3.1.1 函数的概念（第2课时）（题型专练）数学人教A版2019必修第一册

3.1.1 函数的概念（第2课时） 题型一：判断两个函数是否相等 1.下列各组函数表示同一函数的是（    ） A．， B．， C．， D．， 2.下列四组函数中，与表示同一函数的是（   ） A． B． C． D． 3.(多选题）下列各组函数是同一个函数的是（    ） A．与 B．与 C．与 D．与 4.(多选题）下列各组函数中，表示同一函数的是（    ） A．， B．， C．， D．， 题型二：抽象函数的定义域、复合函数的定义域 1.若函数的定义域为，则函数的定义域为（    ） A． B． C． D． 2.已知的定义域为，则的定义域为（ ） A． B． C． D． 3.已知函数的定义域为，则函数的定义域为 A． B． C． D． 4.若的定义域为，的定义域为，那么（   ） A． B．A⫌B C． D． 题型三 复合函数的定义域 1.若函数的定义域为，则函数的定义域为（    ） A． B． C． D． 2.若函数的定义域是，则函数的定义域是（    ） A． B． C． D． 3.已知函数的定义域为，则函数的定义域是 A． B． C．R D． 4.已知函数的定义域是，求的定义域. 题型四：区间的定义与表示 1.区间(－3，2]用集合可表示为（    ） A．{－2，－1，0，1，2} B．{x|－3<x<2} C．{x|－3<x≤2} D．{x|－3≤x≤2} 2.若[a,3a－1]为一确定区间，则a的取值范围是 ． 3.已知集合，集合 （1）若集合，则实数m的取值范围（用区间表示）是 ； （2）若，则实数m的取值范围（用区间表示）是 ． 4.若[2a＋1，3a－1]为一确定区间，则实数a的取值范围为 ． 题型一：已知函数的定义域求参数、根据值域求参数的值或者范围、常见（一次函数、二次函数、反比例函数等）的函数值域 1.已知函数的定义域为，则函数的值域为（    ） A． B． C． D． 2.若函数的定义域和值域都是，则a的值为（    ） A．3或 B．3 C． D．不确定 3.若函数的定义域为，0，2，，则其值域为　　 A．，0， B．，0，2， C． D． 4.（多选题）已知函数的值域是，则它的定义域可能是（    ） A． B． C． D． 题型二：函数关系的判断 1.（多选题）下列四个选项中能表示函数的图象的是（    ） A． B． C． D． 2.（多选题）下列四个图形各表示两个变量x，y的对应关系，其中表示y是x的函数关系的是（    ） A． B． C． D． 3.下列选项中，y可表示为x的函数的是（    ） A． B． C． D． 4.（多选题）下列从集合到集合的对应关系中是函数的是（    ） A． B． C． D． 题型三： 求函数值 1.已知函数在上是单调函数，且满足对任意，都有，则的值是（    ） A． B． C． D． 2.已知函数的定义域为，且，，则的值是（    ） A．9 B．10 C．11 D．12 3.已知三次函数，且，，，则（    ） A．2023 B．2027 C．2031 D．2035 4.（多选题）已知f(x)=(x≠±1)，则下列各式成立的是（    ） A． B． C． D． 题型四：复杂（根式型、分式型等）函数的值域 1.函数的值域是（　　） A． B． C． D． 2.函数的值域为                                             （    ） A． B． C． D． 3.设，用表示不超过的最大整数，则称为高斯函数，例如：，．已知函数，则函数的值域是（    ） A． B． C． D． 4.（多选题）记，定义域为，则下列选项正确的是（    ） A．为中心对称函数 B．的值域为 C．集合为的子集，若，则S可以为 D．，且满足，则 1.已知函数的定义域为，则函数的定义域为（    ） A． B． C． D． 2.函数y＝的最大值是(　　) A．1 B．2 C．3 D．4 3.下列函数中，与函数有相同图象的一个是 A． B． C． D． 4.（多选题）已知函数的值域是，则它的定义域可能是（    ） A． B． C． D． 