专题07函数的单调性及最值（讲义）- 内蒙古2026年对口招生一轮复习《数学知识点清单》（原卷版+解析版）

编写说明：内蒙古2026年对口招生一轮复习《数学知识点清单》，依据《中等职业学校数学课程标准》（2020年版）及历年对口高考真题进行编写。本资料将高考必备知识进行科学划分，系统总结归纳知识点，全面梳理高考题型。整套资料共包含共46个专题，每个专题均配备配套讲义、课件及练习题。 本专题是内蒙古2026年对口招生一轮复习《数学知识点清单》第7个专题：函数的单调性及最值。本专题涵盖函数单调性的概念、判断、及最值等知识点，每个知识点后均配有真题及模拟题，供学生进行知识检测。 内蒙古2026年对口招生 一轮复习 《数学知识点清单》 专题07 函数的单调性及最值（讲义） 1．函数的单调性 (1)函数单调性的定义 一般地，设函数f(x)的定义域为I： ①如果对于定义域I内某个区间D上的任意两个自变量的值x1，x2，当x1＜x2时，都有f(x1)＜f(x2)，那么就说函数f(x)在区间D上是增函数． ②如果对于定义域I内某个区间D上的任意两个自变量的值x1，x2，当x1＜x2时，都有f(x1)＞f(x2)，那么就说函数f(x)在区间D上是减函数． (2)单调性与单调区间 如果函数y＝f(x)在区间D上是增函数或减函数，那么就说函数y＝f(x)在这一区间具有(严格的)单调性，区间D叫做y＝f(x)的单调区间． (3)函数的最值 最大值：一般地，设函数y＝f(x)的定义域为I，如果存在实数M满足：①对于任意的x∈I，都有f(x)≤M； ②存在x0∈I，使得f(x0)＝M．那么，我们称M是函数y＝f(x)的最大值． 最小值：一般地，设函数y＝f(x)的定义域为I，如果存在实数N满足：①对于任意的x∈I，都有f(x)≥N； ②存在x0∈I，使得f(x0)＝N．那么我们称N是函数y＝f(x)的最小值． 1.（2017年内蒙古对口升学）已知函数. ⑴若函数y＝f(x)满足f(2－x)＝f(2＋x),求此函数的解析式及其最值； ⑵要使函数在区间[－4,6]上是单调函数,求实数a的取值范围. 2.（2025年内蒙古对口升学）某商场经营一批商品，进价为每件30元，规定销售单价x(单位：元)在30元到50元之间 ( 即x∈(30,50)). 在市场营销中发现，若销售单价为35元时，日销售量为45件；销售单 价为45元时，日销售量为15件.此商品日销售量y(单位：件)与销售单价x(单位：元)之 间满足一次函数的关系. (1)求y 与x 之间的函数解析式； (2)设经营此商品的日销售利润为P(单位：元),求P 关于x 的函数解析式及最大日销售利润 . 3.（2018年乌海一模）下列函数中，是奇函数且在上为增函数的是（ ） A． B． C． D． 4.（2022年乌海一模）已知函数在区间（-1,2）上的函数值恒为正，则b的取值范围为 . 5.（2021年赤峰320）已知函数 是定义在 上的偶函数，且在 上单调递减，则下列不等式成立的是（） A.   B.   C.   D. 知识点1 判断函数的单调性 1.定义在区间上的函数的图象如图所示，则的单调递减区间为（    ） A． B． C． D． 2.函数的单调递增区间是（    ） A． B． C． D． 3.若偶函数在上是减函数，则（    ） A． B． C． D． 4.设偶函数的定义域为R，当时，是减函数，则，，的大小关系是（     ） A． B． C． D． 5.如果奇函数在区间上是增函数，且，那么函数在区间上是（    ） A．增函数，且 B．增函数，且 C．减函数，且 D．减函数，且 知识点2 由单调性求最值 1.若函数在区间上的最大值是4，则实数的值为（ ） A．-1 B．1 C．3 D．1或3 2.已知函数，则的最大值为（ ）． A． B． C．1 D．2 3.若函数在区间上的最大值为6，则 . 4.函数在区间上的最大值为（       ） A．0 B．1 C．2 D．4 5.如果奇函数在区间上单调递增且有最大值6，那么函数在区间上（       ） A．单调递增且最小值为﹣6 B．单调递增且最大值为﹣6 C．单调递减且最小值为﹣6 D．单调递减且最大值为﹣6 6.若偶函数在区间上是增函数且最小值为﹣4，则在区间上是（       ） A．减函数且最小值为﹣4 B．增函数且最小值为﹣4 C．减函数且最大值为4 D．增函数且最大值为4 知识点3 利用单调性判断大小及求参数范围 1.已知函数是定义在R上的增函数，且，则a的取值范围是（    ） A． B．(2，3) C．(1，2) D．(1，3) 2.若函数在上单调递增，且，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 3.