专题22.2 二次函数与一元二次方程（知识梳理+10个考点讲练+中考真题演练+难度分层练 共41题）-2025-2026学年人教版数学九年级上册同步培优精编讲练

专题22.2 二次函数与一元二次方程 （知识梳理+10个考点讲练+中考真题演练+难度分层练 共41题） 知识梳理 技巧点拨 1 知识点梳理1：二次函数与一元二次方程的关系 1 知识点梳理2：抛物线与不等式的关系 3 优选题型 考点讲练 4 考点1：求抛物线与x轴的交点坐标 4 考点2：求抛物线与y轴的交点坐标 5 考点3：已知二次函数的函数值求自变量的值 5 考点4：抛物线与x轴的交点问题 6 考点5：根据二次函数图象确定相应方程根的情况 7 考点6：求x轴与抛物线的截线长 8 考点7：图象法确定一元二次方程的近似根 9 考点8：图象法解一元二次不等式 10 考点9：利用不等式求自变量或函数值的范围 11 考点10：根据交点确定不等式的解集 11 中考真题 实战演练 12 难度分层 拔尖冲刺 13 基础夯实 13 培优拔高 16 知识点梳理1：二次函数与一元二次方程的关系 1.二次函数图象与x轴的交点情况决定一元二次方程根的情况 　　求二次函数(a≠0)的图象与x轴的交点坐标，就是令y＝0，求中x的值的问题．此时二次函数就转化为一元二次方程，因此一元二次方程根的个数决定了抛物线与x轴的交点的个数，它们的关系如下表： 判别式 二次函数 一元二次方程 图象 与x轴的交点坐标 根的情况 △＞0 抛物线与x轴交于，两点，且， 此时称抛物线与x轴相交 一元二次方程 有两个不相等的实数根 △＝0 抛物线与x轴交切于这一点，此时称抛物线与x轴相切 一元二次方程 有两个相等的实数根 △＜0 抛物线与x轴无交点，此时称抛物线与x轴相离 一元二次方程 在实数范围内无解（或称无实数根） 方法归纳： 　　 二次函数图象与x轴的交点的个数由的值来确定的. 　 (1)当二次函数的图象与x轴有两个交点时，，方程有两个不相等的实根； 　　(2)当二次函数的图象与x轴有且只有一个交点时，，方程有两个相等的实根； 　　(3)当二次函数的图象与x轴没有交点时，，方程没有实根. 2.抛物线与x轴的两个交点之间的距离公式 当△＞0时，设抛物线与x轴的两个交点为A(，0)，B(，0)，则、是一元二次方程的两个根．由根与系数的关系得，． ∴ 即 （△＞0） 知识点梳理2：抛物线与不等式的关系 二次函数(a≠0)与一元二次不等式(a≠0)及(a≠0)之间的关系如下： 判别式 抛物线与x轴的交点 不等式的解集 不等式的解集 △＞0 或 △＝0 （或） 无解 △＜0 全体实数 无解 注：a＜0的情况请同学们自己完成． 重点归纳： 抛物线在x轴上方的部分点的纵坐标都为正，所对应的x的所有值就是不等式的解集；在x轴下方的部分点的纵坐标都为负，所对应的x的所有值就是不等式的解集．不等式中如果带有等号，其解集也相应带有等号． 考点1：求抛物线与x轴的交点坐标 【典例精讲】（24-25九年级上·福建福州·阶段练习）如图，在平面直角坐标系中，已知抛物线与x轴交于，两点，与y轴交于点D，抛物线的顶点为E，直线与抛物线相交于A，C两点． (1)求抛物线的解析式． (2)在x轴上方的抛物线上是否存在一点M，使，若存在，请直接写出所有满足要求的点M的坐标；若不能，请说明理由． 【变式训练】（24-25九年级上·湖北襄阳·阶段练习）如图，在平面直角坐标系中，已知抛物线与x轴交于点A，C（点A在点C的右边），与y轴交于点B，直线经过点A，B． (1)直接写出A，B，C三点的坐标； (2)求直线的函数解析式； (3)P是x轴上方抛物线上的一个动点，过点P作轴交直线于点Q，设点P的横坐标为，的长为L．求L关于m的函数解析式，并写出m的取值范围． 考点2：求抛物线与y轴的交点坐标 【典例精讲】（24-25九年级上·贵州遵义·阶段练习）已知二次函数图象的对称轴为直线，与y轴交于点，与x轴交于点B，C（点B在点C的左侧）． (1)求该二次函数的表达式； (2)求的面积． 【变式训练】24-25九年级上·重庆合川·期中）已知二次函数，下列说法正确的是（   ） A．顶点坐标为 B．函数图象与轴的交点坐标是 C．函数的最小值是 D．对称轴为直线 考点3：已知二次函数的函数值求自变量的值 【典例精讲】（2025·福建南平·二模）已知抛物线，点，点，若抛物线与线段有且只有一个交点，则的取值范围为（   ） A．4或 B．4或 C．4或 D．4或 【变式训练】（24-25九年级上·吉林·期末）如图，在平面直角坐标系中，已知抛物线经过点、，点、、、在抛物线上，其横坐标分别为、、、，连接、． (1)求抛物线的解析式； (2)当点与抛物线的顶点重合时，求点的坐标； (3)当的边与轴垂直时，求点与点的纵坐标； (4)连接，以为对角线作矩形，且轴，当抛物线在矩形内部的部分所对应的函数值随的增大而减小时，直接写出的取值范围． 考点4：抛物线与x轴的交点问题 【典例精讲】（24-25九年级上·吉林·期末）如图，已知二次函数的图象与轴交于，顶点是，则以下结论：①；②；③；④若，则．其中正确的有（   ） A．4个 B．3个 C．2个 D．1个 【变式训练】（24-25九年级上·广东广州·期末）如图，抛物线与直线相交于点A和点． (1)求抛物线函数解析式； (2)结合图象写出不等式的解集； (3)将抛物线向上平移_____个单位与直线只有一个交点． 考点5：根据二次函数图象确定相应方程根的情况 【典例精讲】（2025九年级上·全国·专题练习）二次函数（a，b，c为常数，且）中的自变量x与函数值y的部分对应值如下表： x 0 1 3 y 3 5 3 根据上述信息回答问题： (1)一元二次方程的根是 ． (2)当时，x的取值范围是 ． 【变式训练】（24-25九年级上·江西赣州·阶段练习）已知抛物线（a，b，c是常数，）的自变量x与函数值y的部分对应值如下表： x … 0 1 2 … y … m 0 n … (1)根据以上信息，可知抛物线开口向 ，对称轴为 ； (2)求抛物线的表达式及m，n的值； (3)请在图1中画出所求的抛物线．设点P为抛物线上的动点，的中点为，描出相应的点，再把相应的点用平滑的曲线连接起来，猜想该曲线是哪种曲线？ (4)设直线与抛物线及（3）中的点所在曲线都有两个交点，交点从左到右依次为，，，，请根据图象直接写出线段，之间的数量关系 ． 考点6：求x轴与抛物线的截线长 【典例精讲】（2025·安徽合肥·一模）已知，是抛物线上的两个不同点． (1)若，两点都在直线上，求线段的长； (2)若抛物线关于轴对称，直线过坐标原点，求的值； (3)若点，在抛物线对称轴的左侧，，为整数，且，证明：为正值． 【变式训练】（2025·浙江·二模）在平面直角坐标系中，已知抛物线． (1)当时， ①求抛物线的顶点坐标． ②将抛物线向下平移个单位，若平移后的抛物线过点，且与轴两交点之间的距离为6，求的值． (2)已知点，在抛物线上，且，求的取值范围． 考点7：图象法确定一元二次方程的近似根 【典例精讲】（24-25九年级上·河南周口·期中）小明用探索方程（、、为常数）的根，作出如图所示的图象，并求得一个近似根，则方程的另一个近似根（精确到）为（    ） A． B． C． D． 【变式训练】（24-25九年级上·浙江宁波·阶段练习）二次函数 （a，b，c是常数，且）的自变量x与函数值y的部分对应值如表： x … 0 3 4 … y … 0 4 m 0 … (1)直接写出m的值，并求该二次函数的解析式； (2)当时，求函数值y的取值范围． (3)写出y随x的增大而减小的自变量x的取值范围． (4)若方程有两个不相等的实数根，直接写出k的取值范围． 考点8：图象法解一元二次不等式 【典例精讲】（24-25九年级上·广东江门·期中）已知抛物线的顶点坐标为，且图象经过点，交轴于、两点， (1)求此二次函数的解析式； (2)求、点坐标， (3)根据图象，当函数值时，写出自变量的取值范围． 【变式训练】．（2025·贵州六盘水·一模）如图，已知抛物线的图象与x轴交于A，B两点，点，与y轴交于点C． (1)求抛物线的顶点坐标； (2)若，是抛物线上的两点，且，求c的取值范围； (3)将直线向上平移m个单位，使平移后的直线与抛物线只有一个交点，求m的值． 