培优02 绝对值贯穿有理数的十大经典问题（专项训练）数学北师大版2024七年级上册

培优02 绝对值贯穿有理数的十大经典问题 题型1 根据绝对值的非负性求解 根据绝对值或平方的非负性可知，如果几个非负数和为0，那么每一个非负数为0. 1．（24-25七年级上·安徽亳州·阶段练习）已知a、b互为相反数，c、d互为倒数；m、n满足，求的值． 【答案】 【分析】此题考查了求代数式的值，相反数、倒数的定义、非负数的性质等知识，整体代入是关键．根据相反数、倒数的定义得到，根据非负数的性质得到，代入求值即可． 【详解】解：因为a、b互为相反数，c、d互为倒数， 所以， 因为 所以, 所以 所以= 2．（24-25七年级上·广东广州·期中）如图是某同学制作的“火炬模型”截面图，该图分别由半圆、长方形、三角形三个图形组成．已知三角形的高和长方形的长记为，长方形的宽记为． (1)用含，的式子表示该模型截面图的面积； (2)若有理数，满足，求该模型截面图的面积． 【答案】(1) (2) 【分析】本题主要考查了代数式求值，解题关键是理解题意，列出算式． （1）根据该模型截面图的面积=半径为a的半圆的面积+长为，宽为b的长方形的面积+底为，高为b的三角形的面积，列出算式进行计算即可； （2）根据绝对值和偶次方的非负性，列出关于a，b的方程，解方程求出a，b，再代入（1）中所求式子进行计算即可． 【详解】（1）解： （2）解：有理数，满足， ，， ，， ． 3．（24-25七年级上·甘肃兰州·期中）已知|ab-2|与|b-1|互为相反数，试求代数式的值． 【答案】 【分析】本题考查了代数式求值，利用相反数的性质列出关系式，再利用非负数的性质求出a与b的值，代入原式后拆项变形，抵消合并即可得到结果． 【详解】解：根据题意得：， 解得：， ∴ ． 4．（24-25七年级上·广东广州·期中）已知，求的值． 【答案】 【分析】本题考查了非负数的性质，代数式求值，先根据非负数的性质求出的值，再代入计算即可． 【详解】解：∵， ∴ 解得， ∴． 题型2 已知数轴上点的位置/字母的取值范围化简绝对值 5．（23-24七年级上·江苏扬州·阶段练习）如图，数轴上的三点A、B、C分别表示有理数a、b、c． (1)若，求的值； (2)化简． 【答案】(1)； (2)． 【分析】本题考查了数轴与绝对值，代数式求值，合并同类项，根据数轴正确判断式子正负是解题关键． （1）根据数轴和绝对值的意义可得，，，再代入计算求值即可； （2）由数轴可知，，进而判断式子正负，再去绝对值，合并同类项即可． 【详解】（1）解：由数轴可知，， ， ，，， ； （2）解：由数轴可知，，， ，，， 6．（24-25七年级上·甘肃兰州·期中）有理数a、b、c在数轴上的位置如图所示，化简：． 【答案】 【分析】此题主要考查了数轴以及绝对值，正确得出各式的符号是解题关键．直接利用数轴上，，的位置进而得出，，，，再去绝对值即可． 【详解】解：由数轴可得：，，，， ∴，，，， ． 7．（24-25七年级上·陕西宝鸡·期中）已知有理数在数轴上的对应点的位置如图所示，化简：． 【答案】 【分析】本题考查了化简绝对值，整式的加减，利用数轴比较有理数的大小，正确掌握相关性质内容是解题的关键．先由数轴得，则，再结合绝对值的性质化简，即可作答． 【详解】解：由数轴得， ∴， ∴ ． 8．（24-25七年级上·江苏南京·期中）有理数在数轴上的位置如图所示． (1)用“”或“”填空：______0，______0，______0； (2)化简：． 【答案】(1)，， (2) 【分析】本题考查了有理数与数轴的关系，有理数的运算法则及绝对值的意义，熟练掌握有理数的运算法则及绝对值的意义是解答本题的关键． （1）根据有理数在数轴上的位置，结合加法和减法法则计算即可； （2）根据绝对值的意义，结合（1）的结论求解即可． 【详解】（1）解：∵从数轴可知：，， ∴，，， 故答案为：，，． （2）解：∵从数轴可知：，， ∴，，， ∴ ． 9．（23-24七年级上·四川广元·期中）如图，点和表示的数分别为和，若是绝对值最小的数．    (1)求的值； (2)若，求的值； (3)若，化简． 【答案】(1) (2)或 (3) 【分析】本题考查数轴，绝对值，解答的关键是由数轴得到相应的，的范围，并熟记负数的绝对值是其相反数． （1）绝对值最小的数是0，从而得； （2）根据绝对值的性质得出或，即可得出答案； （3）由数轴得出，，根据绝对值的性质化简即可得答案． 【详解】（1）解：∵是绝对值最小的数， ∴． （2）解：∵ ∴或， 解得：或． （3）解：由数轴可知：，， ∵, ∴，， ∴ ． 题型3 利用绝对值的意义求字母的取值范围 正数的绝对值是它本身；0绝对值是0；负数的绝对值是它的相反数，即绝对值的代数意义可以用式子表示为：. 【易错】若|a|=a（或|a|-a=0），则a≥0，若|a|= -a（或|a|+a=0），则a≤0.（错误原因：忽视关键数0） 10．（24-25七年级上·北京·期中）若成立，那么x的取值范围是 ． 【答案】 【分析】此题考查了绝对值的性质，根据题意得出，得到或，然后分情况验证即可． 【详解】∵成立， ∴ ∴或 ∴当时，，，等式成立； 当时，，，等式不成立； 综上所述，x的取值范围是． 故答案为：． 11．（2024七年级上·全国·专题练习）若，则a的取值范围是 ；若，则a的取值范围是 ． 【答案】 【分析】本题考查绝对值的意义，熟练掌握绝对值的意义是解题的关键． 直接利用绝对值的意义得出答案． 【详解】解：若，则a的取值范围是； 若，则a的取值范围是． 故答案为：；． 12．（24-25七年级上·江苏南京·阶段练习）若有理数满足，则的取值范围是 ． 【答案】 【分析】本题考查了绝对值的意义．分三种情况进行讨论：当时，当时，当时，分别进行求解即可． 【详解】解：当时，原式可变为， 此方程无解； 当时，原式可变为， 解得：，不符合题意； 当时，原式可变为， 方程一定成立； 综上分析可知：有理数满足，则的取值范围是． 故答案为：． 13．（23-24七年级上·江苏无锡·阶段练习）若对一切数都成立，则的取值范围是 ． 【答案】 【分析】本题考查绝对值的意义熟练掌握绝对值的意义将问题转化为求的最大值是解题的关键由表示数轴上点到、的距离的差则求出的最大值即可求的范围 【详解】解：表示数轴上点到、的距离的差， ∴当时，的值最大， ∴， ∵对一切实数都成立， ∴， 故答案为: 14．（23-24七年级上·陕西西安·阶段练习）已知关于x的方程无解，则的取值范围是 ． 