已知函数在区间（-∞，1]是减函数，则实数a的取值范围是（    ） A．[1，+∞） B．（-∞，1] C．[-1，+∞） D．（-∞，-1] 4.已知二次函数在区间内是单调函数，则实数a的取值范围是（    ） A． B． C． D． 5.设偶函数的定义域为R，当时，是减函数，则，，的大小关系是（     ） A． B． C． D． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！34 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$ 编写说明：内蒙古2026年对口招生一轮复习《数学知识点清单》，依据《中等职业学校数学课程标准》（2020年版）及历年对口高考真题进行编写。本资料将高考必备知识进行科学划分，系统总结归纳知识点，全面梳理高考题型。整套资料共包含共46个专题，每个专题均配备配套讲义、课件及练习题。 本专题是内蒙古2026年对口招生一轮复习《数学知识点清单》第7个专题：函数的单调性及最值。本专题涵盖函数单调性的概念、判断、及最值等知识点，每个知识点后均配有真题及模拟题，供学生进行知识检测。 内蒙古2026年对口招生 一轮复习 《数学知识点清单》 专题07 函数的单调性及最值（讲义） 1．函数的单调性 (1)函数单调性的定义 一般地，设函数f(x)的定义域为I： ①如果对于定义域I内某个区间D上的任意两个自变量的值x1，x2，当x1＜x2时，都有f(x1)＜f(x2)，那么就说函数f(x)在区间D上是增函数． ②如果对于定义域I内某个区间D上的任意两个自变量的值x1，x2，当x1＜x2时，都有f(x1)＞f(x2)，那么就说函数f(x)在区间D上是减函数． (2)单调性与单调区间 如果函数y＝f(x)在区间D上是增函数或减函数，那么就说函数y＝f(x)在这一区间具有(严格的)单调性，区间D叫做y＝f(x)的单调区间． (3)函数的最值 最大值：一般地，设函数y＝f(x)的定义域为I，如果存在实数M满足：①对于任意的x∈I，都有f(x)≤M； ②存在x0∈I，使得f(x0)＝M．那么，我们称M是函数y＝f(x)的最大值． 最小值：一般地，设函数y＝f(x)的定义域为I，如果存在实数N满足：①对于任意的x∈I，都有f(x)≥N； ②存在x0∈I，使得f(x0)＝N．那么我们称N是函数y＝f(x)的最小值． 1.（2017年内蒙古对口升学）已知函数. ⑴若函数y＝f(x)满足f(2－x)＝f(2＋x),求此函数的解析式及其最值； ⑵要使函数在区间[－4,6]上是单调函数,求实数a的取值范围. 解析：(1)由 f(2-x)=f(2+x), 得对称轴 x=2, 故 a=-2。 函数解析式： f(z)=x²—4x+3, 最小值为-1(无最大值)。 (2)为使函数在[-4,6]内单调，对称轴 x=-a 应在区间外， 故 a≥4 或 a≤-6。 2.（2025年内蒙古对口升学）某商场经营一批商品，进价为每件30元，规定销售单价x(单位：元)在30元到50元之间 ( 即x∈(30,50)). 在市场营销中发现，若销售单价为35元时，日销售量为45件；销售单 价为45元时，日销售量为15件.此商品日销售量y(单位：件)与销售单价x(单位：元)之 间满足一次函数的关系. (1)求y 与x 之间的函数解析式； (2)设经营此商品的日销售利润为P(单位：元),求P 关于x 的函数解析式及最大日销售利润 . 解析：(1)由条件得 y=-3x+150。 (2)利润函数 P=(x—30)y=-3z²+240x-4500,解得最大利润为300元(当 x=40时)。 3.（2018年乌海一模）下列函数中，是奇函数且在上为增函数的是（ ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】对于A，定义域为，因为，所以函数是奇函数，任取，且，则，因为，且，所以，即，所以在上为增函数，所以A正确， 对于B，因为定义域为，所以函数为非奇非偶函数，所以B错误， 对于C，因为定义域为，因为，所以为偶函数，所以C错误， 对于D，因为定义域为，因为，所以函数为非奇非偶函数，所以D错误， 故选：A 4.（2022年乌海一模）已知函数在区间（-1,2）上的函数值恒为正，则b的取值范围为 . 【答案】 【解析】为增函数，∴若在区间上的函数值恒为正， 则只需要即可，即， 即实数b的取值范围是， 故答案为：． 5.（2021年赤峰320）已知函数 是定义在 上的偶函数，且在 上单调递减，则下列不等式成立的是（） A.   B.   C.   D. 