4 第二十四章达标测试卷-【全程突破】2025-2026学年九年级数学全一册同步训练（人教版2012）
2025-08-07
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教辅
摘要：
该初中数学课件聚焦九年级第二十四章“圆”的达标测试，涵盖圆的基本性质、位置关系、切线判定、扇形及圆锥计算等核心知识点，通过基础题导入逐步过渡到综合应用题，构建从概念理解到问题解决的学习支架。
其亮点在于分层设计题目，融合数学思维（如切线证明的逻辑推理）与数学语言（如拱桥问题的模型构建），实例包括选择填空基础题、解答题中的证明与探究题，助力学生发展推理能力与应用意识，为教师提供系统的达标检测工具，提升教学效率。
内容正文：
九年级数学全一册（R）课件
第二十四章达标测试卷
一、选择题(本大题共10小题，每小题3分，共30分)
1.圆外一点到圆的最大距离是8，最小距离是2，则这个圆的半径为( )
A.6 B.3
C.8 D.4
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B
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2.如图，在☉O中﹐＝，∠AOB＝45°，则∠COD＝( )
A.60°
B.45°
C.30°
D.40°
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第2题图
B
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3.如图，在☉O中，∠AOC＝108°，则∠ABC的度数是( )
A.36°
B.45°
C.54°
D.72°
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第3题图
C
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4.如图，AB是☉O的直径，弦CD⊥AB于点E，OC＝15，CD＝24，则
OE＝( )
A.6
B.6
C.9
D.12
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第4题图
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5.正八边形的中心角的度数是( )
A.30° B.45°
C.60° D.90°
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6.如图，扇形OAB是圆锥的侧面展开图，若小正方形方格的边长为1 cm，则这个圆锥的底面半径为( )
A. cm
B. cm
C. cm
D. cm
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第6题图
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7.在平面直角坐标系中，☉O的半径为5，圆心O的坐标为(0，0)，点P的坐标为(3，4)，则点P与☉O的位置关系是( )
A.点P在☉O内 B.点P在☉O上
C.点P在☉O外 D.点P在☉O上或☉O外
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8.如图，从☉O外一点P引圆的两条切线PA，PB，切点分别是A，B，若∠APB＝60°，PA＝5，则弦AB的长是( )
A.
B.
C.5
D.5
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第8题图
C
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9.如图，点A，B，C，D在☉O上，OA⊥BC，垂足为E.若∠ADC＝30°，AE＝1，则BC＝( )
A.2
B.4
C.
D.2
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第9题图
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10.如图，AD是半圆的直径，点C是弧BD的中点，∠ADC＝55°，则∠BAD等于( )
A.50°
B.55°
C.65°
D.70°
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第10题图
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二、填空题(本大题共5小题，每小题3分，共15分)
11.已知☉O的半径为8，直线AB与☉O相交，则圆心O到直线AB距离d的取值范围是 .
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0≤d＜8
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12.一个扇形的弧长是10π cm，面积是75π cm2，则扇形的圆心角是 .
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120°
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13.若圆锥的底面直径为2，母线长为3，则这个圆锥的侧面积为 .
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3π
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14.如图，已知正五边形ABCDE内接于☉O，则∠OCD的度数为_______°.
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第14题图
54
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15.如图，在扇形AOB中，∠AOB＝90°，将扇形AOB进行折叠，使点O落在弧AB的中点C处.若折痕DE＝4，则图中阴影部分的面积为 .
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第15题图
4π－8
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解：∵AC∥OB，
∴∠OCA＝∠BOC＝40°.
∵OA＝OC，
∴∠A＝∠OCA＝40°，
∴∠AOC＝180°－∠A－∠OCA＝180°－40°－40°＝100°.
三、解答题(一)(本大题共3小题，每小题7分，共21分)
16.如图，在☉O中，弦AC∥半径OB，∠BOC＝40°，求∠AOC的度数.
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17.若圆心角为120°的扇形的弧长为π，则这个扇形的面积是多少？
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解：设圆的半径为r，
由题意，得πr＝π，
∴r＝1，
∴扇形的面积为××1＝.
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证明：如图，连接OD，
∵AB为直径，
∴∠ADO＋∠BDO＝90°.
∵OD＝OB，
∴∠BDO＝∠PBD.
18.如图，AB是☉O的直径，AD，BD是弦，点P在BA的延长线上，且∠PDA＝∠PBD，求证：PD是☉O的切线.
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又∵∠PDA＝∠PBD，
∴∠PDA＝∠BDO，
∴∠ADP＋∠ADO＝90°，
∴OD⊥PD.
∵OD是☉O的半径，
∴PD是☉O的切线.
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四、解答题(二)(本大题共3小题，每小题9分，共27分)
19.如图，在△ABC中，∠C＝90°.
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(1)实践与操作：用尺规作图法作∠A的平分线AD交BC于点D(保留作图痕迹，不要求写作法)；
解：如图，AD即为所作；
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解：证明：如图，☉D即为所作，作DE⊥AB于点E，
∵AD是∠CAB的平分线，DC⊥AC，DE⊥AB，
∴DE＝DC，
∴DE是☉D的半径.
又∵DE⊥AB，
∴AB与☉D相切.