考点9：利用不等式求自变量或函数值的范围 【典例精讲】（2025·安徽安庆·模拟预测）抛物线的顶点纵坐标与抛物线的顶点纵坐标之和为4． (1)求的值； (2)已知为抛物线上一点，为抛物线上一点． （i）若仅存在一个正数，使得，求的最大值； （ii）若，且当时，总有，求的取值范围． 【变式训练】（24-25九年级上·广东广州·阶段练习）如图，二次函数的图象与轴交于点，与轴的交点在与之间（不包括这两点），对称轴为直线．则以下结论中正确的有（    ） ； ； ；④；⑤若为任意实数，则． A．个 B．个 C．个 D．个 考点10：根据交点确定不等式的解集 【典例精讲】（24-25九年级上·贵州遵义·期末）已知二次函数的与的部分对应值如表： 1 5 0 5 9 5 下列结论： ①； ②关于的一元二次方程有两个相等的实数根； ③当时，的取值范围为； ④若点，均在二次函数图象上，则； ⑤满足的的取值范围是或． 其中正确结论的有（   ）个． A．5 B．4 C．3 D．2 【变式训练】（24-25九年级上·湖北襄阳·阶段练习）如图，二次函数（）的图象与x轴的一个交点坐标为，对称轴为直线，下列五个结论：①；②；③；④当时，；⑤，其中正确结论的个数为（   ） A．2个 B．3个 C．4个 D．5个 1．（2025·四川乐山·中考真题）定义：在平面直角坐标系中，到原点的距离等于1的点叫做“单位圆点”． （1）下列三个函数的图象上存在“单位圆点”的是 （填番号）； ①；②；③． （2）若一次函数的图象上存在“单位圆点”，则的取值范围为 ． 2．（2025·江苏苏州·中考真题）已知是关于x的一元二次方程的两个实数根，其中，则 ． 3．（2025·四川德阳·中考真题）在综合实践活动中，同学们将对学校的一块正方形花园进行测量规划使用，如图，点处是它的两个门，且，要修建两条直路，与相交于点（两个门的大小忽略不计）． (1)请问这两条路是否等长？它们有什么位置关系，说明理由； (2)同学们测得米，米，根据实际需要，某小组同学想在四边形地上再修一条米长的直路，这条直路的一端在门处，另一端在已经修建好的路段或花园的边界上，并且另一端与点B处的距离不少于米，请问能否修建成这样的直路，若能，能修建几条，并说明理由． 4．（2025·四川南充·中考真题）设，是关于的方程的两根． (1)当时，求及m的值． (2)求证：． 5．（2024·青海·中考真题）（1）解一元二次方程：； （2）若直角三角形的两边长分别是（1）中方程的根，求第三边的长． 基础夯实 1．（24-25九年级上·江苏盐城·期末）若点 ，，在抛物线上，则下列结论正确的是（   ） A． B． C． D． 2．（24-25九年级上·广东广州·阶段练习）抛物线的顶点为，与x轴的一个交点A在点和之间，其部分图象如图，则以下结论：①；②当时，y随x增大而减小；③；④若方程没有实数根，则．其中正确结论的个数是(　　） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 3．（24-25九年级上·山东德州·阶段练习）二次函数的图象与轴有交点，则k的取值范围是（ ） A． B．且 C． D．且 4．（24-25九年级上·福建福州·阶段练习）已知抛物线与轴有两个交点，则的取值范围是 ． 5．（24-25九年级上·内蒙古包头·阶段练习）一次函数与二次函数的图象交于A、B两点．若，则x的取值范围是 ． 6．（23-24九年级上·广东河源·阶段练习）如图，在平面直角坐标系中，直线与抛物线相交于点A、B．结合图象，判断下列结论：①当时，；②是方程的一个解；③若，是抛物线上的两点，则；④对于抛物线．当时，的取值范围是．其中正确结论序号是 ． 7．（24-25九年级上·广东广州·阶段练习）抛物线的部分图象如图所示，则当时，的取值范围是 ． 8．（24-25九年级上·安徽合肥·阶段练习）已知抛物线过点和点．抛物线的对称轴为直线． (1)当时，比较的大小； (2)已知点在该抛物线上，若对于，都有，求的取值范围． 9．（24-25九年级上·浙江衢州·期末）已知抛物线 (1)抛物线的对称轴为直线，且经过点 ①求抛物线的函数表达式． ②若点，都在此抛物线上，求m的值． (2)若点落在此抛物线上，求证：． 10．（24-25九年级上·广西河池·期中）函数的图象如图所示，结合图象回答下列问题：    (1)方程的两个根为 ； (2)当时，则x的取值范围为 ；当时，则变量y的取值范围为 ； (3)若方程有实数根，则k的取值范围是 ． 培优拔高 11．（24-25九年级上·甘肃嘉峪关·期末）已知二次函数的图象如图所示，有下列4个结论：①；②；③；④；其中正确的结论有（    ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 12．（24-25九年级上·天津和平·期末）二次函数的部分图象如图所示，图象过点，对称轴为直线，下列结论其中正确的结论有（   ） （1）； （2）； （3）若点、点、点在该函数图象上，则； （4）若方程的两根为和，且，则． A．2个 B．3个 C．4个 D．5个 13．（24-25九年级上·陕西西安·阶段练习）如图，抛物线过点A、B，已知，点B在点与点之间（包含端点），顶点的坐标为．则下列结论：①；②；③；④对于任意实数m，总成立；⑤关于x的方程没有实数根．其中结论正确的个数为（   ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 14．（24-25九年级上·湖北武汉·期末）抛物线的对称轴是直线，且过点，顶点位于第二象限，其部分图象如图所示，给出以下判断：①；② ；③抛物线上两点与，若有且，则；④直线与抛物线两个交点的横坐标分别为与，则． 其中结论正确的是 ．    15．（24-25九年级上·北京·阶段练习）如图，二次函数的图象的对称轴是直线，与轴的一个交点为，则不等式的解集为 ． 16．（24-25九年级上·湖北恩施·阶段练习）已知抛物线经过点和点，且对称轴在y轴的左侧，下列结论：①；②；③抛物线经过点；④关于x的一元二次方程有两个不相等的实数根．其中正确的结论是 （填序号）． 17．（24-25九年级上·湖北武汉·阶段练习）抛物线（a，b，c是常数，）经过，两点，且．下列结论：①； ②若，则；③不等式的解集为；④若关于x的方程无实数根，则．其中正确的是 （填写序号）． 18．（2025·湖北武汉·模拟预测）抛物线是常数，经过两点，且． 下列五个结论： ①； ②； ③若抛物线经过点，则； ④若关于的不等式的解集为，则； ⑤点在抛物线上，若，总有，则． 其中正确的结论是 （填写序号）． 19．（2025·四川南充·一模）如图，二次函数的图象与x轴交于点，与y轴的交点B在与之间（不包括这两点），对称轴为直线．下列结论：①；②若点，点是函数图象上两点，则；③当时，将抛物线先向上平移4个单位，再向右平移1个单位，得到抛物线；④；⑤． 其中正确的有 （填序号） 20．（24-25九年级上·江苏泰州·阶段练习）【定义与性质】 定义：如图，记二次函数和的图象分别为抛物线和，若抛物线的顶点在抛物线上，则称是的伴随抛物线． 性质：①一条抛物线有无数条伴随抛物线； ②若是的伴随抛物线，则也是的伴随抛物线，即的顶点在上． 【理解与运用】 （1）证明性质②； （2）若二次函数和的图象都是抛物线的伴随抛物线，则______，______． 【思考与探究】 （3）设函数的图象为抛物线． ①若函数的图象为抛物线，且始终是的伴随抛物线，求，的值； ②在（3）①的条件下，若抛物线与轴有两个不同的交点，，请直接写出的取值范围． 第 1 页 共 11 页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题22.2 二次函数与一元二次方程 （知识梳理+10个考点讲练+中考真题演练+难度分层练 共41题） 知识梳理 技巧点拨 1 知识点梳理1：二次函数与一元二次方程的关系 1 知识点梳理2：抛物线与不等式的关系 3 优选题型 考点讲练 4 考点1：求抛物线与x轴的交点坐标 4 考点2：求抛物线与y轴的交点坐标 7 考点3：已知二次函数的函数值求自变量的值 8 考点4：抛物线与x轴的交点问题 11 考点5：根据二次函数图象确定相应方程根的情况 13 考点6：求x轴与抛物线的截线长 17 考点7：图象法确定一元二次方程的近似根 20 考点8：图象法解一元二次不等式 22 考点9：利用不等式求自变量或函数值的范围 25 考点10：根据交点确定不等式的解集 28 中考真题 实战演练 31 难度分层 拔尖冲刺 36 基础夯实 36 培优拔高 43 知识点梳理1：二次函数与一元二次方程的关系 1.