专题22.4 二次函数（章节复习）知识梳理+28个考点讲练+中考真题演练+难度分层练 共70题）-2025-2026学年人教版数学九年级上册同步培优精编讲练

专题22.4 二次函数（章节复习） （知识梳理+28个考点讲练+中考真题演练+难度分层练 共71题） 知识梳理 技巧点拨 2 知识点梳理01： 二次函数的定义 2 知识点梳理02：二次函数的图象与性质 3 知识点梳理03：二次函数的几何变换 4 知识点梳理04：待定系数法求函数解析式 4 知识点梳理05 ：二次函数的图象与系数之间的关系 5 知识点梳理06： 二次函数与一元二次方程 5 知识点梳理07： 二次函数与实际问题 6 优选题型 考点讲练 7 高频考点1：根据二次函数的定义求参数 7 高频考点2：y=ax²+bx+c的图象与性质 8 高频考点3：二次函数图象与各项系数符号 11 高频考点4：根据二次函数的图象判断式子符号 14 高频考点5：根据二次函数的对称性求函数值 16 高频考点6：y=ax²+bx+c的最值 18 高频考点7：利用二次函数对称性求最短路径 21 高频考点8：待定系数法求二次函数解析式 24 高频考点9：线段周长问题（二次函数综合) 26 高频考点10：面积问题（二次函数综合） 30 高频考点11：角度问题（二次函数综合） 34 高频考点12：求抛物线与x轴的交点坐标 41 高频考点13：求抛物线与y轴的交点坐标 44 高频考点14：抛物线与x轴的交点问题 46 高频考点15：根据二次函数图象确定相应方程根的情况 48 高频考点16：利用不等式求自变量或函数值的范围 51 高频考点17：根据交点确定不等式的解集 54 高频考点18：图形问题（实际问题与二次函数) 57 高频考点19：图形运动问题（实际问题与二次函数) 59 高频考点20：拱桥问题（实际问题与二次函数) 61 高频考点21：销售问题（实际问题与二次函数) 63 高频考点22：投球问题（实际问题与二次函数) 65 高频考点23：喷水问题（实际问题与二次函数) 68 高频考点24：增长率问题（实际问题与二次函数) 70 高频考点25：其他问题（实际问题与二次函数) 72 高频考点26：面积问题（二次函数综合） 76 高频考点27：线段周长问题（二次函数综合） 79 高频考点28：角度问题（二次函数综合） 82 中考真题 实战演练 88 难度分层 拔尖冲刺 97 基础夯实 97 培优拔高 99 知识点梳理01： 二次函数的定义 1. 二次函数的定义： 一般的，形如y=ax2+bx+c(a、b、c是常数，a≠0)的函数叫做二次函数。其中x是自变量，a、b、c分别是函数解析式的二次项系数、一次项系数、常数项。 二次函数解析式的表示方法 (1)一般式：y＝ax2＋bx＋c(其中a，b，c是常数，a≠0)； (2)顶点式：y＝a(x－h)2＋k(a≠0)， 它直接显示二次函数的顶点坐标是(h，k)； (3)交点式：y＝a(x－x1)(x－x2)(a≠0)， 其中x1，x2是图象与x轴交点的横坐标 ． 注意：任何二次函数的解析式都可以化成一般式或顶点式，但并非所有的二次函数都可以写成交点式，只有抛物线与轴有交点，即时，抛物线的解析式才可以用交点式表示．二次函数解析式的这三种形式可以互化. 知识点梳理02：二次函数的图象与性质 1. 二次函数的性质与图像： 形式 一般式： 顶点式 的符号 开口方向 开口向上 开口向下 开口向上 开口向下 对称轴 ，若同号，则对称轴在轴左边；若异号，则对称轴在轴右边。简称左同右异。 ，若，对称轴在轴右边；若，对称轴在轴左边， 最值 当时取得最小值 当时取得最大值 当时取得最小值 当时取得最大值 顶点坐标 增减性 图像在对称轴左边随的增大而减小；图像在对称轴右边随的增大而增大； 图像在对称轴左边随的增大而增大；图像在对称轴右边随的增大而减小； 图像在对称轴左边随的增大而减小；图像在对称轴右边随的增大而增大； 图像在对称轴左边随的增大而增大；图像在对称轴右边随的增大而减小； ①若二次函数是一般形式时，则二次函数与轴的交点坐标为。若，则二次函数与轴交于正半轴；若，则二次函数与轴交于负半轴。 ②二次函数开口向上时，离对称轴越远的点函数值越大；二次函数开口向下时，离对称轴越远的函数值越小。 ③二次函数函数值相等的两个点一定关于对称轴对称。 ④二次函数的一般式化为顶点式：利用一元二次方程的配方法。 知识点梳理03：二次函数的几何变换 1. 二次函数的平移： ①若函数进行左右平移，则在函数的自变量上进行加减。左加右减。 ②若函数进行上下平移，则在函数解析式常数项后面进行加减。上加下减。 (1)沿轴平移:向上（下）平移个单位，变成（或） (2)沿x轴平移：向左（右）平移个单位，变成（或） 2. 一次函数的对称变换： ①若二次函数关于轴对称，则自变量不变，函数值变为相反数。 ②若二次函数关于轴对称，则函数值不变，自变量变成相反数。 ③若二次函数关于原点对称，则自变量与函数值均变成相反数。 知识点梳理04：待定系数法求函数解析式 1. 待定系数法求二次函数解析式的具体步骤： （1） 设二次函数解析式； ①已知抛物线上任意三点，则设二次函数解析式为。 ②已知抛物线的顶点坐标，则设二次函数解析式为。 ③已知抛物线与x轴的两个交点坐标，则设二次函数解析式为。 （2） 带点：将已知点带入函数解析式建立方程。 （3） 解方程：解（2）中得到的方程，得出未知系数。 （4） 反带：将未知系数反带入函数解析式。 知识点梳理05 ：二次函数的图象与系数之间的关系 1. 二次函数的开口方向： 二次函数的开口方向由决定，，开口向上，，开口向下。 2. 二次函数的对称轴： 由二次函数的性质可知，二次函数的对称轴为。若同号，则＜0，二次函数的对称轴在轴的左边；若异号，则＞0，二次函数的对称轴在轴的右边。简称左同右异。 ①若二次函数的对称轴=1，则0。 ②若二次函数的对称轴=﹣1，则0。 3. 二次函数与轴的交点： 二次函数与轴的交点坐标为（0，c）。 拓展：在二次函数中： 是自变量为1的函数值，是自变量为﹣1的函数值。 是自变量为2的函数值，是自变量为﹣2的函数值。 是自变量为3的函数值，是自变量为﹣3的函数值。 知识点梳理06： 二次函数与一元二次方程 1. 二次函数与一元二次方程： ①若二次函数与轴有两个交点⇔一元二次方程有两个不相等的实数根⇔。 ②若二次函数与轴只有一个交点⇔一元二次方程有两个相等的实数根⇔。 ③若二次函数与轴没有交点⇔一元二次方程没有实数根⇔。 ④若二次函数与直线相交，则一元二次方程为。交点情况与方程的解的情况同与轴相交时一样。 2. 二次函数与不等式（组） 若二次函数与一次函数存在交点，则不等式：的解集取二次函数图像在上方的部分所对应的自变量取值范围；的解集取二次函数图像在下方的部分所对应的自变量取值范围。 知识点梳理07： 二次函数与实际问题 1. 列一元二次方程解决实际问题的基本步骤： ①审：理解题意，明确常量、变量以及它们之间的数量关系． ②设：根据题意，可以直接设未知数，也可以间接设未知数． ③列：建立二次函数模型，根据题目的数量关系列出二次函数解析式． ④解：根据已知条件，借助二次函数的图像与性质解决实际问题． ⑤验：检验结果，得出符合实际意义的结论． ⑥答：写出答案。 2. 二次函数与图形面积问题： 解决图形的面积时，常会涉及线段与线段之间的关系，根据图形找出面积与线段的关系，将其转化为二次函数问题，然后利用二次函数的图像与性质解决问题。 3. 二次函数解决销售利润问题： 计算公式： 总利润＝单利润×数量 现单利＝原单利＋涨价部分（原单利－降价部分） 现数量＝原数量－×变化数量（原数量＋×变化数量） 4. 二次函数解决抛物线形的形状问题与运动轨迹问题： （1） 建立适当的平面直角坐标系，将抛物线形状的图形放置在平面直角坐标系中。 （2） 从已知条件和图像中获取求二次函数表达式所需要的条件。 （3） 利用待定系数法求函数表达式。 （4） 运用求出的抛物线的图像和性质解决实际问题。 高频考点1：根据二次函数的定义求参数 【典例精讲】（23-24九年级上·黑龙江双鸭山·期末）二次函数的解析式为，满足如下四个条件：；；，，则 ， ． 【答案】 4 【思路引导】本题考查了二次函数的定义，有理数的加法和乘法运算，解二元一次方程组，掌握相关知识点是解题关键．由二次函数的定义可得，进而得到或，再分别求解即可． 【规范解答】解：二次函数的解析式为， ， ， 或， 当时，，， 解得：，，满足，符合题意； 当时，，， 解得：，，不满足，不符合题意； 故答案为：；4． 【变式训练】（24-25九年级上·广西防城港·期中）已知关于的函数． (1)当为何值时，此函数是二次函数？ (2)当为何值时，此函数是一次函数？ 【答案】(1)且 (2) 【思路引导】此题主要考查一次函数与二次函数的定义，解题的关键是熟练掌握形如的函数关系称为一次函数；形如的函数关系称为二次函数是解题的关键． （1）根据二次函数的定义即可求解； （2）根据一次函数的定义即可求解． 【规范解答】（1）解：由二次函数的概念可得 解得且； （2）解：由一次函数的概念可得 ， 解得：或，且， ∴． 高频考点2：y=ax²+bx+c的图象与性质 【典例精讲】（24-25九年级上·北京·阶段练习）已知二次函数． (1)补全表格，并在平面直角坐标系中用描点法画出该函数图象； … 0 1 2 3 … … 0 3 … (2)根据图象回答：当时，的取值范围是______； (3)设，，过点与轴垂直的直线l与抛物线交于点，．其中，与直线交于点，若，直接写出t的取值范围______． 【答案】(1)，，；函数图象见解析 (2) (3) 【思路引导】本题考查二次函数的图象和性质，正确画出函数图象，是解题的关键． （1）将的值代入解析式，求出值，填表，进而画出函数图象即可； （2）图象法进行求解即可； （3）图象法进行求解即可． 【规范解答】（1）解：， 时，；时，，时，， 描点、连线、绘制函数图象如下： 故答案为：，，； （2）解：观察函数图象知，当时，y的取值范围是， 故答案为：； （3）解：根据图象，当直线在点A和B之间时满足， ∴t的取值范围为， 故答案为：． 【变式训练】（2025·福建南平·二模）已知二次函数． (1)请完善下表，通过描点、连线，在网格图中画出函数图象，利用图象回答：当时，的取值范围是 ； … 0 0.5 1 … … … (2)两个不相等的正数满足．求证：关于的方程，不可能同时有实数根． 【答案】(1)见解析， (2)见解析 【思路引导】本题考查了二次函数的性质，二次函数的图象，二次函数图象和一元二次方程根的关系． （1）将表中数值代入，求出值填表即可；再通过表中的数据描点画出函数图象即可；最后根据函数图象可得，当时，的取值范围； （2）假设关于的方程都有实数根，根据（1）知，当时，，则当时，，时，，进而得，再根据是两个不相等的正数，得与相矛盾，即可得出结论． 【规范解答】（1）解：表格如下： … 0 0.5 1 … … 0 1 0 … 在网格图中画出函数图象如下： 由函数图象可知，当时，的取值范围：， 故答案为：； （2）解：证明：假设关于的方程都有实数根， 则有 由（1）知，当时，， 所以当时，， 当时，， 所以， 因为是两个不相等的正数， 所以，与相矛盾， 所以假设不成立， 所以关于的方程不可能同时有实数根． 高频考点3：二次函数图象与各项系数符号 【典例精讲】（23-24九年级上·天津和平·期末）如图，抛物线（a，b，c为常数，）与x轴交于点，对称轴为直线，下列结论中（    ） ①；②；③是抛物线上两点，则； ④若关于x的一元二次方程没有实数根，则； ⑤对于任意实数m，总有． 其中，正确结论的个数是（    ） A．2 B．3 C．4 D．5 【答案】B 【思路引导】本题主要考查了二次函数的图象和性质，解题的关键是熟练掌握二次函数的图象和性质． 利用二次函数的图象和性质逐项进行判断即可． 【规范解答】解：①由抛物线开口向上得，；由对称轴位于轴的右侧得，符号相异，；由抛物线与轴交于负半轴得，；∴，该选项正确，符合题意； ②由对称轴为直线得，，，的对称点为， 当时，，该选项正确，符合题意； ③∵抛物线开口向上，对称轴为直线，且， ∴，该选项错误，不符合题意； ④由②得， ， 将代入上式得，， 解得， 由关于x的一元二次方程没有实数根，结合图象得， ， 即， 解得， 又因为抛物线开口向上， ∴，该选项正确，符合题意； ⑤∵抛物线开口向上， ∴顶点为最低点，顶点纵坐标为最小值， ∴ 即，该选项错误，不符合题意； 所以正确的选项是①②④， 故选：B． 【变式训练】（24-25九年级上·江苏泰州·阶段练习）二次函数的图象如图所示，则下列结论中错误的是（    ） A． B．当时， C． D． 【答案】D 【思路引导】本题考查了图象与二次函数系数之间的关系，二次函数系数符号由抛物线开口方向，对称轴和抛物线与y轴的交点确定．根据抛物线的开口方向得出a的符号，根据抛物线对称轴可得b的符号，根据抛物线与y轴的交点可得c的符号，从而逐项进行判断即可． 【规范解答】∵抛物线开口向上， ∴， ∵抛物线对称轴为， ∴， ∴，故选项D错误，符合题意； ∴， ∵抛物线与 y 轴交于负半轴， ∴， ∴，故选项A正确，不符合题意； ∵抛物线与 x 轴一个交点为 ，对称轴为， ∴抛物线与 x 轴的另一个交点为 ， ∴ 时 ， ∴时 ，故选项B正确，不符合题意； 当 时，， ∵抛物线与 x 轴的交点为 ， ∴，故选项C正确，不符合题意； 故选：D． 高频考点4：根据二次函数的图象判断式子符号 【典例精讲】（24-25九年级上·北京·阶段练习）如表记录了二次函数中两个变量与的三组对应值： … 2 8 … … 1 … 点，在该函数图象上．若当时，，下列四个结论：①；②；③；④若记二次函数的图象为图形，存在直线与图形有两个交点，则．上述结论中，所有正确结论的序号是（    ） A．①②③④ B．②③④ C．①③④ D．②③ 【答案】B 【思路引导】本题考查了二次函数的图象与性质，由表格数据可得，该二次函数对称轴为直线，再结合二次函数的增减性，逐项分析即可得解，熟练掌握二次函数的性质，采用分类讨论的思想是解此题的关键． 【规范解答】解：由表格数据可得，该二次函数对称轴为直线， ∴点关于对称轴的对称点为， 若时，开口向上，离对称轴越近值越小， ∵点，在该函数图象上，当时，， ∴， 当时，，解得，不符合题意； 当时，，解得，，符合题意； 当时，，解得，，符合题意； 若时，开口向下，离对称轴越近值越大， ∵点，在该函数图象上，当时，， ∴， 当时，，解得，不符合题意； 当时，，解得，不符合题意； 当时，，解得，不符合题意； ∴，当时，，当时，，故①错误，②正确； ∵，开口向上，当时，函数值随着增大而增大，把代入得，当时，， ∴，即，故③正确； 当时，二次函数的图象有最低点，当时，函数值随着增大而增大， ∵二次函数的图象记为图形，且存在直线与图形有两个交点， ∴， ∵由题意可得图形不是单调的，其中必须包含， ∴， ∴，故④正确； 综上所述，正确的有②③④， 故选：B． 【变式训练】（24-25九年级上·湖南郴州·阶段练习）抛物线的对称轴为直线，与x轴的一个交点A在点和之间，其部分图象如图，则下列4个结论：①；②；③；④点、在抛物线上，若，则，其中正确的是 ． 【答案】②③ 【思路引导】本题考查了二次函数的图象与性质、二次函数图象与系数的关系，利用抛物线与x轴的交点个数对①进行判断；利用抛物线的对称轴方程对②进行判断；利用抛物线的对称性得到抛物线与x轴的一个交点在点和之间，所以时，，则可对③进行判断；利用二次函数的性质对④进行判断． 