专题07 数学广角——植树问题（讲义）-2025-2026学年五年级上册数学人教版

新课预习讲义 探索植树问题中的数学智慧 亲爱的同学们： 当你翻开这一专题时，或许会好奇：“植树问题”听起来只是和种树有关，为什么能成为数学中的重要内容呢？其实，这个看似简单的模型背后，藏着数学与生活的深刻联系。从道路旁的绿化带，到教室里的座位排列，再到时钟的滴答声……“间隔”现象无处不在。希望通过本专题的学习，你们不仅能掌握解题方法，更能学会用数学的眼光观察世界。 为什么学习“植树问题”？ 在生活中，我们常遇到需要规划“间隔”的场景。例如，在一条100米的小路旁每隔5米种一棵树，需要多少棵树苗？如果首尾不种，结果又会怎样？这类问题看似具体，实则蕴含着规律。通过将现实问题转化为“点数”与“间隔数”的关系，你们会发现数学的简洁与通用性。掌握这一方法后，未来遇到路灯安装、队列站位甚至楼梯台阶设计时，都能迅速找到解决思路。 本专题的设计思路 1.从具体到抽象：从简单的“两端都种”情境入手，通过画线段图、摆小棒等活动，帮助你们直观理解“间隔数”与“棵数”的关系，再逐步过渡到复杂情况（如环形植树、一端不种）。 2.注重思维进阶：练习题的设计会从基础应用（如计算棵数）延伸到逆向思考（如已知总长反推间隔距离），最后结合生活实际（如锯木头、爬楼梯），培养你们的逻辑推理能力。 3.错误中的成长：很多同学容易混淆“间隔数”和“棵数”，或在封闭图形中漏算“重叠点”。不要担心，专题中特意安排了易错辨析环节，通过对比分析，帮助你们避开“陷阱”。 祝你们在探索数学的道路上收获智慧与快乐！ 优胜教育工作室 2025年8月 第 1 页 共 10 页 学科网（北京）股份有限公司 专题07 数学广角——植树问题 【思维导图+核心考点+自我检测】 思维导图 核心考点 考点一： 不封闭路线上的植树问题——两端都栽 1.情境特点： 在一条直线（或近似直线）的路线上植树，并且路的两端都要栽树。 2.核心关系： （1）棵数 = 间隔数 + 1 （2）间隔数 = 总路长 ÷ 间隔长度 （3）总路长 = 间隔长度 × 间隔数 （4）间隔长度 = 总路长 ÷ 间隔数 3.图示理解： (●代表树，—代表间隔) （1）●—●—●—...—● （2）棵数：4，间隔数：3 → 4 = 3 + 1 4.关键点： 起点和终点都有树，所以树的棵数比间隔数多1。 5.解题步骤： （1）确定总路长。 （2）确定间隔长度。 （3）计算间隔数：间隔数 = 总路长 ÷ 间隔长度。 （4）计算棵数：棵数 = 间隔数 + 1。 考点二： 不封闭路线上的植树问题——两端都不栽 1.情境特点： 在一条直线（或近似直线）的路线上植树，路的两端都不栽树。（例如：两栋楼之间栽树） 2.核心关系： （1）棵数 = 间隔数 - 1 （2）间隔数 = 总路长 ÷ 间隔长度 （3）总路长 = 间隔长度 × 间隔数 （4）间隔长度 = 总路长 ÷ 间隔数 3.图示理解： (●代表树，—代表间隔) （1）—●—●—●—...—●— （2）棵数：3，间隔数：4 → 3 = 4 - 1 4.关键点： 起点和终点都没有树，所以树的棵数比间隔数少1。 5.解题步骤： （1）确定总路长。 （2）确定间隔长度。 （3）计算间隔数：间隔数 = 总路长 ÷ 间隔长度。 （4）计算棵数：棵数 = 间隔数 - 1。 考点三： 不封闭路线上的植树问题——一端栽，另一端不栽 1.情境特点： 在一条直线（或近似直线）的路线上植树，只在路的一端栽树，另一端不栽。（这种情况相对少见，有时也可归类到封闭图形中理解） 2.核心关系： （1）棵数 = 间隔数 （2）间隔数 = 总路长 ÷ 间隔长度 3.图示理解： (●代表树，—代表间隔) （1）●—●—●—...—●— (一端栽) 或 —●—●—●—...—● (另一端栽) （2）棵数：4，间隔数：4 → 4 = 4 4.关键点： 树的棵数与间隔数相等。 考点四： 封闭路线上的植树问题 1.情境特点： 在封闭的图形（如：圆形池塘、正方形操场、三角形花坛等）边上植树。 