二次函数图象与x轴的交点情况决定一元二次方程根的情况 　　求二次函数(a≠0)的图象与x轴的交点坐标，就是令y＝0，求中x的值的问题．此时二次函数就转化为一元二次方程，因此一元二次方程根的个数决定了抛物线与x轴的交点的个数，它们的关系如下表： 判别式 二次函数 一元二次方程 图象 与x轴的交点坐标 根的情况 △＞0 抛物线与x轴交于，两点，且， 此时称抛物线与x轴相交 一元二次方程 有两个不相等的实数根 △＝0 抛物线与x轴交切于这一点，此时称抛物线与x轴相切 一元二次方程 有两个相等的实数根 △＜0 抛物线与x轴无交点，此时称抛物线与x轴相离 一元二次方程 在实数范围内无解（或称无实数根） 方法归纳： 　　 二次函数图象与x轴的交点的个数由的值来确定的. 　 (1)当二次函数的图象与x轴有两个交点时，，方程有两个不相等的实根； 　　(2)当二次函数的图象与x轴有且只有一个交点时，，方程有两个相等的实根； 　　(3)当二次函数的图象与x轴没有交点时，，方程没有实根. 2.抛物线与x轴的两个交点之间的距离公式 当△＞0时，设抛物线与x轴的两个交点为A(，0)，B(，0)，则、是一元二次方程的两个根．由根与系数的关系得，． ∴ 即 （△＞0） 知识点梳理2：抛物线与不等式的关系 二次函数(a≠0)与一元二次不等式(a≠0)及(a≠0)之间的关系如下： 判别式 抛物线与x轴的交点 不等式的解集 不等式的解集 △＞0 或 △＝0 （或） 无解 △＜0 全体实数 无解 注：a＜0的情况请同学们自己完成． 重点归纳： 抛物线在x轴上方的部分点的纵坐标都为正，所对应的x的所有值就是不等式的解集；在x轴下方的部分点的纵坐标都为负，所对应的x的所有值就是不等式的解集．不等式中如果带有等号，其解集也相应带有等号． 考点1：求抛物线与x轴的交点坐标 【典例精讲】（24-25九年级上·福建福州·阶段练习）如图，在平面直角坐标系中，已知抛物线与x轴交于，两点，与y轴交于点D，抛物线的顶点为E，直线与抛物线相交于A，C两点． (1)求抛物线的解析式． (2)在x轴上方的抛物线上是否存在一点M，使，若存在，请直接写出所有满足要求的点M的坐标；若不能，请说明理由． 【答案】(1) (2)存在，点的坐标为 【思路引导】本题考查待定系数法求函数解析式，一次函数与抛物线交点问题，锐角三角函数，熟练掌握待定系数法求函数解析式是解题的关键． （1）由题意得：，即可求解； （2）由，利用待定系数法求得直线的表达式为：，再联立一次函数与抛物线解析式，求解即可． 【规范解答】（1）解：∵抛物线与x轴交于，两点， ∴， 即． （2）解：令，则 ∴点，则， ∵， ∴， 设 ∵点M在x轴上方，过点M作轴于N，如图， 则， ∴ ∵ ∴ ∴ ∴ ∴ 设直线的表达式为， 把，代入，得 ，解得： 则直线的表达式为：， 联立，得 解得： ；（舍去）， ∴点的坐标为：． 【变式训练】（24-25九年级上·湖北襄阳·阶段练习）如图，在平面直角坐标系中，已知抛物线与x轴交于点A，C（点A在点C的右边），与y轴交于点B，直线经过点A，B． (1)直接写出A，B，C三点的坐标； (2)求直线的函数解析式； (3)P是x轴上方抛物线上的一个动点，过点P作轴交直线于点Q，设点P的横坐标为，的长为L．求L关于m的函数解析式，并写出m的取值范围． 【答案】(1);; (2) (3) 【思路引导】本题考查了抛物线与坐标轴的交点、一次函数解析式的求解以及动点问题中线段长度的函数表示，解题的关键是利用坐标关系确定点的坐标，结合平行线的性质转化线段长度为坐标差的绝对值，并根据动点位置限定自变量的取值范围． （1）通过抛物线与x轴、y轴交点的坐标特征或直接求解的坐标； （2）利用待定系数法，将A、B两点坐标代入直线解析式求解参数k和b； （3）根据平行于x轴的性质确定Q点坐标，通过横坐标差的绝对值表示长度， 结合P在ⅹ轴上方的条件确定m的范围，化简得到分段函数解析式． 【规范解答】（1）解：对于抛物线 令，则，即，解得，． ∵点A在点C右边，∴，． 令，则， ∴． 故，，． （2）解：设直线的解析式为，将，代入得： ，解得，． ∴直线的解析式为． （3）解：∵点P的横坐标为m，且在抛物线上， ∴． ∵轴， ∴点Q与点P纵坐标相同，代入直线解析式得： ，解得，即 的长． ∵P在x轴上方，抛物线时，且， ∴分两种情况： 当时，； 当时，． ∴ 考点2：求抛物线与y轴的交点坐标 【典例精讲】（24-25九年级上·贵州遵义·阶段练习）已知二次函数图象的对称轴为直线，与y轴交于点，与x轴交于点B，C（点B在点C的左侧）． (1)求该二次函数的表达式； (2)求的面积． 【答案】(1) (2)6 【思路引导】（1）将点A与对称轴代入计算可得二次函数表达式； （2）先求出抛物线与坐标轴的交点坐标，再利用公式求解可得． 【规范解答】（1）解：由题意得：， 解得：， ∴此二次函数表达式为； （2）当时，，解得：， ∴，， ∵， ∴， 求的面积． 【考点剖析】本题考查了求抛物线的解析式，与坐标轴的交点，解题的关键是熟练掌握待定系数法求函数解析式及二次函数的图象与性质． 【变式训练】24-25九年级上·重庆合川·期中）已知二次函数，下列说法正确的是（   ） A．顶点坐标为 B．函数图象与轴的交点坐标是 C．函数的最小值是 D．对称轴为直线 【答案】D 【思路引导】本题主要考查了二次函数的性质，熟练掌握二次函数图象的对称轴以及开口方向，最值是解题的关键根据二次函数的性质可以判断各个选项中的说法是否正确． 【规范解答】解：二次函数为， 则顶点坐标为，对称轴为直线，故选项A错误，选项D正确； ， ∴抛物线开口向下， ∴函数的最大值，没有最小值，故选项C错误； 令，得， ∴函数图象与轴的交点坐标是，故选项B错误； 故选：D． 考点3：已知二次函数的函数值求自变量的值 【典例精讲】（2025·福建南平·二模）已知抛物线，点，点，若抛物线与线段有且只有一个交点，则的取值范围为（   ） A．4或 B．4或 C．4或 D．4或 【答案】A 【思路引导】本题考查二次函数的性质，根据直线解析式为，根据选项令和，结合抛物线与线段有且只有一个交点利用排除法判断即可． 【规范解答】解：∵， ∴抛物线顶点坐标，与轴交点坐标，， ∵点，点， ∴直线解析式为， 当时，点，点，此时点即为抛物线与线段唯一交点，符合题意，故排除选项C、D； 当时，点，点， 联立，解得或，则抛物线与线段有两个交点和，不合题意，故排除选项B； 故选：A． 【变式训练】（24-25九年级上·吉林·期末）如图，在平面直角坐标系中，已知抛物线经过点、，点、、、在抛物线上，其横坐标分别为、、、，连接、． (1)求抛物线的解析式； (2)当点与抛物线的顶点重合时，求点的坐标； (3)当的边与轴垂直时，求点与点的纵坐标； (4)连接，以为对角线作矩形，且轴，当抛物线在矩形内部的部分所对应的函数值随的增大而减小时，直接写出的取值范围． 【答案】(1) (2) (3)当的边与轴垂直时，点的纵坐标为12，点的纵坐标为26或点的纵坐标为26，点的纵坐标为44 (4) 【思路引导】本题考查了二次函数解析式求解、顶点坐标、函数增减性及与矩形的综合应用．解题的关键是熟练运用二次函数性质，结合几何条件转化为代数问题求解，注意分类讨论和边界情况分析． （1）代入两点坐标列方程，求解得解析式． （2）求顶点坐标确定m，代入解析式得F坐标． （3）分平行于x轴，求m后算纵坐标． （4）确定矩形对角线的中点横坐标，结合抛物线增减性与对称轴，求m范围． 【规范解答】（1）将代入抛物线得； 将）和代入抛物线方程，得，解得 ∴抛物线解析式为． （2）∵， ∴顶点坐标为， ∵点E与顶点重合，且E横坐标为， ∴，得． ∴点F横坐标为，代入抛物线解析式得， 即． （3）抛物线对称轴为．当的边与y轴垂直时，边平行于x轴． 