【规范解答】解：抛物线与x轴有2个交点， ， 故①错误； 抛物线的对称轴为直线， ， 即， 故②正确； 抛物线的对称轴为直线，与x轴的一个交点A在点和之间， 抛物线与x轴的另一个交点在点和之间， 时，， ， 故③正确； 抛物线开口方向向下， 当时，， 当时，， 故④错误， 故答案为：②③． 高频考点5：根据二次函数的对称性求函数值 【典例精讲】（24-25九年级上·广东广州·阶段练习）如图，已知抛物线的对称轴是直线，且抛物线与x轴的一个交点坐标是．①；②该抛物线与x轴的另一个交点坐标是；③若点和在该抛物线上，则；④对任意实数n，不等式总成立．其中正确的有 ． 【答案】①③④ 【思路引导】本题主要考查二次函数的图像和性质，熟练掌握二次函数的图像和性质是解题的关键．根据二次函数的图像和性质进行解题即可． 【规范解答】解：对称轴是直线， ， 故该抛物线与轴的另一个交点坐标是，故②错误； 将代入，可得， 由图像可知，此时图像在轴上方，故，故①正确； 时，函数有最大值，距离对称轴更近，故，故③正确； 时，函数有最大值， 故，即不等式总成立，故④正确； 故答案为：①③④． 【变式训练】（24-25九年级上·湖北恩施·期末）已知二次函数图象的对称轴为直线，部分图象如图所示，下列结论中：：：若为任意实数，则有：点在抛物线上时，方程的两根为，则，其中正确的结论的个数为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【思路引导】本题考查了二次函数图象与系数的关系，二次函数的性质，熟练掌握以上知识是解答本题的关键． 利用抛物线开口向上得到，利用抛物线的对称轴方程得到，即可判断；由时，得，再结合得，由于，所以，即可判断；当时，取得最小值，所以，化简后即可判断；根据对称性得二次函数与直线的一个交点为，所以，，代入中即可判断． 【规范解答】解： 抛物线开口向上， ， 二次函数图象的对称轴为直线，即， ，故正确； 时，， ， 而， ， ， ，故正确； 时，取得最小值， （为任意实数）， 即，故正确； 点在抛物线上时，方程的两根为， 二次函数与直线的一个交点为， 二次函数图象的对称轴为直线， 二次函数与直线的一个交点为， 即，， ，故正确； 故选：D． 高频考点6：y=ax²+bx+c的最值 【典例精讲】（23-24九年级上·陕西渭南·期末）如图，，C是线段上一动点（不与点A，B重合），以为边作正方形，以为边作菱形（正方形与菱形在的同侧），连接，当时，面积的最大值为 ． 【答案】4 【思路引导】本题主要考查了二次函数的最值问题，正方形的性质，菱形的性质，含30度角的直角三角形的性质，由菱形的性质得到，则可求出，则；设，则，由正方形的性质得到，则，据此求解即可． 【规范解答】解：如图所示，过点D作于F， ∵四边形是菱形， ∴， ∴， ∴， 设，则， ∵四边形是正方形， ∴， ∴， ∴， ∴当，即时，有最大值，最大值为4， 故答案为：4． 【变式训练】（24-25九年级上·广西南宁·阶段练习）在平面直角坐标系中，对“纵横值”给出如下定义：点是函数图象上任意一点，纵坐标y与横坐标x的差“”称为点A的“纵横值”．函数图象上所有点的“纵横值”中的最大值称为函数的“最优纵横值”． 例如：点在函数图象上，点A的“纵横值”为，函数图象上所有点的“纵横值”可表示为，当时，的最大值为，所以函数的“最优纵横值”为7． 根据定义，解答下列问题： (1)点的“纵横值”为________； (2)若二次函数的顶点在直线上，且最优纵横值为5，求c的值； (3)若二次函数的顶点在直线上，当时，求该二次函数的纵横值的范围． 【答案】(1)8 (2) (3)函数纵横值 【思路引导】本题考查了二次函数的性质，涉及顶点坐标以及最值，正确理解题意，掌握二次函数的相关性质是解题的关键． （1）点的“纵横值”为，即可求解； （2）由题意得，解得，，进而得，即可求解； （3）由题意得，解得，，进而得，即可求解． 【规范解答】（1）解：点的“纵横值”为， 故答案为：8； （2）二次函数的顶点在直线上， ， 解得， ， ， 最优纵横值为5， ， 解得； （3）二次函数的顶点在直线上， ， 解得， ， ， 当时可知， 当时，， 当时，， 函数纵横值． 高频考点7：利用二次函数对称性求最短路径 【典例精讲】（24-25九年级上·陕西西安·阶段练习）如图，抛物线与轴交于点，与轴交于点C． (1)求抛物线的解析式； (2)若点为该抛物线对称轴上一点，当最小时，求点的坐标． 【答案】(1) (2) 【思路引导】本题考查了二次函数的综合应用，待定系数法求二次函数解析式，掌握二次函数的图象和性质是解题的关键． （1）利用待定系数法解答即可； （2）由抛物线解析式可得抛物线对称轴为直线，连接交对称轴于点，由点、关于对称轴对称可得，即得，由两点之间线段最短，可知此时的值最小，利用待定系数法求出直线的解析式，进而即可求解． 【规范解答】（1）解：把代入抛物线得，， 解得， ∴抛物线的函数表达式为； （2）解：∵抛物线， ∴抛物线对称轴为直线， 把代入得， ∴， 连接交对称轴于点，连接，如图所示： ∵点、关于对称轴对称， ， ， 由两点之间线段最短，可知此时的值最小，最小值即为线段的长， 设直线的解析式为， 把，代入得，， 解得：， ∴直线的解析式为， 当时，， ． 【变式训练】（24-25九年级上·山东烟台·期末）如图所示，抛物线与轴交于点和点，与轴交于点，且 ，点、是直线上的两个动点，且（点在点的上方），给出以下结论：①；②且，则；③若是抛物线上除顶点外的任意一点横坐标，则；④的最小值是其中说法正确的有 ．（填写正确结论的序号） 【答案】①③④ 【思路引导】本题主要考查了二次函数的性质，平行四边形的性质与判定，已知两点坐标求两点距离等；①先求出点的坐标，求出求出点的坐标即可求出抛物线解析式，从而求出点的坐标，即可判断①；根据对称性得出，即可判断②，根据二次函数的性质得出最大值为，即可判断③；取 ，连接，，，可证四边形是平行四边形，得到，则四边形的周长，再由点，关于直线对称，得到，则，故当、、三点共线时，最小，最小为，即此时最小，即可判断④． 【规范解答】解：点是抛物线与轴交点， 点的坐标为， ， 点的坐标为， ， ， 抛物线解析式为， 抛物线对称轴为直线， 令，则， 解得或， 点的坐标为， ∴，故①正确； ∵且， 设，则关于对称， ∴，故②错误， ∵时，函数有最大值为， 若是抛物线上除顶点外的任意一点横坐标，则纵坐标为， ∴ 即，故③正确 取 ，连接，，， ， 又， 四边形是平行四边形， ， 点，关于直线对称， ， ， 当、、三点共线时，最小，最小为，即此时最小， ， 四边形的最小值为．故④正确 故答案为：①③④． 高频考点8：待定系数法求二次函数解析式 【典例精讲】（24-25九年级上·江西新余·阶段练习）（1）已知关于x的方程0，若方程的一个根，求方程的另一个实数根及p的值； （2）已知二次函数的图象与x轴交于两点，且过点，求这个二次函数的解析式． 【答案】（1）方程的另一个实数根是4，p的值是；（2）． 【思路引导】本题主要考查了求二次函数解析式，一元二次方程的解的定义，根与系数的关系，熟知相关知识是解题的关键． （1）先把原方程化为一般式，由根与系数的关系可得，据此求出的值，进而可求出p的值； （2）先把解析式设为交点式，再利用待定系数法求解即可． 【规范解答】解：（1）∵0， ∴， ∴， ， ， ∴， ． ∴方程的另一个实数根是4，p的值是， （2）∵二次函数 的图象与x轴交于两点， ∴可设这个二次函数的解析式为， 又∵函数的图象过点， ， 解得 ， ∴这个二次函数的解析式为 ，即 ． 【变式训练】（24-25九年级上·北京·阶段练习）在平面直角坐标系中，抛物线经过点． (1)求的值； (2)求抛物线的对称轴（用含的式子表示）； (3)点，，在抛物线上，若，求的取值范围． 【答案】(1)1 (2) (3) 【思路引导】本题主要考查了二次函数的图象与性质，掌握二次函数的图象与性质是解答本题的关键． （1）将点代入抛物线解析式计算即可； （2）结合（1）中的结果，将抛物线解析式化为顶点式即可求解； （3）分两种情况讨论：①当时，可知点，，从左至右分布，根据可得，根据可得，即可求解；②当时，即，即有，可得，与题意不符，舍去. 【规范解答】（1）解：∵抛物线经过点， ∴， ∴； （2）由（1）得抛物线的表达式为， 即， ∴抛物线的对称轴为； （3）①当时， 可知点，，从左至右分布，抛物线上的点离对称轴越远，函数值越大， 根据可得， ∴， 根据可得， ∴， ∴； ②当时，即， ∵， ∴，不符合题意. 综上，m的取值范围为． 高频考点9：线段周长问题（二次函数综合) 【典例精讲】（24-25九年级上·海南省直辖县级单位·期中）如图，在平面直角坐标系中，二次函数的图象与x轴交于A、B两点，与y轴交于点．A点在原点的左侧，B点的坐标为．点P是抛物线上一个动点，且在直线的上方． (1)求这个二次函数的表达式； (2)在该抛物线的对称轴上是否存在点Q，使得的周长最小？若存在，求出Q点的坐标；若不存在，请说明理由； (3)当点P运动到什么位置时，四边形的面积最大，并求出此时点P的坐标和四边形面积的最大值． 【答案】(1) (2) (3)，四边形面积的最大值为 【思路引导】本题主要考查了二次函数综合题，利用待定系数法求函数解析式；利用菱形的性质求出点的纵坐标是解题的关键． （1）根据待定系数法求出函数解析式即可； （2）根据题意求出以及二次函数的对称轴，由题意可知，点和点关于对称，当点在上时，的周长最小，即可得到答案； （3）根据面积的和差，得到二次函数，根据二次函数的性质和自变量与函数值的对应关系，求出点的坐标． 【规范解答】（1）解：将两点坐标代入， 得， 解得， ； （2）解：设， 将，代入， ， 解得 故， ， 对称轴， 设点， 由题意可知，点和点关于对称， 当点在上时，的周长最小， 此时点， （3）解：过点作轴的平行线与交于点，与交于点，设点的横坐标为，则，， 由（2）得， 则点的坐标为， ， ， 当时，四边形的面积最大， 此时点的坐标为，四边形的面积最大为． 【变式训练】（24-25九年级上·内蒙古呼伦贝尔·期末）如图，已知二次函数的图象与x轴交于A、B两点，其中点A的坐标为，与y轴交于点C，点在抛物线上； (1)求抛物线的解析式； (2)抛物线的对称轴上是否存在点P，使得周长最小，若存在，求出P点的坐标及周长的最小值． 【答案】(1) (2)， 【思路引导】（1）根据的坐标，待定系数法求解析式即可； （2）先求得点的坐标，根据抛物线的对称性可得，当△PAD周长确定最小值时，三点共线，进而根据勾股定理求两点坐标距离即可求得最小值，再求解直线的解析式即可得到的坐标． 【规范解答】（1）解：在二次函数的图象上， 解得 抛物线的解析式为； （2）解： 对称轴为 如图，连接， 关于轴对称 的周长等于， 当三点共线时，的周长取得最小值，最小值为 由抛物线解析式， 令，即， 解得， ， ， ∴，， 的周长的最小值为， ， 设直线为， ∴， 解得：， ∴直线为， 当时，， ∴． 【考点剖析】本题考查了待定系数法求二次函数，勾股定理的应用，一次函数的解析式，根据抛物线的对称性求线段和的最小值，掌握二次函数图象的性质是解题的关键． 高频考点10：面积问题（二次函数综合） 【典例精讲】（24-25九年级上·陕西渭南·期末）如图，抛物线与x轴交于、B两点，与y轴交于点C． (1)求抛物线的函数解析式； (2)P是抛物线上的点，且点P的横坐标是3，求的面积． 【答案】(1) (2) 【思路引导】本题考查了求二次函数解析式，二次函数与几何问题，正确求出二次函数解析式是解题的关键． （1）把代入函数解析式即可； （2）把代入抛物线，求得点的坐标，把代入抛物线，求得点的坐标，即可解答． 【规范解答】（1）解：把代入函数解析式可得， ，解得， 抛物线的函数解析式为； （2）解：当时，， ， 当时，可得， 解得， ， ， ． 【变式训练】（24-25九年级上·辽宁鞍山·期末）如图，在平面直角坐标系中，是等腰直角三角形，,，，抛物线的图象经过C点． (1)求抛物线的解析式； (2)平移该抛物线的对称轴所在直线L．当L移动到何处时，恰好将的面积分为相等的两部分？ (3)点P是抛物线上一动点，是否存在点P，使四边形为平行四边形？若存在，求出P点坐标；若不存在，说明理由． 【答案】(1)抛物线的解析式为 (2)当L移动到处时，恰好将的面积分为相等的两部分 (3)存在，P点坐标为 【思路引导】（1）首先过C作轴于K，构造全等三角形，求出点C的坐标，然后利用点C的坐标求出抛物线的解析式； （2）设抛物线的对称轴所在直线L交于，交于Q，设直线L为，求出，求出与的解析式，则可求出；根据题意，列出方程求解即可； （3）设P的横坐标为t，然后根据平行四边形的性质及中点坐标公式求解即可． 【规范解答】（1）解：过C作轴于K，如图： ， ， ， ， ，， ，， ，， ， ， 把代入得： ， 解得， ∴抛物线的解析式为； （2）解：设抛物线的对称轴所在直线L交于，交于Q，此时直线L恰好将的面积分为相等的两部分，如图： 设直线L为， 由，可得， ， 设直线为， 将，代入， 得， 解得， 直线解析式为， ， 设直线为， 将，代入， 得, 解得， 直线解析式为， ， ， ， ， 解得（此时直线L在C右侧，舍去）或， ∴当L移动到处时，恰好将的面积分为相等的两部分； （3）解：存在点P，使四边形为平行四边形， 理由如下： 设P的横坐标为t， ∵四边形为平行四边形， 的中点即为的中点， ，，， ， 解得， 此时， ， 经检验，符合题意； ∴P点坐标为． 【考点剖析】本题考查了二次函数综合题型以及二次函数的图象与性质、一次函数的图象与性质、待定系数法、全等三角形、平行四边形、等腰直角三角形等知识点．解题的关键是用含字母的代数式表示相关点坐标和相关线段的长度．试题难度不大，但需要仔细分析，认真计算． 高频考点11：角度问题（二次函数综合） 【典例精讲】（24-25九年级上·福建福州·期中）已知抛物线与轴相交于，两点（点在点的左侧），与轴交于点，对称轴为直线． (1)求的长； (2)点为上方抛物线上的一动点，若的面积是面积的一半，求点的横坐标； (3)过点的直线与抛物线的另一个交点为，若，求点的坐标． 【答案】(1) (2)点的横坐标为4或2 (3) 【思路引导】该题主要考查了二次函数的解析式的求法和与几何图形结合的综合能力的培养．要会利用数形结合的思想把代数和几何图形结合起来，利用点的坐标的意义表示线段的长度，从而求出线段之间的关系．还考查了等腰三角形的性质和三角形外角的性质，一次函数的图象和性质． （1）求出抛物线的表达式，得到，即可求解； （2）由，即可求解； （3）证明，则，得到，即可求解． 【规范解答】（1）解：∵， ， ， 令，则， ， ， ． （2）解：当时，， ， ， ， 设直线的表达式为：， 将点的坐标代入上式得：， 则， 则直线， 过点作轴交于，    设，则， ， ， ∴点的横坐标为4或2； （3）解：设直线与轴交于点，      则， ， ∴， ， ， 由点的坐标得，，解得：， ∴直线的解析式为：， 令， 解得：， ． 