【答案】或 【分析】本题考查含绝对值符号的一元一次方程，绝对值的几何意义； 表示的几何意义是数轴上对应的点到和对应的点距离之和，当对应的点在和对应的点之间任意位置时，有最小值，最小值为．因此，若方程无解，必有，从而求出的取值范围即可． 【详解】解：表示的几何意义是数轴上对应的点到和对应的点距离之和， 当对应的点在和对应的点之间任意位置时，有最小值，最小值为． 当时，方程无解． ， 或， 或． 故答案为：或． 题型4 解绝对值方程 在解含有绝对值的方程时需要运用分类讨论思路，转化为一般方程再解方程即可. 15．（24-25七年级上·广西南宁·阶段练习）先阅读下列解题过程，然后解答问题． 解方程：． 解：当时，原方程可化为，它的解是．当时，原方程可化，它的解是． ∴原方程的解为或． (1)依例题的解法，方程的解是______； (2)解方程：． 【答案】(1)或 (2)或． 【分析】本题考查了含绝对值符号的一元一次方程的应用，关键是能去掉绝对值符号，用了分类讨论思想． （1）分为两种情况：①当时，②当时，去掉绝对值符号后求出即可； （2）分为两种情况：①当时，②当时，去掉绝对值符号后求出即可． 【详解】（1）解：∵ ∴①当时，原方程可化为，它的解是； ②当时，原方程可化为，它的解是． ∴原方程的解为或． 故答案为：或． （2）解：∵ ∴①当时，原方程可化为，它的解是； ②当时，原方程可化为，它的解是． ∴原方程的解为或． 16．（2024七年级上·全国·专题练习）先阅读，后解题： 因为，，所以当时，可得或．若解方程，可将绝对值符号内的看成一个整体，则可得或，分别解方程可得或．利用上面的知识，解方程： (1)； (2)． 【答案】(1)或 (2)或 【分析】本题考查解含绝对值的一元一次方程，熟练掌握解一元一次方程的方法，绝对值的意义是解题的关键． （1）根据绝对值的意义，可得或，求出两个一元一次方程的解即可； （2）根据绝对值的意义，可得或，求出两个一元一次方程的解即可． 【详解】（1）解：∵， ∴或， 解得或； （2）解：∵， ∴或， 解得或． 17．（2024七年级上·全国·专题练习）阅读材料：由绝对值的意义可知：当时，__________；当时，__________．利用这一特性，可以帮助我们解含有绝对值的方程．比如：方程，当时，原方程可化为3，解得；当时，原方程可化为，解得． 所以原方程的解是或． (1)请补全题目中横线上的结论； (2)仿照上面的例题，解方程：； (3)若方程有解，则应满足的条件是__________． 【答案】(1)， (2)或 (3) 【分析】本题考查了含绝对值号的一元一次方程． （1）根据绝对值的定义即可得到结论； （2）仿照例题，根据绝对值的定义解方程即可得到结论； （3）仿照例题，根据绝对值的意义即可得到结论． 【详解】（1）解：当时，； 当时，； 故答案为：，； （2）解：原方程化为， 当时，方程可化为， 解得：， 当时，方程可化为， 解得：， 所以原方程的解是或； （3）解：∵方程有解， ∴， 故答案为：． 18．（2024七年级上·全国·专题练习）解方程： 【答案】或 【分析】本题考查了化简绝对值，解一元一次方程，正确分类讨论，去绝对值是解题的关键． 分类讨论，分别解一元一次方程即可． 【详解】解：当时，则， 解得：； 当时，则， 解得：，不符合题意，舍； 当时，则， 解得：， ∴或． 19．（24-25七年级上·湖北孝感·期末）阅读下列材料并解决有关问题： 我们知道，现在我们可以用这一结论来化简含有绝对值的代数式，如化简代数式时，可令和，分别求得和，我们称分别为与的零点值． 在数轴上分别找出零点值对应点，这两点将数轴分为三部分（如图），在有理数范围内，这三部分可将全体有理数分成不重复且不遗漏的如下3种情况：（1）；（2）；（3）．从而化简代数式可分以下3种情况： （1）当时，原式； （2）当时，原式； （3）当时，原式． 综上讨论，原式． 通过以上阅读，请你解决以下问题： (1)直接写出和的零点值分别为______和______； (2)化简代数式； (3)解方程． 【答案】(1)，4 (2)原式 (3)或 【分析】本题主要考查绝对值及一元一次方程，理解零点及化简带绝对值的代数式的方法是解答本题的关键． （1）阅读材料，根据零点值的求法，即绝对值里面的代数式等于，即可解答； （2）根据阅读材料中，化简绝对值的代数式的方法，根据的取值范围，分为三种情况，根据绝对值的性质解答即可； （3）根据（2）中的化简结果列方程求解即可． 【详解】（1）解：分别令和， 解得和， 则和的零点值分别为和； （2）解：由（1 ）知和的零点值分别为和； ①当时，原式； ②当时，原式； ③当时，原式． 综上讨论，原式； （3）解：当时，原方程即为，解得 当时，原方程即为，解得 当时，原方程即为，解得，不符合题意，舍去． 所以，原方程分解为或 题型5 绝对值中的最值问题 若绝对值的个数为奇数，则当x对应的点取中间点时，式子有最小值； 若绝对值的个数为偶数，则当x对应的点在中间段(包括端点)时，式子有最小值. 解题大招：奇取中间点，偶取中间段. 注意：若x的系数不为1，可以将其拆分为多个系数为1 的含绝对值的代数式之和，这时候相等的零点的值依旧一一罗列. 20．（24-25七年级上·河南驻马店·期中）如图，已知数轴上有A，B两个点，分别表示有理数－6，4．若x表示一个有理数． (1)数轴上点A到点B的距离为______；数轴上到点A、B的距离相等的点表示的有理数为______； (2)若，则______； (3)式子的最小值为______，此时x的取值范围是______； (4)式子有最大值么？若有，请直接写出最大值；若不存在，请说明理由． 【答案】(1)； (2)6或2 (3)8， (4) 【分析】本题考查了数轴、两点之间的距离公式和中点公式、列代数式、绝对值的定义，理解绝对值的几何意义是解本题的关键． （1）根据两点之间的距离公式和中点公式，计算即可； （2）根据绝对值的性质，列出方程即可求解； （3）根据绝对值的几何意义，结合图形，即可解答； （4）把问题转化为式子，当最小时，代数式的值最大，根据绝对值的几何意义分析，得出当x在与3之间时，有最小值8，然后把的最小值8代入代数式，计算即可得出代数式的最大值． 