若轴，则C纵坐标为2，代入抛物线得，解得（舍去）．此时E横坐标为，纵坐标为；F横坐标为，纵坐标为． 若轴，则D纵坐标为2，代入抛物线得，解得（舍去）．此时E横坐标为，纵坐标为；F 横坐标为 ，纵坐标为 ． ∴点E的纵坐标为12，点F的纵坐标为26或点E的纵坐标为26，点F的纵坐标为44． （4）抛物线开口向上，对称轴， ∵点C与点F的横坐标分别为， ∴矩形的中点横坐标为， 当矩形中点在对称轴左侧时，矩形内抛物线主要部分在左侧，且满足y随x增大而减小， ∴，解得， 结合，得（如图）． 【考点剖析】 考点4：抛物线与x轴的交点问题 【典例精讲】（24-25九年级上·吉林·期末）如图，已知二次函数的图象与轴交于，顶点是，则以下结论：①；②；③；④若，则．其中正确的有（   ） A．4个 B．3个 C．2个 D．1个 【答案】B 【思路引导】本题主要考查二次函数的图像及性质，掌握二次函数的图像及性质是解题的关键． 利用二次函数的图象和性质逐项进行判断即可． 【规范解答】解：①由图像开口向上可知，；抛物线与轴交于负半轴得，； ∴，该选项正确，符合题意； ②由顶点坐标可知对称轴为直线， ∴的对称点为， ∴当时，，该选项正确，符合题意； ③由顶点横坐标得，， ， 即，该选项错误，不符合题意； ④由对称轴可知，的对称点为， ∴由图象可知，当时，，该选项正确，符合题意； ∴正确选项为：①②④三个， 故选：B． 【变式训练】（24-25九年级上·广东广州·期末）如图，抛物线与直线相交于点A和点． (1)求抛物线函数解析式； (2)结合图象写出不等式的解集； (3)将抛物线向上平移_____个单位与直线只有一个交点． 【答案】(1) (2) (3) 【思路引导】题目主要考查一次函数与二次函数的综合问题，包括交点问题，确定不等式的解集及平移等，理解题意，综合运用这些知识点是解题关键． （1）根据题意将点代入求解即可； （2）根据题意先确定函数与x轴的交点，然后结合图象求解即可； （3）利用待定系数法确定一次函数解析式，然后将交点问题转化为一元二次方程根的问题即可． 【规范解答】（1）解：∵抛物线经过点， ∴ ∴． ∴； （2）令， 解得： 结合图象可知，不等式的解集为：． （3）由（2）得， ∵直线相交于点A和点． ∴， 解得： ∴， 设新抛物线： 即， ∵只有一个交点， ∴， ． 考点5：根据二次函数图象确定相应方程根的情况 【典例精讲】（2025九年级上·全国·专题练习）二次函数（a，b，c为常数，且）中的自变量x与函数值y的部分对应值如下表： x 0 1 3 y 3 5 3 根据上述信息回答问题： (1)一元二次方程的根是 ． (2)当时，x的取值范围是 ． 【答案】(1) (2) 【思路引导】本题主要考查了二次函数图像的性质，从表格中获取信息是解题的关键． （1）将整理后，根据方程的根是二次函数和一次函数图象的交点的横坐标即可求解； （2）结合表格分析抛物线的对称轴以及开口方向，求出时对应的的值，进而求出答案． 【规范解答】（1）解：由，得． 结合表格可知，抛物线与直线的交点为和， 且直线与抛物线最多有两个交点， 一元二次方程的根是． 故答案为：． （2）解：根据表格可知，抛物线的对称轴是直线， 由表中数据可知，当时，随着的增大而增大， 抛物线开口向下． 令，解得， 可知当和时，， 当时，． 故答案为：． 【变式训练】（24-25九年级上·江西赣州·阶段练习）已知抛物线（a，b，c是常数，）的自变量x与函数值y的部分对应值如下表： x … 0 1 2 … y … m 0 n … (1)根据以上信息，可知抛物线开口向 ，对称轴为 ； (2)求抛物线的表达式及m，n的值； (3)请在图1中画出所求的抛物线．设点P为抛物线上的动点，的中点为，描出相应的点，再把相应的点用平滑的曲线连接起来，猜想该曲线是哪种曲线？ (4)设直线与抛物线及（3）中的点所在曲线都有两个交点，交点从左到右依次为，，，，请根据图象直接写出线段，之间的数量关系 ． 【答案】(1)上，直线 (2)，， (3)图象见解析，中点的轨迹为抛物线 (4) 【思路引导】（1）由表中数据分析即可得到开口方向及对称轴； （2）代入，解方程组，即可求得表达式；代入即可得到的值； （3）根据要求画出函数图象，设，得到，然后求出，即可得到点的轨迹所在曲线是抛物线； （4）根据题目要求，画出图象，设，，，的横坐标依次为，，，，表示出，然后分别联立直线和两条抛物线得到，，然后代入求解即可． 【规范解答】（1）由表可知：时，；时，，时， ∴抛物线开口方向向上； 由表可知：时，，时，， ∴抛物线的对称轴为直线， 故答案为：上，直线； （2）由表可知：代入点，，得 ，解得 ∴抛物线的表达式为：； 当时，； 当时，； （3）作图如下，中点连接后的图象如图所示， ∵设 ∵的中点为， ∴ ∴点P的横坐标，纵坐标 ∴ ∴将代入 ∴点的轨迹所在曲线是抛物线； （4）如图所示， 设，，，的横坐标依次为，，，， ∴， ∴ 联立直线和抛物线得， 整理得， ∴； 联立直线和抛物线得， 整理得， ∴ ∴． 【考点剖析】本题考查了二次函数的探究题，待定系数法求抛物线解析式，二次函数的和性质，画二次函数图象，能根据表格求出抛物线的解析式是解题的关键． 考点6：求x轴与抛物线的截线长 【典例精讲】（2025·安徽合肥·一模）已知，是抛物线上的两个不同点． (1)若，两点都在直线上，求线段的长； (2)若抛物线关于轴对称，直线过坐标原点，求的值； (3)若点，在抛物线对称轴的左侧，，为整数，且，证明：为正值． 【答案】(1) (2) (3)见解析 【思路引导】（1）根据题意得到直线平行于轴，令，求出，然后代入求解即可； （2）首先求出，然后分两种情况：当直线落在轴上时，可得， 当直线不在轴上，然后联立求出，设，求出，，然后代入求解即可； （3）首先得到，根据求出，然后结合即可证明． 【规范解答】（1）解：∵直线平行于轴， ∴令，即， 解得， ∴线段的长度为． （2）解：∵抛物线关于轴对称， ∴ ∴抛物线 若直线落在轴上， ∴当时，即 解得 ∴ ∴； 若直线不在轴上， 设直线的解析式为，联立方程， 得， 解得． 不妨设， ∴，， ∴． （3）证明： ∵，且，为整数， ∴，即 ∴， 又， ∴为正值． 【考点剖析】此题考查了二次函数的图象和性质，二次函数和一元二次方程的关系等知识，解题的关键是掌握二次函数的图象和性质． 【变式训练】（2025·浙江·二模）在平面直角坐标系中，已知抛物线． (1)当时， ①求抛物线的顶点坐标． ②将抛物线向下平移个单位，若平移后的抛物线过点，且与轴两交点之间的距离为6，求的值． (2)已知点，在抛物线上，且，求的取值范围． 【答案】(1)①；②， (2) 【思路引导】本题考查二次函数图象性质，二次函数图象平移，二次函数与一元二次方程的关系，熟练掌握二次函数图象性质，二次函数图象平移规律“上加下减”是解题的关键． （1）①把代入，得，即可得出顶点坐标； ②根据平移规律得平移后抛物线解析式为，把代入，求得，则，设平移后的抛物线与轴两交点横坐标为，，则，，又，即可得出，解之即可求解． （2）把，代入，得，根据，求得；把代入，得，根据和，求得，进而即可求解． 【规范解答】（1）解：①∵， ∴ ∴抛物线的顶点坐标为， ②∵将抛物线向下平移个单位， ∴平移后抛物线解析式为， 把代入，得， ∴ ∴ 设平移后的抛物线与轴两交点横坐标为，， 则，， ∴ ∴ ∵平移后的抛物线与轴两交点之间的距离为6， ∴ ∴ ∴ 解得： 经检验，是分式方程的解，且符合题意， ∴． （2）解：把，代入，得 ， ∵， ∴， ∴， 把代入，得 ， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴． 考点7：图象法确定一元二次方程的近似根 【典例精讲】（24-25九年级上·河南周口·期中）小明用探索方程（、、为常数）的根，作出如图所示的图象，并求得一个近似根，则方程的另一个近似根（精确到）为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【思路引导】本题考查了二次函数与一元二次方程，由二次函数的对称性可得抛物线与轴的另一个交点坐标为，据此即可求解，掌握二次函数的性质是解题的关键． 