【变式训练】（24-25九年级上·湖北·阶段练习）在平面直角坐标系中，抛物线与直线交于A，B两点，点A在y轴上，点B的横坐标为，点P是抛物线上不与A，B重合的一动点，点的横坐标为m． (1)求c的值． (2)如图，点A与点C关于抛物线的对称轴对称，当点P在AC上方的抛物线上时，若AC平分，求m的值． (3)当点P在y轴右侧的抛物线上运动时，过点P作交y轴于点M，作轴交AB于点N，设四边形的周长为l． ①求l关于m的函数解析式； ②若点都在l关于m的函数图象上，当时，直接写出m的取值范围． 【答案】(1) (2) (3)①；② 【思路引导】本题主要考查求二次函数解析、二次函数与几何的综合、二次函数的性质等知识点，掌握数形结合思想成为解题的关键． （1）根据题意求得点，再代入即可求得c的值； （2）先求出，再运用待定系数法求得直线的解析式为，由点A与点C关于抛物线的对称轴对称，可得轴，的解析式为；如图：过P作交于E、D，根据等腰三角形的性质可得，点的横坐标为m，则、，进而得到，然后根据列关于m的方程求解即可； （3）①分两种情况，当P点位于、B之间时，当P点位于B点右侧时，由题意可得四边形是平行四边形，即、；由题意可得、，进而得到，然后根据平行四边形的周长公式即可解答；②根据函数图像分成五种情况，然后根据二次函数的性质列关于m的方程解答即可． 【规范解答】（1）解：当时，，即， 将代入，可得：． ∴． （2）解：∵点B的横坐标为， ∴，即点， 设直线的解析式为， 则，解得：， ∴直线的解析式为， ∵点A与点C关于抛物线的对称轴对称， ∴轴，的解析式为， 如图：过P作交于E、D， ∵AC平分， ∴， ∵点的横坐标为m， ∴，， ∴， ∴，解得：（舍弃）或． （3）解：①如图：当P点位于、B之间时，过点P作交y轴于点M，作轴交AB于点N， ∴四边形是平行四边形， ∴，， ∵点的横坐标为m， ∴，， ∴， ， ∴l关于m的函数解析式为，即． 如图：当P点位于B点右侧时，过点P作交y轴于点M，作轴交AB于点N， ∴四边形是平行四边形， ∴，， ∵点的横坐标为m， ∴，， ∴， ， ∴l关于m的函数解析式为，即， l关于m的函数解析式为． ②∵， ．，函数图形开口向上，对称轴为 两点都在函数对称轴左侧时，， 两点分别在函数对称轴左右两侧时，， 即，比较到对称轴的距离， ； 两点都在函数对称轴右侧时，， 不等式无解，不符合题意； 当两点分别在函数上时， ，即时， ，或， 则， 当两点都在函数上时，， 综上所述，m的取值范围或或． 高频考点12：求抛物线与x轴的交点坐标 【典例精讲】（24-25九年级上·湖北恩施·阶段练习）抛物线部分图象如图所示，过点，顶点． (1)求抛物线的解析式及它与轴的交点坐标； (2)结合函数图象，直接写出当时，的取值范围是__________． (3)结合函数图象，直接写出当时，的取值范围是__________． 【答案】(1)；抛物线与轴的交点坐标为或 (2)或 (3) 【思路引导】本题考查了求二次函数的解析式，二次函数的图象与性质，熟练掌握以上知识点并灵活运用是解此题的关键． （1）设抛物线的解析式为，再利用待定系数法即可求出抛物线解析式，再令，即可求出与轴的交点坐标； （2）求出点关于对称轴对称的点的坐标为，再结合函数图象即可得解； （3）求出当时，，再结合函数图象判断即可得解． 【规范解答】（1）解：∵抛物线顶点， ∴设抛物线的解析式为， 将代入解析式可得：， ∴， ∴抛物线的解析式为， 令，则， 解得：或， ∴抛物线与轴的交点坐标为或； （2）解：由题意可得，抛物线的对称轴为直线， ∴点关于对称轴对称的点的坐标为， 由函数图象可得，当时，的取值范围是或； （3）解：当时，， ∴当时，的取值范围是． 【变式训练】（24-25九年级上·吉林·期中）如图，抛物线与x轴分别交于A，B两点（点A在点B的左侧），与y轴交于点C，在其对称轴上有一动点M，连接，则当的周长最小时，点M的坐标是 ． 【答案】 【思路引导】根据“将军饮马”模型，先求出，由二次函数对称性，关于对称轴对称，从而，，则周长的最小值就是的最小值，根据两点之间线段最短即可得到的最小值为三点共线时线段长，再求出直线的解析式，即可得到答案． 【规范解答】解：如图，点A关于函数对称轴的对称点为点B，连接交函数对称轴于点M，则点M为所求点， 抛物线与x轴分别交于两点（点在点的左侧），与轴交于点， 当时，， 解得：或， 即； 当时，，即， ∴抛物线对称轴为直线， 由二次函数对称性，关于对称轴对称，即， ， ， 当最小时，周长的最小， 根据两点之间线段最短即可得到的最小值为三点共线时线段长， 设直线的解析式为， 把点，代入得： ， 解得：， ∴直线的解析式为， 当时，， ∴点M的坐标为， 故答案为：． 【考点剖析】本题考查动点最值问题与二次函数综合，涉及“将军饮马”模型求最值、二次函数图像与性质、解一元二次方程、勾股定理求线段长等知识，熟练掌握动点最值的常见模型是解决问题的关键． 高频考点13：求抛物线与y轴的交点坐标 【典例精讲】（2025·山西运城·三模）如图，二次函数的图象与轴交于、两点，与轴交于点，顶点为，下列结论正确的是（    ） A． B．该函数图象与轴的交点的纵坐标是 C．当时，函数值 D．当时，随的增大而增大 【答案】D 【思路引导】本题考查二次函数的图象和性质，从函数图象中获取信息，求出函数解析式，逐一进行判断即可． 【规范解答】解：由图象可知：抛物线的对称轴为直线， ∴；故A选项错误； ∴， 把代入，得：， ∴， ∴， ∴当时，， ∴该函数图象与轴的交点的纵坐标是，当时，，故B，C选项错误； 由图象可知，当时，随的增大而增大；故D选项错误； 故选D． 【变式训练】（24-25九年级上·山西吕梁·期中）综合与探究 如图，平面直角坐标系中，抛物线与轴交于A，B两点，与轴交于点，抛物线的对称轴与轴交于点．已知，点是第一象限抛物线上对称轴右侧的一个动点．设点的横坐标为．    (1)求抛物线的函数表达式，并直接写出点C，D的坐标． (2)点P运动到什么位置时，的面积最大，求出此时点坐标和的最大面积． 【答案】(1)抛物线的函数表达式为，点C的坐标为，点D的坐标为； (2)，面积的最大值为． 【思路引导】本题是二次函数的综合问题．考查了待定系数法求函数的解析式、二次函数的最值问题等知识，注意掌握数形结合思想的应用． （1）利用待定系数法可求得抛物线的函数表达式，再求点C，D的坐标； （2）作轴于点，连接，设点的坐标为，根据列式，再利用二次函数的性质即可求解． 【规范解答】（1）解：∵抛物线经过，， ∴， 解得， ∴抛物线的函数表达式为， 令，则， ∴点C的坐标为，， ∴对称轴为直线， ∴点D的坐标为； （2）解：作轴于点，连接，设点P的坐标为，    ∵点C的坐标为，点D的坐标为， ∴，，， ∴ ， ∵， ∴当时，面积的最大值为． 此时 即此时点P的坐标为． 高频考点14：抛物线与x轴的交点问题 【典例精讲】（24-25九年级上·浙江衢州·期末）如图，二次函数为常数的图象与轴的一个交点为，则关于的一元二次方程为常数的两实数根是（ ） A．， B．， C．， D．， 【答案】B 【思路引导】本题考查抛物线与x轴的交点，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题． 由题意得，抛物线的对称轴为直线，则二次函数为常数的图象与x轴的另一个交点为，即可得关于x的一元二次方程为常数的两实数根是， 【规范解答】解：二次函数为常数的图象的对称轴为直线， 二次函数为常数的图象与x轴的一个交点为， 二次函数为常数的图象与x轴的另一个交点为， 关于x的一元二次方程为常数的两实数根是，． 故选：B． 【变式训练】（23-24九年级上·天津和平·期末）已知抛物线与轴有两个交点，．现有如下结论： ①此抛物线的对称轴为直线； ②若抛物线开口向下，则的取值范围是； ③此抛物线过定点； ④若时，有，，则的取值范围是． 其中正确结论的个数是（   ） A．4 B．3 C．2 D．1 【答案】B 【思路引导】本题主要考查了二次函数的图象与性质，二次函数与x轴的交点问题，根据对称轴计算公式可判断①；抛物线开口向下，则二次项系数小于0，再结合二次函数与轴有两个交点，即，求出m的取值范围即可判断②；求出时的函数值可判断③；根据题意可得当时，，当时，，当时，，当时，，据此列出不等式组求出m的取值范围即可判断④． 【规范解答】解：∵抛物线解析式为， ∴抛物线对称轴为直线，故①错误； ∵抛物线开口向下， ∴， ∴， 又∵抛物线与轴有两个交点， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴，故②正确； 在中，当时，， ∴此抛物线过定点，故③正确； ∵， ∴， ∴抛物线开口向上， 当时，， 当时， 当时， 当时，， ∵，， ∴当时，，当时，，当时，，当时，， ∴， ∴，故④正确； 故选：B． 高频考点15：根据二次函数图象确定相应方程根的情况 【典例精讲】（24-25九年级上·江苏盐城·期末）老师给出了二次函数的部分对应值如表： x … 0 1 3 5 … y … 7 0 7 … 同学们讨论得出了下列结论：①抛物线的开口向上；②抛物线的对称轴为直线；③当 时，；④是方程 的一个根；⑤若，是抛物线上从左到右依次分布的两点，则．其中正确的是（   ） A．①③④⑤ B．②③④ C．①③⑤ D．③④⑤ 【答案】A 【思路引导】本题考查了二次函数对称性，二次函数与一元二次方程的关系，二次函数与不等式的关系，解答时，熟练掌握二次函数的性质，待定系数法确定解析式，灵活处理二次函数与一元二次方程的关系是解题的关键．根据表格，任选三点，确定抛物线的解析式，根据抛物线的解析式，结合题意，逐一判断即可． 【规范解答】解：∵和是对称点， ∴抛物线的对称轴为直线， ∴结论②错误； 设抛物线的解析式为， 把和分别代入解析式，得， 解得， ∴抛物线的解析式为， ∴抛物线开口向上， ∴结论①正确； 令，得， 解得， 当时，， ∴结论③正确； ， ， 解得， ∴是方程 的一个根， ∴结论④正确； ∵，是抛物线上从左到右依次分布的两点， ， ∴结论⑤正确； 故选：A． 【变式训练】（24-25九年级上·湖北荆门·阶段练习）如图，抛物线的顶点的坐标为，与轴的一个交点位于0和1之间，则以下结论：①；②；③若抛物线经过点，，则；④若关于的一元二次方程无实数根，则．其中正确结论有（  ）个． A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】C 【思路引导】本题考查二次函数图象与性质，熟练掌握二次函数图象与性质、由二次函数图象判定系数符合及式子符号的方法是解决问题的关键．由图可知，抛物线开口向下，则；抛物线的顶点的坐标为，则对称轴为，得；抛物线与轴交于正半轴，则；根据结论逐项验证即可得到答案． 【规范解答】解：由图可知，抛物线开口向下，则；抛物线的顶点的坐标为，则对称轴为，得；抛物线与轴交于正半轴，则； ，故①正确； 对称轴为， ，则， 令，则由图可知， ，故②正确； 若抛物线经过点，，对称轴为，则点，到对称轴的距离分别为，， ，且抛物线开口向下，抛物线上的点到对称轴距离越近值越大， ，故③错误； 若关于的一元二次方程无实数根，则抛物线与无交点，如图所示： 抛物线的顶点的坐标为， 当时，抛物线与无交点，故④正确； 综上所述，正确的结论有①②④，共3个， 故选：C． 高频考点16：利用不等式求自变量或函数值的范围 【典例精讲】（2024·河北邢台·一模）在直角坐标系中，抛物线（是常数，）与轴相交于点． (1)若抛物线经过点，求的值； (2)已知，若，有最大值9，求的值； (3)①求点坐标； ②已知，若抛物线经过，和，且，求的取值范围． 【答案】(1)的值分别为 (2)或 (3)①点坐标为；② 【思路引导】本题考查二次函数综合，涉及待定系数法确定函数关系式、二次函数图象与性质，熟记二次函数图象与性质是解决问题的关键． （1）由待定系数法，将点代入表达式解方程组即可得到答案； （2）由得到抛物线为，化为顶点式得到抛物线顶点坐标为，根据开口方向，分类讨论求解即可得到答案； （3）①当时，，则点坐标为；②将，代入得到，再由抛物线经过，，得到求解即可得到答案． 【规范解答】（1）解：将点代入， 得， 解得， ∴的值分别为； （2）解：∵， ， ∴抛物线为， ∵， ∴抛物线顶点坐标为， ①当时，抛物线开口向上，， ∴当时，为最大值， 即，解得； ②当时，抛物线开口向下， ∴当时，为最大值， 即，解得； 综上所述，或 （3）解：①∵抛物线， 当时，，则点坐标为； ②∵，均在抛物线上， ∴抛物线的对称轴为直线， ∵抛物线经过，， ， ， ， ∵， ∴， ∴， ∴． 【变式训练】（24-25九年级上·广西南宁·期中）如图是抛物线图象的一部分，抛物线的顶点是点，对称轴是直线，且抛物线与轴的一个交点为；直线的解析式为，下列结论：①；②；③方程有一个实数根；④抛物线与轴的另一个交点是；⑤当时，则，其中正确的是（   ） A．①②③ B．③⑤ C．①④ D．④⑤ 【答案】C 【思路引导】本题考查了二次函数与不等式（组）：从函数图象的角度看，通过比较两函数图象的高低，即比较两个函数值的大小得到对应的自变量的范围，从而确定不等式的解集．也考查了二次函数的性质，抛物线与轴的交点． 根据抛物线的对称轴方程得到，从而可对①进行判断；利用抛物线开口方向得到，则利用可判断，利用抛物线与轴的交点位置得到，从而可对②进行判断；利用抛物线与直线的交点个数可对③进行判断；利用抛物线的对称性可对④进行判断；利用抛物线在直线上方所对应的自变量的取值范围可对⑤进行判断． 【规范解答】解：∵抛物线的对称轴为直线， ， 即，所以①正确； ∵抛物线开口向下， ， ， ∵抛物线与轴的交点在轴的正半轴上， ， ∴，所以②错误； ∵抛物线与直线有两个交点， ∴方程有两个实数根，所以③错误； ∵抛物线与轴的一个交点为， 而抛物线的对称轴为直线， ∴抛物线与轴的另一个交点坐标，所以④正确； 当时，，所以⑤错误． 故选：C． 高频考点17：根据交点确定不等式的解集 【典例精讲】（24-25九年级上·湖北襄阳·期末）抛物线与轴交于、两点，与轴交于点，过，两点的直线． (1)求抛物线的解析式及顶点坐标为 ； (2)当时，函数值的取值范围； (3)当时，自变量的取值范围． 【答案】(1)， (2) (3)或 【思路引导】本题主要考查了二次函数与一次函数的综合应用，包括利用交点求函数解析式、求函数最值以及根据函数值大小确定自变量范围等，熟练掌握二次函数的性质是解题的关键． （1）对于求抛物线解析式，可利用抛物线与轴交点坐标，代入抛物线表达式求解系数，再将抛物线解析式化为顶点式求顶点坐标； （2）求函数值的取值范围，先分析抛物线的开口方向和对称轴，再根据给定的范围确定函数值的最值情况； （3）求时自变量的取值范围，先求出直线的解析式，再联立抛物线与直线方程，求出交点横坐标，结合图像确定范围． 【规范解答】（1）解：∵ 抛物线过、 ∴ 解方程组可得 ∴ 抛物线解析式为 ∵ ∴ 顶点坐标为 故答案为：，． （2）解：∵ 抛物线中 ∴ 抛物线开口向上，对称轴为 当时，取得最小值 当时， 当时， ∵ 距离对称轴的距离大于距离对称轴的距离 ∴ 当时，的取值范围是． （3）解：∵ 抛物线与轴交于点，令，则 ∴ ∵ 直线过、 ∴ 解得 ∴ 直线的解析式为 联立 即 解得， 由图像可知，当时，或． 【变式训练】（24-25九年级上·广东广州·期中）如图，二次函数经过点． (1)求该二次函数的解析式； (2)利用图象的特点填空： ①当________时，方程； ②不等式的解集为 ． 【答案】(1) (2)①1；②且 【思路引导】本题考查了二次函数与不等式（组）：利用两个函数图象在直角坐标系中的上下位置关系求自变量的取值范围，可作图利用交点直观求解．