【答案】D 【解析】 偶函数满足 ，故D正确； 在 上递减，则 ，结合偶函数性质，，故A错误； 同理，B、C错误。 故选D。 知识点1 判断函数的单调性 1.定义在区间上的函数的图象如图所示，则的单调递减区间为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】由题图知：在上的单调递减，在上的单调递增，所以的单调递减区间为，故选：B． 2.函数的单调递增区间是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】由知，函数为开口向上，对称轴为的二次函数，则单调递增区间是，故选：B. 3.若偶函数在上是减函数，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】是偶函数，所以，在上是减函数，所以在上是增函数，所以，故，故选：B. 4.设偶函数的定义域为R，当时，是减函数，则，，的大小关系是（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】函数为偶函数，则，，当时，是减函数，又， 则，则，故选：C. 5.如果奇函数在区间上是增函数，且，那么函数在区间上是（    ） A．增函数，且 B．增函数，且 C．减函数，且 D．减函数，且 【答案】B 【解析】奇函数图象关于原点中心对称，在对称的区间上具有相同的单调性，故在区间上是增函数，且，故选：B. 知识点2 由单调性求最值 1.若函数在区间上的最大值是4，则实数的值为（ ） A．-1 B．1 C．3 D．1或3 【答案】B 【解析】当时，在区间上为增函数， 则当时，取得最大值，即，解得； 当时，在区间上为减函数， 则当时，取得最大值，即，解得舍去， 所以， 故选：B. 2.已知函数，则的最大值为（ ）． A． B． C．1 D．2 【答案】D 【解析】因为在上单减，所以在上单减， 即在上单减， 所以f(x)的最大值为. 故选：D. 3.若函数在区间上的最大值为6，则 . 【答案】4 【解析】函数在区间上单调递增， 于是得，解得：， 故答案为：4. 4.函数在区间上的最大值为（       ） A．0 B．1 C．2 D．4 【答案】B 【解析】因为函数在区间单调递减， 所以当x=0时取得最大值：， 故选：B. 5.如果奇函数在区间上单调递增且有最大值6，那么函数在区间上（       ） A．单调递增且最小值为﹣6 B．单调递增且最大值为﹣6 C．单调递减且最小值为﹣6 D．单调递减且最大值为﹣6 【答案】A 【解析】因为为奇函数，则在对称区间上单调性相同， 所以在上为单调递增函数， 根据的图像关于原点对称，且， 所以在上的最小值为， 故选：A. 6.若偶函数在区间上是增函数且最小值为﹣4，则在区间上是（       ） A．减函数且最小值为﹣4 B．增函数且最小值为﹣4 C．减函数且最大值为4 D．增函数且最大值为4 【答案】A 【解析】在区间，上是增函数，最小值是， ，又为偶函数， 在，上单调递减， （5）． 即在区间，上的最小值为， 综上，在，上单调递减，且最小值为， 故选：A． 知识点3 利用单调性判断大小及求参数范围 1.已知函数是定义在R上的增函数，且，则a的取值范围是（    ） A． B．(2，3) C．(1，2) D．(1，3) 【答案】A 【解析】∵是定义在R上的增函数，且，∴，解得，则a的取值范围为，故选：A． 2.若函数在上单调递增，且，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】在上单调递增，，，解得：，实数的取值范围为，故选：C. 3.已知函数在区间（-∞，1]是减函数，则实数a的取值范围是（    ） A．[1，+∞） B．（-∞，1] C．[-1，+∞） D．（-∞，-1] 【答案】A 【解析】对称轴为，开口向上，要想在区间（-∞，1]是减函数，所以，故选：A. 4.已知二次函数在区间内是单调函数，则实数a的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】由题知，当或，即或时，满足题意，故选：A. 5.设偶函数的定义域为R，当时，是减函数，则，，的大小关系是（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】函数为偶函数，则，， 当时，是减函数， 又，则， 则， 故选：C. 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！34 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$