学科网（北京）股份有限公司 $$ 3.1.1 函数的概念（第2课时） 题型一：判断两个函数是否相等 1.下列各组函数表示同一函数的是（    ） A．， B．， C．， D．， 【答案】D 【知识点】判断两个函数是否相等 【解析】利用函数的定义判断. 【详解】A. 因为定义域为R，的定义域为，故不是同一函数； B. 定义域为R，的定义域为，故不是同一函数； C. 因为定义域为R，，的定义域为，故不是同一函数； D. 因为定义域为R，定义域为R，故是同一函数， 故选：D 2.下列四组函数中，与表示同一函数的是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】判断两个函数是否相等 【详解】A选项中，的定义域为的定义域为，所以二者不是同一函数，所以A错误；B选项中，与的定义域相同，都是，对应法则也相同，所以二者是同一函数，所以B正确；C选项中，的定义域为的定义域为，所以二者不是同一函数，所以C错误；D选项中，的定义域为的定义域为，所以二者不是同一函数，所以D错误． 3.(多选题）下列各组函数是同一个函数的是（    ） A．与 B．与 C．与 D．与 【答案】AC 【知识点】具体函数的定义域、判断两个函数是否相等 【分析】根据函数的“三要素”判断是否为同一个函数. 【详解】对A：只是用不同的字母表示变量，所以是同一个函数，故A正确； 对B：因为函数的定义域为，函数的定义域为，所以与不是同一个函数，故B错误； 对C：函数与的定义域都是，对应关系一样，故它们是同一个函数，故C正确； 对D：函数的定义域是：，函数的定义域是：，定义域不一致，所以它们不是同一个函数，故D错误. 故选：AC 4.(多选题）下列各组函数中，表示同一函数的是（    ） A．， B．， C．， D．， 【答案】AC 【知识点】判断两个函数是否相等 【分析】逐项判断各选项中与的定义域、解析式是否完全相同即可判断两函数是否为同一函数. 【详解】A选项，与定义域都为，定义域、解析式均相同，是同一函数； B选项，的定义域为，的定义域为，定义域不同，不是同一函数； C选项，，与定义域、解析式均相同，是同一函数； D选项，的定义域为，，两函数定义域相同但解析式不同，不是同一函数. 故选：AC 题型二：抽象函数的定义域、复合函数的定义域 1.若函数的定义域为，则函数的定义域为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】抽象函数的定义域、复合函数的定义域 【分析】先由函数的定义域为，求出的定义域，再与，求交集可得答案. 【详解】解：因为函数的定义域为， 所以中，即， 又，得， 故选：B 【点睛】此题考查求抽象函数的定义域，属于基础题. 2.已知的定义域为，则的定义域为（ ） A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】抽象函数的定义域 【详解】利用抽象函数定义域的解法即可得解. 【分析】因为的定义域为，即，则， 所以，所以的定义域为. 故选：C. 3.已知函数的定义域为，则函数的定义域为 A． B． C． D． 【答案】A 【知识点】抽象函数的定义域 【分析】根据抽象函数定义域的求解方法可得不等式组，解不等式组求得结果. 【详解】定义域为    ，解得： 的定义域为 故选 【点睛】本题考查抽象函数定义域的求解问题，属于基础题. 4.若的定义域为，的定义域为，那么（   ） A． B．A⫌B C． D． 【答案】B 【知识点】具体函数的定义域、抽象函数的定义域 【分析】分别求出集合，由集合间的关系和集合的运算对选项一一判断即可得出答案. 【详解】由题意得： 的定义域为 ，所以， 则的定义域为： ，所以且， 则，则A错；，则D错； ⫋，则C错，B正确． 故选：B. 题型三 复合函数的定义域 1.若函数的定义域为，则函数的定义域为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【知识点】复合函数的定义域 【分析】由已知求出中的取值范围，它即为中的范围，再结合分母不等于0，二次根式中被开方数非负得出结论． 【详解】中，，则， 所以函数中，解得， 故选：A． 