2.核心关系： （1）棵数 = 间隔数 (类似于“一端栽，另一端不栽”的情况) （2）间隔数 = 封闭图形的周长 ÷ 间隔长度 （3）周长 = 间隔长度 × 间隔数 （4）间隔长度 = 周长 ÷ 间隔数 3.图示理解： (封闭图形，首尾相连) （1）●—●—●—...—●—● (回到起点) （2）棵数：4，间隔数：4 → 4 = 4 4.关键点： 因为是封闭图形，起点和终点重合，所以树的棵数等于间隔数。 5.解题步骤： （1）确定封闭图形的周长（总路长）。 （2）确定间隔长度。 （3）计算间隔数：间隔数 = 周长 ÷ 间隔长度。 （4）计算棵数：棵数 = 间隔数。 考点五： 植树问题的变形应用（常见类型） 1.锯木头问题： 锯成的段数 = 锯的次数 + 1；锯的次数 = 段数 - 1。（“段数”相当于“棵数”，“次数”相当于“间隔数”，属于“两端都不栽”的变形） 2.敲钟问题： 间隔数 = 敲钟次数 - 1；总时间 = 每次间隔时间 × 间隔数。（“敲钟次数”相当于“棵数”，“间隔数”即钟声之间的间隔） 3.爬楼梯问题： 爬到的楼层数 - 1 = 爬的楼梯段数（间隔数）。（“楼层数”相当于“棵数”，“楼梯段数”相当于“间隔数”，属于“两端都栽”的变形） 4.队列问题/方阵问题（点与间隔）： 队伍长度（矩形周长）与人数、间距的关系。 5.安装路灯、插彩旗、设立广告牌等： 本质与植树问题相同，需判断属于哪种类型。 自我检测 一、填空题 1．某小区附近的通道一侧设置了6个充电桩(两端都有)，这条通道长50m，平均每隔　 　m设置了一个充电桩。 2．6 路公交车行驶路线全长约 18 千米，相邻两站之间的路程大约都是 1.5 千米，一共设有　 　个车站。 3．王爷爷在路边散步，从第1根电线杆走到第12根电线杆用了22分钟。照这样的速度，王爷爷走了40分钟，他从第1根电线杆走到了第　 　根电线杆处。(每相邻两根电线杆间距一致) 4．一个人工湖的周长是1200 m，沿人工湖周围每隔8 m栽一棵柳树，在每两棵柳树之间安装2个水泥凳，一共要栽　 　棵柳树，要安装　 　个水泥凳。 5．五年级 20名同学坐在老师画好的圆形场地外围玩“丢手绢”的游戏。刚开始的时候，每相邻两人之间的距离是2 m。玩了一会儿后，有12名同学被淘汰，剩下的同学继续玩。在不改变圆形场地的大小，且每相邻两人之间的距离依旧相等的情况下，每相邻两人之间的距离应该改为　 　m。 6．王爷爷准备在一块平行四边形菜园（如图）的四周每隔10米种一棵树（从A点开始），一共可种　 　棵树；这块平行四边形菜园的面积是　 　平方米。 7．在某地举行的马拉松赛事中，全程马拉松约42.175千米。赛道上自起点开始大约每隔6km设置一个用水站。王猛参加了比赛，他用2小时48分跑完全程，达到了王者级别。这个马拉松赛事一共设了　 　用水站，王猛平均速度大约是　 　千米/时。 8．如图，为了防止衣架滑动，爸爸在一根晾衣竿上等距离打了20个圆孔。那么，这些圆孔将晾衣竿平均分成了 　 　小段，这根晾衣竿的长是 　 　m。 二、判断题 9．在圆形水池周围安装护栏，护栏根数与间隔数相等。（　　） 10．一般在不封闭路线上植树，棵数=总距离÷间隔长+1。（　　） 11．把8根1米长的绳子结成一个大圆圈，共要打8个结。（　　） 12．广场上的大钟5点敲5下，12秒敲完，10点敲10下，27秒敲完。（　　） 13． 某旅游景点有一个周长是84米的圆形养鱼池，要在这个养鱼池周围安装钓鱼竿，每隔12米安装一个，则一共要安装7个。（　　） 三、选择题 14． 春节马上到了，工人叔叔要在一条90米长的笔直的街道两旁挂灯笼，每隔10米挂1个，两端都要挂，一共要挂（　　）个。 A．20 B．10 C．18 D．9 15．绿化队要在100 m的小路两旁植树(两端都要植)，每相邻两棵树之间的距离都是4m，一共要植（　　）棵树。 A．25 B．26 C．50 D．52 16．在周长为42厘米的圆形蛋糕周围每隔3厘米插一根小蜡烛，一共可以插（　　）根小蜡烛。 