【详解】（1）∵数轴上有两个点，分别表示有理数， ∴数轴上点到点的距离为； ∴数轴上到点的距离相等的点的位置表示的有理数为； 故答案为：； （2）根据题意， ， 解得：或 故答案为：6或2 （3）∵表示数轴上x到3两点之间的距离，表示数轴上x到两点之间的距离， 由图可知， 当或时，， 当时， ∴式子的最小值为8，此时x的取值范围为； 故答案为：8， （4）， 当式子的最小值为8时，有最大值； 此时 的最大值为 21．（24-25七年级上·山东聊城·期中）用字母表示一个有理数，一定是非负数，也就是它的值为正数或者0，所以的最小值为0，而一定是非正数，即它的值为负数或者0，所以有最大值为0，根据这个结论完成以下问题： (1)有最__________值为__________；有最__________值为__________； (2)当__________时，有最__________值__________； (3)当，求的值． 【答案】(1)小，3，大，5 (2)1，小，2 (3) 【分析】本题考查了代数式求值，绝对值非负性，根据几个非负数的和等于0，则每一个算式都等于0，列式是解题的关键． （1）根据非负数的性质，可以求出有最小值；根据，可以求出有最小值； （2）把看作一个整体，根据非负数的性质求解； （3）根据非负数的性质列式求出的值，然后代入进行计算即可得解． 【详解】（1）解：∵， ， 有最小值3， ， ， ∴有最大值5， 故答案为：小；3；大；5． （2）解：∵， ∴， ∴当时，有最小值2， 故答案为：1；小；2． （3）解：∵， ∴，， 解得：，， ∴． 22．（24-25七年级上·安徽宿州·阶段练习）数轴是一个非常重要的工具，它使数和数轴上的点建立起一一对应的关系，揭示了数与点之间的内在联系，它是“数形结合”的基础：我们知道，它的几何意义是数轴上表示4的点与原点（即表示0的点）之间的距离，也就是说，在数轴上，如果点表示的数记为，点表示的数记为，则、两点间的距离就可记作．利用数形结合思想回答下列问题： (1)数轴上表示2和5两点之间的距离是______；数轴上表示3和的两点之间的距离是______． (2)数轴上表示和的两点之间的距离表示______； (3)探究：当时，求的值？ (4)求出的最小值，并写出此时可取哪些整数值？ 【答案】(1)3，5 (2) (3)5或 (4)最小值为4，可取1，2，3，4，5 【分析】本题主要考查了数轴，绝对值的性质，熟练掌握绝对值的几何意义是解题的关键． （1）根据数轴上两点间的距离公式进行计算即可； （2）根据定义用代数式表示； （3）根据几何意义进行求解即可； （4）根据几何意义进行化简求值即可． 【详解】（1）解：数轴上表示2和5两点之间的距离是； 数轴上表示3和的两点之间的距离是； 故答案为：3，5． （2）解：数轴上表示和的两点之间的距离表示； 故答案为：． （3）解：当时， ， 解得或； （4）解：表示数轴上和1两点之间的距离，表示数轴上和5两点之间的距离， 故当时，表示数的点到表示1和5的点的距离之和最小，此时距离为，故可取的整数有1，2，3，4，5． 23．（24-25七年级上·江苏常州·阶段练习）同学们都知道，表示5与的差的绝对值，实际上也可理解为5与两数在数轴上所对应的两点之间的距离，试探索： (1)是所有符合成立条件的整数，则___________； (2)由以上探索猜想，对于任何有理数，的最小值为___________； (3)当为整数时，的最小值为___________； (4)求的最小值． 【答案】(1) (2)3 (3)2 (4) 【分析】本题考查了数轴和绝对值，理解题绝对值的几何意义是解题的关键． （1）当在和2之间时，； （2）当在3和6之间时，的值最小； （3）当时，的值最小； （4）当时，取最小值． 【详解】（1）解：表示的是在数轴上x所对应的点到表示，2两点之间的距离之和等于7， ∴当时，， ∵x是整数， ∴． 故答案为：； （2）解：表示的是在数轴上x所对应的点到表示3，6两点之间的距离之和， 当时，的值最小， 最小值为：， 故答案为：3； （3）解：表示的是在数轴上x所对应的点到表示1，2，3三点之间的距离之和， ∵x为整数， ∴当时，的值最小， ∴最小值为， 故答案为：2； （4）解：表示的是在数轴上x所对应的点到表示数1，2，3，…，1997的点之间的距离之和， ∴当时，的值最小， ∴最小值为 ． 题型6 利用绝对值的性质化简求值 绝对值化简步骤： ①判断绝对值符号里式子的正负； ②将绝对值符号改为小括号：若正数，绝对值前的正负号不变(即本身)； 若负数，绝对值前的正负号改变(即相反数)； ③去括号:括号前是“+”，去括号，括号内不变； 括号前是“-”，去括号，括号内各项要变号； ④化简. 注意:注意改绝对值符号时与去括号时是否需要变号，且变号的正确性. 24．（24-25七年级上·重庆·期中）若有理数a，b，c满足，，，且，，则的值为 . 【答案】6 【分析】本题主要考查了绝对值和有理数的平方和立方，根据题意，得到是解题的关键．先根据绝对值，平方和立方的性质，求出 ，然后根据，可得 ，从而得到，根据得出，最后代入，即可求解． 【详解】解：因为，，， 所以， 因为， 所以 ， 所以， ∵， ∴， ∴． 故答案为：6． 25．（24-25七年级上·全国·期中）已知实数a，b，c满足，，，则的值为 ． 【答案】 【分析】本题考查了绝对值化简求值，有理数乘方运算，由，可判断a，b，c，必有两正一负，据此化简绝对值，求出，代入计算，即可求解；能化简绝对值求出是解题的关键． 【详解】解： ，， a，b，c，必有两正一负， ， ， ， ， ， 故答案为：． 26．（24-25七年级上·陕西西安·期中）已知有理数满足且．若，，则的值为 ． 【答案】 【分析】本题考查了有理数的乘除法与加减法、乘方、绝对值，熟练掌握绝对值的性质是解题关键．先求出，根据绝对值的性质可得，再判断出有理数必有一个正数，两个负数，不妨设，，，从而可求出，然后代入计算即可得． 【详解】解：∵， ∴， ∴， ∵有理数满足且， ∴有理数必有一个正数，两个负数， 不妨设，，， ∴， ∴， 故答案为：． 27．（24-25七年级上·四川成都·期中）已知整数，，，满足，且，那么 ． 【答案】 【分析】本题主要考查有理数的混合运算，根据整除的知识将25分解，从而利用、、、的大小关系确定出各字母的值，继而将各值代入即可得出答案． 【详解】解：∵整数，，，满足，且， ， ∴、、、， ∴ ． 故答案为：． 28．（24-25七年级上·安徽合肥·阶段练习）已知整数的绝对值均小于10，且满足，则的值为 ． 