2.若函数的定义域是，则函数的定义域是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【知识点】复合函数的定义域 【分析】由已知求得的取值范围，此范围也即为中的范围，也即通过函数的定义域求解，从而可得结论． 【详解】函数的定义域是，，所以的定义域是， 故对于函数，有，解得， 从而函数的定义域是， 故选：D. 3.已知函数的定义域为，则函数的定义域是 A． B． C．R D． 【答案】D 【知识点】复合函数的定义域、抽象函数的定义域 【分析】由已知函数的定义域可得，求解不等式组得答案． 【详解】由的定义域为， 则函数的定义域满足，解得或． 即函数的定义域是． 故选：D． 4.已知函数的定义域是，求的定义域. 【答案】. 【知识点】复合函数的定义域、抽象函数的定义域 【解析】利用给出的函数f（x）的定义域，由分别在函数f（x）的定义域内联立不等式组求解x的取值集合即可得到答案． 【详解】的定义域是，且， 则 即.的定义域为. 【点睛】本题考查复合函数的定义域求法，根据函数定义域之间的关系求解即可，注意函数的定义域始终为自变量x的范围这一概念，属于基础题. 题型四：区间的定义与表示 1.区间(－3，2]用集合可表示为（    ） A．{－2，－1，0，1，2} B．{x|－3<x<2} C．{x|－3<x≤2} D．{x|－3≤x≤2} 【答案】C 【知识点】区间的定义与表示 【分析】根据区间和集合的关系，即可容易求得结果. 【详解】由区间和集合的关系， 可得区间(－3，2]可表示为{x|－3<x≤2}， 故选：C. 【点睛】本题考查集合的区间表示法，属简单题. 2.若[a,3a－1]为一确定区间，则a的取值范围是 ． 【答案】 【知识点】区间的定义与表示 【详解】由题意3a－1>a，得a>,故填 3.已知集合，集合 （1）若集合，则实数m的取值范围（用区间表示）是 ； （2）若，则实数m的取值范围（用区间表示）是 ． 【答案】 【知识点】根据集合的包含关系求参数、区间的定义与表示 【分析】（1）利用空集的定义及区间的表示法可求解； （2）利用子集的定义及区间的表示法即可求解. 【详解】（1）由，得，解得， 所以实数m的取值范围是. （2）当时，，解得， 当时，要使，则 ，解得， 综上所述，实数m的取值范围为. 故答案为:；. 4.若[2a＋1，3a－1]为一确定区间，则实数a的取值范围为 ． 【答案】(2，＋∞) 【知识点】区间的定义与表示 【分析】由已知可得3a－1＞2a＋1，解出不等式得到实数a的取值范围． 【详解】由题意知3a－1＞2a＋1，即a＞2. 故答案为：(2，＋∞) 【点睛】本题考查了区间的概念及其应用问题，是基础题． 题型一：已知函数的定义域求参数、根据值域求参数的值或者范围、常见（一次函数、二次函数、反比例函数等）的函数值域 1.已知函数的定义域为，则函数的值域为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【知识点】常见（一次函数、二次函数、反比例函数等）的函数值域 【分析】直接计算出所有函数值即可. 【详解】因为， 所以函数的值域为. 故选：D 2.若函数的定义域和值域都是，则a的值为（    ） A．3或 B．3 C． D．不确定 【答案】B 【知识点】已知函数的定义域求参数、根据值域求参数的值或者范围、常见（一次函数、二次函数、反比例函数等）的函数值域 【解析】讨论二次项系数的取值，判断函数的定义域、值域是否符合题意即可求解. 【详解】当时，是二次函数，当其定义域是时，值域不是，不符合题意；当时，解得或， 若，则，是常数函数，值域为，不符合题意； 若，则，其图象是一条直线，值域为，符合题意. 故选：B. 【点睛】本题考查一次函数、二次函数、常函数的定义域、值域，属于基础题. 3.若函数的定义域为，0，2，，则其值域为　　 A．，0， B．，0，2， C． D． 【答案】A 【知识点】常见（一次函数、二次函数、反比例函数等）的函数值域 【分析】直接把，0，2，3代入函数解析式求出函数值得答案． 【详解】解：的定义域为，0，2，， ，，，． 函数，，0，2，的值域为，0，． 