A．15 B．14 C．16 D．13 17．一根10m长的木头，把它平均锯成5段。每锯下一段需要6分钟，锯完一共要花（　　）分钟。 A．36 B．30 C．24 D．18 18．一条输电线路原有61根电线杆，每相邻两根电线杆间的距离是50 m，经过调整现在只需41根电线杆(两端的电线杆不动)。调整之后每相邻两根电线杆之间的距离应为（　　）m。 A．60 B．75 C．90 D．91 四、解决问题 19．老师从一楼办公室去某教室上课，走一层楼有10个台阶，走了30个台阶，老师要去的这个教室在第几层？ 20．在笔直的跑道一旁插着46面彩旗，相邻两面彩旗的间隔为2m，现在要改为只插31面彩旗（两端的彩旗不动），间隔应改为多少米？ 21．阳光小学在正方形的草坪四周摆放鲜花，每边放6盆。小玲认为一共需要24盆，小芳认为一共需要20盆，小丽认为一共需要16盆。谁的观点对？请画图说明理由。 22．薇薇在马路上散步，她从第1根电线杆处走到第12根电线杆处用子22分钟，照这个速度，薇薇从第1根电线杆处开始走，走40分钟，她能走到第几根电线杆处？（每相邻两根电线杆的距离相等） 23．、下图所示是教室的长方形天花板，长8米，宽6米，对角线长10米。同学们打算在四条边及一条对角线上每隔0.5米挂一个小灯笼，并且四个顶点处均各挂一个，一共要多少个小灯笼？ $$ 参考答案 一、填空题 1．10 2．13 3．21 4．150；300 5．5 6．18；1800 7．8；15 8．21；2.1 二、判断题 9．正确 10．错误 11．正确 12．正确 13．正确 三、选择题 14．A 15．D 16．B 17．C 18．B 四、解决问题 19．解：30÷10+1 =3+1 =4（层） 答：老师要去的这个教室在第4层。 20．解：（46-1）×2÷（31-1） =45×2÷30 =90÷30 =3（米） 答：间隔应改为3米。 21．解： 4×4＋4=20（盆），如果顶点放一盆，需要20盆，小芳观点对； 6×4=24（盆），如果顶点不放，需要24盆，小玲的观点也是对的。 22．解：22÷（12-1） =22÷11 =2（分） 40÷2+1 =20+1 =21（根） 答：她能走到第21根电线杆处。 23．解：（8+6）×2÷0.5+10÷0.5-1 =28÷0.5+20-1 =56+20-1 =75（个） 答：一共要75个小灯笼。 学科网（北京）股份有限公司 $$第 1 页 共 7 页 新课预习讲义 探索植树问题中的数学智慧 亲爱的同学们： 当你翻开这一专题时，或许会好奇：“植树问题”听起来只是和种树有关，为什么能成为 数学中的重要内容呢？其实，这个看似简单的模型背后，藏着数学与生活的深刻联系。从道 路旁的绿化带，到教室里的座位排列，再到时钟的滴答声……“间隔”现象无处不在。希望通 过本专题的学习，你们不仅能掌握解题方法，更能学会用数学的眼光观察世界。 为什么学习“植树问题”？ 在生活中，我们常遇到需要规划“间隔”的场景。例如，在一条 100米的小路旁每隔 5米种 一棵树，需要多少棵树苗？如果首尾不种，结果又会怎样？这类问题看似具体，实则蕴含着 规律。通过将现实问题转化为“点数”与“间隔数”的关系，你们会发现数学的简洁与通用性。 掌握这一方法后，未来遇到路灯安装、队列站位甚至楼梯台阶设计时，都能迅速找到解决思 路。 本专题的设计思路 1.从具体到抽象：从简单的“两端都种”情境入手，通过画线段图、摆小棒等活动，帮助 你们直观理解“间隔数”与“棵数”的关系，再逐步过渡到复杂情况（如环形植树、一端不种）。 2.注重思维进阶：练习题的设计会从基础应用（如计算棵数）延伸到逆向思考（如已知 总长反推间隔距离），最后结合生活实际（如锯木头、爬楼梯），培养你们的逻辑推理能力。 3.错误中的成长：很多同学容易混淆“间隔数”和“棵数”，或在封闭图形中漏算“重叠点”。 不要担心，专题中特意安排了易错辨析环节，通过对比分析，帮助你们避开“陷阱”。 祝你们在探索数学的道路上收获智慧与快乐！ 