【答案】2或0或或或1 【分析】本题考查了乘方的意义以及乘法法则，一元一次方程的应用，熟练掌握常见的整数的乘方以及学会运用分类讨论思想是解决本题的关键．根据个位数为1可确定出或，再分别讨论时，时，c，b，a的可能值，由此即可求得答案． 【详解】解：∵整数a，b，c，d的绝对值均小于10，且满足， ∴个位上的4一定是由产生的， ∵绝对值小于10的整数中，只有，， ∴或， 当时，则， 当时，则， ∴此时十位上的1或5一定是由c产生的， ∴或或， ∴或或， ∴或或， ∴此时个位上的5或4或6一定是由产生的， ∵绝对值小于10的整数中， ，，，，， ∴，，，，， 将代入，得：， 将代入，得：， 将代入，得：， 将代入，得：, 将代入，得：， 综上所述，a的值为2或0或或或1， 故答案为：2或0或或或1． 题型7 与绝对值有关的多结论问题 29．（24-25七年级上·陕西西安·阶段练习）已知数，，在数轴上的位置如图，下列说法： ①；②；③；④．其中正确结论序号是（   ） A．①④ B．②③ C．②③④ D．①③④ 【答案】C 【分析】本题考查了数轴上点表示有理数，有理数大小的比较，绝对值的意义，数轴的意义，熟练掌握数轴的意义，有理数的大小比较是解题的关键．根据数轴的性质，利用绝对值的意义，有理数的大小比较的原则，逐一判断即可． 【详解】解：如图，根据题意，得，且，，，， ∴， 故①错误； 由，， 故即； 故②正确； ； 故③正确， ， 故④正确． 故选：C． 30．（24-25七年级上·北京·期中）若，且，以下结论：①；②；③；④的所有可能取值为和；其中正确结论是（   ） A．① B．①② C．①②③ D．①②③④ 【答案】C 【分析】本题考查了有理数的加法法则、绝对值的性质、有理数的乘方，根据几个不相等的数的和为可知正确，根据任何数的平方都是非负数可知故正确，根据绝对值的性质可以判断错误． 【详解】解： ，且， 有可能，， 故正确； ， ， ， ， 故正确； ，且， 当、时， ， 当、时， ， 的值只能为， 故错误． 故正确结论是． 故选：C． 31．（24-25七年级上·四川德阳·期末）下列说法中，正确的是 ．（请填写正确的序号） 若，则； 的最大值为2025； 若，则是负数； ，，三点在数轴上对应的数分别是、、6，若相邻两点的距离相等，则； 若代数式的值与的取值无关，则该代数式值为2025； 若，，则的值为1． 【答案】①②⑤⑥ 【分析】本题考查化简绝对值，一元一次方程的应用，整式加减横纵的无关型问题以及数轴上两点之间的距离等知识，解答本题的关键是对于错误的结论，要说明理由或者举出反例．根据各个小题中的说法，可以判断是否正确，尤其是对于错误的结论，我们只要说明理由或者举出反例即可． 【详解】解：①若，则，故①正确； ②的最小值为0，则的最大值为2025，故②正确； ③因为，分类讨论如下： 当，时，，则，，此时； 当，时，，则，，此时； 当，时，，则，，此时； 当，时，，则，，此时； 当时，此时； ，故③错误； ④、、三点在数轴上对应的数分别是、、6，若相邻两点的距离相等， 分类讨论如下： 当三点在数轴上的位置为、、时，此时，解得； 当三点在数轴上的位置为、、时，此时，解得； 当三点在数轴上的位置为、、时，此时，解得； 故或或14，故④错误； ⑤若代数式的值与无关， 则，故⑤正确； ⑥由条件可知、、中一定是一正两负，，，， 不妨设，，， 原式 ，故⑥正确． 故答案为：①②⑤⑥ 32．（24-25七年级上·湖南常德·期中）下列说法中，正确的是 ．（请写出正确的序号） ①若，则； ②的最大值为2； ③若，则是负数； ④三点在数轴上对应的数分别是、x、6，若相邻两点的距离相等，则； ⑤若代数式的值与无关，则该代数式值为2024； ⑥若，则的值为1． 【答案】①②⑤⑥ 【分析】本题考查有理数的混合运算、整式的乘除、平方差公式，解答本题的关键是对于错误的结论，要说明理由或者举出反例．根据各个小题中的说法，可以判断是否正确，尤其是对于错误的结论，我们只要说明理由或者举出反例即可． 【详解】解：①若，则，故①正确； ②的最小值为0，则的最大值为2，故②正确； ③因为， 当，时，，则，，此时； 当，时，，则，，此时； 当，时，，则，，此时； 当，时，，则，，此时；， 当时，此时； ，故③错误； ④、、三点在数轴上对应的数分别是、、6，若相邻两点的距离相等， 当三点在数轴上的位置为、、时，此时，解得； 当三点在数轴上的位置为、、时，此时，解得； 当三点在数轴上的位置为、、时，此时，解得； 故或或14，故④错误； ⑤若代数式的值与无关， 则 ，故⑤正确； ⑥，， 、、中一定是一正两负，，，， 不妨设，，， ，故⑥正确. 故答案为：①②⑤⑥． 题型8 利用分类讨论思想解决绝对值问题 33．（22-23七年级上·辽宁辽阳·期中）已知，且，则的值为 ． 【答案】或 【分析】此题主要考查了绝对值的性质，求解代数式的值，能够根据已知条件正确地判断出，的值是解答此题的关键．根据已知条件判断出，的值，代入，从而得出答案． 【详解】解：，， ∴，， ∵， 必小于，． 当或时，均大于． 所以当时，，代入． 当时，，代入． 故答案为：或． 34．（24-25七年级上·重庆南岸·期末）善于反思的小聪在学习了有理数及其运算后，进行了如下总结与反思．小聪根据典型例题：，；，．得到“互为相反数的两个数的绝对值相等”，“互为相反数的两个数的2次方相等”．请根据小聪的发现完成：若已知，则 ；若，，且，则的值为 ． 【答案】 或 【分析】本题考查的是绝对值的应用，乘方运算的逆运算的含义，求解代数式的值，根据绝对值的含义与乘方运算的逆运算先求解的值，从而可得答案. 【详解】解：∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴时，， ∴或； 故答案为：；或； 35．（24-25七年级上·福建三明·期中）如图，在数轴上有理数对应的点为点，有理数对应的点为点，两点之间的距离表示为或，记为． (1)数轴上表示2和8两点之间的距离是_____，数轴上表示3和的两点之间的距离是_____． (2)数轴上表示和的两点之间的距离表示为_____． (3)当时，求的值． 【答案】(1)6，4 (2)或 (3)或 【分析】本题考查了数轴与绝对值的概念的应用，有理数的加减法，读懂题目信息，理解绝对值的几何意义是解题的关键． （1）根据绝对值的定义即可求解； （2）根据题意即可求解； （3）根据题意得出即为到1距离为3的点，即可解答； 【详解】（1）解：数轴上表示2和8两点之间的距离是， 数轴上表示3和的两点之间的距离是． 