故选：． 【点睛】本题考查函数的值域，考查了函数值的求法，属于基础题． 4.（多选题）已知函数的值域是，则它的定义域可能是（    ） A． B． C． D． 【答案】ACD 【知识点】常见（一次函数、二次函数、反比例函数等）的函数值域、二次函数的定义域、求二次函数的值域或最值 【分析】根据题意令，，求出对应的x值，结合二次函数的性质以及选项即可求解. 【详解】令，解得； 令，解得； 由二次函数的图象与性质可得，若要使函数的值域是， 则它的定义域是可能是，，． 故选：ACD． 题型二：函数关系的判断 1.（多选题）下列四个选项中能表示函数的图象的是（    ） A． B． C． D． 【答案】BD 【知识点】函数关系的判断 【分析】根据函数的定义即可判断 【详解】由函数的定义可知，对定义域内的任何一个变量有唯一的一个变量与之对应，所以B，D满足函数的定义．因为A，C中，都存在一个对应着两个的情况，所以不符合题意． 故选：BD 2.（多选题）下列四个图形各表示两个变量x，y的对应关系，其中表示y是x的函数关系的是（    ） A． B． C． D． 【答案】BC 【知识点】函数关系的判断 【分析】根据函数的知识求得正确答案. 【详解】函数是一一对应或多对一对应关系，所以AD选项错误，BC选项正确. 故选：BC 3.下列选项中，y可表示为x的函数的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【知识点】函数关系的判断 【解析】利用函数的定义，对ABCD一一验证. 【详解】对于A:令x=0，找不到y与之对应，故A错误； 对于B: 令x=4， y可以取，故B错误； 对于C: 令x=2， y可以取，故B错误； 对于D: 可转换为，是一一对应，符合函数的定义，故D正确. 故选：D 【点睛】判断一个解析式是否为函数，看是否符合函数的定义，从对应的角度来看：一一对应和多对一可以构成函数，一对多不能构成函数. 4.（多选题）下列从集合到集合的对应关系中是函数的是（    ） A． B． C． D． 【答案】AB 【知识点】函数关系的判断 【分析】根据函数的定义逐一判断即可. 【详解】结合函数定义可知集合中任意一个元素在集合中都有唯一确定的元素与之对应， 故A，B正确； 集合中7在集合中没有元素与之对应，故C错误； 集合中3在集合中有两个元素与之对应，4没有元素与之对应，故D错误. 故选：AB. 题型三： 求函数值 1.已知函数在上是单调函数，且满足对任意，都有，则的值是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】求函数值、求抽象函数的解析式 【分析】令，代入知，由此可求得的值，得到解析式，由此求得结果. 【详解】在上是单调函数，可令，， ，解得：，， . 故选：C. 【点睛】关键点点睛：本题考查函数值的求解问题，解题关键是能够利用换元法，结合函数为单调函数构造方程求得参数值，从而得到函数的解析式. 2.已知函数的定义域为，且，，则的值是（    ） A．9 B．10 C．11 D．12 【答案】D 【知识点】求函数值 【分析】由赋值法先得，再由与关系列式求解． 【详解】中令，则， 中令，，则， 又中令，则，所以， 中，令，则， 再令，，则． 故选：D 3.已知三次函数，且，，，则（    ） A．2023 B．2027 C．2031 D．2035 【答案】D 【知识点】求函数值、已知函数值求自变量或参数 【分析】根据题意，构造函数，根据可以知道，进而代值得到答案. 【详解】设，则，所以，所以，所以. 故选：D. 4.（多选题）已知f(x)=(x≠±1)，则下列各式成立的是（    ） A． B． C． D． 【答案】CD 【知识点】求函数值 【解析】逐个选项代入验证即可 【详解】解：因为f(x)=(x≠±1)， 所以，所以A错误； 因为，所以B错误，D正确； 因为，所以C正确， 故选：CD 题型四：复杂（根式型、分式型等）函数的值域 1.函数的值域是（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】复杂（根式型、分式型等）函数的值域 【分析】先求出，容易求出，从而求出1≤y2≤2，进而得出该函数的值域． 