也考查了待定系数法求二次函数解析式和抛物线与x轴的交点． （1）设交点式，然后把C点坐标代入求出a即可； （2）①先利用配方法得到，则当时，有最小值；②写出函数图象在轴下方所对应的自变量的范围，并且自变量不取顶点的横坐标． 【规范解答】（1）解：设抛物线解析式为， 把代入得， 解得， ∴抛物线解析式为，即； （2）解：①， 当时，有最小值， 即时，方程， 故答案为：1； ②不等式的解集为且． 故答案为：且． 高频考点18：图形问题（实际问题与二次函数) 【典例精讲】（24-25九年级上·吉林长春·期末）如图，用一段长为的篱笆围成一个一边靠墙的矩形菜园，墙长为．设矩形菜园的边的长为m，面积为S，其中．有下列结论： ①与之间的函数关系为； ②的取值范围为； ③的长只有一个值满足该矩形菜园的面积为； ④矩形菜园的面积的最大值为． 其中，正确结论是（   ） A．①②④ B．①②③ C．②③④ D．①③④ 【答案】D 【思路引导】本题主要考查了二次函数及一元二次方程的应用，熟练掌握最值问题的求法是解答本题的关键．表示出面积化简可以判断①；根据墙长为，列不等式组，解不等式组即可求出自变量x的取值范围，从而可判断②；根据矩形的面积列出方程，解方程求x的值，可以判断③；根据二次函数性质求出最大值判断④． 【规范解答】解：∵四边形是矩形， ∴，故①正确； 设这个菜园垂直于墙的一边的长为，则的长为， ∵墙长为， ∴， 解得：， ∴x的取值范围为，故②错误； 当时，即， 解得， ∵， ∴， ∴的长只有1个值满足该矩形菜园的面积为，故③正确； ∵， ∵， ∴当时，S有最大值，最大值为，故④正确． 故选：D． 【变式训练】（24-25九年级上·重庆永川·期中）某农场要建一个长方形的养鸡场，鸡场的一边靠墙（墙长25）另外三边用木栏围成，木栏长． (1)若养鸡场面积为，求鸡场垂直于墙的一边的长； (2)养鸡场面积能达到最大吗？如果能，请你求出最大面积；如果不能，请说明理由． 【答案】(1) (2)最大面积为 【思路引导】本题考查了二次函数，一元一次不等式与一元二次方程的实际应用，解题的关键是理解题意，并根据题意列出一元二次方程与求出二次函数的解析式． （1）设边的长为 ，根据题意可知，结合墙长25，建立不等式求出，再根据“养鸡场面积为，”建立方程求解，即可解题； （2）根据题意表示出养鸡场面积，再结合二次函数最值求解，即可解题． 【规范解答】（1）解：设边的长为 ， 根据题意可知， 墙长25， ， 解得， 养鸡场面积为， ， 解得（不合题意，舍去）或， ． （2）解：养鸡场面积， ， 当时，养鸡场面积最大，最大面积为． 高频考点19：图形运动问题（实际问题与二次函数) 【典例精讲】（2025·安徽合肥·三模）如图，菱形中，，P点从B点出发，以的速度沿运动，过P点作，交折线于点E，设P点运动的时间，的面积为．则S与t的函数关系大致为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【思路引导】本题考查了动点问题的函数图象，根据t的取值范围分别求出函数的表达式，再根据函数的图象求解． 【规范解答】解：过A作于H， 在菱形中，，， ∴，， ∴， 当时，，为二次函数，图象为开口向上的抛物线， 当时，，为一次函数，图象为线段，呈上升趋势； 当时，如图2所示：延长交的延长线于F， 则：， ∴， 此时S为二次函数，图象为开口向下的抛物线， 故选：A． 【变式训练】（24-25九年级上·黑龙江大庆·期中）如图，在中，，，，点从点开始沿向点以的速度移动，点从开始沿向点以的速度移动，如果点，同时从点出发，试问： (1)出发多少时间时，点之间的距离等于？ (2)面积的是否有最大值？若有是多少？此时时间是多少？ 【答案】(1)出发时间时，点之间的距离等于 (2)面积的有最大值，此时时间是秒 【思路引导】此题考查了二次函数的应用，根据题意正确列出解析式是关键． （1）设出发时间时，点之间的距离等于，根据勾股定理列方程并解方程即可； （2）根据题意得到面积的函数表达式，根据二次函数的性质进行解答即可． 【规范解答】（1）解：设出发时间时，点之间的距离等于， 依题意有， 解得（不合题意舍去）． 答：出发时间时，点之间的距离等于； （2）依题意有， ， ∴面积的有最大值，此时时间是秒． 高频考点20：拱桥问题（实际问题与二次函数) 【典例精讲】（24-25九年级上·安徽合肥·阶段练习）如图是一座悬索桥侧面示意图．桥塔与桥塔均垂直于桥面，缆索段与缆索段、缆索段均呈抛物线型．缆索段所在的抛物线与缆索段所在的抛物线关于所在的直线对称，桥塔与桥塔之间的距离（桥塔的粗细忽略不计），缆索段的最低点到的距离．请你建立适当的坐标系，解答问题： (1)在你所建坐标系下，求缆索段所在的抛物线的函数解析式； (2)若，求的长． 【答案】(1) (2) 【思路引导】（1）先根据已知条件确定抛物线的顶点坐标和抛物线上一点的坐标，然后设出抛物线的顶点式解析式，将点的坐标代入求出解析式中的系数． （2）先根据抛物线的对称性得到另一段抛物线的解析式，再将的值代入解析式求出的值，最后结合条件确定的长． 本题主要考查了二次函数的应用，熟练掌握二次函数的性质是解题的关键． 【规范解答】（1）解：如图，以点为坐标原点，所在直线为轴，所在直线为轴建立平面直角坐标系， ∵， ∴． 又，缆索段的最低点到的距离， ∴抛物线的顶点的坐标为． 故可设抛物线解析式为． 将代入抛物线解析式， 得． ∴． ∴缆索段所在抛物线的解析式为． （2）解：∵缆索段所在抛物线与缆索段所在抛物线关于所在直线对称， 又缆索段所在抛物线的解析式为， ∴缆索段所在抛物线的解析式为． ∵， ∴可令， ∴． 解得或． 又， ∴． ∴的长为． 【变式训练】（24-25九年级上·江西上饶·阶段练习）南昌生米大桥（图1）是南昌市中南部城市主干道的重要构成部分之一，横跨赣江，是一座集现代设计美学与工程技术创新于一体的标志性建筑．如图2，主桥拱可近似地看作抛物线的一部分，桥面的一部分可看作水平线段，其跨度为，桥拱的最大高度为．以点为原点，线段所在直线为轴，过点垂直于的直线为轴，构建平面直角坐标系． (1)求主桥拱所在抛物线的解析式； (2)如图2，若在两端之间的桥面与桥拱之间铺设满垂直于桥面的5根杆状景观灯，且相邻景观灯的间距、端点，到相邻景观灯之间的距离均相等，已知杆状景观灯平均的铺设成本为270元/，求5根景观灯的铺设成本． 【答案】(1) (2)5根景观灯的铺设成本为元 【思路引导】本题考查二次函数的实际应用： （1）根据题意设出二次函数顶点式，利用待定系数法求解； （2）先求出相邻景观灯之间的距离，再利用（1）中结论及二次函数图象的对称性求出5根杆状景观灯的长度，即可求解． 【规范解答】（1）解：根据题意可知，顶点，， 设主桥拱所在抛物线的表达式为， 将代入， 得， 解得． ∴主桥拱所在抛物线的表达式为； （2）． 当时，； 当时，； 当时，； 由对称性得，当时，；当时，． ∴5根杆状景观灯的总长度为． （元）． 答：5根景观灯的铺设成本为元． 高频考点21：销售问题（实际问题与二次函数) 【典例精讲】（24-25九年级上·安徽芜湖·阶段练习）小赵经营一家网店，销售一款成本为80元的冬装．他销售一段时间后发现，当售价为240元时，每周可销售200件，售价每下降1元，可多销售2件．设该冬装降价元，每周可获利润元． (1)试用含的式子表示，并求当取最大值时，该款冬装应降价多少元？ (2)小赵准备减少库存，且每周的利润不低于32000元，则该款冬装最多降价多少元？ 【答案】(1)，当取最大值时，该款冬装应降价30元 (2)该款冬装最多降价60元 【思路引导】本题考查二次函数的实际应用．建立数学模型，借助二次函数解决实际问题，解题关键是要读懂题目的意思，根据题目给出的条件，找出合适的等量关系，列出函数关系式或方程． （1）根据利润售价成本销售量，结合题意可得y与x的函数表达式；利用二次函数图像与性质进行解答即可； （2）把代入（1）中函数表达式中，求得相应的的值，进而结合题意可求解． 【规范解答】（1）解：设该冬装降价元，每周可获利润元，则销售量为件， 依题意，得： ， ∴与之间的函数表达式为：． ， ∵， ∴抛物线图像开口向下， ∴当时，y取得最大值． 即当取最大值时，该款冬装应降价30元； （2）解：当时，， 解得：，， 由（2）可知，抛物线图像开口向下， ∵每天的销售利润不低于元， ∴， ∵要减少库存， ∴该款冬装最多降价60元． 【变式训练】（24-25九年级上·辽宁鞍山·阶段练习）一位助农主播利用“互联网+”销售一种农业加工品）这种加工品的成本价为10元/件，已知销售价不低于成本价，且物价部门规定这种加工品的销售利润率不高于，市场调查发现，当销售价定为12元/件时，每天售出220件，售价每上涨2元，每天销售量减少20件，设该加工品每天的销售量y（件），销售价x（元/件），每天的销售利润W（元）． (1)求y与x之间的函数表达式，并写出自变量x的取值范围； (2)求每天的销售利润W（元）与销售价x（元/件）之间的函数关系式，并求出每件销售价为多少元时，每天的销售利润最大？最大利润是多少？（销售利润=销售量×每件的利润） 【答案】(1) (2)，每件销售价为16元时，每天的销售利润最大，最大利润是1080元 【思路引导】本题考查二次函数的应用，二次函数的最值问题，掌握知识点是解题的关键． （1）根据当销售价定为12元/件时，每天售出220件，售价每上涨2元，每天销售量减少20件，列出一次函数解析式，并求出x的取值范围，即可解答； （2）根据每天的销售利润等于单件的利润每天的销售量，列出二次函数，再由确定W的最大值，即可解答． 【规范解答】（1）解：， 由 ， 解得． （2）， 由，开口向下，对称轴为， ∴当时，W随x的增大而增大， ∴当时，W取得最大值为（元）． 答：每件销售价为16元时，每天的销售利润最大，最大利润是1080元． 高频考点22：投球问题（实际问题与二次函数) 【典例精讲】（24-25九年级上·辽宁鞍山·阶段练习）在投掷铅球时，铅球所经过的路线可以看作抛物线的一部分．如图，是小明在校运动会上某次试投中铅球所经过的路线．这次试投时，铅球从出手到落地的过程中，铅球的水平距离与竖直高度的几组数据如下： 水平距离（米） 0 1 2 3 4 5 竖直高度（米） 3 (1)根据以上数据，铅球运行的竖直高度的最大值为______米； (2)求小明这次试投的投掷距离（出手点与着陆点的水平距离）． 【答案】(1)3 (2)10米 【思路引导】本题考查了二次函数的应用，熟练掌握二次函数的图象与性质是解题关键． （1）根据表格数据可得这个抛物线的对称轴为直线，再根据二次函数的性质求出最值即可得； （2）建立平面直角坐标系，设这个抛物线的解析式为，将点代入求出抛物线的解析式，再求出当时，的值，由此即可得． 【规范解答】（1）解：由表格数据可知，这个抛物线的对称轴为直线， ∵这个抛物线的开口向下， ∴当时，二次函数取得最大值，最大值为3， 即铅球运行的竖直高度的最大值为3米， 故答案为：3． （2）解：如图，建立平面直角坐标系如下： ∵这个抛物线的顶点坐标为， ∴设这个抛物线的解析式为， 将点代入得：， 解得， ∴这个抛物线的解析式为， 将代入得：， 解得或（不符合题意，舍去）， 答：小明这次试投的投掷距离为10米． 【变式训练】（24-25九年级上·湖北恩施·阶段练习）九年级的一名高个子男生推铅球，铅球的运动轨迹可看作某条抛物线的一部分，已知这名男生的出手处A点离地面的高度为2米，当球运动到点B最高处5米时，离该男生站立地点O的水平距离为6米．以点O为原点建立如图所示的坐标系． (1)求抛物线的解析式（不要求写自变量的取值范围）； (2)求该男生把铅球推出去多远？ (3)有一个横截面为矩形的竹筐，长米，高米（不考虑竹筐的宽度），若铅球可落入筐内，请求竹筐的边到O点的水平距离m的取值范围． 【答案】(1)； (2)米 (3) 【思路引导】本题考查二次函数的实际应用，正确的求出函数解析式，是解题的关键： （1）根据题意，得到为顶点坐标，设出顶点式，待定系数法求出函数解析式即可； （2）求出时的的值，即可得出结果； （3）求出时的函数值，结合，即可得出结果． 【规范解答】（1）解：根据题意可知，，且为顶点坐标， 设抛物线的解析式为， 将代入，得，解得， 抛物线的解析式为； （2）解：令，得， 解得，（舍去）． 答：该男生把铅球推出去米远； （3）解：令，得． 解得，（舍去）． ， ． 高频考点23：喷水问题（实际问题与二次函数) 【典例精讲】（24-25九年级上·陕西西安·阶段练习）如图所示，有一建筑工地从高的窗口处用水管向外喷水，喷出的水呈抛物线状，如果抛物线的最高点离墙，离地面． (1)求抛物线的解析式； (2)求水流落地点离墙的距离． 【答案】(1) (2)3米 【思路引导】本题考查了二次函数的应用，熟练掌握待定系数法是解题关键． （1）根据点的坐标可得抛物线解析式的顶点式，然后将点的坐标代入即可得； （2）令可得一个关于的一元二次方程，解方程即可得． 【规范解答】（1）由题意，， 设抛物线解析式的顶点式为， 将点代入得：， 解得， 则抛物线解析式的顶点式为， 即抛物线的解析式为； （2）令得：， 即， 解得或（不符题意，舍去）， 则， 故水流落地点离墙的距离米． 【变式训练】（2025·新疆喀什·模拟预测）某景观公园计划修建一个人工喷泉，从与地面成一定角度的喷水枪喷出的水流路径可以看作是抛物线的一部分．记喷出的水流距喷水枪出水口的水平距离为米，距地面的竖直高度为米，现测得与的几组对应数据如下： 水平距离 0 1 2 3 4 5 6 … 垂直高度 … 小华根据学习函数的经验，对函数随自变量的变化而变化的规律进行了探究．下面是小华的探究过程，请补充完整： (1)在平面直角坐标系中，描出以表中各组对应数据为坐标的点，并画出该函数的图象； (2)结合表中所给数据或所画图象，得出水柱最高点距离地面的垂直高度为___________米； (3)求出关于的函数关系式； (4)结合函数图象，解决问题：该景观公园准备在距喷水枪出水口的水平距离米处修建一个大理石雕塑，使喷水枪喷出的水流刚好落在雕塑顶端，则大理石雕塑的高度约为___________米．（结果精确到米）（注：忽略大理石雕塑宽度等其他因素） 【答案】(1)见解析 (2)； (3)； (4) 【思路引导】本题考查二次函数的应用、待定系数法求二次函数解析式、画函数图象等知识点，灵活运用相关知识成为解题的关键． （1）找出表中所给的点在平面直角坐标系中，将各点连接成光滑的曲线即可； （2）根据图像及表中数据即可解答； （3）根据图像得知二次函数对称轴为，再用待定系数法代入图上一点即可解答； （4）将代入抛物线解析式求出y的值即为本题答案． 【规范解答】（1）解：根据表中数据可知在图像上的点坐标分别为：， 将以上坐标在下图中找出，并连接成光滑的曲线： （2）解：通过表中数据得知，当时水流最高，此时水流到达地面距离为米， （3）解：设二次函数解析式为， 由（2）知，对称轴为，最高点为， ∴顶点坐标为， ∴， ∴把代入中得： ，解得：， ∴抛物线表达式为：． （4）解：根据题意把代入中得： 米． ∴大理石雕塑的高度约为． 