优胜教育工作室 2025年 8月 第 2 页 共 7 页 专题 07 数学广角——植树问题 【思维导图+核心考点+自我检测】 思维导图 核心考点 考点一： 不封闭路线上的植树问题——两端都栽 1.情境特点： 在一条直线（或近似直线）的路线上植树，并且路的两端都要栽树。 2.核心关系： （1）棵数 = 间隔数 + 1 （2）间隔数 = 总路长 ÷ 间隔长度 （3）总路长 = 间隔长度 × 间隔数 （4）间隔长度 = 总路长 ÷ 间隔数 3.图示理解： (●代表树，—代表间隔) （1）●—●—●—...—● （2）棵数：4，间隔数：3 → 4 = 3 + 1 4.关键点： 起点和终点都有树，所以树的棵数比间隔数多 1。 5.解题步骤： （1）确定总路长。 （2）确定间隔长度。 （3）计算间隔数：间隔数 = 总路长 ÷ 间隔长度。 （4）计算棵数：棵数 = 间隔数 + 1。 第 3 页 共 7 页 考点二： 不封闭路线上的植树问题——两端都不栽 1.情境特点： 在一条直线（或近似直线）的路线上植树，路的两端都不栽树。（例如：两栋 楼之间栽树） 2.核心关系： （1）棵数 = 间隔数 - 1 （2）间隔数 = 总路长 ÷ 间隔长度 （3）总路长 = 间隔长度 × 间隔数 （4）间隔长度 = 总路长 ÷ 间隔数 3.图示理解： (●代表树，—代表间隔) （1）—●—●—●—...—●— （2）棵数：3，间隔数：4 → 3 = 4 - 1 4.关键点： 起点和终点都没有树，所以树的棵数比间隔数少 1。 5.解题步骤： （1）确定总路长。 （2）确定间隔长度。 （3）计算间隔数：间隔数 = 总路长 ÷ 间隔长度。 （4）计算棵数：棵数 = 间隔数 - 1。 考点三： 不封闭路线上的植树问题——一端栽，另一端不栽 1.情境特点： 在一条直线（或近似直线）的路线上植树，只在路的一端栽树，另一端不栽。 （这种情况相对少见，有时也可归类到封闭图形中理解） 2.核心关系： （1）棵数 = 间隔数 （2）间隔数 = 总路长 ÷ 间隔长度 3.图示理解： (●代表树，—代表间隔) （1）●—●—●—...—●— (一端栽) 或 —●—●—●—...—● (另一端栽) （2）棵数：4，间隔数：4 → 4 = 4 4.关键点： 树的棵数与间隔数相等。 考点四： 封闭路线上的植树问题 1.情境特点： 在封闭的图形（如：圆形池塘、正方形操场、三角形花坛等）边上植树。 2.核心关系： 第 4 页 共 7 页 （1）棵数 = 间隔数 (类似于“一端栽，另一端不栽”的情况) （2）间隔数 = 封闭图形的周长 ÷ 间隔长度 （3）周长 = 间隔长度 × 间隔数 （4）间隔长度 = 周长 ÷ 间隔数 3.图示理解： (封闭图形，首尾相连) （1）●—●—●—...—●—● (回到起点) （2）棵数：4，间隔数：4 → 4 = 4 4.关键点： 因为是封闭图形，起点和终点重合，所以树的棵数等于间隔数。 5.解题步骤： （1）确定封闭图形的周长（总路长）。 （2）确定间隔长度。 （3）计算间隔数：间隔数 = 周长 ÷ 间隔长度。 （4）计算棵数：棵数 = 间隔数。 考点五： 植树问题的变形应用（常见类型） 1.锯木头问题： 锯成的段数 = 锯的次数 + 1；锯的次数 = 段数 - 1。（“段数”相当于“棵数”， “次数”相当于“间隔数”，属于“两端都不栽”的变形） 2.敲钟问题： 间隔数 = 敲钟次数 - 1；总时间 = 每次间隔时间 × 间隔数。（“敲钟次数”相 当于“棵数”，“间隔数”即钟声之间的间隔） 3.爬楼梯问题： 爬到的楼层数 - 1 = 爬的楼梯段数（间隔数）。（“楼层数”相当于“棵数”，“楼 梯段数”相当于“间隔数”，属于“两端都栽”的变形） 4.队列问题/方阵问题（点与间隔）： 队伍长度（矩形周长）与人数、间距的关系。 5.安装路灯、插彩旗、设立广告牌等： 本质与植树问题相同，需判断属于哪种类型。 自我检测 一、填空题 1．某小区附近的通道一侧设置了 6个充电桩(两端都有)，这条通道长 50m，平均每隔 m设置了一个充电桩。 