(2)应用与证明：在(1)的条件下，以点D为圆心，DC长为半径作☉D.求证：AB与☉D相切.
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20.如图，已知在△ABC中，AB＝AC，∠A＝45°，AB为☉O的直径，AC交☉O于点E，连接BE.
(1)求∠EBC的度数；
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解：∵AB为圆O的直径，
∴∠AEB＝90°，
∴∠ABE＝90°－45°＝45°.
∵AB＝AC，
∴∠ABC＝∠ACB＝＝67.5°，
∴∠EBC＝∠ABC－∠ABE＝22.5°.
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解：证明：如图，连接AD，
∵AB是直径，
∴∠ADB＝90°，
∴AD⊥BC.
∵AB＝AC，
∴BD＝DC.
(2)求证：BD＝CD.
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解：设圆弧所在圆的圆心为O，连接OA，
OA'，OM，易知点P，M，O在一条直线上，
设半径为x m ，则OA＝OA'＝OP＝x m，
由垂径定理可知AM＝BM，A'N＝B'N，
21.如图，有一座圆弧形拱桥，它的跨度AB为30 m，拱高PM为9 m，当洪水泛滥到跨度只有15 m时，就要采取紧急措施.若某次洪水中，拱顶离水面只有2 m，即PN＝2 m.
(1)求拱桥所在的圆的半径；
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∵AB＝30 m，
∴AM＝AB＝15 m.
在Rt△AOM中，OM＝OP－PM＝(x－9)m，
由勾股定理可得AO2＝OM2＋AM2，
即x2＝(x－9)2＋152，解得x＝17，
即拱桥所在的圆的半径为17 m.
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(2)通过计算说明是否需要采取紧急措施.
解：∵OP＝17 m，
∴ON＝OP－PN＝17－2＝15 m.
在Rt△A'ON中，由勾股定理可得
A'N＝＝＝8 m，
∴A'B'＝2A'N＝16 m＞15 m，
∴不需要采取紧急措施.
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五、解答题(三)(本大题共2小题，第22题13分，第23题14分，共27分)
22.如图，AD是△ABC的外角∠EAC的平分线，与△ABC的外接圆☉O交于点D，∠EAC＝120°.
(1)求的度数；
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解：如图，连接OB，OC.
∵∠EAC＝120°，
∴∠BAC＝60°，
∴∠BOC＝2∠BAC＝2×60°＝120°，
即的度数为120°.
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解：证明：∵AD是△ABC的外角∠EAC的平分线，
∴∠DAC＝∠EAC＝×120°＝60°，
∴∠DBC＝∠DAC＝60°，
由(1)知∠BDC＝∠BAC＝60°，
∴△BDC是等边三角形，
∴BD＝CD.
(2)连接DB，DC，求证：DB＝DC；
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解：AC＝AD＋AB，证明如下：
如图，延长AD至点F，使DF＝AB，连接CF，
∵四边形ABCD是☉O的内接四边形，
∴∠ADC＋∠ABC＝180°.
∵∠ADC＋∠CDF＝180°，
∴∠ABC＝∠CDF.
(3)探究线段AD，AB，AC之间的数量关系，并证明你的结论.
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由(2)知△BDC是等边三角形，
∴BC＝CD，
∴△FDC≌△ABC(SAS)，
∴∠ACB＝∠DCF，AC＝CF，
∴∠ACF＝∠BCD＝60°，
∴△ACF是等边三角形，
∴AC＝AF＝AD＋DF＝AD＋AB.
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解：△ABD是等边三角形，理由如下：
∵AB是半圆O的直径，
∴AC⊥BC.
又∵CD＝BC，
∴AD＝AB.
23.(综合探究)如图，已知AB＝10，以AB为直径作半圆O，半径OA绕点O顺时针旋转得到OC，点A的对应点为C，当点C与点B重合时停止.连接BC并延长到点D，使得CD＝BC，过点D作DE⊥AB于点E，连接AD，AC.
(1)如图1，当点E与点O重合时，判断△ABD的形状，并说明理由；
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∵点E与点O重合，
∴AE＝BE.
∵DE⊥AB，
∴AD＝BD，
∴AD＝AB＝DB，
∴△ABD是等边三角形.
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解：∵AB＝10，
∴AO＝BO＝5，
当点E在AO上时，AE＝AO－OE＝4，BE＝BO＋OE＝6.
由(1)得AD＝AB＝10，DE⊥AO，
∴在Rt△ADE和Rt△BDE中，
由勾股定理得AD2－AE2＝BD2－BE2，
即102－42＝BD2－62，
解得BD＝2，
(2)如图2，当OE＝1时，求BC的长；
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∴BC＝BD＝；
当点E在OB上时，同理可得102－62＝BD2－42，
解得BD＝4，
∴BC＝BD＝2.
综上所述，BC的长为或2.
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解：PC⊥AD.理由如下：
如图3，连接OC.
∵点C是BD的中点，点O是AB的中点，
∴OC是△ABD的中位线，
∴OC∥AD.
又∵PC与半圆O相切，
∴PC⊥OC，∴PC⊥AD.
(3)如图3，若点P是线段AD上一点，连接PC，当PC与半圆O相切时，判断直线PC与AD的位置关系，并说明理由.
图3
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