高频考点24：增长率问题（实际问题与二次函数) 【典例精讲】（2021·江苏盐城·一模）为积极响应国家“旧房改造”工程，该市推出《加快推进旧房改造工作的实施方案》推进新型城镇化建设，改善民生，优化城市建设． （1）根据方案该市的旧房改造户数从2020年底的3万户增长到2022年底的4.32万户，求该市这两年旧房改造户数的平均年增长率； （2）该市计划对某小区进行旧房改造，如果计划改造300户，计划投入改造费用平均20000元/户，且计划改造的户数每增加1户，投入改造费平均减少50元/户，求旧房改造申报的最高投入费用是多少元？ 【答案】（1）20%；（2）6125000（元） 【思路引导】（1）设平均增长率为x，根据题意列式求解即可； （2）设多改造y户，最高投入费用为w元，根据题意列式，然后根据二次函数的性质即可求出最大值． 【规范解答】解：（1）设平均增长率为x，则x>0， 由题意得：， 解得：x=0.2或x=-2.2（舍）， 答：该市这两年旧房改造户数的平均年增长率为20%； （2）设多改造a户，最高投入费用为w元， 由题意得：， ∵a=-50，抛物线开口向下， ∴当a-50=0，即a=50时，w最大，此时w=612500元， 答：旧房改造申报的最高投入费用为612500元． 【考点剖析】本题考查二次函数的实际应用，解题的关键是正确读懂题意列出式子，然后根据二次函数的性质进行求解． 【变式训练】为了打造“清洁能源示范城市”，东营市2016年投入资金2560万元用于充电桩的安装，并规划投入资金逐年增加，2018年在2016年的基础上增加投入资金3200万元. （1）从2016年到2018年，东营市用于充电桩安装的资金年平均增长率为多少？ （2）2019年东营市计划再安装A、B两种型号的充电桩共200个.已知安装一个A型充电桩需3.5万元，安装一个B型充电桩需4万元，且A型充电桩的数量不多于B型充电桩的一半.求A、B两种型号充电桩各安装多少个时，所需资金最少，最少为多少？ 【答案】（1）从2016年到2018年，东营市用于充电桩安装的资金年平均增长率为50%；（2）A、B两种型号充电桩分别安装66个，134个时所需资金最少，最少为767万元 【思路引导】(1)设从2016年到2018年，东营市用于充电桩安装的资金年平均增长率为x，根据等量关系，列出方程，即可求解； (2)设安装A型充电桩a个，则安装B型充电桩个，所需资金为万元，列不等式，求出a的范围，再求出的函数解析式，进而可求出答案. 【规范解答】（1）设从2016年到2018年，东营市用于充电桩安装的资金年平均增长率为x， 根据题意得：， 解得:，（舍去）. 答：从2016年到2018年，东营市用于充电桩安装的资金年平均增长率为50%； （2）设安装A型充电桩a个，则安装B型充电桩个，所需资金为万元. 根据题意，得:， 解得:， ， ∵， ∴随a的增大而减小. ∵a为整数， ∴当时，最小，最小值为（万元）. 此时，. 答：A、B两种型号充电桩分别安装66个，134个时，所需资金最少，最少为767万元. 【考点剖析】本题主要考查一次函数，二次函数以及一元一次不等式的实际应用，找到数量关系，列出函数解析式和一元一次不等式，是解题的关键. 高频考点25：其他问题（实际问题与二次函数) 【典例精讲】（24-25九年级上·河北邯郸·阶段练习）如图是南水北调某段河道的截面图．河道轮廓为某抛物线的一部分，嘉琪在枯水期测得河道宽度米．河水水面截痕米，水面到河岸水平线的距离为米．以点O为坐标原点建立如图所示的平面直角坐标系． 解决如下问题： (1)求河道轮廓的函数解析式，并求此时最大水深为多少米？ (2)在丰水期，测得水面到的距离为米． ①求此时水面截痕的长； ②嘉琪乘坐小船游弋到河道正中央时，向右侧河岸抛出一个小球，小球恰好落在点E处，小球飞行过程中到水面最大距离是8米，若小球飞行轨迹的形状保持不变，要想让小球飞到河岸（即点A右侧）上，求嘉琪的小船至少要向右划行多少米？ 【答案】(1)，最大水深为米 (2)①米②至少要向右划行米 【思路引导】（1）过作轴交于，结合题意及抛物线的性质得，，设，将的坐标代入，求出最小值，即可求解； （2）①当时，解方程，即可求解； ②的中点为，小球轨迹为抛物线的一部分，顶点为，可得，，由对称性得，可设小球的轨迹抛物线的解析式为， 设向右划行米，小球落到点得，即可求解． 【规范解答】（1）解：如图，过作轴交于， ， 由抛物线的对称性得， ， ， ， 设抛物线的解析式为， ， 解得：， ； 当时， ， 最大水深为（米）， 抛物线的解析式为，最大水深为米． （2）解：①水面到的距离为米， 当时， ， 解得：，， （米）， 答：此时水面截痕的长米； ②解：如图，的中点为，小球轨迹为抛物线的一部分，顶点为， ， 由①得， 小球飞行过程中到水面最大距离是8米，且经过、， 、关于小球轨迹所在抛物线的对称轴对称， ，， ， 可设小球的轨迹抛物线的解析式为， ， 解得：， ， 设向右划行米，小球落到点， ， 将代入得： ， 解得：，， 故嘉琪的小船至少要向右划行米． 【考点剖析】本题考查了二次函数的应用，待定系数法，二次函数的性质，理解题意，能熟练利用待定系数法，二次函数的性质进行求解是解题的关键． 【变式训练】（2025·陕西渭南·三模）滑板是一项富有激情与挑战的极限运动，U型池则是它绽放魅力的重要舞台，滑手在连续的U型池滑道间展开挑战，这不仅能考验滑手的综合能力，也为观众带来极具观赏性的视觉盛宴．滑手在U型池之间转换时，脱离滑道起跳后的飞行路线可近似看作是抛物线的一部分．如图，某次挑战中，滑手小红尝试从滑道①转换到滑道②，已知小红从起跳到着陆的过程中，起跳点到滑道底部所在直线的距离为，当离起跳点水平距离为时，小红到滑道底部所在直线的距离达到了最大值，现以滑道底部所在直线为x轴，垂直于滑道底部所在直线且经过起跳点的直线为y轴建立平面直角坐标系（滑道①、②底部在一条直线上）． (1)求该抛物线的函数表达式； (2)若滑手的着陆点位于下一个U型池滑道的内部，则视为滑手成功完成转换，已知滑道②与滑道①高度相同，两者水平距离为，请通过计算说明小红能否转换成功？ 【答案】(1) (2)能 【思路引导】此题考查了二次函数的应用，正确求出函数解析式是解题的关键． （1）根据题意直接写出抛物线的顶点坐标，再利用待定系数法求出函数解析式即可； （2）当时，，解方程比较后即可得到答案． 【规范解答】（1）解：由题知起跳点的坐标为，抛物线的顶点坐标为． 设该抛物线的函数表达式为， 把代入得， 解得， 设该抛物线的函数表达式为． （2）当时，, 解得，（舍去）， 因为, 所以小文能成功转换． 高频考点26：面积问题（二次函数综合） 【典例精讲】（24-25九年级上·广东江门·阶段练习）在平面直角坐标系中，二次函数的图象与轴交于、两点，与轴交于点，且顶点的坐标为． (1)求二次函数的解析式； (2)如图，点，若点是二次函数图象上的点，且在直线的上方，连接，．求面积的最大值及此时点的横坐标． 【答案】(1) (2)面积的最大值为，此时点的横坐标为 【思路引导】（1）根据已知的顶点坐标设出二次函数的解析式，再将点代入求出的值即可； （2）如图，过点作轴交于点，由，即可求解． 【规范解答】（1）解：∵二次函数的图象与轴交于点，且顶点的坐标为， 设二次函数的解析式为， ∴， 解得：， ∴二次函数的解析式为； （2）解：如图，过点作轴交于点， 设直线的解析式为，过点，， ∴， 解得：， ∴设直线的解析式为， 设，则点，设、分别为点、的横坐标， ∴ ， ∵， ∴有最大值，即的面积有最大值， 当时，的面积最大为， 即面积的最大值为，此时点的横坐标为． 【考点剖析】本题二次函数与一次函数的综合题，考查待定系数法确定函数的解析式，坐标与图形，二次函数的图象与性质等知识点，确定面积的函数表达式是解题的关键． 【变式训练】（24-25九年级上·吉林·期末）如图，已知二次函数的图象与x轴交于点、，与y轴交于点C．点P是抛物线上一点，其横坐标为，且点P不与点C重合． (1)写出点C的坐标为______；线段的长为______． (2)写出的面积______． (3)抛物线上存在点P，使的面积等于的面积，利用上面的计算结果，求点P的坐标． 【答案】(1)；4 (2)6 (3)P的坐标或或 【思路引导】（1）将代入，求得出C点坐标，令求出，，即可得到线段的长； （2）由（1）得到，，然后利用三角形面积公式求解即可； （3）设，利用的面积等于的面积列方程求解即可． 此题主要考查了抛物线与x轴的交点，三角形面积求法，二次函数图象上点的坐标性质等知识，注意分类讨论得出是解题关键． 【规范解答】（1）解：∵， ∴当时，， ∴点C的坐标为， 当时，， 解得或， ∴，， ∴； （2）解：∵点C的坐标为， ∴， ∵， ∴的面积； （3）解：设， ∵的面积等于的面积， ∴， 解得或或（舍去）， ∴P的坐标或或． 高频考点27：线段周长问题（二次函数综合） 【典例精讲】（24-25九年级上·贵州遵义·阶段练习）如图，抛物线经过点，与x轴交于A，B两点，连接，M为线段上的一个动点，过点M作轴，交抛物线于点P，交于点Q．过点P作，垂足为N，设点M的坐标为，则的最大值 ． 【答案】 【思路引导】本题主要考查了二次函数综合，一次函数与几何综合，勾股定理，等腰直角三角形的性质与判定，先利用待定系数法求出二次函数解析式，进而求出点B的坐标，则可证明，得到，进而证明是等腰直角三角形，得到；求出直线解析式为，得到，，则，据此可得，由此可得答案． 【规范解答】解：∵经过点， ∴， ∴， ∴抛物线解析式为， 在中，当时，解得或， ∴， ∴， 又∵， ∴； ∵轴， ∴是等腰直角三角形， ∴， ∴， 又∵， ∴是等腰直角三角形， ∴， ∴； 设直线解析式为， ∴， ∴， ∴直线解析式为， ∵， ∴，， ∴， ∴ ， ∵， ∴当，即时，有最大值，最大值为， 故答案为：． 【变式训练】（2025·贵州贵阳·二模）如图①，在平面直角坐标系中，二次函数的图象交轴于，两点，交轴于点，若点的坐标为，点是该二次函数图象上的一个动点，且在第一象限． (1)求二次函数的表达式； (2)连接，过点作轴于点，交线段于点，当点运动到什么位置时，线段有最大值？请求出点的坐标和的最大值； (3)连接，，若关于轴的对称图形是，是否存在点，使得四边形为菱形？若存在，求出点的坐标，若不存在，请说明理由． 【答案】(1) (2)点的坐标为时，的最大值为4 (3)存在，的坐标是 【思路引导】本题考查了待定系数法求函数解析式，二次函数的性质，菱形的性质． （1）将，分别代入，得到二元一次方程组，解方程组即可求解； （2）设，由由，，可得直线的表达式为，设，得，即可求解； （3）由四边形为菱形，得，，进而得，则，即可求解． 【规范解答】（1）解：将，分别代入， 得， 解这个方程组，得， 所以二次函数的表达式为； （2）解：设， 由，，可得直线的表达式为， 设， ∴ ， 当时，， 故点的坐标为时，的最大值为4； （3）解：存在，理由如下： 如图，连接，交于点， 设点， 若四边形为菱形， 则，， ∴， ∴，即， 解得， ∵点在第一象限， 故当点的坐标是时，四边形为菱形． 高频考点28：角度问题（二次函数综合） 【典例精讲】（24-25九年级上·广东韶关·期末）如图，直线与x轴、y轴分别交于B、C两点，抛物线经过点B、C，与x轴另一交点为A． (1)求抛物线的解析式； (2)若点M是抛物线上的一点，使得，请求出点M的坐标； (3)点在第一象限的抛物线上，连接．在对称轴左侧的抛物线上是否存在一点P，满足？如果存在，请求出点P的坐标；如果不存在，请说明理由． 【答案】(1) (2)或 (3)存在， 【思路引导】此题考查了二次函数的图象和性质、一次函数和二次函数的交点问题等知识，分情况讨论是关键． （1）利用待定系数法求解函数解析式即可； （2）分两种情况，求出直线m的表达式，和二次函数解析式联立求出答案即可； （3）连接，过点D作于点，交抛物线于点，交于点H，求出点，由中点坐标公式得，点，点B、H的坐标得直线的表达式为：，联立上式和抛物线的表达式得：，则（舍去）或，即可得到答案． 【规范解答】（1）解：当时， 当时，，解得， ∴点B、C的坐标分别为：， 由题意得：， 解得：， 则抛物线的表达式为：； （2）∵， ∴过点O作直线交抛物线于点M，则点M为所求点， 设直线的表达式为， 则， 解得：， ∴直线的表达式为： ， 则直线m的表达式为：， 联立上式和抛物线的表达式得：，则， 即点或， 当M在上方时， 同理可得直线m的表达式为：， 联立上式和抛物线的表达式得：，此方程无解； 故点或； （3）由题意可得， ∴点， 连接，过点D作于点，交抛物线于点，交于点H， ∵， 则点T是的中点， 由（1）知，的表达式为：， 设点， ∵，， ∴ 解得 ∴, 解得， ∴点， 由中点坐标公式得，点， 由点B、H的坐标得，直线的表达式为：， 联立上式和抛物线的表达式得：，则（舍去）或， 则点． 【变式训练】（24-25九年级上·山东淄博·期末）已知顶点在坐标原点的抛物线经过，两点． (1)求该抛物线的表达式； (2)如图1，过点的直线交抛物线于另一点，轴于点，连接．若平分，求点的坐标； (3)如图2，为轴正半轴上一点，为第一象限内抛物线上一点，点的横坐标为，将点绕点逆时针旋转，得到的对应点恰好落在拋物线上，过点的直线交抛物线于另一点，求证：的面积为定值，并求出该定值． 【答案】(1) (2) (3)证明见解析， 【思路引导】（1）由待定系数法即可求解； （2）作，垂足为，设与轴的交点为．证明，得，，设，则，，解方程得．得直线的表达式为：，联立方程组求解即可； （3）用三角形全等求出点．根据即可求解． 【规范解答】（1）解： 抛物线的顶点在坐标原点， 设抛物线的表达式为． 将，代入，得： ， 解得，， 抛物线的解析式为； （2）解：如图，作，垂足为， 设与轴的交点为． 平分，， ，， ， ． ，轴， ， ， ，， 设，则，， 在中，， 解得，． ． 设直线的表达式为：， 代入，， 得， 解得， 可得直线的表达式为：， 联立，得：， 解得，或； 点． （3）解：的面积为定值，定值为3． 证明：将点代入直线，得，， 直线的表达式为：． 点既在抛物线上又在直线上， ， 整理得，， 解得，，； 点． 作轴于，作轴于，轴于，轴于，轴于， ， ，， ， ， ，． 设，则， 点， 又点在抛物线上， ， ， ，得，，即， 点． ． 【考点剖析】主要考查了二次函数的解析式的求法和与几何图形结合的综合能力的培养．要会利用数形结合的思想把代数和几何图形结合起来，利用点的坐标的意义表示线段的长度，从而求出线段之间的关系． 1．（2025·四川广元·中考真题）已知抛物线（a，b，c是常数且）的自变量x与函数y的部分对应值如下表： x … 0 1 2 3 4 … y … m n s … 其中．以下结论：①；②若抛物线经过点则；③关于x的方程有两个不相等的实数根；④；⑤当时，y的最小值是1，则或4．其中正确的结论有（   ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】C 【思路引导】本题考查了二次函数的图像与性质（对称性、单调性、最值）、二次方程 根的个数判断及不等式的应用，解题的关键是通过表格信息确定抛物线的 对称轴、开口方向及系数关系，再结合函数性质逐一分析结论． 主要关键步骤 由和时确定对称轴为得 利用时确定（开口向上）、、分析符号； 通过对称点距离对称轴的远近比较函数值，判断结论②； 结合及抛物线最值，分析方程的根的个数，判断结论③； 用a表示s和结合a的范围推导的范围，判断结论④； 当时确定抛物线解析式，分析内最小值为1的条件，判断结论⑤． 【规范解答】解：由表格可知，抛物线对称轴为（因与时对称），故， 即．