故答案为：6，4； （2）解：数轴上表示和的两点之间的距离表示为或， 故答案为：或； （3）解：根据题意可表示为的两点之间的距离为3， 故即为到数字1距离为3的点， 或． 题型9 利用分类讨论思想解决绝对值化简问题）（|a|/a型） 36．（24-25七年级下·黑龙江绥化·期中）在解决数学问题的过程中，我们常用到“分类讨论”的数学思想，下面是运用分类讨论的数学思想解决问题的过程，请仔细阅读，并解答问题． 【提出问题】三个有理数，，满足，求的值． 【解决问题】解：由题意，得，，三个有理数都为正数或其中一个为正数，另两个为负数． ①，，都是正数，即时， 则； ②当，，中有一个为正数，另两个为负数时，不妨设， 则． 综上所述，值为或． 【探究】请根据上面的解题思路解答下面的问题： 三个有理数，，满足，求的值． 【答案】或 【分析】本题考查带有字母的绝对值化简，熟练掌握是解答本题的关键． 根据，判断出，，都是负数或其中一个为负数，另两个为正数，得出，，的正负，原式利用绝对值的代数意义化简计算即可． 【详解】解： ， ，，都是负数或其中一个为负数，另两个为正数， ①，，都是负数，即时， 则， ②当，，中有一个为负数，另两个为正数时，不妨设， 则， 综上所述，值为或． 37．（24-25七年级上·湖北十堰·期末）在解决数学问题的过程中，我们常用到“分类讨论”的数学思想，下面是运用分类讨论的数学思想解决问题的过程，请仔细阅读，并解答下列问题： 【提出问题】三个有理数，，满足，求的值． 【解决问题】 解：由题意，得，，三个有理数都为正数或其中一个为正数，另两个为负数． 当，，都是正数，即，，时，则； 当，，中有一个为正数，另两个为负数时，设，，，则． 所以的值为或． 【探究】请根据上面的解题思路解答下面的问题： (1)已知，，且，求的值． (2)三个有理数，，满足，求的值． 【答案】(1)或； (2)或． 【分析】（）仿照题目给出的思路和方法即可求解； （）根据绝对值的意义分当，，都为负数，当，，中有一个为负数，另两个为正数时进行分析即可； 本题考查了绝对值的意义及有理数加减运算，正确理解绝对值的意义是解题的关键． 【详解】（1）解：因为，，且， 所以，或， 则或； （2）解：因为， 所以，，都为负数或其中一个为负数，另两个为正数， 当，，都为负数，即，，时， 则原式=； 当，，中有一个为负数，另两个为正数时，设，，， 则原式， 综上所述，的值为或． 38．（24-25七年级上·河南周口·阶段练习）在解决数学问题的过程中，我们常用到“分类讨论”的数学思想，下面是运用分类讨论的数字思想解决问题的过程．请仔细阅读，并解答问题． 【提出问题】三个有理数满足，求的值． 【解决问题】解：由题意，得三个有理数都为正数或其中一个为正数，另两个为负数． ①都是正数，即，，时，则； ②当中有一个为正数，另两个为负数时，不妨设，，，则． 综上所述，值为或． 【探究拓展】请根据上面的解题思路解答下面的问题： (1)已知是不为的有理数，当时，则的值是______； (2)已知是有理数，当时，求的值； (3)已知是有理数，，，求的值． 【答案】(1) (2)或 (3) 【分析】本题主要考查绝对值性质化简，分类讨论思想的运用，理解条件，和，，从而判定的符号是解题的重点，掌握绝对值的性质是解题的关键． （1）根据条件，可得两个有理数中有一个是负数，结合绝对值的性质“正数的绝对值是它本身，负数的绝对值是它的相反数，0的绝对值是0”化简即可求解； （2）根据条件，可得三个有理数中有一个负数，另外两个为正数，或三个都是负数，结合绝对值的性质化简即可求解； （3）根据条件，，可得三个有理数中有一个负数，另外两个为正数，且不能同时为负数，结合绝对值的性质化简即可求解． 【详解】（1）解：∵是不为的有理数，， ∴，即两个有理数中有一个是负数， 当时，； 当时，； 故答案为：； （2）解：∵是有理数，， ∴三个有理数中有一个负数，另外两个为正数，或三个都是负数， 当时，； 同理，当或时，； 当时，； 综上所述，的值为或； （3）解：∵是有理数，，， ∴， 由（2）可知三个有理数中有一个负数，另外两个为正数，且不能同时为负数， ∴当时，； 同理，当或时，； 综上所述，的值为． 39．（23-24七年级上·江苏扬州·阶段练习）阅读下列材料并解决有关问题，我们知道：用字母表示一个有理数，则用表示的相反数．一个正数的绝对值等于它本身，0的绝对值是0，负数的绝对值等于它的相反数．用字母表示为：，当时，，当时，．现在我们可以用这个结论来解决下面问题： (1)已知，是有理数，当，时，______． (2)已知，是有理数，当时，______． (3)已知，，是有理数，且时，求的值． 【答案】(1)0 (2)或0 (3)或 【分析】本题考查绝对值，理解绝对值的意义，确定当，时，的值是正确解答的关键． （1）确定a、b的符号，再根据绝对值的性质进行计算即可； （2）对a、b进行讨论，即a、b同正，a、b同负，a、b异号，根据绝对值的意义计算得到结果； （3）对，，进行讨论，，，同正，，，同负，，，两正一负，，，两负一正，再根据绝对值的性质进行计算即可． 【详解】（1）解：∵，， ∴； 故答案为：0； （2）解：已知a、b是有理数，当时， ①，，； ②，，； ③a、b异号，． 故的值为或0； 故答案为：或0； （3）解：已知，，是有理数，且， ①当，，时，； ②当，，时，； ③当，，两正一负时，令，，，则； ④当，，两负一正时，令，，，； 综上分析可知：的值为或． 40．（24-25七年级上·四川达州·阶段练习）阅读下列材料：，当时，；当时，．运用以上结论解决下面问题： (1)已知，是有理数，当时，则_______； (2)已知，，是有理数，当的，求的值； (3)已知，，是有理数，，且，求的值． 【答案】(1)2或 (2)的值为1或； (3)的值为1或． 【分析】本题考查的是有理数的四则混合运算，化简绝对值，熟练的化简绝对值是解本题的关键； （1）先判断，同号，再分两种情况化简绝对值，再计算即可； （2）先判断，，全负或，，两正一负，再分情况化简绝对值，再计算即可； （3）先判断，，两正一负，再结合（2）的结论即可得到答案． 【详解】（1）解：∵，是有理数，当时， ∴，同号， 当，时， ， 当，时， ； 故答案为：2或； （2）解：∵ ∴，，全负或，，两正一负， ①当，，全负时， ②当，，两正一负时， 不妨设，，，， 综上所述，的值为1或； （3）解：∵ ∴，，． ∴ 又∵， ∴，，两正一负， Ⅰ）当，，时，， Ⅱ）当，，时，， Ⅲ）当，，时， ∴的值为1或． 