边，进行判断即可． 解：∵， ∴，， ∴为等腰三角形， ∵， ∴，， ∴， ∴，， ∴，， ∴、为等腰三角形， 综上分析可知：等腰三角形共3个． 故答案为：3． 知识点引入： 【例题4】求证：有一个角等于60°的等腰三角形是等边三角形． 【答案】见分析 试题分析：由等腰三角形的特点可知：等腰三角形的两个底角相等，再据三角形的内角和是180度，即可求得三角形的另外两个角的度数，从而判定这个等腰三角形是否是等边三角形． 解：如图已知AB=AC． ①如果∠B=60°，那么∠C=∠B=60°． 所以∠A=180°﹣（∠B+∠C）=180°﹣（60°+60°）：60° 于是∠A=∠B=∠C，所以△ABC是等边三角形． ②如果∠A=60°， 由∠A+∠B+∠C=180°和∠B=∠C得 ∠B=÷（180°﹣∠A） =（180°﹣60°）=60°． 于是∠B=∠C=∠A，所以△ABC是等边三角形． 综上所述，有一个角等于60°的等腰三角形是等边三角形． 知识点（二）等边三角形判定定理 判定1：三个边都相等的三角形是等边三角形。 判定2：三个角都相等的三角形是等边三角形。 数学语言：如图2，在中， （已知） （在同一个三角形中，等角对等边） 图2 图3 判定3：有一个角是的等腰三角形是等边三角形。 数学语言：如图2，在等腰中，， （或）（已知） （在同一个三角形中，等角对等边） 【题型3】利用等边三角形的判定求值 【例题5】（2024八年级·全国·竞赛）如图，在中，，，分别是，的中垂线，，则 ． 【答案】 【分析】本题考查垂直平分线的性质和等边三角形的证明，熟练掌握垂直平分线的性质和等边三角形的判定是解题的关键，连接，，易证得为等边三角形，即可得到，进而得到答案． 解：连接，，如图所示， ∵，， ∴， ∵，分别是，的中垂线， ∴， ∴， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∵， ∴是等边三角形， ∴， ∴， 故答案为：． 【变式1】（24-25八年级下·辽宁沈阳·阶段练习）一艘轮船由海平面上A地出发向南偏东的方向行驶100海里到达B地，再由B地向北偏东的方向行驶100海里到C地，则A，C两地相距（   ） A．100海里 B．海里 C．70海里 D．60海里 【答案】A 【分析】本题考查了等边三角形的判定，方位角的表示，先由题意得出，，（海里），再结合平行线的性质得，然后得证是等边三角形，即可作答． 解：连接，如图所示： ∵一艘轮船由海平面上A地出发向南偏东的方向行驶100海里到达B地，再由B地向北偏东的方向行驶100海里到C地， ∴，，（海里）， ∵， ∴， 即， ∵（海里）， ∴是等边三角形， 则海里． 故选：A． 【变式2】（24-25九年级上·山东滨州·期中）如图，已知，点在内部，与关于对称，与关于对称，则、、三点所构成的三角形的形状是 ；连接，，交于，交于，，则的周长为 ． 【答案】 等边三角形 【分析】本题考查了轴对称的性质，等边三角形的判定，由轴对称可得，，，，即得，，即得为等边三角形；又由轴对称的性质得，，即可得的周长，据此即可求解，掌握轴对称的性质是解题的关键． 解：∵与关于对称，与关于对称， ∴，，，， ∴，， ∴为等边三角形； ∵与关于对称，与关于对称， ∴，， ∴的周长， 故答案为：等边三角形；． 【题型4】利用等边三角形的判定证明 【例题6】（24-25八年级上·上海徐汇·期中）如图1，和都是顶角为的等腰三角形，其中，点D在上． （1）求证： ； （2）求证：如图2，当点E在的延长线上，为等边三角形． 【答案】（1）见分析；（2）见分析 【分析】本题考查全等三角形的判定与性质，等边三角形的判定； （1）证明即可得到； （2）由得到，当点E在的延长线上时，即可证明，得到，，根据一个角是的等腰三角形是等边三角形判定即可． 解：（1）证明：∵和都是顶角为的等腰三角形， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴； （2）证明：当点E在的延长线上时， ∴， ∵，， ∴， ∴，， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴为等边三角形． 【变式1】（23-24八年级上·北京西城·期中）的三边长分别为，，，若满足，则的形状为（   ） A．等边三角形 B．等腰直角三角形 C．有角的直角三角形 D．钝角三角形 【答案】A 【分析】本题考查了等边三角形的判定、偶次方和绝对值的非负性，熟练掌握等边三角形的判定是解题关键．根据偶次方和绝对值的非负性可得，从而可得，再根据等边三角形的判定即可得． 解：∵， ∴， ∴， ∵的三边长分别为，，， ∴是等边三角形， 故选：A． 【变式2】（24-25八年级上·陕西延安·期中）如图，在中，D是上一点，于点E，的延长线与的延长线交于点F，，试判断的形状，并说明理由． 【答案】等边三角形，见分析 【分析】本题考查了等边三角形的判定、直角三角形的性质，由角的互余关系、等腰三角形的性质以及对顶角相等证出，再由，得出，即可得出结论． 解：是等边三角形，理由如下： ， ， ， ， ， ， ， ， 又， ， ∴是等边三角形． 知识点（三）等腰三角形性质和判定定理 如图3，在中，； 图3 数学语言：如图3，在中， 如图4，在中， （1）；（2）； （3）。 图4 【题型5】利用等腰三角形的性质与判定求值 【例题7】（24-25七年级下·辽宁本溪·期末）如图，等腰直角三角板的顶点落在射线上，，，交延长线于E，若，求的长． 