时，时，代入得． 由得即， 故（开口向上），，． 结论①： ∵ ∴①正确． 结论②： 点到对称轴距离为4，点到对称轴距离为5． ∵抛物线开口向上，距离对称轴越远函数值越大， ，②正确． 结论③：方程有两个不相等实根 与对称），故方程为． ∵当时，有4个根；当时，有2个根；当 时，无实根．故③错误． 结论④： 顶点时，． ∴由得，④正确， 结论⑤：或4 当时，，抛物线为，与交于和． 时最小值为1，需不包含顶点（）故或与结论不符合，故⑤错 误． 综上，正确结论为①②④，共3个． 故选：C． 2．（2025·四川乐山·中考真题）已知二次函数的图象经过、两点，有下列结论： ①二次函数的图象开口向上，对称轴为直线； ②当时，二次函数的图象与轴有两个交点； ③若，则； ④当时，二次函数的图象与的图象有两个交点，则． 其中，正确的结论有（   ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】C 【思路引导】本题主要考查了二次函数的图像和性质，二次函数与x轴的交点等知识，掌握二次函数的图像和性质是解题的关键． 【规范解答】解：二次函数中，， 则二次函数的图象开口向上，对称轴为直线为，故①正确． 令， 则， 当时，则， 则二次函数的图象与轴有两个交点，故②正确． 点到对称轴直线的距离为，二次函数的图象开口向上，则距离对称轴越远的点，函数值越大， 故若，则，故③错误． 联立与， 则， 整理得：， 则，解得：， 令，对称轴为直线， ∵当时，二次函数的图象与的图象有两个交点， 故当时，，解得∶． 解得：，故④正确， 综上：①②④正确， 故选：C 3．（2025·山东青岛·中考真题）将二次函数的图象在轴下方的部分以轴为对称轴翻折到轴上方，得到如图所示的新函数图象，下列对新函数的描述正确的是（   ） A．图象与轴的交点坐标是 B．当时，函数取得最大值 C．图象与轴两个交点之间的距离为 D．当时，的值随值的增大而增大 【答案】C 【思路引导】本题考查了二次函数的图象与性质，以及图象的翻折变换，图象的翻折变化对函数图象的影响变化，正确分析变换前后点的坐标，函数的最值，以及增减性是解决本题的关键． 先求出二次函数翻折前图象与轴的交点坐标，即可求解翻折后图象与轴的交点坐标，判断A选项即可；根据图象可知函数的最大值，判断B选项即可；求解出二次函数与轴的交点坐标，求解距离判断C选项；根据函数图象即可判断D选项． 【规范解答】解：A选项，二次函数， 令，解得， ∴原二次函数与轴的交点坐标为， 翻折后新函数图象与轴的交点坐标是，A选项错误； B选项，二次函数， 对称轴为， 将代入函数解析式可得， ∴原二次函数顶点坐标为， 翻折后新函数图象的对称轴不变，为， 在处，函数没有最大值，B选项错误； C选项，二次函数， 令，则有， 即，解得，， ∴原二次函数与轴的交点坐标为，， 翻折后新函数图象与轴的交点坐标不变，为，， ∴图象与轴两个交点之间的距离为，C选项正确； D选项，新函数图象的对称轴为， 由图象可知，函数在时，的值随值的增大而减小， 当时，的值随值的增大而增大，D选项错误． 故选：C ． 4．（2025·四川资阳·中考真题）如图，在平面直角坐标系中，O为坐标原点，抛物线与y轴相交于点，且抛物线的对称轴为直线．给出以下4个结论：①；②对于任意实数m，的值不小于2；③若P是对称轴上的一点，则的最小值为；④若点在抛物线上，满足且，则一定有．其中，所有正确结论的序号为 ． 【答案】②③④ 【思路引导】本题考查二次函数的图象和性质，二次函数的综合应用，从函数图象中获取信息，利用数形结合的思想进行求解，是解题的关键，根据开口方向，对称轴，与轴的交点位置，判断①，最值结合对称轴判断②；作点关于对称轴的对称点，连接，的长即为的最小值，勾股定理求出的长，判断③，对称性结合增减性，判断④即可． 【规范解答】解：由图象和题意可知：，当时，， ∴， ∴，；故①错误， 当时，函数取得最小值为：， ∴对于任意实数m，， ∴的值不小于2，故②正确； 作点关于对称轴的对称点，连接， 则：， ∴当点在上时，的值最小为的长， ∵， ∴， ∴的最小值为；故③正确； ∵抛物线的开口向上， ∴抛物线上的点离对称轴越远，函数值越大， ∵点在抛物线上，满足且， ∴， ∴点离对称轴远， ∴；故④正确； 故答案为：②③④． 5．（2025·四川资阳·中考真题）如图，在平面直角坐标系中，抛物线与轴相交于两点（点在点的左边），与轴相交于点，且抛物线的顶点坐标为． (1)求抛物线的表达式； (2)是抛物线上位于第四象限的一点，点，连接相交于点，连接．若与的面积相等，求点的坐标； (3)是抛物线上的两个动点，分别过点作直线的垂线段，垂足分别为．是否存在点，使得以为顶点的四边形是正方形？若存在，求该正方形的边长；若不存在，说明理由． 【答案】(1) (2) (3)存在，正方形的边长为或 【思路引导】（1）待定系数法求出函数解析式即可； （2）作轴，垂足为点，设，则：，，根据与的面积相等，推出，列出方程进行求解即可； （3）存在点，使四边形为正方形，如图所示，过作轴，过作轴，过作轴，则有与都为等腰直角三角形，设，设直线解析式为，与二次函数解析式联立，消去得到关于的一元二次方程，利用根与系数关系表示出，由为等腰直角三角形，得到，若四边形为正方形，得到，求出的值，进而确定出的长，即为正方形边长． 【规范解答】（1）解：∵抛物线与轴相交于点，且抛物线的顶点坐标为． ∴设抛物线的解析式为：， 把代入，得：， ∴， ∴； （2）当时，解得：， ∴， ∵， ∴设直线的解析式为：，把代入，得：， ∴， 作轴，垂足为点，设，则：， ∴， ∴与的面积相等， ∴，即：， ∵， ∴， ∴， 解得：或（舍去）； ∴； （3）存在点，使四边形为正方形， 如图所示，过作轴，过作轴，过作轴，则有与都为等腰直角三角形，， 由（2）可知，直线的解析式为， 设，直线解析式为， 联立得：， 消去得：， ， 为等腰直角三角形， ， ， ， ， ∵四边形为正方形， ∴， ， 整理得：， 解得：或， 正方形边长为， 或．即正方形的边长为或． 【考点剖析】此题属于二次函数综合题，涉及的知识有：待定系数法确定函数解析式，根与系数的关系，等腰直角三角形的性质，正方形的性质，勾股定理以及一次函数与二次函数的性质，熟练掌握待定系数法是解本题的关键． 基础夯实 1．（24-25九年级上·湖南邵阳·期末）二次函数的顶点坐标是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【思路引导】本题主要考查二次函数的性质，熟练掌握二次函数的性质是解答的关键． 根据二次函数的顶点坐标为求解即可． 【规范解答】解：二次函数的顶点坐标是． 故选：C 2．（24-25九年级上·甘肃嘉峪关·期末）对于抛物线，下列说法正确的是（    ） A．开口向下，顶点坐标 B．开口向上，顶点坐标 C．开口向下，顶点坐标 D．开口向上，顶点坐标 【答案】C 【思路引导】本题主要考查了二次函数的顶点式，二次函数的图象和性质，解题的关键是掌握二次函数的顶点式． 利用二次函数的顶点解析式进行判断顶点坐标和开口方向即可． 【规范解答】解：对于抛物线，， ∴开口向下， 顶点坐标为， 故选：C． 3．（24-25九年级上·河南郑州·阶段练习）已知抛物线的对称轴为直线，且经过点，，试比较和的大小： ．（填“”，“”或“”） 【答案】 【思路引导】本题考查了二次函数图象上点的坐标特征，熟练掌握二次函数的图象与性质是解题关键．由于二次函数的图象的开口向上，对称轴为直线，然后根据点，离对称轴的远近可判断和的大小关系． 【规范解答】解：∵二次函数的图象的对称轴为直线， 又∵， ∴该函数图象的开口向上， ∵抛物线经过点，，且， ∴点离对称轴的距离比点要远， ∴． 故答案为：． 4．（24-25九年级上·吉林·期末）将抛物线先向下平移2个单位长度，再向左平移3个单位长度后，得到的抛物线的解析式为 ． 【答案】 【思路引导】本题考查二次函数图象的平移，根据平移规则：左加右减，上加下减，进行求解即可． 【规范解答】解：抛物线先向下平移2个单位长度，再向左平移3个单位长度得到； 故答案为：． 5．（24-25九年级上·福建泉州·阶段练习）已知二次函数（为常数）． (1)若该函数图象经过点，试求的值和图象的顶点坐标； (2)在（1）的情况下，当时，求的取值范围； 【答案】(1)； (2) 【思路引导】本题考查了二次函数的图象性质，把二次函数的一般式化为顶点式，正确掌握相关性质内容是解题的关键． （1）先整理，再把点代入中，解得，即可求出图象的顶点坐标； （2）先结合的开口向上，对称轴为直线，越远离对称轴的所对应的函数值越大，又因为，则函数的最小值为，最大值为，即可作答． 【规范解答】（1）解：依题意，， 顶点为， 把点代入中 得：， 解得：， ∴ 抛物线的顶点为； （2）解：由（1）得 ∴二次函数解析式为， 抛物线开口向上，对称轴为直线，越远离对称轴的所对应的函数值越大 ∵，且 ∴函数在时取最小值为， 在时取最大值为， 故的取值范围为． 培优拔高 6．（24-25九年级上·湖南邵阳·期末）一次函数的图象与二次函数的图象有两个交点，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【思路引导】本题主要考查了二次函数图象上点的坐标特征、根的判别式等知识点，熟练掌握并能灵活运用二次函数的性质是解题的关键． 依据题意，由一次函数的图象与二次函数的图象有两个交点，从而可联立方程，即，再结合题意运用根的判别式列不等式求解即可． 【规范解答】解：∵一次函数的图象与二次函数的图象有两个交点， ∴联立方程． ∴． ∴． ∴． 故选：B． 7．（24-25九年级上·江西南昌·期末）如图，抛物线的顶点坐标为，下列说法错误的是（   ） A． B． C． D．抛物线向下平移个单位后，一定经过 【答案】C 【思路引导】本题主要考查了二次函数的图象与性质，熟练掌握二次函数的图象特征、顶点坐标公式以及平移性质是解题的关键．根据抛物线的图象特征、顶点坐标公式以及抛物线平移的性质，对每个选项进行分析判断． 【规范解答】解：∵抛物线开口向下， ∴，故A正确． ∵抛物线与轴有两个交点， ∴，故B正确． ∵抛物线的顶点横坐标为， ∴，故C错误． 抛物线向下平移个单位后，解析式为． 当时，． 由可得， ∴， ∴抛物线向下平移个单位后一定经过，故D正确． 故选：C． 8．（24-25九年级上·浙江金华·期末）已知抛物线上有三点，且，则的取值范围是 ． 【答案】或 【思路引导】本题主要考查二次函数图象上点的坐标特征，解题时要熟练掌握并能灵活运用二次函数的性质是关键．依据题意，由，从而抛物线上的点离对称轴越近函数值越大，又抛物线过，可得对称轴是直线，又，且抛物线过，故，再分类讨论判断即可得解． 【规范解答】解：由题意，∵， ∴抛物线上的点离对称轴越近函数值越大． 又∵抛物线过， ∴对称轴是直线． 又∵，且抛物线过， ∴． ∴． ①当时，， ∴； ②当时，， ∴； ③当时，， ∴无解； 综上所述，或． 故答案为：或． 9．（24-25九年级上·山东枣庄·期末）已知开口向下的抛物线与x轴交于点，对称轴为直线．下列结论：①；②；③函数的最大值为；④（是一个常数）．其中结论正确的是 （填序号）． 【答案】 【思路引导】本题考查了二次函数的图像与性质，熟练掌握二次函数的图像与性质是解题的关键．根据二次函数的图像，开口方向，对称轴，函数的最值，与轴的交点，与轴的交点，逐一判断各结论，即可得到结果． 【规范解答】解：∵抛物线的对称轴为直线， ， ，即，故结论正确，符合题意； 抛物线的图像开口向下， ， ， ， 抛物线开口向下，与轴交于点，对称轴为， ∴抛物线与轴的交点位于轴的正半轴， ， ，故结论错误，不符合题意； 对称轴为， 当时，y有最大值， 抛物线与轴交于点， ， ， 又， ，即函数的最大值为，故结论正确，符合题意； 当时有最大值， 当时，为， ， ， 又， ， ，即，故结论正确，符合题意， 综上所述，结论正确的为． 故答案为：． 第 1 页 共 11 页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题22.4 二次函数（章节复习） （知识梳理+28个考点讲练+中考真题演练+难度分层练 共70题） 知识梳理 技巧点拨 2 知识点梳理01： 二次函数的定义 2 知识点梳理02：二次函数的图象与性质 3 知识点梳理03：二次函数的几何变换 4 知识点梳理04：待定系数法求函数解析式 4 知识点梳理05 ：二次函数的图象与系数之间的关系 5 知识点梳理06： 二次函数与一元二次方程 5 知识点梳理07： 二次函数与实际问题 6 优选题型 考点讲练 7 高频考点1：根据二次函数的定义求参数 7 高频考点2：y=ax²+bx+c的图象与性质 7 高频考点3：二次函数图象与各项系数符号 8 高频考点4：根据二次函数的图象判断式子符号 9 高频考点5：根据二次函数的对称性求函数值 10 高频考点6：y=ax²+bx+c的最值 11 高频考点7：利用二次函数对称性求最短路径 12 高频考点8：待定系数法求二次函数解析式 13 高频考点9：线段周长问题（二次函数综合) 13 高频考点10：面积问题（二次函数综合） 15 高频考点11：角度问题（二次函数综合） 16 高频考点12：求抛物线与x轴的交点坐标 18 高频考点13：求抛物线与y轴的交点坐标 19 高频考点14：抛物线与x轴的交点问题 20 高频考点15：根据二次函数图象确定相应方程根的情况 20 高频考点16：利用不等式求自变量或函数值的范围 21 高频考点17：根据交点确定不等式的解集 22 高频考点18：图形问题（实际问题与二次函数) 23 高频考点19：图形运动问题（实际问题与二次函数) 24 高频考点20：拱桥问题（实际问题与二次函数) 25 高频考点21：销售问题（实际问题与二次函数) 27 高频考点22：投球问题（实际问题与二次函数) 28 高频考点23：喷水问题（实际问题与二次函数) 29 高频考点24：增长率问题（实际问题与二次函数) 30 高频考点25：其他问题（实际问题与二次函数) 31 高频考点26：面积问题（二次函数综合） 33 高频考点27：线段周长问题（二次函数综合） 34 高频考点28：角度问题（二次函数综合） 36 中考真题 实战演练 38 难度分层 拔尖冲刺 40 基础夯实 40 培优拔高 40 知识点梳理01： 二次函数的定义 1. 二次函数的定义： 一般的，形如y=ax2+bx+c(a、b、c是常数，a≠0)的函数叫做二次函数。其中x是自变量，a、b、c分别是函数解析式的二次项系数、一次项系数、常数项。 二次函数解析式的表示方法 (1)一般式：y＝ax2＋bx＋c(其中a，b，c是常数，a≠0)； (2)顶点式：y＝a(x－h)2＋k(a≠0)， 它直接显示二次函数的顶点坐标是(h，k)； (3)交点式：y＝a(x－x1)(x－x2)(a≠0)， 其中x1，x2是图象与x轴交点的横坐标 ． 注意：任何二次函数的解析式都可以化成一般式或顶点式，但并非所有的二次函数都可以写成交点式，只有抛物线与轴有交点，即时，抛物线的解析式才可以用交点式表示．二次函数解析式的这三种形式可以互化. 知识点梳理02：二次函数的图象与性质 1. 二次函数的性质与图像： 形式 一般式： 顶点式 的符号 开口方向 开口向上 开口向下 开口向上 开口向下 对称轴 ，若同号，则对称轴在轴左边；若异号，则对称轴在轴右边。