题型10 绝对值与数轴综合 41．（24-25七年级上·福建漳州·期中）我国著名数学家华罗庚说过“数缺形时少直观，形少数时难入微”，数形结合是解决数学问题的重要思想方法．例如，（i）代数式的几何意义是数轴上x所对应的点与2所对应的点之间的距离：因为，所以的几何意义就是数轴上x所对应的点与所对应的点之间的距离． （ii）探究问题：如图，点A、B、P分别表示数、2、x，   |的几何意义是线段与的长度之和， ∴当点P在线段上时，，当点P在点A的左侧或点B的右侧时，．的最小值是3． 请你根据上述自学材料，探究解决下列问题：解决问题： (1)的最小值是______； (2)利用上述思想方法解不等式：；    (3)当a为何值时，代数式的最小值是1． 【答案】(1)5 (2)或 (3)或． 【分析】本题考查了数轴上的动点问题以及利用数轴解决含有绝对值的不等式问题， （1）把原式转化看作是数轴上表示x的点与表示3与的点之间的距离最小值，进而问题可求解； （2）根据题意画出相应的图形，然后根据数轴可直接进行求解； （3）根据的最小值为1，则x在与3之间，且，求出a，即可解答． 【详解】（1）解： 如图，点A，B，P分别表示，3，x，则表示P到A与到B的距离之和，    点P在线段上，， 当点P在点A的左侧或点B的右侧时，， 的最小值是5； 故答案为：5． （2）如图所示，满足，表示x的点到表示和1的点的距离之和大于3， 当表示x的点在表示和1的点之间时，距离之和为3，不满足题意； 当表示x的点在表示的点的左边或表示1的点的右边时，距离之和大于3，符合题意， ∴x范围为或；    （3）∵的最小值是1． ∴x在与3之间，且， 即或， 解得或． 答：a的值为或． 42．（24-25七年级上·江西南昌·期中）已知数轴上两点M、N对应的数分别为、4，点P为数轴上任意一点，其对应的数为x． (1)一般地，数轴上表示数m和数n的两点之间的距离等于．则MN的长为 ． (2)利用绝对值的几何意义，探索的最小值，当 时，有值最小值为 ；当点P到点M，点N的距离相等时，x的值为 ． (3)数轴上是否存在点P，使点P到点M，点N的距离之和是20？若存在，求出x的值；若不存在，请说明理由．（写出必要解答过程） (4)如果点P以每秒1个单位长度的速度从点M出发沿数轴向右运动，同时点Q从点N出发以每秒2个单位长度的速度沿数轴向左运动，当点Q到达点M时，点P与Q同时停止运动．设点P的运动时间为t秒．当点P、点Q与点M三个点中，其中一个点到另外两个点的距离相等时，直接写出t的值． 【答案】(1)12 (2)；12； (3)存在，x的值是或8 (4)t的值为4或6或3或4.8 【分析】（1）根据数轴上两点距离公式求解即可； （2）结合的几何意义分析求解即可；根据题意结合数轴上两点距离公式列出关于的方程，求出方程的解即可得到的值； （3）可分为点在点的左侧、点在点和点之间、点在点的右侧三种情况计算，即可获得答案； （4）分三种情况：当时，当时，当时，分别列出方程解答即可． 【详解】（1）解：， 即的长为12． 故答案为：12； （2）∵的几何意义是：数轴上表示数的点到表示数的点的距离、数轴上表示数的点到表示数的点的距离、数轴上表示数的点到表示数4的点的距离之和， ∴当数轴上表示数的点与表示数的点重合时，它们的距离和有最小值，最小值为表示数的点与表示数4的点之间的距离，即最小值为12， ∴当时，的值最小； 当点到点、从点的距离相等时， 可有， 解得 ． 故答案为：12；；； （3）存在，的值是或8．理由如下： 分三种情况讨论： 当点在点的左侧时， 根据题意，可得， 解得； 当点在点和点之间时， 则，方程无解， 即点不可能在点和点之间； 当点在点的右侧时， 可有， 解得． 综上所述，的值是或8； （4）由题意可知，，秒后，点表示的数为，点表示的数为， 当时，可有， 解得或（舍去）； 当时，可有， 解得或3； 当时，可有， 解得或0（舍去）． 综上所述，的值为4或6或3或4.8． 【点睛】本题主要考查了数轴上两点之间的距离、数轴上动点问题、绝对值、一元一次方程的应用等知识，解题关键是运用数形结合和分类讨论的思想分析问题． 43．（24-25七年级上·福建莆田·期中）如图，在数轴上点表示数，点表示数，点表示数，是最小的正整数，且、满足， (1)_______，_______，_______； (2)若将数轴折叠，使得点与点重合，则折痕与数轴的交点所表示的数为_____，点与数_____对应的点重合； (3)若点、、是数轴上的动点，点以每秒个单位长度的速度向左运动，同时，点和点分别以每秒个单位长度和个单位长度的速度向右运动，点与点之间的距离表示为，点和点之间的距离表示为，那么的值是否随着运动时间（秒）的变化而改变？若变化，请说明理由：若不变，求出其值． 【答案】(1)，，； (2)，； (3)不变，值为，理由见解析． 【分析】本题考查了数轴，绝对值非负性，整式的加减，有理数的分类，掌握知识点的应用是解题的关键． （）由，可得，，又是最小的正整数，则，从而求解； （）根据折叠的性质进行解答即可得； （）根据题意可得，秒钟后，点表示，点表示，点表示，，，即可得． 【详解】（1）解：∵， ∴，， ∴，， ∵是最小的正整数， ∴， 故答案为：，，； （2）解：由（）得，，， ∴点表示数，点表示数，点表示数， ∵将数轴折叠，使得点与点重合， ∴折痕与数轴的交点所表示的数为，点与数对应的点重合， 故答案为：，； （3）解：不变，值为， 由题意可得秒钟后点表示，点表示，点表示， ∴，， ∴． 44．（24-25七年级上·湖南长沙·阶段练习）如图，点A和点B在数轴上对应的数分别为a和b，．点P为数轴上一动点，其对应的数为x． (1)①若点P为线段的中点，则此时点P对应的数______； ②若点P到点A、点B的距离之和为8，则此时点P对应的数______； (2)若点P在移动的过程中，满足，求此时点P对应的数的值； (3)记线段的中点为点M，线段的中点为点N，若点P以每秒3个单位长度的速度从表示数5的点向左运动． ①在运动过程中，点M到点N的距离是否不变？如果是，请求出这个值，如果不是，请说明理由． ②设运动t秒后，点P到点M和点N的距离恰好满足2倍关系，请求出t值． 【答案】(1)①；②或 (2)或 (3)①3；②或或． 