【答案】4 【分析】此题考查了全等三角形的判定和性质、等腰三角形的判定和性质，证明是关键．过做的垂线，垂足为，根据等腰三角形三线合一得到，证明，即可得到的长． 解：如图，过做的垂线，垂足为， ∵ ∴ ∵， ∴，， ∴ ∵ ∴ ∴ 【变式1】（24-25八年级上·河南驻马店·期中）如图，在中，是高和的交点，，则线段的长为（   ） A．4 B．5 C．6 D．8 【答案】A 【分析】本题考查了三角形的内角和定理，全等三角形的性质和判定，等腰三角形的性质和判定的应用，根据三角形内角和定理、等腰三角形性质等可得到，根据，推出，根据证，推出即可． 解：∵是的高， ， ， ， ， ， ， ， ， ， 在和中， ， ， ， 故选：A． 【变式2】（24-25七年级下·陕西咸阳·期末）如图，在中，点在边上，，是的垂直平分线．若，，则的长为 ． 【答案】10 【分析】本题考查了线段垂直平分线的性质，等腰三角形的性质，三角形外角的性质，先根据线段垂直平分线的性质得到，再根据等边对等角得到，结合已知条件和三角形外角的性质可得，因此，进而即可求出的长． 解：是的垂直平分线， ， ， ，， ， ， ， ，， ， ． 【题型6】利用等腰三角形的性质与判定证明 【例题8】（24-25八年级下·山东·期末）已知：如图，是的角平分线，交于点． （1）求证：； （2）当时，请判断与的数量关系，并说明理由． 【答案】（1）见分析；（2）相等，见分析 【分析】本题主要考查了平行线的性质，等腰三角形的判定与性质，角平分线的定义等知识，熟练掌握平行与角平分线可推出等腰三角形是解题的关键． （1）利用角平分线的定义和平行线的性质可得结论； （2）利用平行线的性质可得，则，由线段的和差即可得． 解：（1）证明：是的角平分线， ． ∵， ， ． （2）解：．理由： ， ． ∵， ，， ， ， ， ． 【变式1】（24-25八年级下·云南临沧·期中）如图，在和中，，，，连接并延长分别交，于点，，恰好平分，连接，下列结论错误的是（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题主要考查了全等三角形的性质与判定，等边三角形的性质与判定，三角形内角和定理，平行线的判定，可证明得到，，据此可判断D；由等边对等角和三角形内角和定理可得，由角平分线的定义得到，则可得到，据此可判断B；求出得到，即可判断C；根据已知条件无法证明，故A选项不正确，符合题意． 解：， ，即， 在和中， ， ， ，，故D选项正确，不符合题意； ， ， ， ， 平分， ， ， ， ，故B选项正确，不符合题意； ，， ， ， ，故C选项正确，不符合题意； 根据已知条件无法证明，故A选项不正确，符合题意． 故选：A． 【变式2】（24-25七年级下·山东青岛·期末）如图，在中，，，平分交于点D，延长到点E，使，连接交的延长线于点F．给出下面四个结论：①；②；③；④的面积是的面积的2倍；其中正确的结论有 （填写序号）． 【答案】①②③ 【分析】证明，再，结合线段之间的关系，三角形面积公式，解答即可． 本题考查了三角形全等的判定和性质，高的意义，线段之间的关系，三角形面积公式，熟练掌握判定和性质是解题的关键． 解：∵， ∴， 在和中， ∴， ∴， 故①正确，符合题意； ∵， ∴， ∴， ∵平分， ∴， 在和中， ∴， ∴， ∴， 故②正确，符合题意； ∵， ∴； 故③正确，符合题意； 根据三角形面积公式得，只有时，的面积是的面积的2倍， 故④错误，不符合题意． 故答案为：①②③． 知识点（四）等边三角形性质和判定定理 如图3，在中，； 图3 图4 如图4，在中，是等边三角形. 【题型7】利用等边三角形的性质与判定求值 【例题9】（24-25八年级下·陕西西安·期中）如图，在中，，，平分，交于点，过点作，交于点． （1）求的度数． （2）若与的周长分别为和，求的长． 【答案】（1）；（2） 【分析】本题考查三角形内角和定理，三角形外角的性质、等边三角形的判定和性质，证明是等边三角形是解题的关键． （1）由三角形内角和定理得到，由平分得到，由三角形外角的性质得到， （2）证明是等边三角形，则，由三角形周长得到，则，即可得到． 解：（1）解：∵，， ∴， ∵平分， ∴， ∴， （2）∵ ∴， ∴， ∴是等边三角形， ∴ ∵与的周长分别为和， ∴， ∴， ∴． 【变式1】（24-25七年级下·上海杨浦·阶段练习）如图，是等边中边上的点，，，则的度数为 ．    【答案】/度 【分析】本题考查了等边三角形的判定与性质、全等三角形的判定与性质等知识，证明是解题的关键．由等边三角形的性质得，，而，，即可根据证明，得，，所以是等边三角形，则，求得，于是得到问题的答案． 解：是等边三角形，点在上， ，， 在和中， ， ， ，， 是等边三角形， ， ， 故答案为：． 【变式2】（2025八年级上·全国·专题练习）如图是等边三角形，点在的延长线上，点在上，且，若，那么 【答案】 【分析】本题考查了等腰三角形的性质，等边三角形的判定与性质，全等三角形的判定与性质，过点作的平行线，交的延长线于点，证得后即可证得，然后利用等边三角形的性质可得，即可求得的长，解题的关键是正确的作出辅助线． 解：过点作的平行线，交的延长线于点， ∵是等边三角形， ∴，， ∴是等边三角形， ∵， ∴， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∵、都是等边三角形， ∴，即， ∵， ∴， 故答案为：． 