简称左同右异。 ，若，对称轴在轴右边；若，对称轴在轴左边， 最值 当时取得最小值 当时取得最大值 当时取得最小值 当时取得最大值 顶点坐标 增减性 图像在对称轴左边随的增大而减小；图像在对称轴右边随的增大而增大； 图像在对称轴左边随的增大而增大；图像在对称轴右边随的增大而减小； 图像在对称轴左边随的增大而减小；图像在对称轴右边随的增大而增大； 图像在对称轴左边随的增大而增大；图像在对称轴右边随的增大而减小； ①若二次函数是一般形式时，则二次函数与轴的交点坐标为。若，则二次函数与轴交于正半轴；若，则二次函数与轴交于负半轴。 ②二次函数开口向上时，离对称轴越远的点函数值越大；二次函数开口向下时，离对称轴越远的函数值越小。 ③二次函数函数值相等的两个点一定关于对称轴对称。 ④二次函数的一般式化为顶点式：利用一元二次方程的配方法。 知识点梳理03：二次函数的几何变换 1. 二次函数的平移： ①若函数进行左右平移，则在函数的自变量上进行加减。左加右减。 ②若函数进行上下平移，则在函数解析式常数项后面进行加减。上加下减。 (1)沿轴平移:向上（下）平移个单位，变成（或） (2)沿x轴平移：向左（右）平移个单位，变成（或） 2. 一次函数的对称变换： ①若二次函数关于轴对称，则自变量不变，函数值变为相反数。 ②若二次函数关于轴对称，则函数值不变，自变量变成相反数。 ③若二次函数关于原点对称，则自变量与函数值均变成相反数。 知识点梳理04：待定系数法求函数解析式 1. 待定系数法求二次函数解析式的具体步骤： （1） 设二次函数解析式； ①已知抛物线上任意三点，则设二次函数解析式为。 ②已知抛物线的顶点坐标，则设二次函数解析式为。 ③已知抛物线与x轴的两个交点坐标，则设二次函数解析式为。 （2） 带点：将已知点带入函数解析式建立方程。 （3） 解方程：解（2）中得到的方程，得出未知系数。 （4） 反带：将未知系数反带入函数解析式。 知识点梳理05 ：二次函数的图象与系数之间的关系 1. 二次函数的开口方向： 二次函数的开口方向由决定，，开口向上，，开口向下。 2. 二次函数的对称轴： 由二次函数的性质可知，二次函数的对称轴为。若同号，则＜0，二次函数的对称轴在轴的左边；若异号，则＞0，二次函数的对称轴在轴的右边。简称左同右异。 ①若二次函数的对称轴=1，则0。 ②若二次函数的对称轴=﹣1，则0。 3. 二次函数与轴的交点： 二次函数与轴的交点坐标为（0，c）。 拓展：在二次函数中： 是自变量为1的函数值，是自变量为﹣1的函数值。 是自变量为2的函数值，是自变量为﹣2的函数值。 是自变量为3的函数值，是自变量为﹣3的函数值。 知识点梳理06： 二次函数与一元二次方程 1. 二次函数与一元二次方程： ①若二次函数与轴有两个交点⇔一元二次方程有两个不相等的实数根⇔。 ②若二次函数与轴只有一个交点⇔一元二次方程有两个相等的实数根⇔。 ③若二次函数与轴没有交点⇔一元二次方程没有实数根⇔。 ④若二次函数与直线相交，则一元二次方程为。交点情况与方程的解的情况同与轴相交时一样。 2. 二次函数与不等式（组） 若二次函数与一次函数存在交点，则不等式：的解集取二次函数图像在上方的部分所对应的自变量取值范围；的解集取二次函数图像在下方的部分所对应的自变量取值范围。 知识点梳理07： 二次函数与实际问题 1. 列一元二次方程解决实际问题的基本步骤： ①审：理解题意，明确常量、变量以及它们之间的数量关系． ②设：根据题意，可以直接设未知数，也可以间接设未知数． ③列：建立二次函数模型，根据题目的数量关系列出二次函数解析式． ④解：根据已知条件，借助二次函数的图像与性质解决实际问题． ⑤验：检验结果，得出符合实际意义的结论． ⑥答：写出答案。 2. 二次函数与图形面积问题： 解决图形的面积时，常会涉及线段与线段之间的关系，根据图形找出面积与线段的关系，将其转化为二次函数问题，然后利用二次函数的图像与性质解决问题。 3. 二次函数解决销售利润问题： 计算公式： 总利润＝单利润×数量 现单利＝原单利＋涨价部分（原单利－降价部分） 现数量＝原数量－×变化数量（原数量＋×变化数量） 4. 二次函数解决抛物线形的形状问题与运动轨迹问题： （1） 建立适当的平面直角坐标系，将抛物线形状的图形放置在平面直角坐标系中。 （2） 从已知条件和图像中获取求二次函数表达式所需要的条件。 （3） 利用待定系数法求函数表达式。 （4） 运用求出的抛物线的图像和性质解决实际问题。 高频考点1：根据二次函数的定义求参数 【典例精讲】（23-24九年级上·黑龙江双鸭山·期末）二次函数的解析式为，满足如下四个条件：；；，，则 ， ． 【变式训练】（24-25九年级上·广西防城港·期中）已知关于的函数． (1)当为何值时，此函数是二次函数？ (2)当为何值时，此函数是一次函数？ 高频考点2：y=ax²+bx+c的图象与性质 【典例精讲】（24-25九年级上·北京·阶段练习）已知二次函数． (1)补全表格，并在平面直角坐标系中用描点法画出该函数图象； … 0 1 2 3 … … 0 3 … (2)根据图象回答：当时，的取值范围是______； (3)设，，过点与轴垂直的直线l与抛物线交于点，．其中，与直线交于点，若，直接写出t的取值范围______． 【变式训练】（2025·福建南平·二模）已知二次函数． (1)请完善下表，通过描点、连线，在网格图中画出函数图象，利用图象回答：当时，的取值范围是 ； … 0 0.5 1 … … … (2)两个不相等的正数满足．求证：关于的方程，不可能同时有实数根． 高频考点3：二次函数图象与各项系数符号 【典例精讲】（23-24九年级上·天津和平·期末）如图，抛物线（a，b，c为常数，）与x轴交于点，对称轴为直线，下列结论中（    ） ①；②；③是抛物线上两点，则； ④若关于x的一元二次方程没有实数根，则； ⑤对于任意实数m，总有． 其中，正确结论的个数是（    ） A．2 B．3 C．4 D．5 【变式训练】（24-25九年级上·江苏泰州·阶段练习）二次函数的图象如图所示，则下列结论中错误的是（    ） A． B．当时， C． D． 高频考点4：根据二次函数的图象判断式子符号 【典例精讲】（24-25九年级上·北京·阶段练习）如表记录了二次函数中两个变量与的三组对应值： … 2 8 … … 1 … 点，在该函数图象上．若当时，，下列四个结论：①；②；③；④若记二次函数的图象为图形，存在直线与图形有两个交点，则．上述结论中，所有正确结论的序号是（    ） A．①②③④ B．②③④ C．①③④ D．②③ 【变式训练】（24-25九年级上·湖南郴州·阶段练习）抛物线的对称轴为直线，与x轴的一个交点A在点和之间，其部分图象如图，则下列4个结论：①；②；③；④点、在抛物线上，若，则，其中正确的是 ． 高频考点5：根据二次函数的对称性求函数值 【典例精讲】（24-25九年级上·广东广州·阶段练习）如图，已知抛物线的对称轴是直线，且抛物线与x轴的一个交点坐标是．①；②该抛物线与x轴的另一个交点坐标是；③若点和在该抛物线上，则；④对任意实数n，不等式总成立．其中正确的有 ． 【变式训练】（24-25九年级上·湖北恩施·期末）已知二次函数图象的对称轴为直线，部分图象如图所示，下列结论中：：：若为任意实数，则有：点在抛物线上时，方程的两根为，则，其中正确的结论的个数为（   ） A． B． C． D． 高频考点6：y=ax²+bx+c的最值 【典例精讲】（23-24九年级上·陕西渭南·期末）如图，，C是线段上一动点（不与点A，B重合），以为边作正方形，以为边作菱形（正方形与菱形在的同侧），连接，当时，面积的最大值为 ． 【变式训练】（24-25九年级上·广西南宁·阶段练习）在平面直角坐标系中，对“纵横值”给出如下定义：点是函数图象上任意一点，纵坐标y与横坐标x的差“”称为点A的“纵横值”．函数图象上所有点的“纵横值”中的最大值称为函数的“最优纵横值”． 例如：点在函数图象上，点A的“纵横值”为，函数图象上所有点的“纵横值”可表示为，当时，的最大值为，所以函数的“最优纵横值”为7． 根据定义，解答下列问题： (1)点的“纵横值”为________； (2)若二次函数的顶点在直线上，且最优纵横值为5，求c的值； (3)若二次函数的顶点在直线上，当时，求该二次函数的纵横值的范围． 高频考点7：利用二次函数对称性求最短路径 【典例精讲】（24-25九年级上·陕西西安·阶段练习）如图，抛物线与轴交于点，与轴交于点C． (1)求抛物线的解析式； (2)若点为该抛物线对称轴上一点，当最小时，求点的坐标． 【变式训练】（24-25九年级上·山东烟台·期末）如图所示，抛物线与轴交于点和点，与轴交于点，且 ，点、是直线上的两个动点，且（点在点的上方），给出以下结论：①；②且，则；③若是抛物线上除顶点外的任意一点横坐标，则；④的最小值是其中说法正确的有 ．（填写正确结论的序号） 高频考点8：待定系数法求二次函数解析式 【典例精讲】（24-25九年级上·江西新余·阶段练习）（1）已知关于x的方程0，若方程的一个根，求方程的另一个实数根及p的值； （2）已知二次函数的图象与x轴交于两点，且过点，求这个二次函数的解析式． 【变式训练】（24-25九年级上·北京·阶段练习）在平面直角坐标系中，抛物线经过点． (1)求的值； (2)求抛物线的对称轴（用含的式子表示）； (3)点，，在抛物线上，若，求的取值范围． 高频考点9：线段周长问题（二次函数综合) 【典例精讲】（24-25九年级上·海南省直辖县级单位·期中）如图，在平面直角坐标系中，二次函数的图象与x轴交于A、B两点，与y轴交于点．A点在原点的左侧，B点的坐标为．点P是抛物线上一个动点，且在直线的上方． (1)求这个二次函数的表达式； (2)在该抛物线的对称轴上是否存在点Q，使得的周长最小？若存在，求出Q点的坐标；若不存在，请说明理由； (3)当点P运动到什么位置时，四边形的面积最大，并求出此时点P的坐标和四边形面积的最大值． 【变式训练】（24-25九年级上·内蒙古呼伦贝尔·期末）如图，已知二次函数的图象与x轴交于A、B两点，其中点A的坐标为，与y轴交于点C，点在抛物线上； (1)求抛物线的解析式； (2)抛物线的对称轴上是否存在点P，使得周长最小，若存在，求出P点的坐标及周长的最小值． 高频考点10：面积问题（二次函数综合） 【典例精讲】（24-25九年级上·陕西渭南·期末）如图，抛物线与x轴交于、B两点，与y轴交于点C． (1)求抛物线的函数解析式； (2)P是抛物线上的点，且点P的横坐标是3，求的面积． 【变式训练】（24-25九年级上·辽宁鞍山·期末）如图，在平面直角坐标系中，是等腰直角三角形，,，，抛物线的图象经过C点． (1)求抛物线的解析式； (2)平移该抛物线的对称轴所在直线L．当L移动到何处时，恰好将的面积分为相等的两部分？ (3)点P是抛物线上一动点，是否存在点P，使四边形为平行四边形？若存在，求出P点坐标；若不存在，说明理由． 高频考点11：角度问题（二次函数综合） 【典例精讲】（24-25九年级上·福建福州·期中）已知抛物线与轴相交于，两点（点在点的左侧），与轴交于点，对称轴为直线． (1)求的长； (2)点为上方抛物线上的一动点，若的面积是面积的一半，求点的横坐标； (3)过点的直线与抛物线的另一个交点为，若，求点的坐标． 【变式训练】（24-25九年级上·湖北·阶段练习）在平面直角坐标系中，抛物线与直线交于A，B两点，点A在y轴上，点B的横坐标为，点P是抛物线上不与A，B重合的一动点，点的横坐标为m． (1)求c的值． (2)如图，点A与点C关于抛物线的对称轴对称，当点P在AC上方的抛物线上时，若AC平分，求m的值． (3)当点P在y轴右侧的抛物线上运动时，过点P作交y轴于点M，作轴交AB于点N，设四边形的周长为l． ①求l关于m的函数解析式； ②若点都在l关于m的函数图象上，当时，直接写出m的取值范围． 高频考点12：求抛物线与x轴的交点坐标 【典例精讲】（24-25九年级上·湖北恩施·阶段练习）抛物线部分图象如图所示，过点，顶点． (1)求抛物线的解析式及它与轴的交点坐标； (2)结合函数图象，直接写出当时，的取值范围是__________． (3)结合函数图象，直接写出当时，的取值范围是__________． 【变式训练】（24-25九年级上·吉林·期中）如图，抛物线与x轴分别交于A，B两点（点A在点B的左侧），与y轴交于点C，在其对称轴上有一动点M，连接，则当的周长最小时，点M的坐标是 ． 高频考点13：求抛物线与y轴的交点坐标 【典例精讲】（2025·山西运城·三模）如图，二次函数的图象与轴交于、两点，与轴交于点，顶点为，下列结论正确的是（    ） A． B．该函数图象与轴的交点的纵坐标是 C．当时，函数值 D．当时，随的增大而增大 【变式训练】（24-25九年级上·山西吕梁·期中）综合与探究 如图，平面直角坐标系中，抛物线与轴交于A，B两点，与轴交于点，抛物线的对称轴与轴交于点．已知，点是第一象限抛物线上对称轴右侧的一个动点．设点的横坐标为．    (1)求抛物线的函数表达式，并直接写出点C，D的坐标． (2)点P运动到什么位置时，的面积最大，求出此时点坐标和的最大面积． 高频考点14：抛物线与x轴的交点问题 【典例精讲】（24-25九年级上·浙江衢州·期末）如图，二次函数为常数的图象与轴的一个交点为，则关于的一元二次方程为常数的两实数根是（ ） A．， B．， C．， D．， 【变式训练】（23-24九年级上·天津和平·期末）已知抛物线与轴有两个交点，．现有如下结论： ①此抛物线的对称轴为直线； ②若抛物线开口向下，则的取值范围是； ③此抛物线过定点； ④若时，有，，则的取值范围是． 其中正确结论的个数是（   ） A．4 B．3 C．2 D．1 高频考点15：根据二次函数图象确定相应方程根的情况 【典例精讲】（24-25九年级上·江苏盐城·期末）老师给出了二次函数的部分对应值如表： x … 0 1 3 5 … y … 7 0 7 … 同学们讨论得出了下列结论：①抛物线的开口向上；②抛物线的对称轴为直线；③当 时，；④是方程 的一个根；⑤若，是抛物线上从左到右依次分布的两点，则．其中正确的是（   ） A．①③④⑤ B．②③④ C．①③⑤ D．③④⑤ 【变式训练】（24-25九年级上·湖北荆门·阶段练习）如图，抛物线的顶点的坐标为，与轴的一个交点位于0和1之间，则以下结论：①；②；③若抛物线经过点，，则；④若关于的一元二次方程无实数根，则．其中正确结论有（  ）个． A．1 B．2 C．3 D．4 高频考点16：利用不等式求自变量或函数值的范围 【典例精讲】（2024·河北邢台·一模）在直角坐标系中，抛物线（是常数，）与轴相交于点． (1)若抛物线经过点，求的值； (2)已知，若，有最大值9，求的值； (3)①求点坐标； ②已知，若抛物线经过，和，且，求的取值范围． 【变式训练】（24-25九年级上·广西南宁·期中）如图是抛物线图象的一部分，抛物线的顶点是点，对称轴是直线，且抛物线与轴的一个交点为；直线的解析式为，下列结论：①；②；③方程有一个实数根；④抛物线与轴的另一个交点是；⑤当时，则，其中正确的是（   ） A．①②③ B．③⑤ C．①④ D．④⑤ 高频考点17：根据交点确定不等式的解集 【典例精讲】（24-25九年级上·湖北襄阳·期末）抛物线与轴交于、两点，与轴交于点，过，两点的直线． (1)求抛物线的解析式及顶点坐标为 ； (2)当时，函数值的取值范围； (3)当时，自变量的取值范围． 