【分析】本题考查的是数轴上的动点问题，一元一次方程的应用，绝对值的应用； （1）①利用非负数的性质先求解，；结合数轴上线段中点对应的数的规律列式计算即可；②由题意可得，再分情况解方程即可； （2）由点P在移动的过程中，满足，可得，再解方程即可； （3）①设运动时间为，可得对应的数为，对应的数为，对应的数为，再计算距离即可．②由①得：对应的数为，对应的数为，，，当时，当时，再建立方程求解即可． 【详解】（1）解：①∵， ∴，， 解得：，； ∴点A和点B在数轴上对应的数分别为和； 点P为线段的中点，则此时点P对应的数； ②∵点P到点A、点B的距离之和为8， ∴， 当时，， 解得：，即此时点P对应的数， 当时，， 当时，， 解得：，此时点P对应的数， 综上：或； （2）解：∵点P在移动的过程中，满足， ∴， 当时，， 解得：，不符合题意，舍去； 当时，， 解得：， 当时，， 解得：，不符合题意，舍去， 当时，， 解得：， 综上：此时点P对应的数为或． （3）解：①点M到点N的距离不变为，理由如下： ∵点P以每秒3个单位长度的速度从表示数5的点向左运动，设运动时间为， ∴对应的数为， 记线段的中点为点M，线段的中点为点N， ∴对应的数为，对应的数为， ∴ 点M到点N的距离为． ②由①得：对应的数为，对应的数为， ∴，， 当时， ∴，即， ∴或， 解得：舍去；或； 当时， ∴，即， ∴或， 解得：或； 综上：或或． 45．（24-25七年级上·江苏无锡·阶段练习）如图，为原点，在数轴上点表示的数为，点表示的数为，且满足． (1)________，_________； (2)若点从点出发，以每秒个单位长度的速度沿数轴向右匀速运动，设运动的时间为（秒）． ①当点运动到线段上，且时，求的值； ②先取的中点，当点在线段上时，再取的中点，试探究的值是否为定值？若是，求出该定值；若不是，请用含的代数式表示． ③若点从点出发，同时，另一动点从点出发，以每秒个单位长度的速度向左匀速运动，到达点后立即原速返回向右匀速运动，点运动到点停止．当时，求的值． 【答案】(1)； (2)①；②是，定值；③的值为或或或或 【分析】（1）根据非负数的性质即可求出、的值； （2）①先表示出运动秒后点对应的数为，再根据两点间的距离公式得出，，利用建立方程，求解即可； ②根据中点坐标公式分别表示出点、点表示的数，再计算即可； ③分三种情况：相遇前；相遇后；点返回到，；分别求解即可． 【详解】（1）解：∵，，， ∴，， ∴， ， 故答案为：；； （2）①由（1）知：点表示的数为，点表示的数为， ∵点从点出发，以每秒个单位长度的速度沿数轴向右匀速运动， ∴运动秒后点对应的数为， ∵点运动到线段上， ∴，， 当时，有， 解得：， ∴的值为； ②当点在线段上时， ∵点表示的数为，点表示的数为，点表示的数为， ∴的中点表示的数是，，， 又∵的中点表示的数是，+ ∴， ∴， 即的值是定值，定值为； ③∵点从点出发，同时，另一动点从点出发，以每秒个单位长度的速度向左匀速运动，到达点后立即原速返回向右匀速运动，点运动到点停止， ∴运动秒后，点对应的数为， 当时，点在线段上向左运动，点对应的数为， 当时，点在线段上向右运动，点对应的数为， 当相遇前时，， 解得：； 当相遇后且点在线段上向左运动时，， 解得：； 当相遇后且点在线段上向右运动时，， 解得：或（舍去）； 点返回到，， 当点在点的左边时，； 当点在点的右边时，； 综上所述，当时，的值为或或或或． 【点睛】本题考查非负数的性质，数轴，两点间的距离公式，中点坐标公式，一元一次方程的应用．解题的关键是要读懂题目的意思，根据题目给出的条件，找出合适的等量关系列出方程，再求解． 2 / 2 学科网（北京）股份有限公司 $$ 培优02 绝对值贯穿有理数的十大经典问题 题型1 根据绝对值的非负性求解 根据绝对值或平方的非负性可知，如果几个非负数和为0，那么每一个非负数为0. 1．（24-25七年级上·安徽亳州·阶段练习）已知a、b互为相反数，c、d互为倒数；m、n满足，求的值． 2．（24-25七年级上·广东广州·期中）如图是某同学制作的“火炬模型”截面图，该图分别由半圆、长方形、三角形三个图形组成．已知三角形的高和长方形的长记为，长方形的宽记为． (1)用含，的式子表示该模型截面图的面积； (2)若有理数，满足，求该模型截面图的面积． 3．（24-25七年级上·甘肃兰州·期中）已知|ab-2|与|b-1|互为相反数，试求代数式的值． 4．（24-25七年级上·广东广州·期中）已知，求的值． 题型2 已知数轴上点的位置/字母的取值范围化简绝对值 5．（23-24七年级上·江苏扬州·阶段练习）如图，数轴上的三点A、B、C分别表示有理数a、b、c． (1)若，求的值； (2)化简． 6．（24-25七年级上·甘肃兰州·期中）有理数a、b、c在数轴上的位置如图所示，化简：． 7．（24-25七年级上·陕西宝鸡·期中）已知有理数在数轴上的对应点的位置如图所示，化简：． 8．（24-25七年级上·江苏南京·期中）有理数在数轴上的位置如图所示． (1)用“”或“”填空：______0，______0，______0； (2)化简：． 9．（23-24七年级上·四川广元·期中）如图，点和表示的数分别为和，若是绝对值最小的数．    (1)求的值； (2)若，求的值； (3)若，化简． 题型3 利用绝对值的意义求字母的取值范围 正数的绝对值是它本身；0绝对值是0；负数的绝对值是它的相反数，即绝对值的代数意义可以用式子表示为：. 【易错】若|a|=a（或|a|-a=0），则a≥0，若|a|= -a（或|a|+a=0），则a≤0.（错误原因：忽视关键数0） 10．（24-25七年级上·北京·期中）若成立，那么x的取值范围是 ． 11．（2024七年级上·全国·专题练习）若，则a的取值范围是 ；若，则a的取值范围是 ． 12．（24-25七年级上·江苏南京·阶段练习）若有理数满足，则的取值范围是 ． 13．（23-24七年级上·江苏无锡·阶段练习）若对一切数都成立，则的取值范围是 ． 14．（23-24七年级上·陕西西安·阶段练习）已知关于x的方程无解，则的取值范围是 ． 题型4 解绝对值方程 在解含有绝对值的方程时需要运用分类讨论思路，转化为一般方程再解方程即可. 15．（24-25七年级上·广西南宁·阶段练习）先阅读下列解题过程，然后解答问题． 解方程：． 解：当时，原方程可化为，它的解是．当时，原方程可化，它的解是． ∴原方程的解为或． (1)依例题的解法，方程的解是______； (2)解方程：． 