【题型8】利用等边三角形的性质与判定证明 【例题10】（24-25八年级上·陕西渭南·阶段练习）如图，在中，，，，连接交于点，，求证：． 【答案】见详解 【分析】本题考查等边三角形，等腰三角形，平行线的性质，根据，，延长构造等边三角形，由，，证明等腰三角形，根据等腰三角形和等边三角形做边长的等量代换． 解：如图：延长至，使， ， ， 在与中 ， ， ， 为等边三角形， ， ， ， ， ， ， ， ， ． 【变式1】（24-25七年级下·辽宁丹东·期末）如图，和均是等边三角形， 、、三点共线，与相交于点，与分别与交于点．则下列结论：①；②；③；④；⑤，其中正确的结论有（　　） A．5个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】A 【分析】本题主要考查了等边三角形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，解题的关键是掌握以上性质，并灵活应用． 利用等边三角形的判定和性质及全等三角形的判定和性质逐项进行判断即可． 解：①∵和均是等边三角形， ∴， ∴， 即， ∴，故①正确，符合题意； ②∵和均是等边三角形， ∴， ， ∴， ∴， ∴，故②正确，符合题意； ③由①得， ∴， 由②得， 又， ∴， ∴，故③正确，符合题意； ④由③得， ∴，故④正确，符合题意； ⑤由③得，由②得， ∴为等边三角形， ∴，故⑤正确，符合题意； 故选：A． 【变式2】（24-25八年级下·江西赣州·期中）如图为等边三角形，点在的延长线上，点在边上，且．求证：． 【答案】证明见详解 【分析】此题考查了全等三角形的判定和性质、等边三角形的性质等知识． 作交于．可得是等边三角形，再证明，即可得到结论． 解：证明：作交于． ∵是等边三角形， ∴， ∴，， ∴是等边三角形， ∴，． ∵， ∴． ∵，， ∴． ∵， ∴． 在与中， ∴， ∴， ∴． 二．同步练习​ 【基础巩固（16题）】 一、单选题 1．（24-25八年级下·广东佛山·期末）三角形两个角的度数如图所示，则该三角形是（　　） A．锐角三角形 B．直角三角形 C．等腰三角形 D．等边三角形 【答案】C 【分析】本题考查了三角形内角和定理以及等腰三角形的判定，牢记“三角形内角和是”是解题的关键． 利用三角形内角和定理，可求出第三个内角的度数，结合，可得出该三角形是钝角三角形，且是等腰三角形，再对照四个选项，即可得出结论． 解：第三个内角的度数为， ， ∴该三角形是钝角三角形，且是等腰三角形． 故选：C． 2．（24-25八年级下·陕西榆林·期末）如图，，若，则的长度为（    ） A．3 B．4 C．5 D．6 【答案】A 【分析】本题考查了平行线的性质，等腰三角形的判定与性质，先根据，推出，结合，推出，即可得到，即可得出答案． 解：∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴． 故选：A． 3．（24-25八年级下·内蒙古包头·期末）下列条件中，能判定为等边三角形的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查等边三角形的判定，根据等边三角形的判定条件逐一分析选项：需满足三个角均为，或一个角为的等腰三角形． 解：A、不能判定为等边三角形，不符合题意； B、不能判定为等边三角形，不符合题意； C、不能判定为等边三角形，不符合题意； D、能判定为等边三角形，符合题意； 故选D． 4．（24-25八年级下·陕西咸阳·期中）为了使桥面更加稳固，桥面上的斜拉钢缆一般与桥面呈三角形结构，如图是桥面上两条绳索与桥面的示意图，已知，则的长度为（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查了等腰三角形的判定，熟练掌握等角对等边这一判定定理是解题的关键．根据等腰三角形的判定定理（等角对等边），判断三角形的边的关系，进而求出 的长度． 解：在中， ， （等角对等边）， 又， ． 故选：C． 5．（24-25八年级下·辽宁丹东·期末）如图，在等边中，，垂足为，是上一点，．则的度数为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查的是等边三角形的性质，等腰三角形的判定与性质，先证明，，，再证明，进一步可得答案． 解：在等边中，， ∴，，， ∵， ∴， ∴， ∴； 故选：A 6．（24-25八年级上·福建莆田·期中）如图，在等边三角形中，为上一点，过点的直线交于点，交延长线于点，作垂足为，如，则的长为（   ） A．2 B．3 C．4 D．6 【答案】B 【分析】本题考查的是等边三角形的判定与性质、全等三角形的判定与性质，熟练掌握相关判定与性质是解题关键，作交于点M，证明是等边三角形，进而证明，得出，，即可求出结论． 解：作交于点M， 在等边三角形中，， ， 是等边三角形， ， ， ， ， 是等边三角形，， ， 故选：B． 二、填空题 7．（24-25七年级下·山东青岛·期末）如图，，平分，若的周长为，，则 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了角平分线的定义，平行线的性质，等角对等边，由平行线的性质和角平分线的定义证明，则． 