2．6 路公交车行驶路线全长约 18 千米，相邻两站之间的路程大约都是 1.5 千米，一共设 有 个车站。 3．王爷爷在路边散步，从第 1根电线杆走到第 12根电线杆用了 22分钟。照这样的速度，王 第 5 页 共 7 页 爷爷走了 40分钟，他从第 1根电线杆走到了第 根电线杆处。(每相邻两根电线杆间 距一致) 4．一个人工湖的周长是 1200 m，沿人工湖周围每隔 8 m栽一棵柳树，在每两棵柳树之间安 装 2个水泥凳，一共要栽 棵柳树，要安装 个水泥凳。 5．五年级 20名同学坐在老师画好的圆形场地外围玩“丢手绢”的游戏。刚开始的时候，每相 邻两人之间的距离是 2 m。玩了一会儿后，有 12名同学被淘汰，剩下的同学继续玩。在不改 变圆形场地的大小，且每相邻两人之间的距离依旧相等的情况下，每相邻两人之间的距离应 该改为 m。 6．王爷爷准备在一块平行四边形菜园（如图）的四周每隔 10米种一棵树（从 A点开始）， 一共可种 棵树；这块平行四边形菜园的面积是 平方米。 7．在某地举行的马拉松赛事中，全程马拉松约 42.175千米。赛道上自起点开始大约每隔 6km 设置一个用水站。王猛参加了比赛，他用 2小时 48分跑完全程，达到了王者级别。这个马拉 松赛事一共设了 用水站，王猛平均速度大约是 千米/时。 8．如图，为了防止衣架滑动，爸爸在一根晾衣竿上等距离打了 20个圆孔。那么，这些圆孔 将晾衣竿平均分成了 小段，这根晾衣竿的长是 m。 二、判断题 9．在圆形水池周围安装护栏，护栏根数与间隔数相等。（ ） 10．一般在不封闭路线上植树，棵数=总距离÷间隔长+1。（ ） 11．把 8根 1米长的绳子结成一个大圆圈，共要打 8个结。（ ） 12．广场上的大钟 5点敲 5下，12秒敲完，10点敲 10下，27秒敲完。（ ） 13． 某旅游景点有一个周长是 84米的圆形养鱼池，要在这个养鱼池周围安装钓鱼竿，每隔 12米安装一个，则一共要安装 7个。（ ） 三、选择题 14．春节马上到了，工人叔叔要在一条 90米长的笔直的街道两旁挂灯笼，每隔 10米挂 1个， 两端都要挂，一共要挂（ ）个。 第 6 页 共 7 页 A．20 B．10 C．18 D．9 15．绿化队要在 100 m的小路两旁植树(两端都要植)，每相邻两棵树之间的距离都是 4m，一 共要植（ ）棵树。 A．25 B．26 C．50 D．52 16．在周长为 42厘米的圆形蛋糕周围每隔 3厘米插一根小蜡烛，一共可以插（ ）根小蜡 烛。 A．15 B．14 C．16 D．13 17．一根 10m长的木头，把它平均锯成 5段。每锯下一段需要 6分钟，锯完一共要花（ ） 分钟。 A．36 B．30 C．24 D．18 18．一条输电线路原有 61根电线杆，每相邻两根电线杆间的距离是 50 m，经过调整现在只 需 41根电线杆(两端的电线杆不动)。调整之后每相邻两根电线杆之间的距离应为（ ）m。 A．60 B．75 C．90 D．91 四、解决问题 19．老师从一楼办公室去某教室上课，走一层楼有 10个台阶，走了 30个台阶，老师要去的 这个教室在第几层？ 20．在笔直的跑道一旁插着 46面彩旗，相邻两面彩旗的间隔为 2m，现在要改为只插 31面彩 旗（两端的彩旗不动），间隔应改为多少米？ 21．阳光小学在正方形的草坪四周摆放鲜花，每边放 6盆。小玲认为一共需要 24盆，小芳认 为一共需要 20盆，小丽认为一共需要 16盆。谁的观点对？请画图说明理由。 第 7 页 共 7 页 22．薇薇在马路上散步，她从第 1根电线杆处走到第 12根电线杆处用子 22分钟，照这个速 度，薇薇从第 1根电线杆处开始走，走 40分钟，她能走到第几根电线杆处？（每相邻两根电 线杆的距离相等） 23．、下图所示是教室的长方形天花板，长 8米，宽 6米，对角线长 10米。同学们打算在四 条边及一条对角线上每隔 0.5米挂一个小灯笼，并且四个顶点处均各挂一个，一共要多少个 小灯笼？