【规范解答】解：∵抛物线与轴的一个交点为，对称轴为直线， ∴抛物线与轴的另一个交点坐标为， ∴方程的另一个近似根为， 故选：． 【变式训练】（24-25九年级上·浙江宁波·阶段练习）二次函数 （a，b，c是常数，且）的自变量x与函数值y的部分对应值如表： x … 0 3 4 … y … 0 4 m 0 … (1)直接写出m的值，并求该二次函数的解析式； (2)当时，求函数值y的取值范围． (3)写出y随x的增大而减小的自变量x的取值范围． (4)若方程有两个不相等的实数根，直接写出k的取值范围． 【答案】(1)； (2) (3) (4) 【思路引导】本题考查了二次函数的图象与性质，二次函数与一元二次方程的根的关系，熟练掌握二次函数的图象与性质是解题的关键． （1）根据表中数据可得二次函数图象的对称轴，由轴对称性可得m的值，再用待定系数法，即可求得答案； （2）根据二次函数的增减性和轴对称性可知，当时，y取最大值，当时，y取最小值，由此即得答案； （3）根据二次函数的增减性，即得答案； （4）方程有两个不相等的实数根，等价于二次函数与直线有两个交点，根据图象即得答案． 【规范解答】（1）由表中数据可知，当和时，， 该二次函数的图象的对称轴为， 和时，， ； 将，；，；，分别代入， 得，解得， 该二次函数的解析式为； （2）当时，， 当时，， 当时，， ， 抛物线开口向下， 当时，； （3）， 抛物线开口向下， 当时，y随x的增大而减小； （4）方程有两个不相等的实数根， 二次函数与直线有两个交点， ． 考点8：图象法解一元二次不等式 【典例精讲】（24-25九年级上·广东江门·期中）已知抛物线的顶点坐标为，且图象经过点，交轴于、两点， (1)求此二次函数的解析式； (2)求、点坐标， (3)根据图象，当函数值时，写出自变量的取值范围． 【答案】(1) (2)， (3) 【思路引导】本题考查了求二次函数解析式，求抛物线与坐标轴的交点，根据函数图象求不等式的解集，掌握二次函数的性质是解题的关键； （1）设抛物线解析式为，代入，求得的值，即可求解； （2）令，解方程即可求得、点坐标； （3）根据函数图象以及、点的横坐标，即可求解． 【规范解答】（1）解：∵抛物线的顶点坐标为，且图象经过点， ∴设抛物线解析式为 代入，得 解得： ∴ （2）解：当时， 解得： ∴， （3）解：∵， 根据函数图象可得，当函数值时，自变量的取值范围为． 【变式训练】．（2025·贵州六盘水·一模）如图，已知抛物线的图象与x轴交于A，B两点，点，与y轴交于点C． (1)求抛物线的顶点坐标； (2)若，是抛物线上的两点，且，求c的取值范围； (3)将直线向上平移m个单位，使平移后的直线与抛物线只有一个交点，求m的值． 【答案】(1) (2)或 (3) 【思路引导】本题考查了二次函数的图象与性质，图象的平移，直线与抛物线的交点问题，熟练掌握知识点是解题的关键． （1）先求解析式，再配方即可求解顶点坐标； （2）可得，当，当时，，解得，，由图象法可得或； （3）先求出的函数表达式为设向上平移m个单位长度后函数表达式为，与抛物线联立得，根据平移后的直线与抛物线只有一个交点，得到，即可求解． 【规范解答】（1）解：将点代入中， 解得：， ∴， 整理得， 则顶点坐标为； （2）解：将代入， 解得 ∵，当时， 解得，， ∴或； （3）解：设直线的函数表达式为 将，代入得 ， 解得： ∴直线的函数表达式为 设向上平移m个单位长度后函数表达式为，由题意得 即 ∵平移后的直线与抛物线只有一个交点， ∴， ∴． 考点9：利用不等式求自变量或函数值的范围 【典例精讲】（2025·安徽安庆·模拟预测）抛物线的顶点纵坐标与抛物线的顶点纵坐标之和为4． (1)求的值； (2)已知为抛物线上一点，为抛物线上一点． （i）若仅存在一个正数，使得，求的最大值； （ii）若，且当时，总有，求的取值范围． 【答案】(1) (2)（i）；（ii） 【思路引导】（1）分别求出抛物线与抛物线的顶点坐标，建立关于n的方程求解即可； （2）（i）由（1）得，根据题意得到，即，由仅存在一个正数，使得，则关于的一元二次方程，有两个相等的正数根，求出，，得到，即可解答；（ii）根据题意求出， ，由，得到，求出，即可解答． 【规范解答】（1）解：∵，， ∴抛物线顶点坐标为，抛物线的顶点坐标为， ∵抛物线的顶点纵坐标与抛物线的顶点纵坐标之和为4， ∴，即； （2）解：（i）由（1）知， ∴抛物线， ∵为抛物线上一点， ∴， ∵，即， ∴，即， ∵仅存在一个正数，使得， ∴关于的一元二次方程，有两个相等的正数根， ∴，即， 解得：， 当时，，解得：（舍去，不符合题意）； 当时，，解得：（符合题意）； ∴， ∴， ∵为抛物线上一点， ∴， ∴， ∵， ∴当时，有最大值； （ii）∵，，且为抛物线上， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴． 【考点剖析】本题考查了二次函数的图象性质，二次函数与一元二次方程的关系，二次函数与不等式，正确掌握相关性质内容是解题的关键． 【变式训练】（24-25九年级上·广东广州·阶段练习）如图，二次函数的图象与轴交于点，与轴的交点在与之间（不包括这两点），对称轴为直线．则以下结论中正确的有（    ） ； ； ；④；⑤若为任意实数，则． A．个 B．个 C．个 D．个 【答案】C 【思路引导】本题考查二次函数的图象与性质．根据抛物线开口方向，对称轴位置，抛物线与y轴交点位置可判断①，由抛物线与x轴交点及抛物线对称轴可得抛物线与x轴另一交点坐标，从而可得时，进而判断②，将其中一个点转化为关于对称轴的对称点，然后再由抛物线在对称轴一次的x,y的关系，可判断③④，根据二次函数最值即可判断⑤． 【规范解答】解：根据图象可得，，， 对称轴为， ，即， ，故正确， 根据二次函数的图象与轴交于点， 可得二次函数的图象与轴的另一个交点为， 当时，，故正确； 根据二次函数与轴的交点在与之间，可得， 当时，， 即， ，解得，故正确； ，故正确； 当时，达到最大值， 因此对于任意实数，， ∴ 故错误； 综上所述， 正确，正确结论有个， 故选：C． 考点10：根据交点确定不等式的解集 【典例精讲】（24-25九年级上·贵州遵义·期末）已知二次函数的与的部分对应值如表： 1 5 0 5 9 5 下列结论： ①； ②关于的一元二次方程有两个相等的实数根； ③当时，的取值范围为； ④若点，均在二次函数图象上，则； ⑤满足的的取值范围是或． 其中正确结论的有（   ）个． A．5 B．4 C．3 D．2 【答案】C 【思路引导】本题考查了二次函数的图象和性质，利用待定系数法求出的值即可判断；利用根的判别式即可判断；利用二次函数的性质可判断；利用对称性可判断；画出函数图形可判断；掌握二次函数的图象和性质是解题的关键． 【规范解答】解：把，，代入得， ， 解得， ∴，故正确； ∵，，， ∴， 当时，， ∴， ∵， ∴关于的一元二次方程有两个相等的实数根，故正确； ∵抛物线的对称轴为直线， ∴抛物线的顶点坐标为， 又∵， ∴当时，随的增大而增大，当时，随的增大而减小，当时，函数取最大值， ∵与时函数值相等，等于， ∴当时，的取值范围为，故错误； ∵， ∴点，关于对称轴对称， ∴，故正确； 由得， 即， 画函数和图象如下： 由，解得，， ∴，， 由图形可得，当或时，，即，故错误； 综上，正确的结论为，共3个． 故选：C． 【变式训练】（24-25九年级上·湖北襄阳·阶段练习）如图，二次函数（）的图象与x轴的一个交点坐标为，对称轴为直线，下列五个结论：①；②；③；④当时，；⑤，其中正确结论的个数为（   ） A．2个 B．3个 C．4个 D．5个 【答案】C 【思路引导】本题主要考查了二次函数图象与系数的关系，二次函数与不等式的关系，二次函数的性质等等，熟知二次函数的相关知识是解题的关键． 利用二次函数图象和系数的关系，二次函数与不等式的关系，二次函数的性质等知识点，逐项进行判断即可． 【规范解答】解：①由抛物线开口向上得，； 与轴的交点位于轴的负半轴得，； 对称轴位于轴的左侧得，的符号相同，即； ∴，该选项正确，符合题意； ②由对称轴为直线得，与是对称点， ∴当时，，该选项正确，符合题意； ③由对称轴为直线得，， 整理得，即，该选项正确，符合题意； ④由对称轴为直线得，， 解得， ∴抛物线与轴的另一个交点为， ∴当时，，该选项正确，符合题意； ⑤∵抛物线与轴有两个交点， ∴，即，该选项错误，不符合题意； ∴正确选项有：①②③④， 故选：C． 