解：平分， ， ， ， ， ， 故答案为：． 8．（24-25七年级下·山东威海·期末）如图，分别作两个内角的角平分线，过点作直线，分别交、于点、．若，，则的周长为 ． 【答案】21 【分析】本题考查了角平分线定义，等腰三角形的判定，平行线的性质．先根据角平分线的定义及平行线的性质证明，，再根据的周长，从而得出答案． 解：平分， ， ， ， ， ， 同理， 的周长， 故答案为：． 9．（24-25八年级上·河南南阳·阶段练习）如图，在中，，，点在边上，、关于直线对称，的角平分线交边于点，连接．，当的值等于 时，为等腰三角形． 【答案】，或 【分析】本题主要考查了轴对称的性质，全等三角形的性质和判定，等腰三角形的性质，三角形的内角和定理， 先根据轴对称得，进而得，再证明，即可得，然后求出，接下来分三种情况讨论解答即可：当时，可求，再根据，可得答案；当时，可求，根据三角形内角和定理得出答案；当时，可求，再根据三角形内角和定理得出答案. 解：∵， ∴. ∵和关于直线对称， ∴， ∴， ∴. ∵平分， ∴. ∵， ∴， ∴. ∵， ∴. 当时， ∴. ∵， ∴， 解得； 当时， ∴. ∵， ∴， ∴， 解得； 当时， ∴， ∴， ∴， 解得. 当，或，为等腰三角形. 故答案为：，或. 10．（24-25八年级下·陕西宝鸡·期末）如图．在中，，，D是上一点，连接，，过点C作于点E，此时平分，则的长为 ． 【答案】2 【分析】本题考查全等三角形的判定和性质，等腰三角形的性质，正确掌握相关知识是解决此题的关键．由且平分，可推出，则可得，，由等角对等边可知，根据题目所给数据即可求得的长． 解：平分， ， ， ， ， ， ，， ，， ， ， ， ， ． 故答案为：2． 11．（24-25八年级下·河北保定·期中）如图，已知射线，以为圆心，任意长为半径画弧，与射线交于点，再以点为圆心，长为半径画弧，两弧交于点，画射线，作，垂足为，则的度数是 ． 【答案】/30度 【分析】本题考查了等边三角形的性质与判定，根据作图可得，则是等边三角形，根据等边三角形的性质，即可求解． 解：如图所示，连接， ， 是等边三角形， ， ， ， 故答案为：． 12．（24-25七年级下·四川成都·期末）如图，在“问题解决策略：特殊化”课中，小茗同学拿了两块相同的含的三角尺，即等腰直角和等腰直角做了一个探究活动：将的直角顶点放在的斜边的中点处，设，此时重叠部分四边形的面积为 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了等腰直角三角形的性质，全等三角形的判定和性质．连接，证明，可得，从而得到重叠部分四边形的面积，即可求解． 解：如图，连接， ∵和均是等腰直角三角形， ∴，， ∵点M是斜边的中点， ∴，， ∴，，， ∴， 在和中， ∵，， ∴， ∴， ∴重叠部分四边形的面积． 故答案为： 三、解答题 13．（24-25八年级下·湖南株洲·期末）在中，是的中点，交于点． （1）求的度数； （2）求证： 【答案】（1）；（2）见分析 【分析】本题考查的是等腰三角形的性质与判定、平行线的性质，掌握等腰三角形的性质是解题的关键． （1）根据等腰直角三角形的性质可得，根据已知，即可求解； （2）根据平行线的性质得出，，根据垂直的定义得出，进而得出，根据等角对等边，即可求解． 解：（1）解：，是的中点        即   又     （2）证明：∵，， ∴， ，， ∴ ∵ ∴ ∴ ∴ 14．（2025·海南海口·三模）如图，是等边的中线，以D为圆心，的长为半径画弧，交的延长线于E，连接． （1）求证：： （2）若的边长为6，求的长． 【答案】（1）见分析；（2） 【分析】本题考查了等边三角形的性质，全等三角形的判定与性质，等腰三角形的判定，正确掌握相关性质内容是解题的关键． （1）先根据是等边三角形，得，结合中线的定义得，即可证明； （2）结合等边三角形的性质得，，因为，得，再由等角对等边得，即可作答． 解：（1）证明：∵是等边三角形， ∴， ∵是中线， ∴， 又∵， ∴． （2）解：∵是等边三角形， ∴， ∵是等边三角形，是中线， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， 又∵D是中点， ∴， ∴． 15．（24-25七年级下·上海嘉定·期末）如图，和是等边三角形，连接交于点P，交于点Q．点F为线段上一点，且． 求证： （1）； （2）是等边三角形． 【答案】（1）见分析；（2）见分析 【分析】本题主要考查了全等三角形的性质与判定，等边三角形的性质与判定，三角形内角和定理，熟知全等三角形的性质与判定定理，等边三角形的性质与判定定理是解题的关键． （1）由等边三角形的性质可得，再证明，据此可利用证明； （2）由全等三角形的性质可得，再由三角形内角和定理可证明，据此可证明结论． 解：（1）证明：∵和是等边三角形， ∴， ∴，即， ∴； （2）证明：∵， ∴， ∵，，， ∴， 又∵， ∴是等边三角形． 16．（24-25八年级下·广东清远·期中）如图，在中，的平分线交于点D，过点D作交于点E． （1）求证：是等腰三角形； （2）若，，求的度数． 【答案】（1）见分析；（2） 【分析】本题主要考查了等腰三角形的判定和性质，平行线的性质，熟练掌握等腰三角形的判定和性质，平行线的性质是解此题的关键． （1）根据角平分线性质可得，由，根据平行线的性质得，到，即可得到结论． （2）根据三角形的内角和可求出，由，根据平行线的性质即可得出结果． 