【变式训练】（24-25九年级上·广东广州·期中）如图，二次函数经过点． (1)求该二次函数的解析式； (2)利用图象的特点填空： ①当________时，方程； ②不等式的解集为 ． 高频考点18：图形问题（实际问题与二次函数) 【典例精讲】（24-25九年级上·吉林长春·期末）如图，用一段长为的篱笆围成一个一边靠墙的矩形菜园，墙长为．设矩形菜园的边的长为m，面积为S，其中．有下列结论： ①与之间的函数关系为； ②的取值范围为； ③的长只有一个值满足该矩形菜园的面积为； ④矩形菜园的面积的最大值为． 其中，正确结论是（   ） A．①②④ B．①②③ C．②③④ D．①③④ 【变式训练】（24-25九年级上·重庆永川·期中）某农场要建一个长方形的养鸡场，鸡场的一边靠墙（墙长25）另外三边用木栏围成，木栏长． (1)若养鸡场面积为，求鸡场垂直于墙的一边的长； (2)养鸡场面积能达到最大吗？如果能，请你求出最大面积；如果不能，请说明理由． 高频考点19：图形运动问题（实际问题与二次函数) 【典例精讲】（2025·安徽合肥·三模）如图，菱形中，，P点从B点出发，以的速度沿运动，过P点作，交折线于点E，设P点运动的时间，的面积为．则S与t的函数关系大致为（    ） A． B． C． D． 【变式训练】（24-25九年级上·黑龙江大庆·期中）如图，在中，，，，点从点开始沿向点以的速度移动，点从开始沿向点以的速度移动，如果点，同时从点出发，试问： (1)出发多少时间时，点之间的距离等于？ (2)面积的是否有最大值？若有是多少？此时时间是多少？ 高频考点20：拱桥问题（实际问题与二次函数) 【典例精讲】（24-25九年级上·安徽合肥·阶段练习）如图是一座悬索桥侧面示意图．桥塔与桥塔均垂直于桥面，缆索段与缆索段、缆索段均呈抛物线型．缆索段所在的抛物线与缆索段所在的抛物线关于所在的直线对称，桥塔与桥塔之间的距离（桥塔的粗细忽略不计），缆索段的最低点到的距离．请你建立适当的坐标系，解答问题： (1)在你所建坐标系下，求缆索段所在的抛物线的函数解析式； (2)若，求的长． 【变式训练】（24-25九年级上·江西上饶·阶段练习）南昌生米大桥（图1）是南昌市中南部城市主干道的重要构成部分之一，横跨赣江，是一座集现代设计美学与工程技术创新于一体的标志性建筑．如图2，主桥拱可近似地看作抛物线的一部分，桥面的一部分可看作水平线段，其跨度为，桥拱的最大高度为．以点为原点，线段所在直线为轴，过点垂直于的直线为轴，构建平面直角坐标系． (1)求主桥拱所在抛物线的解析式； (2)如图2，若在两端之间的桥面与桥拱之间铺设满垂直于桥面的5根杆状景观灯，且相邻景观灯的间距、端点，到相邻景观灯之间的距离均相等，已知杆状景观灯平均的铺设成本为270元/，求5根景观灯的铺设成本． 高频考点21：销售问题（实际问题与二次函数) 【典例精讲】（24-25九年级上·安徽芜湖·阶段练习）小赵经营一家网店，销售一款成本为80元的冬装．他销售一段时间后发现，当售价为240元时，每周可销售200件，售价每下降1元，可多销售2件．设该冬装降价元，每周可获利润元． (1)试用含的式子表示，并求当取最大值时，该款冬装应降价多少元？ (2)小赵准备减少库存，且每周的利润不低于32000元，则该款冬装最多降价多少元？ 【变式训练】（24-25九年级上·辽宁鞍山·阶段练习）一位助农主播利用“互联网+”销售一种农业加工品）这种加工品的成本价为10元/件，已知销售价不低于成本价，且物价部门规定这种加工品的销售利润率不高于，市场调查发现，当销售价定为12元/件时，每天售出220件，售价每上涨2元，每天销售量减少20件，设该加工品每天的销售量y（件），销售价x（元/件），每天的销售利润W（元）． (1)求y与x之间的函数表达式，并写出自变量x的取值范围； (2)求每天的销售利润W（元）与销售价x（元/件）之间的函数关系式，并求出每件销售价为多少元时，每天的销售利润最大？最大利润是多少？（销售利润=销售量×每件的利润） 高频考点22：投球问题（实际问题与二次函数) 【典例精讲】（24-25九年级上·辽宁鞍山·阶段练习）在投掷铅球时，铅球所经过的路线可以看作抛物线的一部分．如图，是小明在校运动会上某次试投中铅球所经过的路线．这次试投时，铅球从出手到落地的过程中，铅球的水平距离与竖直高度的几组数据如下： 水平距离（米） 0 1 2 3 4 5 竖直高度（米） 3 (1)根据以上数据，铅球运行的竖直高度的最大值为______米； (2)求小明这次试投的投掷距离（出手点与着陆点的水平距离）． 【变式训练】（24-25九年级上·湖北恩施·阶段练习）九年级的一名高个子男生推铅球，铅球的运动轨迹可看作某条抛物线的一部分，已知这名男生的出手处A点离地面的高度为2米，当球运动到点B最高处5米时，离该男生站立地点O的水平距离为6米．以点O为原点建立如图所示的坐标系． (1)求抛物线的解析式（不要求写自变量的取值范围）； (2)求该男生把铅球推出去多远？ (3)有一个横截面为矩形的竹筐，长米，高米（不考虑竹筐的宽度），若铅球可落入筐内，请求竹筐的边到O点的水平距离m的取值范围． 高频考点23：喷水问题（实际问题与二次函数) 【典例精讲】（24-25九年级上·陕西西安·阶段练习）如图所示，有一建筑工地从高的窗口处用水管向外喷水，喷出的水呈抛物线状，如果抛物线的最高点离墙，离地面． (1)求抛物线的解析式； (2)求水流落地点离墙的距离． 【变式训练】（2025·新疆喀什·模拟预测）某景观公园计划修建一个人工喷泉，从与地面成一定角度的喷水枪喷出的水流路径可以看作是抛物线的一部分．记喷出的水流距喷水枪出水口的水平距离为米，距地面的竖直高度为米，现测得与的几组对应数据如下： 水平距离 0 1 2 3 4 5 6 … 垂直高度 … 小华根据学习函数的经验，对函数随自变量的变化而变化的规律进行了探究．下面是小华的探究过程，请补充完整： (1)在平面直角坐标系中，描出以表中各组对应数据为坐标的点，并画出该函数的图象； (2)结合表中所给数据或所画图象，得出水柱最高点距离地面的垂直高度为___________米； (3)求出关于的函数关系式； (4)结合函数图象，解决问题：该景观公园准备在距喷水枪出水口的水平距离米处修建一个大理石雕塑，使喷水枪喷出的水流刚好落在雕塑顶端，则大理石雕塑的高度约为___________米．（结果精确到米）（注：忽略大理石雕塑宽度等其他因素） 高频考点24：增长率问题（实际问题与二次函数) 【典例精讲】（2021·江苏盐城·一模）为积极响应国家“旧房改造”工程，该市推出《加快推进旧房改造工作的实施方案》推进新型城镇化建设，改善民生，优化城市建设． （1）根据方案该市的旧房改造户数从2020年底的3万户增长到2022年底的4.32万户，求该市这两年旧房改造户数的平均年增长率； （2）该市计划对某小区进行旧房改造，如果计划改造300户，计划投入改造费用平均20000元/户，且计划改造的户数每增加1户，投入改造费平均减少50元/户，求旧房改造申报的最高投入费用是多少元？ 【变式训练】为了打造“清洁能源示范城市”，东营市2016年投入资金2560万元用于充电桩的安装，并规划投入资金逐年增加，2018年在2016年的基础上增加投入资金3200万元. （1）从2016年到2018年，东营市用于充电桩安装的资金年平均增长率为多少？ （2）2019年东营市计划再安装A、B两种型号的充电桩共200个.已知安装一个A型充电桩需3.5万元，安装一个B型充电桩需4万元，且A型充电桩的数量不多于B型充电桩的一半.求A、B两种型号充电桩各安装多少个时，所需资金最少，最少为多少？ 高频考点25：其他问题（实际问题与二次函数) 【典例精讲】（24-25九年级上·河北邯郸·阶段练习）如图是南水北调某段河道的截面图．河道轮廓为某抛物线的一部分，嘉琪在枯水期测得河道宽度米．河水水面截痕米，水面到河岸水平线的距离为米．以点O为坐标原点建立如图所示的平面直角坐标系． 解决如下问题： (1)求河道轮廓的函数解析式，并求此时最大水深为多少米？ (2)在丰水期，测得水面到的距离为米． ①求此时水面截痕的长； ②嘉琪乘坐小船游弋到河道正中央时，向右侧河岸抛出一个小球，小球恰好落在点E处，小球飞行过程中到水面最大距离是8米，若小球飞行轨迹的形状保持不变，要想让小球飞到河岸（即点A右侧）上，求嘉琪的小船至少要向右划行多少米？ 【变式训练】（2025·陕西渭南·三模）滑板是一项富有激情与挑战的极限运动，U型池则是它绽放魅力的重要舞台，滑手在连续的U型池滑道间展开挑战，这不仅能考验滑手的综合能力，也为观众带来极具观赏性的视觉盛宴．滑手在U型池之间转换时，脱离滑道起跳后的飞行路线可近似看作是抛物线的一部分．如图，某次挑战中，滑手小红尝试从滑道①转换到滑道②，已知小红从起跳到着陆的过程中，起跳点到滑道底部所在直线的距离为，当离起跳点水平距离为时，小红到滑道底部所在直线的距离达到了最大值，现以滑道底部所在直线为x轴，垂直于滑道底部所在直线且经过起跳点的直线为y轴建立平面直角坐标系（滑道①、②底部在一条直线上）． (1)求该抛物线的函数表达式； (2)若滑手的着陆点位于下一个U型池滑道的内部，则视为滑手成功完成转换，已知滑道②与滑道①高度相同，两者水平距离为，请通过计算说明小红能否转换成功？ 高频考点26：面积问题（二次函数综合） 【典例精讲】（24-25九年级上·广东江门·阶段练习）在平面直角坐标系中，二次函数的图象与轴交于、两点，与轴交于点，且顶点的坐标为． (1)求二次函数的解析式； (2)如图，点，若点是二次函数图象上的点，且在直线的上方，连接，．求面积的最大值及此时点的横坐标． 【变式训练】（24-25九年级上·吉林·期末）如图，已知二次函数的图象与x轴交于点、，与y轴交于点C．点P是抛物线上一点，其横坐标为，且点P不与点C重合． (1)写出点C的坐标为______；线段的长为______． (2)写出的面积______． (3)抛物线上存在点P，使的面积等于的面积，利用上面的计算结果，求点P的坐标． 高频考点27：线段周长问题（二次函数综合） 【典例精讲】（24-25九年级上·贵州遵义·阶段练习）如图，抛物线经过点，与x轴交于A，B两点，连接，M为线段上的一个动点，过点M作轴，交抛物线于点P，交于点Q．过点P作，垂足为N，设点M的坐标为，则的最大值 ． 【变式训练】（2025·贵州贵阳·二模）如图①，在平面直角坐标系中，二次函数的图象交轴于，两点，交轴于点，若点的坐标为，点是该二次函数图象上的一个动点，且在第一象限． (1)求二次函数的表达式； (2)连接，过点作轴于点，交线段于点，当点运动到什么位置时，线段有最大值？请求出点的坐标和的最大值； (3)连接，，若关于轴的对称图形是，是否存在点，使得四边形为菱形？若存在，求出点的坐标，若不存在，请说明理由． 高频考点28：角度问题（二次函数综合） 【典例精讲】（24-25九年级上·广东韶关·期末）如图，直线与x轴、y轴分别交于B、C两点，抛物线经过点B、C，与x轴另一交点为A． (1)求抛物线的解析式； (2)若点M是抛物线上的一点，使得，请求出点M的坐标； (3)点在第一象限的抛物线上，连接．在对称轴左侧的抛物线上是否存在一点P，满足？如果存在，请求出点P的坐标；如果不存在，请说明理由． 【变式训练】（24-25九年级上·山东淄博·期末）已知顶点在坐标原点的抛物线经过，两点． (1)求该抛物线的表达式； (2)如图1，过点的直线交抛物线于另一点，轴于点，连接．若平分，求点的坐标； (3)如图2，为轴正半轴上一点，为第一象限内抛物线上一点，点的横坐标为，将点绕点逆时针旋转，得到的对应点恰好落在拋物线上，过点的直线交抛物线于另一点，求证：的面积为定值，并求出该定值． 1．（2025·四川广元·中考真题）已知抛物线（a，b，c是常数且）的自变量x与函数y的部分对应值如下表： x … 0 1 2 3 4 … y … m n s … 其中．以下结论：①；②若抛物线经过点则；③关于x的方程有两个不相等的实数根；④；⑤当时，y的最小值是1，则或4．其中正确的结论有（   ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 2．（2025·四川乐山·中考真题）已知二次函数的图象经过、两点，有下列结论： ①二次函数的图象开口向上，对称轴为直线； ②当时，二次函数的图象与轴有两个交点； ③若，则； ④当时，二次函数的图象与的图象有两个交点，则． 其中，正确的结论有（   ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 3．（2025·山东青岛·中考真题）将二次函数的图象在轴下方的部分以轴为对称轴翻折到轴上方，得到如图所示的新函数图象，下列对新函数的描述正确的是（   ） A．图象与轴的交点坐标是 B．当时，函数取得最大值 C．图象与轴两个交点之间的距离为 D．当时，的值随值的增大而增大 4．（2025·四川资阳·中考真题）如图，在平面直角坐标系中，O为坐标原点，抛物线与y轴相交于点，且抛物线的对称轴为直线．给出以下4个结论：①；②对于任意实数m，的值不小于2；③若P是对称轴上的一点，则的最小值为；④若点在抛物线上，满足且，则一定有．其中，所有正确结论的序号为 ． 5．（2025·四川资阳·中考真题）如图，在平面直角坐标系中，抛物线与轴相交于两点（点在点的左边），与轴相交于点，且抛物线的顶点坐标为． (1)求抛物线的表达式； (2)是抛物线上位于第四象限的一点，点，连接相交于点，连接．若与的面积相等，求点的坐标； (3)是抛物线上的两个动点，分别过点作直线的垂线段，垂足分别为．是否存在点，使得以为顶点的四边形是正方形？若存在，求该正方形的边长；若不存在，说明理由． 基础夯实 1．（24-25九年级上·湖南邵阳·期末）二次函数的顶点坐标是（    ） A． B． C． D． 2．（24-25九年级上·甘肃嘉峪关·期末）对于抛物线，下列说法正确的是（    ） A．开口向下，顶点坐标 B．开口向上，顶点坐标 C．开口向下，顶点坐标 D．开口向上，顶点坐标 3．（24-25九年级上·河南郑州·阶段练习）已知抛物线的对称轴为直线，且经过点，，试比较和的大小： ．（填“”，“”或“”） 4．（24-25九年级上·吉林·期末）将抛物线先向下平移2个单位长度，再向左平移3个单位长度后，得到的抛物线的解析式为 ． 5．（24-25九年级上·福建泉州·阶段练习）已知二次函数（为常数）． (1)若该函数图象经过点，试求的值和图象的顶点坐标； (2)在（1）的情况下，当时，求的取值范围； 培优拔高 6．（24-25九年级上·湖南邵阳·期末）一次函数的图象与二次函数的图象有两个交点，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 7．（24-25九年级上·江西南昌·期末）如图，抛物线的顶点坐标为，下列说法错误的是（   ） A． B． C． D．抛物线向下平移个单位后，一定经过 8．（24-25九年级上·浙江金华·期末）已知抛物线上有三点，且，则的取值范围是 ． 9．（24-25九年级上·山东枣庄·期末）已知开口向下的抛物线与x轴交于点，对称轴为直线．下列结论：①；②；③函数的最大值为；④（是一个常数）．其中结论正确的是 （填序号）． 第 1 页 共 11 页 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