1．（2025·四川乐山·中考真题）定义：在平面直角坐标系中，到原点的距离等于1的点叫做“单位圆点”． （1）下列三个函数的图象上存在“单位圆点”的是 （填番号）； ①；②；③． （2）若一次函数的图象上存在“单位圆点”，则的取值范围为 ． 【答案】 ③ 【思路引导】本题考查新定义问题，理解“单位圆点”的定义．是解题的关键．“单位圆点”∶若点满足，则称点P为“单位圆点”． （1）对于函数图象上是否存在“单位圆点”，可联立函数解析式与单位圆方程，根据方程是否有解来判断． （2）对于一次函数，同样联立方程，根据方程有解的条件求出m的取值范围． 【规范解答】解：（1）①联立， 整理得：， 则， 则此方程无实数解，即函数的图象上不存在“单位圆点”． ②联立， 整理得：， 令，则方程变为，即， 则， 则此方程无实数解，即函数的图象上不存在“单位圆点”． ③联立， 整理得：， 则， ∵恒成立， ∴， 解得：， 当时，， 则点满足，即函数的图象上存在“单位圆点”． 故答案为：③ （2）联立， 整理得：， 则， 解得：， 故答案为： 2．（2025·江苏苏州·中考真题）已知是关于x的一元二次方程的两个实数根，其中，则 ． 【答案】 【思路引导】本题考查根与系数的关系，根据根与系数的关系得到，结合，进行求解即可，熟练掌握根与系数的关系，是解题的关键． 【规范解答】解：∵是关于x的一元二次方程的两个实数根， ∴， ∵， ∴； 故答案为：． 3．（2025·四川德阳·中考真题）在综合实践活动中，同学们将对学校的一块正方形花园进行测量规划使用，如图，点处是它的两个门，且，要修建两条直路，与相交于点（两个门的大小忽略不计）． (1)请问这两条路是否等长？它们有什么位置关系，说明理由； (2)同学们测得米，米，根据实际需要，某小组同学想在四边形地上再修一条米长的直路，这条直路的一端在门处，另一端在已经修建好的路段或花园的边界上，并且另一端与点B处的距离不少于米，请问能否修建成这样的直路，若能，能修建几条，并说明理由． 【答案】(1)这两条路与等长，且它们相互垂直； (2)如果另一端点在花园边界上时，能修建成这样的一条直路，理由见解析． 【思路引导】本题考查主要了正方形的性质，全等三角形的判定与性质，勾股定理，等面积法等知识，掌握知识点的应用是解题的关键． （）由四边形是正方形，则，，证明，故有，，又，则，从而求解； （）由（）得，，由勾股定理得出，由，即，得到，则有，然后分另一端点在路段上和另一端点在花园边界上时两种情况分析即可． 【规范解答】（1）解：∵四边形是正方形， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴，， 又∵， ∴， ∴， ∴， ∴这两条路与等长，且它们相互垂直； （2）解：能修建一条这样的直路，理由如下： 由（）得，， ∵米，米， ∴米，米，米， ∴， ∴， ∴， 又∵在中有， ∴， ∴， ∴， 如果另一端点在路段上， 则在中，， ∴此种情况不成立； 如果另一端点在花园边界上时， 设，则在中，有， ∴， ∴， ∵， ∴能修建成这样的一条直路． 4．（2025·四川南充·中考真题）设，是关于的方程的两根． (1)当时，求及m的值． (2)求证：． 【答案】(1)，； (2)详见解析． 【思路引导】本题主要考查了根据一元二次方程的根的判别式判断一元二次方程的根的情况，一元二次方程根与系数的关系，解一元二次方程，方程的解，正确理解一元二次方程根的判别式，当时，方程有两个不相等的实数根；当时，方程有两个相等的实数根；当时，方程没有实数根；熟记：一元二次方程的两个根为，，则，是解题的关键． （）把代入方程求出，然后再解一元二次方程即可； （）利用根的判别式，根与系数的关系求解即可． 【规范解答】（1）解：把代入方程得， ∴ ， ∴，即， 解方程得，，， 故，； （2）证明：方程可化为， ∵， ∴原方程有两个不相同实数根， 由根与系数的关系得，， ∵， ∵， ∴． 5．（2024·青海·中考真题）（1）解一元二次方程：； （2）若直角三角形的两边长分别是（1）中方程的根，求第三边的长． 【答案】（1）或 （2）第三边的长是或 【思路引导】本题考查解一元二次方程，勾股定理． （1）用因式分解法解即可； （2）分情况讨论，一是两根都是直角边，二是两根一个是直角边，一个是斜边，再用勾股定理分别计算即可． 【规范解答】解：（1） 或； （2）当两条直角边分别为3和1时， 根据勾股定理得，第三边为； 当一条直角边为1，斜边为3时， 根据勾股定理得，第三边为． 答：第三边的长是或． 基础夯实 1．（24-25九年级上·江苏盐城·期末）若点 ，，在抛物线上，则下列结论正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【思路引导】本题主要考查二次函数图象上点的坐标特征，掌握函数图象上点的坐标满足函数解析式是解题的关键．把点的坐标分别代入抛物线解析式可求得的值，比较大小即可． 【规范解答】解：∵点 ，，在抛物线上， ∴ ∴ 故选C 2．（24-25九年级上·广东广州·阶段练习）抛物线的顶点为，与x轴的一个交点A在点和之间，其部分图象如图，则以下结论：①；②当时，y随x增大而减小；③；④若方程没有实数根，则．其中正确结论的个数是(　　） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】C 【思路引导】本题考查二次函数图象与系数的关系，根的判别式、抛物线与x轴的交点等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，属于中考常考题型． 利用图象信息，以及二次函数的性质即可一一判断． 【规范解答】解：∵二次函数与x轴有两个交点， ∴，故①错误， 观察图象可知：当时，y随x增大而减小，故②正确， ∵抛物线与x轴的另一个交点在和之间， ∴时，，故③正确， ∵当时，抛物线与直线没有交点， ∴方程没有实数根，故④正确， 故选：C． 3．（24-25九年级上·山东德州·阶段练习）二次函数的图象与轴有交点，则k的取值范围是（ ） A． B．且 C． D．且 【答案】D 【思路引导】本题考查的是抛物线与轴的交点，根据根的判别式与二次函数的定义列出关于的不等式组，求出的取值范围即可． 【规范解答】解：二次函数的图象与轴有交点， ，即， 解得且． 故选：D． 4．（24-25九年级上·福建福州·阶段练习）已知抛物线与轴有两个交点，则的取值范围是 ． 【答案】且 【思路引导】本题考查了二次函数与轴的交点问题、一元二次方程，熟练掌握二次函数的性质是解题关键．先得出关于的一元二次方程有两个不相等的实数根，再根据这个方程根的判别式大于0，且，由此即可得． 【规范解答】解：∵抛物线与轴有两个交点， ∴关于的一元二次方程有两个不相等的实数根， ∴这个方程根的判别式为，且， 解得且， 故答案为：且． 5．（24-25九年级上·内蒙古包头·阶段练习）一次函数与二次函数的图象交于A、B两点．若，则x的取值范围是 ． 【答案】或 【思路引导】本题考查了二次函数与一次函数的交点问题，熟练掌握二次函数和一次函数的图象和性质，学会利用图象法解不等式是解题的关键．令，得到一次函数与二次函数的交点坐标，，画出和的图象，利用图象法，写出二次函数的图象在一次函数的图象上方对应的x取值范围即可． 【规范解答】解：令，则， 解得：，， ∴，， 如图，画出和的图象， 由图象可得：当，即二次函数的图象在一次函数的图象上方， ∴x的取值范围是或． 故答案为：或． 6．（23-24九年级上·广东河源·阶段练习）如图，在平面直角坐标系中，直线与抛物线相交于点A、B．结合图象，判断下列结论：①当时，；②是方程的一个解；③若，是抛物线上的两点，则；④对于抛物线．当时，的取值范围是．其中正确结论序号是 ． 【答案】①②③ 【思路引导】本题考查二次函数的图象和性质，二次函数的图象与系数之间的关系，利用图象法求不等式的解集，利用图象法判断①，抛物线与轴的交点判断②，求出函数解析式，利用增减性，判断③和④即可． 