解：（1）证明：∵是的平分线， ， ， ， ， ， ∴是等腰三角形； （2）解：， ， ， ， ． 【能力提升（20题）】 一、单选题 1．（2024·河南周口·二模）已知的三边分别为、、，且 则为（   ） A．等腰三角形 B．等腰直角三角形 C．直角三角形 D．等边三角形 【答案】D 【分析】本题考查了因式分解的应用，根据完全平方公式进行等式的变形，利用非负数的性质即可求解． 解： ∴．则为等边三角形 故答案为：D． 2．（24-25八年级上·湖北十堰·期末）如图，是的角平分线，过点D作交于点E，交的平分线于点F，若，则的长为（    ） A．4 B．3 C．2 D．无法求出 【答案】B 【分析】此题考查了平行线的性质、等角对等边、角平分线的定义等知识，熟练掌握等角对等边是解题的关键．根据角平分线的定义得到，再由平行线的性质得到，则，即可得到，求出的长即可． 解：∵是的角平分线，平分， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， 故选：B 3．（24-25八年级下·四川成都·期中）如图，在中，为内一点，平分，，垂足为，交于点，若，，则的长为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质，等腰三角形的判定，熟练掌握全等三角形的判定与性质、等腰三角形的判定是解题的关键． 根据平分，，证出，得到，即可． 解：平分， ， ， ， ， ， ，， 又， ， ，， ， ， ， 故选：A． 4．（2025·湖北·三模）如图，在中，，分别以点B，C为圆心，以大于长为半径画弧，两弧交于点M，N，直线交于点D，交于点E，连接．下列结论不一定成立的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查了尺规作图、线段垂直平分线的性质、等腰三角形的判定与性质等知识点．根据尺规作图得到是的垂直平分线是解题的关键． 由作图过程可得：垂直平分线段可得， ，可判定A、B选项；再根据等边对等角可得，进而得到，即C选项符合题意；由运用等角对等边可得，即可判定D选项． 解：由作图过程可得：垂直平分线段， ∴， ，、故A、B正确，不符合题意； ∵ ∴． ∵，， ∴，不能得到，即C选项符合题意 ∴，即D选项正确，不符合题意． 故选C． 5．（20-21八年级下·安徽合肥·期末）如图，点P为等边的边上一点，Q为延长线上一点，，连接交于D，若，，则的长为（   ） A．2 B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了全等三角形的性质和判定，等边三角形的性质和判定．过点作交于点；得出是等边三角形，进而证明），得到，设，则有，根据，列式计算即可求解． 解：如图，过点P作交于点F， 是等边三角形， ， ， ， ， 是等边三角形， ，， ，， 在和中， ）， ， 设，则有， ， ，， ， ， ， ， 解得：，即， 故选：A． 6．（24-25八年级上·重庆渝北·期中）如图，已知的大小为，P是内部的一个定点，且，点E，F分别是、上的动点，若周长的最小值等于8，则（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查轴对称求最短距离．作点关于的对称点，作点关于的对称点，连接交于点、交于点，连接、，此时周长最小为，由对称性可得是等边三角形，，即可求解． 解：作点关于的对称点，作点关于的对称点，连接交于点、交于点，连接、， 由对称性可知，，， 周长， 此时周长最小， ∵周长的最小值等于8，即 ，， ， 是等边三角形， ， 由对称的性质得：， ， 故选：A． 7．（18-19八年级上·江苏扬州·阶段练习）如图所示，已知和都是等边三角形，下列结论：①；②；③；④是等边三角形；⑤，其中正确的有（    ） A．5个 B．4个 C．3个 D．2个 【答案】A 【分析】本题主要考查了等边三角形的性质及全等三角形的判定及性质．由题中条件可得，得出对应边、对应角相等，进而得出，，再由边角关系即可求解题中结论是否正确，进而可得出结论． 解：∵与为等边三角形， ∴，，， ∴， 即，，， ∴， ∴，， 又∵， ∴， ∴，， 故①②正确； ∵， ∴， ∵， ∴， 故③正确； ∵，， ∴是等边三角形， 故④正确； ∴， ∴， 故⑤正确； 故选：D． 8．（24-25八年级上·安徽芜湖·期末）已知为等边三角形，为的中点，，交线段于点E，DF交于点．下列说法中正确的结论有（   ）个 ①； ②； ③若，则； ④若，则． A．4 B．3 C．2 D．1 【答案】A 【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质、等边三角形的判定与性质、角平分线的性质定理、等腰三角形的判定与性质，连接，作于，于，则，证明，即可判断①；作交于，证明，得出，结合，得出，即可判断②；作于，设，则，，由②可得，从而可得，即，证明，，由②可得：，从而可得，即可判断③；作于，于，交于，设，则，， 由②可得，，，，求出，从而可得，即可判断④． 