【详解】； ∵； ∴1≤y2≤2； ∵y＞0； ∴； ∴原函数的值域为． 故选：C． 【点睛】本题考查函数值域的概念及求法，不等式a2+b2≥2ab的应用． 2.函数的值域为                                             （    ） A． B． C． D． 【答案】D 【知识点】复杂（根式型、分式型等）函数的值域、求二次函数的值域或最值 【分析】本题通过换元法求值域，先令，将函数转化成二次函数进行求解. 【详解】函数的定义域是，令，则， ，所以， 因为，所以，所以原函数的值域为． 故选：D. 3.设，用表示不超过的最大整数，则称为高斯函数，例如：，．已知函数，则函数的值域是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】复杂（根式型、分式型等）函数的值域、基本（均值）不等式的应用、函数新定义 【分析】求得，当时，将函数化简变形得，令，然后分和两种情况结合基本不等式可求出的取值范围，从而可求出的值域，再由高斯函数的定义求出的值域. 【详解】显然，． 当时，． 令，当时，，当且仅当时等号成立， 则； 当时，，当且仅当时等号成立， 则． 综上所述，的值域为， 所以根据高斯函数的定义，函数的值域是， 故选：C． 4.（多选题）记，定义域为，则下列选项正确的是（    ） A．为中心对称函数 B．的值域为 C．集合为的子集，若，则S可以为 D．，且满足，则 【答案】ACD 【知识点】求函数值、复杂（根式型、分式型等）函数的值域、判断或证明函数的对称性 【分析】利用一次分式函数的性质（图象由反比例函数图象平移可得），计算可得对称点坐标，判断A，可用反解法求得函数值域（也可用特殊值）判断B，计算函数值后可判断C，利用C中计算结果，令代入计算求出判断D． 【详解】, 所以的图象关于点对称．A正确； ，因此B错； ，，，所以S可以为，C正确； 令  ① 令  ② 令  ③ 结合①②③可得，D正确． 故选：ACD． 1.已知函数的定义域为，则函数的定义域为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【知识点】抽象函数的定义域 【分析】依题意得，解出该不等式组即可得解. 【详解】因为函数的定义域为， 所以，， 所以函数的定义域为. 故选：A. 2.函数y＝的最大值是(　　) A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】D 【详解】当x≤0时，2x＋3≤3；当0<x≤1时，3<x＋3≤4；当x>1时，－x＋5<4. 综上可知，当x＝1时，y有最大值4.选D. 点睛：分段函数的最值 由于分段函数在定义域不同的子区间上对应不同的解析式，因而求其最值的常用方法是先求出分段函数在每一个子区间上的最值，然后取各区间上最大值中的最大者作为分段函数的最大值，各区间上最小值中的最小者作为分段函数的最小值． 3.下列函数中，与函数有相同图象的一个是 A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】判断两个函数是否相等 【分析】逐一考查选项中的函数与所给的函数是否为同一个函数即可确定其图象是否相同. 【详解】逐一考查所给的选项： A. ，与题中所给函数的解析式不一致，图象不相同； B. ，与题中所给函数的解析式和定义域都一致，图象相同； C. 的定义域为，与题中所给函数的定义域不一致，图象不相同； D. 的定义域为，与题中所给函数的定义域不一致，图象不相同； 故选B. 【点睛】本题主要考查函数相等的概念，需要同时考查函数的定义域和函数的对应关系，属于中等题. 4.（多选题）已知函数的值域是，则它的定义域可能是（    ） A． B． C． D． 【答案】BCD 【知识点】根据函数的值域求定义域 【分析】对四个选项依次求解相应的值域，得到答案. 【详解】A选项，当时，，故，A错误； B选项，当时，，故，B正确； C选项，当时，，故，C正确； D选项，当时，，故，D正确. 故选：BCD 学科网（北京）股份有限公司 $$