【规范解答】解：由图象可知，直线和抛物线交于点， 且当时，直线在抛物线的上方， ∴当时，；故①正确； ∵抛物线和轴的一个交点坐标为， ∴是方程的一个解；故②正确； 把代入抛物线解析式，得：， 解得：， ∴， ∴当时，函数有最小值，为，抛物线上的点离对称轴越远，函数值越大， ∵， ∴若，是抛物线上的两点，则，故③正确； ∵， 当时，函数值最大，，当时，函数有最小值，为， ∴；故④错误． 综上所述，其中正确结论序号是①②③． 故答案为：①②③． 7．（24-25九年级上·广东广州·阶段练习）抛物线的部分图象如图所示，则当时，的取值范围是 ． 【答案】或 【思路引导】本题主要考查了二次函数的图象与性质，由抛物线图象可得对称轴是，抛物线与x轴的一个交点为，则抛物线与轴的另一个交点是，根据二次函数的图象写出当时，的取值范围即可，掌握二次函数的图象与性质是解题的关键． 【规范解答】解：由题意可得对称轴是， ∵抛物线与轴的一个交点为， ∴抛物线与x轴的另一个交点是， ∴当时，或， 故答案为：或． 8．（24-25九年级上·安徽合肥·阶段练习）已知抛物线过点和点．抛物线的对称轴为直线． (1)当时，比较的大小； (2)已知点在该抛物线上，若对于，都有，求的取值范围． 【答案】(1) (2) 【思路引导】本题考查二次函数的图象及性质，解不等式组，熟练掌握二次函数的图象及性质是解题的关键． （1）根据可得抛物线上的点离对称轴越近，其纵坐标越小，据此即可解答； （2）同理，根据抛物线上的点离对称轴越近，其纵坐标越小，列得，计算即可解答． 【规范解答】（1）解：∵抛物线中，， ∴抛物线开口向上， ∵点和点在抛物线上，对称轴为直线， ∴点到对称轴的距离大于点到对称轴的距离， ∴； （2）解：∵抛物线开口向上，且，都有， ∴点在对称轴的左侧，点在对称轴上或对称轴的右侧，点在对称轴的右侧，且点到对称轴的距离小于点到对称轴的距离，大于点到对称轴的距离， ∴，解得， ∴的取值范围是． 9．（24-25九年级上·浙江衢州·期末）已知抛物线 (1)抛物线的对称轴为直线，且经过点 ①求抛物线的函数表达式． ②若点，都在此抛物线上，求m的值． (2)若点落在此抛物线上，求证：． 【答案】(1)①；② (2)见解析 【思路引导】本题考查了待定系数法求二次函数的解析式，二次函数图象与系数的关系，二次函数图象上点的坐标特征，掌握二次函数的对称性是解题的关键． （1）①利用待定系数法求解即可； ②利用抛物线的对称性求得c的值，然后把A的坐标代入解析式即可求得m的值； （2）点代入解析式，然后通过化简计算得出b关于a的表达式，进而证明． 【规范解答】（1）解：①抛物线的对称轴为直线，且经过点， ∴， 解得， ∴抛物线的函数表达式为； ②∵点，都在此抛物线上， ∴， ∴， ∴， ∴； （2）证明：∵点落在此抛物线上， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴． 10．（24-25九年级上·广西河池·期中）函数的图象如图所示，结合图象回答下列问题：    (1)方程的两个根为 ； (2)当时，则x的取值范围为 ；当时，则变量y的取值范围为 ； (3)若方程有实数根，则k的取值范围是 ． 【答案】(1) (2)； (3) 【思路引导】本题考查了二次函数与轴的交点问题，二次函数的图象与性质，采用数形结合的思想是解此题的关键． （1）根据函数图象即可得出答案； （2）根据函数图象结合当时，，即可得出答案； （3）根据函数图象即可得出答案． 【规范解答】（1）解：由图象可得：方程的两个根为． 故答案为：； （2）解：由图象可得：当时，则的取值范围为， ∵， ∴当时，， ∴当时，自变量的取值范． 故答案为：；； （3）解：由图象可得：若方程有实数根，取值范围是． 故答案为：． 培优拔高 11．（24-25九年级上·甘肃嘉峪关·期末）已知二次函数的图象如图所示，有下列4个结论：①；②；③；④；其中正确的结论有（    ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】B 【思路引导】本题主要考查了二次函数的图象和性质，解题的关键是熟练掌握二次函数的性质． 利用二次函数的图象和性质逐项进行判断即可． 【规范解答】解：①由抛物线开口向下得，；对称轴在轴的右侧得，符号相异，；与轴交于正半轴得，；∴，该选项错误，不符合题意； ②通过图象可知当时，，整理得，该选项错误，不符合题意； ③通过图象可知当时，，该选项正确，符合题意； ④抛物线与横轴有两个交点，∴，该选项正确，符合题意； 正确结论为：③④， 故选：B． 12．（24-25九年级上·天津和平·期末）二次函数的部分图象如图所示，图象过点，对称轴为直线，下列结论其中正确的结论有（   ） （1）； （2）； （3）若点、点、点在该函数图象上，则； （4）若方程的两根为和，且，则． A．2个 B．3个 C．4个 D．5个 【答案】B 【思路引导】本题考查了二次函数的图象与性质，图象法判断一元二次方程的解，掌握二次函数图象的性质是解题的关键． 根据对称轴为，即即可判断（1）；根据当时，函数值小于0，即可判断（2）；根据抛物线开口向下，当点的横坐标到对称轴的距离越远则函数值越小即可判断（3）；根据对称性，二次函数与轴的另一个交点为，方程的解即与的交点的横坐标，作出图象，观察图象即可判断（4）． 【规范解答】解：∵抛物线的对称轴为直线， ， ，则（1）正确； 抛物线与x轴的一个交点为，对称轴为直线， 抛物线与x轴的另一个交点为， 当时，，即，即，则（2）正确； 抛物线的对称轴为直线，抛物线开口向下， 而和到对称轴的距离相等，点到对称轴的距离最小， ，（3）错误； 抛物线与x轴的交点坐标为， 抛物线解析式可表示为， 方程的两根为：和，可看作抛物线与直线两交点的横坐标，如图，由函数图象得，所以（4）正确． 综上，正确的有3个， 故选：B． 13．（24-25九年级上·陕西西安·阶段练习）如图，抛物线过点A、B，已知，点B在点与点之间（包含端点），顶点的坐标为．则下列结论：①；②；③；④对于任意实数m，总成立；⑤关于x的方程没有实数根．其中结论正确的个数为（   ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】B 【思路引导】本题主要考查了二次函数图象与系数的关系、根的判别式、二次函数图象上点的坐标特征及抛物线与x轴的交点，熟知二次函数的图象与性质是解题的关键． 根据所给函数图象，得出a，b，c的正负，再结合二次函数的对称性及增减性对所给结论依次进行判断即可． 【规范解答】由所给函数图象可知，， ∴．故①错误． ∵抛物线经过点， ∴． 又∵抛物线的顶点坐标为， ∴抛物线的对称轴为直线， 所以， 则， 所以， 即．故②错误． ∵抛物线与y轴的交点在与点之间， ∴． 又∵， ∴， 整理得，．故③正确． ∵抛物线开口向上，且对称轴为直线， ∴当时，函数取得最小值为， ∴抛物线上任意一点（横坐标为m）的纵坐标都不小于， 则， 即．故④错误． 关于x的方程的解可看成函数的图象与的交点的横坐标， ∵抛物线顶点的纵坐标为n，且开口向上， ∴抛物线与直线没有交点， 则方程没有实数根．故⑤正确． 故选：B． 14．（24-25九年级上·湖北武汉·期末）抛物线的对称轴是直线，且过点，顶点位于第二象限，其部分图象如图所示，给出以下判断：①；② ；③抛物线上两点与，若有且，则；④直线与抛物线两个交点的横坐标分别为与，则． 其中结论正确的是 ．    【答案】①③④ 【思路引导】本题考查二次函数与系数的关系，二次函数图象上的点的特征，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，根据题意得到a、b、c的关系式，可以用a表示出b、c，进而得到含a的二次函数关系式，结合图像确定符号，对选项逐一判断即可． 【规范解答】解：抛物线对称轴是直线，经过， ，， ，， ， ，， ，故①正确， 抛物线对称轴是直线，经过， 和关于对称轴对称， 时，， ，故②错误； 抛物线上两点与，且 点到对称轴的距离大于点到对称轴的距离， 抛物线开口向下， ，故③正确； 令，则整理得， 直线与抛物线两个交点的横坐标分别为，， ， ，故④正确， 故答案为：①③④． 