解：①如图，连接，作于，于，则， ， ∵为等边三角形，为的中点， ∴，，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵于，于， ∴， ∴， ∴，故①正确； ②如图：作交于， ， 则，， ∴为等边三角形，， ∴，， ∴； 在和中， ， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴，故②正确； ③如图，作于， ∵， ∴设，则， ∴， 由②可得：， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， 由②可得：， ∴， ∵， ∴，故③正确； ④如图，作于，于，交于， ∵， ∴设，则，， 由②可得：，，，， ∴， ∴， ∵， ∴，故④正确； 综上所述，正确的有①②③④，共个， 故选：A． 二、填空题 9．（2024八年级下·全国·专题练习）如图，，，则图中的等腰三角形有 个． 【答案】6 【分析】本题考查等腰三角形的判定，三角形的外角定理，三角形的内角和定理． 利用三角形的外角定理和三角形的内角和定理求出图中其他角的度数，根据“等角对等边”即可判定等腰三角形． 解：∵， ∴，是等腰三角形． ∵， ∴，是等腰三角形． ∵， ∴， ∴，是等腰三角形． ∵， ∴， ∴，是等腰三角形． ∵， ∴， ∴，是等腰三角形． ∵， ∴， ∴，是等腰三角形． 综上所述：图中等腰三角形有6个． 故答案为：6 10．（23-24八年级上·广西河池·期中）如图，中，、分别平分、，，，，则的周长 ． 【答案】 【分析】本题考查了角平分线的定义、平行线的性质、等角对等边，熟练掌握它们的性质是解题的关键； 由角平分线的定义得出，结合平行线的性质得出，推出，同理，即可得解． 解：∵平分， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∴，     同理， ∵， 则的周长． 故答案为：． 11．（24-25七年级下·江苏常州·期中）如图，直线是四边形的对称轴，，点E、F分别是，上一点，且，若，，则 ． 【答案】3 【分析】本题考查了轴对称、三角形的边角关系，熟练掌握轴对称的性质是解题关键．先利用轴对称的性质、三角形的边角关系可得点与点重合，再根据轴对称的性质可得，由此即可得． 解：∵直线是四边形的对称轴，点是上一点， ∴点关于直线的对称点在上， 设点关于直线的对称点为点， 如图1，假设点在（不含点）上，连接， 由轴对称的性质得：， ∵， ∴， ∵， ∴在中，，在中，， ∴， ∴在中，， ∴，这与不符， ∴假设不成立，即点不在（不含点）上； 如图2，假设点在（不含点）上，连接， 同理可得：点不在（不含点）上； ∴点与点重合， ∴与关于直线对称，点的对应点是点， ∴， ∵， ∴， 故答案为：3． 12．（24-25八年级上·广西钦州·期中）一艘轮船由西向东航行，在A处测得小岛的方位是北偏东， 又继续航行7海里后，在处测得小岛的方位是北偏东，则的距离是 海里． 【答案】7 【分析】本题主要考查了方向角有关的计算、角的和差、三角形内角和定理、等腰三角形的判定等知识点，灵活运用相关知识成为解题的关键． 根据方向角、角的和差关系、三角形的内角和定理得到，再根据等角对等边可得即可． 解：由图和题意，可知：，，， ∴， ∴， ∴． 故答案为：7． 13．（24-25八年级下·湖南永州·期中）如图，在中，平分，，若与互补，，则的长为 ． 【答案】 【分析】本题考查了全等三角形的判定和性质，补角性质，等腰三角形的判定，延长交于点，可证，得到，，由补角性质可得，即得，得到，进而即可求解，正确作出辅助线是解题的关键． 解：延长交于点， ∵平分， ∴， ∵， ∴， 又∵， ∴， ∴，， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∴， 故答案为：． 14．（24-25七年级下·陕西渭南·期末）如图，在中，，点在边上，连接，与关于所在的直线对称，的平分线交边于点，连接．当是以为底边的等腰三角形时，的度数为 ． 【答案】10 【分析】根据题意，先求出 ，再利用轴对称性质得 ，再证明 ，继而得到的度数，得到，利用的内角和求出即可． 解：在中，， ， 、关于所在的直线对称， ， ， ， 是的角平分线， ， 在与中， ， ， ， ， 如图，令与交点为Q， ∵是以为底边的等腰三角形 ∴， ， ， ， 又， 在中， ， ． 故答案为：10． 【点拨】本题考查了等腰三角形的性质，轴对称的性质，三角形全等的性质和判定定理，三角形外角的性质，三角形的内角和，熟练掌握这些性质和定理是解题的关键． 15．（24-25七年级下·四川成都·期中）如图，在面积为的锐角中，，，D是内部一点，E，F分别是边上的动点，连接．若的面积为2，则周长的最小值为 ． 【答案】/ 【分析】过点D作直线，过点C作于点G，交直线l于点H，求出，推出的最小值为，再作点D关于的对称点，，连接，、，证明出是等边三角形，且边长等于，由此可解决问题． 本题考查了轴对称——最短路线问题，三角形面积计算，等边三角形的判定与性质，垂线段最短，熟练掌握相关知识，证明出是等边三角形，且边长等于，是解题的关键． 解：过点D作直线，过点C作于点G，交直线l于点H，如图， 由题意，知为的边上的高，等于的边上的高， ∵锐角的面积为，， ∴， ， ∵的面积为2，， ∴，点D是直线l上的动点， ∴， ， ∵， 的最小值为， 作点D关于的对称点，，连接，、，，， 则，，，，， 当共线时，周长最小为， ∵， ∴， ∴是等边三角形， 周长的最小值为， 故答案为：． 16．（24-25七年级下·四川成都·期末）如图，为的中线，过点B作交的延长线于点E，点F在线段上且满足，延长交于点G，若，，则线段的长度为 ． 【答案】 【分析】本题考查全等三角形的判定和性质，等腰三角形的判定和性质，解题的关键是证明．证明，得到，等边对等角，得到，进而推出，得到，线段的和差关系求出的长即可． 解：∵为的中线， ∴， ∵， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∵， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∴， ∴； 故答案为：． 三、解答题 17．（24-25八年级上·辽宁大连·阶段练习）如图，，是的中点，平分，，，求的长． 【答案】 【分析】此题重点考查全等三角形的判定与性质、等角对等边，正确地作出所需要的辅助线是解题的关键．延长、交于，可证明，得，根据平行线的性质以及角平分线的定义可得，得出，即可求解． 解：如图，延长、交于F， ， ，， ∵点E是的中点， ， 在和中， ， ， ，， ， ， 平分， ∴， ∴， ∴． 18．（24-25七年级上·山东淄博·阶段练习）如图，在中，，，是的平分线，交于点D，E是的中点，连接并延长，交的延长线于点F，连接． （1）试说明：； （2）若，，求的长． 【答案】（1）见分析；（2） 【分析】本题考查等腰三角形的性质与判定，角平分线的定义，垂直平分线的性质，三角形内角和定理，熟悉相关定理的应用是解题的关键． （1）先求出，利用等角对等边得到，再根据三线合一得到即可； （2）根据条件可得是的垂直平分线，则有，利用即可得到结果． 解：（1）， ， 是的平分线， ， ， ， 是的中点， ； （2），， ， ， ， ， ， ， ， ， ． 19．（24-25八年级下·贵州贵阳·阶段练习）如图，P是上一点，，都是等边三角形，连接和． （1）求证：； （2）与交于M，与交于N，判断的形状，并说明理由； （3）与交于点E，求的度数． 【答案】（1）证明见分析；（2）等边三角形；理由见分析；（3） 【分析】本题考查了等边三角形的判定和性质，全等三角形的判定和性质． （1）根据等边三角形的性质得到，，，进而可知，即可证明； （2）根据得到，证明，进而证明为等腰三角形，根据即可证明是等边三角形； （3）根据得到，进而得到，即可得到． 解：（1）证明：∵和都是等边三角形， ∴，，， ∴，即， ∴； （2）解：是等边三角形．理由如下： 如图， ∵， ∴， ∵， ∴， 在和中，， ∴， ∴， ∴为等腰三角形， 又∵， ∴是等边三角形； （3）解：∵， ∴， ∵， ∴， ∴． 20．（24-25八年级上·贵州遵义·期中）如图，点是等边内一点，是外的一点，且有，，，连接，． （1）求证：是等边三角形； （2）时，试判断的形状，并说明理由； （3）探究：当为多少度时，是等腰三角形． 【答案】（1）见分析；（2）是等腰直角三角形，理由见分析；（3）或或 【分析】本题考查了全等三角形的性质，等边三角形的判定与性质，等腰三角形的性质，三角形内角和定理，熟知相关知识是解题的关键． （1）根据全等三角形的性质得到，再由，即可证明是等边三角形； （2）先求出，根据全等的性质得到，即可求出，从而得到是直角三角形，再由圆周角求出，继而确定为等腰直角三角形； （3）分别表示出，，，分①，②，③三种情况讨论即可求解． 解：（1）证明：， ， ， 是的等边三角形； （2）解：， ， 是等边三角形， ， ， 是直角三角形， ， ∴， ， ， ， 是等腰直角三角形； （3）解：若，则， 则，， ∴， ①当时，则， ∴， ∴； ②当时，则， ∴， ∴； ③当时，则， ∴， ． 综上：当为或或，是等腰三角形． 【中考真题12题】 一、单选题 1．（2025·江苏扬州·中考真题）在如图的房屋人字梁架中，，点在上，下列条件不能说明的是（   ） A． B． C． D．平分 【答案】B 【分析】本题考查三线合一，根据三线合一，进行判断即可． 解：当时， ∵点在上， ∴， ∴， ∴；故选项A不符合题意； ∵， ∴，不能得到；故选项B符合题意； ∵， ∴当或平分时，；故选项C，D均不符合题意； 故选B 2．（2025·北京·中考真题）如图，，点A在射线上，以点O为圆心，长为半径画弧，交射线于点B．若分别以点A，B为圆心，长为半径画弧，两弧在内部交于点C，连接，则的大小为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查了全等三角形的判定与性质，等边三角形的判定与性质，三角形内角和定理等知识点，熟练掌握各知识点并灵活运用是解题的关键． 连接，则由作图可得，那么为等边三角形，可证明，再根据全等三角形性质以及三角形内角和定理即可求解． 解：如图，连接， 由作图可得，， ∴为等边三角形， ∴， ∵， ∴， ∴，， ∴， 故选：B． 3．（2025·吉林·中考真题）如图，在中，．尺规作图操作如下：（1）以点B为圆心，适当长为半径画弧，分别交边于点M，N；（2）以点C为圆心，长为半径画弧，交边于点；再以点为圆心，长为半径画弧，与前一条以点C为圆心的弧相交于三角形内部的点；（3）过点画射线交边于点D．下列结论错误的为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查了等角对等边，三角形内角和定理，大角对等边，作与已知角相等的角的尺规作图，由作图方法可得，则由三角形内角和定理和等边对等角得到，，由大角对大边得到，再由可得． 