15．（24-25九年级上·北京·阶段练习）如图，二次函数的图象的对称轴是直线，与轴的一个交点为，则不等式的解集为 ． 【答案】或 【思路引导】本题考查图象法求不等式的解集，对称性，求出抛物线与轴的另一个交点的坐标，图象法求出不等式的解集即可． 【规范解答】解：∵二次函数的图象的对称轴是直线，与轴的一个交点为， ∴抛物线与轴的另一个交点为， 由图象可知：不等式的解集为或； 故答案为：或． 16．（24-25九年级上·湖北恩施·阶段练习）已知抛物线经过点和点，且对称轴在y轴的左侧，下列结论：①；②；③抛物线经过点；④关于x的一元二次方程有两个不相等的实数根．其中正确的结论是 （填序号）． 【答案】①②④ 【思路引导】本题主要考查二次函数的图象和性质，一元二次方程，熟练掌握二次函数的图象和性质是解题的关键． 根据题意做出抛物线的示意图，根据图象的性质做出解答即可． 【规范解答】解：由题意作图如下： 由图知，，故①正确； ∵抛物线经过点和点， ∴， ∴，故②正确； ∵对称轴在y轴的左侧， ∴抛物线不经过，故③错误； 由图像知，抛物线与直线有两个交点，故关于x的一元二次方程有两个不相等的实数根，故④正确； 综上，正确的有①②④． 故答案为：①②④． 17．（24-25九年级上·湖北武汉·阶段练习）抛物线（a，b，c是常数，）经过，两点，且．下列结论：①； ②若，则；③不等式的解集为；④若关于x的方程无实数根，则．其中正确的是 （填写序号）． 【答案】①②④ 【思路引导】本题考查了二次函数图象与系数的关系，二次函数图象上点的坐标特征，二次函数图象与x轴的交点问题，二次函数的性质．根据题意得出抛物线开口向下，与y轴交于正半轴，对称轴在y轴的左侧，从而得出，，，即可判断①；求得对称轴为直线，即可得出，根据抛物线经过，从而判断②；求得直线直线，的解析式为，根据抛物线与直线的位置关系即可判断③；根据题意得出，利用根的判别式即可判断④． 【规范解答】解：①∵抛物线（a，b，c是常数，）经过，两点，且， ∴抛物线开口向下，与y轴交于正半轴，则， ∴对称轴为直线， ， ∵，， ∴， ∴，故①正确； ②若，对称轴为直线， ∴， ∵抛物线经过， ∴，即，故②正确； ③当时，， ∴抛物线与轴的交点为， 设过，的直线解析式为，代入得， 解得， ∴直线，的解析式为， 如图， 当或时，抛物线在直线的下方， ∴不等式的解集为或， 即不等式的解集为或，故③错误； ④∵抛物线经过，两点， ∴， 两式相减得， 代入得， 整理得， ∵， ∴， ∴，即， 整理得， ∵关于x的方程无实数根， ∴，整理得， ∴，故④正确； 综上，①②④正确； 故答案为：①②④． 18．（2025·湖北武汉·模拟预测）抛物线是常数，经过两点，且． 下列五个结论： ①； ②； ③若抛物线经过点，则； ④若关于的不等式的解集为，则； ⑤点在抛物线上，若，总有，则． 其中正确的结论是 （填写序号）． 【答案】①③⑤ 【思路引导】根据抛物线的对称性，增减性，对称轴的两种表示方法，抛物线与不等式，解答即可. 【规范解答】解：∵抛物线是常数，经过两点，且． ∴，，， ∴， ∴； 故①正确； ∵抛物线是常数，经过两点，且． ∴是方程的两个不相等的实数根， ∴； 故②错误； ∵抛物线经过点， ∴， ∵， 解得， ∵， ∴， ∴； ∴； 解得， 故③正确； ∵关于的不等式的解集为， ∴, ∴的两个根为,， ∵关于的不等式的解集为， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴, ∴, 故④错误； ∵点在抛物线上，抛物线的对称轴为，，总有， ∴，且， 解得， ∵ ∴． 故⑤ 正确， 故答案为：①③⑤． 【考点剖析】本题考查了抛物线的对称性，抛物线与不等式，对称轴的两种表示方法，抛物线的增减性，熟练掌握性质是解题的关键. 19．（2025·四川南充·一模）如图，二次函数的图象与x轴交于点，与y轴的交点B在与之间（不包括这两点），对称轴为直线．下列结论：①；②若点，点是函数图象上两点，则；③当时，将抛物线先向上平移4个单位，再向右平移1个单位，得到抛物线；④；⑤． 其中正确的有 （填序号） 【答案】①④⑤ 【思路引导】根据二次函数图象的开口方向，对称轴的位置，与y轴交点的位置判断①符合题意；根据点N坐标和二次函数的对称轴确定二次函数图象过点，再根据二次函数的增减性即可判断②不符合题意；使用待定系数法求出抛物线解析式，再根据二次函数图象平移规律即可判断③不符合题意；把点A坐标和点A关于对称轴对称的点的坐标代入二次函数解析式，然后用a表示c，再根据点C的位置和不等式的性质即可判断④符合题意；根据二次函数的最值得到不等式，再根据不等式的性质和等价代换思想即可判断⑤符合题意． 【规范解答】解：∵二次函数图象开口方向向下，对称轴在y轴右侧，与y轴的交点在y轴的正半轴， ∴，，． ∴． ∴．故①符合题意． ∵点是函数图象上一点，对称轴是直线， ∴二次函数图象经过点． ∵二次函数图象开口方向向下， ∴当时，y随x的增大而增大． ∵函数图象上一点， ∴．故②不符合题意． ∵，二次函数图象对称轴是直线， ∴设二次函数解析式为． 把点坐标代入二次函数解析式得． 解得． ∴二次函数解析式为． ∴抛物线先向上平移4个单位，再向右平移1个单位得到抛物线为．故③不符合题意． ∵二次函数图象过点，二次函数对称轴是直线， ∴二次函数图象过点． 把点和代入二次函数解析式中得 用a来表示b和c得 ∵二次函数图象与y轴的交点B在与之间（不包括这两点）， ∴． ∴． ∴．故④符合题意． ∵二次函数图象开口方向向下，对称轴为直线， ∴二次函数在时取得最大值． ∴当时，，即． ∴． ∵， ∴． ∴． ∴．故⑤符合题意． 故①④⑤符合题意． 故答案为：①④⑤． 【考点剖析】本题考查二次函数的图象与系数关系，二次函数的对称性，二次函数的增减性，二次函数图象平移规律，待定系数法求二次函数解析式，二次函数的最值，不等式的性质，综合应用这些知识点是解题关键． 20．（24-25九年级上·江苏泰州·阶段练习）【定义与性质】 定义：如图，记二次函数和的图象分别为抛物线和，若抛物线的顶点在抛物线上，则称是的伴随抛物线． 性质：①一条抛物线有无数条伴随抛物线； ②若是的伴随抛物线，则也是的伴随抛物线，即的顶点在上． 【理解与运用】 （1）证明性质②； （2）若二次函数和的图象都是抛物线的伴随抛物线，则______，______． 【思考与探究】 （3）设函数的图象为抛物线． ①若函数的图象为抛物线，且始终是的伴随抛物线，求，的值； ②在（3）①的条件下，若抛物线与轴有两个不同的交点，，请直接写出的取值范围． 【答案】（1）见解析；（2）；；（3）①，；②或 【思路引导】本题考查了二次函数的性质，二次函数顶点式的性质，结合“伴随抛物线的定义”求出抛物线的顶点坐标是解决本题的关键． （1）由是的伴随抛物线，可将点代入抛物线中可得成立，再将点代入抛物线中可证成立，即可得证； （2）根据“伴随抛物线”的定义，将二次函数的顶点代入中即可求解； （3）①先将抛物线化为顶点式，再求出抛物线的顶点，由“始终是的伴随抛物线”可令k的值，再将k的值代入抛物线中，即可求解； ②先求出抛物线的顶点坐标和与x轴的交点，再根据抛物线的运动过程即可求解． 【规范解答】（1）证明：∵是的伴随抛物线， 即抛物线的顶点在抛物线上， ∴成立， 抛物线的顶点坐标为， 将点代入中， 则有， 即， 整理可得，， ∴抛物线的顶点在抛物线上， ∴也是的伴随抛物线； （2）解：由“伴随抛物线”的定义可知， 若二次函数和的图象都是抛物线的伴随抛物线， 则有顶点和顶点在抛物线上， ∴， ∴，即，解得， 故答案为：；； （3）①解：抛物线， 化为顶点式可得，， ∴抛物线的顶点坐标为， ∵始终是的伴随抛物线， ∴令，则顶点坐标为； 令，则顶点坐标为； ∴，解得， ∴的值为2，的值为3； ②解：由（1）可知，，顶点为， ∵始终是的伴随抛物线， ∴抛物线的顶点在抛物线上运动， 令，解得，， ∴抛物线与x轴的交点为，， ∵抛物线与轴有两个不同的交点，， 当抛物线的顶点在下方时，则， ∵始终是的伴随抛物线， 则也是的伴随抛物线， ∴顶点也在上， 当抛物线的顶点在下方时，则， ∴的取值范围为或． 第 1 页 共 11 页 学科网（北京）股份有限公司 $$