解：由作图方法可得，故A结论正确，不符合题意； ∴，，故B、C结论都正确，不符合题意； ∵， ∴， ∵， ∴，故D结论错误，符合题意； 故选：D． 4．（2025·天津·中考真题）如图，是的角平分线．按以下步骤作图：①以点为圆心，适当长为半径画弧，与边相交于点，与边相交于点；②以点为圆心，长为半径画弧，与边相交于点；③以点为圆心，长为半径画弧，与第②步中所画的弧相交于点；④作射线，与相交于点，与边相交于点．则下列结论一定正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要查了尺规作图，等腰三角形的判定，三角形外角的性质．由作法可得：，再结合三角形外角的性质，等腰三角形的判定解答，即可． 解：由作法得：， 根据题意无法得到与的大小关系， 所以无法确定与的大小关系，故A选项错误； ∵是的角平分线， ∴， ∵， ∴， ∴，故D选项正确； 题干中没有说明的大小关系， ∴无法判断的大小关系，则无法得到的度数，故B选项错误； 根据题意无法得到的大小关系，故C选项错误； 故选：D 二、填空题 5．（2024·重庆·中考真题）如图，在中，，，平分交于点．若，则的长度为 ． 【答案】2 【分析】本题主要考查了等腰三角形的性质与判定，三角形内角和定理，三角形外角的性质，先根据等边对等角和三角形内角和定理求出，再由角平分线的定义得到，进而可证明，即可推出． 解：∵在中，，， ∴， ∵平分， ∴， ∴， ∴， ∴, 故答案为：2． 6．（2024·辽宁·中考真题）如图，四边形中，，，，．以点为圆心，以长为半径作图，与相交于点，连接．以点为圆心，适当长为半径作弧，分别与，相交于点，，再分别以点，为圆心，大于的长为半径作弧，两弧在的内部相交于点，作射线，与相交于点，则的长为 （用含的代数式表示）． 【答案】 【分析】本题考查了作图﹣作角平分线，平行线的性质，等腰三角形的判定，熟练掌握知识点是解题的关键． 利用基本作图得到，平分，，接着证明得到，然后利用求解． 解：由作法得，平分， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴． 故答案为：． 7．（2025·四川资阳·中考真题）如图，在四边形中，，点E在线段上，．若使成为等边三角形，可增加的一个条件是 ．    【答案】，（答案不唯一） 【分析】本题考查等边三角形的判定，根据两直线平行，同位角相等得到，然后增加，即可根据三个角是的三角形是等边三角形． 解：增加，理由为： ∵， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∴是等边三角形， 故答案为：． 8．（2024·黑龙江绥化·中考真题）如图，已知，点为内部一点，点为射线、点为射线上的两个动点，当的周长最小时，则 ． 【答案】/度 【分析】本题考查了轴对称最短路线问题，等腰三角形的性质，三角形内角和定理的应用；作点P关于，的对称点．连接．则当，是与，的交点时，的周长最短，根据对称的性质结合等腰三角形的性质即可求解． 解：作关于，的对称点．连接．则当，是与，的交点时，的周长最短，连接， 关于对称， ∴， 同理，，， ，， 是等腰三角形． ， 故答案为：． 三、解答题 9．（2025·四川自贡·中考真题）如图，，．求证：． 【答案】见分析 【分析】本题考查的是全等三角形的判定与性质，等腰三角形的判定与性质，先证明，结合，，证明即可. 解：证明：∵， ∴， ∵，， ∴， ∴. 10．（2025·山东青岛·中考真题）已知：如图，是内部一点．求作：等腰，使点，分别在射线，上，且底边经过点． 【答案】见分析 【分析】本题考查了尺规作——角平分线，过一点作已知直线的垂线，全等三角形的判定与性质，等腰三角形的定义，熟练掌握知识点是解题的关键． 先作的平分线，再过点作角平分线的垂线，与射线的交点即为点，根据角平分线以及垂线的定义可得，则，故等腰即为所作． 解：如图，等腰即为所作： 11．（2025·福建·中考真题）如图，是等边三角形，D是的中点，，垂足为C，是由沿方向平移得到的．已知过点A，交于点G． （1）求的大小； （2）求证：是等边三角形． 【答案】（1）；（2）见分析 【分析】本题考查等边三角形的判定与性质、平移的基本性质、线段垂直平分线的判定与性质、平行线的性质、等腰三角形的判定与性质等基础知识，考查空间观念、几何直观与推理能力，考查化归与转化思想等，熟练掌握相关知识点，是解题的关键． （1）等边三角形的性质推出，垂直，得到，角的和差关系求出的大小即可； （2）平移得到，进而得到，角的和差关系推出，进而得到，根据，推出垂直平分，进而得到，推出，进而得到是等边三角形即可． 解：（1）解：是等边三角形， ． D是的中点， ． ， ， ． （2）由平移可知：， ， 又， ， ∴， 又， 垂直平分， ， 由（1）知，， ， ， 是等边三角形． 12．（2025·河北·中考真题）如图．四边形的对角线，相交于点，，，点在上，． （1）求证：； （2）若，求证：． 【答案】（1）证明见分析；（2）证明见分析 【分析】本题考查的是全等三角形的判定与性质，等腰三角形的判定与性质； （1）先证明，结合，，即可得到结论； （2）先证明，结合即可得到结论. 解：（1）证明：∵， ∴，即， 又∵，， ∴； （2）证明：∵， ∴， ∵， ∴，即. 2 / 30 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$