16．（2024七年级上·全国·专题练习）先阅读，后解题： 因为，，所以当时，可得或．若解方程，可将绝对值符号内的看成一个整体，则可得或，分别解方程可得或．利用上面的知识，解方程： (1)； (2)． 17．（2024七年级上·全国·专题练习）阅读材料：由绝对值的意义可知：当时，__________；当时，__________．利用这一特性，可以帮助我们解含有绝对值的方程．比如：方程，当时，原方程可化为3，解得；当时，原方程可化为，解得． 所以原方程的解是或． (1)请补全题目中横线上的结论； (2)仿照上面的例题，解方程：； (3)若方程有解，则应满足的条件是__________． 18．（2024七年级上·全国·专题练习）解方程： 19．（24-25七年级上·湖北孝感·期末）阅读下列材料并解决有关问题： 我们知道，现在我们可以用这一结论来化简含有绝对值的代数式，如化简代数式时，可令和，分别求得和，我们称分别为与的零点值． 在数轴上分别找出零点值对应点，这两点将数轴分为三部分（如图），在有理数范围内，这三部分可将全体有理数分成不重复且不遗漏的如下3种情况：（1）；（2）；（3）．从而化简代数式可分以下3种情况： （1）当时，原式； （2）当时，原式； （3）当时，原式． 综上讨论，原式． 通过以上阅读，请你解决以下问题： (1)直接写出和的零点值分别为______和______； (2)化简代数式； (3)解方程． 题型5 绝对值中的最值问题 若绝对值的个数为奇数，则当x对应的点取中间点时，式子有最小值； 若绝对值的个数为偶数，则当x对应的点在中间段(包括端点)时，式子有最小值. 解题大招：奇取中间点，偶取中间段. 注意：若x的系数不为1，可以将其拆分为多个系数为1 的含绝对值的代数式之和，这时候相等的零点的值依旧一一罗列. 20．（24-25七年级上·河南驻马店·期中）如图，已知数轴上有A，B两个点，分别表示有理数－6，4．若x表示一个有理数． (1)数轴上点A到点B的距离为______；数轴上到点A、B的距离相等的点表示的有理数为______； (2)若，则______； (3)式子的最小值为______，此时x的取值范围是______； (4)式子有最大值么？若有，请直接写出最大值；若不存在，请说明理由． 21．（24-25七年级上·山东聊城·期中）用字母表示一个有理数，一定是非负数，也就是它的值为正数或者0，所以的最小值为0，而一定是非正数，即它的值为负数或者0，所以有最大值为0，根据这个结论完成以下问题： (1)有最__________值为__________；有最__________值为__________； (2)当__________时，有最__________值__________； (3)当，求的值． 22．（24-25七年级上·安徽宿州·阶段练习）数轴是一个非常重要的工具，它使数和数轴上的点建立起一一对应的关系，揭示了数与点之间的内在联系，它是“数形结合”的基础：我们知道，它的几何意义是数轴上表示4的点与原点（即表示0的点）之间的距离，也就是说，在数轴上，如果点表示的数记为，点表示的数记为，则、两点间的距离就可记作．利用数形结合思想回答下列问题： (1)数轴上表示2和5两点之间的距离是______；数轴上表示3和的两点之间的距离是______． (2)数轴上表示和的两点之间的距离表示______； (3)探究：当时，求的值？ (4)求出的最小值，并写出此时可取哪些整数值？ 23．（24-25七年级上·江苏常州·阶段练习）同学们都知道，表示5与的差的绝对值，实际上也可理解为5与两数在数轴上所对应的两点之间的距离，试探索： (1)是所有符合成立条件的整数，则___________； (2)由以上探索猜想，对于任何有理数，的最小值为___________； (3)当为整数时，的最小值为___________； (4)求的最小值． 题型6 利用绝对值的性质化简求值 绝对值化简步骤： ①判断绝对值符号里式子的正负； ②将绝对值符号改为小括号：若正数，绝对值前的正负号不变(即本身)； 若负数，绝对值前的正负号改变(即相反数)； ③去括号:括号前是“+”，去括号，括号内不变； 括号前是“-”，去括号，括号内各项要变号； ④化简. 注意:注意改绝对值符号时与去括号时是否需要变号，且变号的正确性. 24．（24-25七年级上·重庆·期中）若有理数a，b，c满足，，，且，，则的值为 . 25．（24-25七年级上·全国·期中）已知实数a，b，c满足，，，则的值为 ． 26．（24-25七年级上·陕西西安·期中）已知有理数满足且．若，，则的值为 ． 27．（24-25七年级上·四川成都·期中）已知整数，，，满足，且，那么 ． 28．（24-25七年级上·安徽合肥·阶段练习）已知整数的绝对值均小于10，且满足，则的值为 ． 题型7 与绝对值有关的多结论问题 29．（24-25七年级上·陕西西安·阶段练习）已知数，，在数轴上的位置如图，下列说法： ①；②；③；④．其中正确结论序号是（   ） A．①④ B．②③ C．②③④ D．①③④ 30．（24-25七年级上·北京·期中）若，且，以下结论：①；②；③；④的所有可能取值为和；其中正确结论是（   ） A．① B．①② C．①②③ D．①②③④ 31．（24-25七年级上·四川德阳·期末）下列说法中，正确的是 ．（请填写正确的序号） 若，则； 的最大值为2025； 若，则是负数； ，，三点在数轴上对应的数分别是、、6，若相邻两点的距离相等，则； 若代数式的值与的取值无关，则该代数式值为2025； 若，，则的值为1． 32．（24-25七年级上·湖南常德·期中）下列说法中，正确的是 ．（请写出正确的序号） ①若，则； ②的最大值为2； ③若，则是负数； ④三点在数轴上对应的数分别是、x、6，若相邻两点的距离相等，则； ⑤若代数式的值与无关，则该代数式值为2024； ⑥若，则的值为1． 题型8 利用分类讨论思想解决绝对值问题 33．（22-23七年级上·辽宁辽阳·期中）已知，且，则的值为 ． 34．（24-25七年级上·重庆南岸·期末）善于反思的小聪在学习了有理数及其运算后，进行了如下总结与反思．小聪根据典型例题：，；，．得到“互为相反数的两个数的绝对值相等”，“互为相反数的两个数的2次方相等”．请根据小聪的发现完成：若已知，则 ；若，，且，则的值为 ． 35．（24-25七年级上·福建三明·期中）如图，在数轴上有理数对应的点为点，有理数对应的点为点，两点之间的距离表示为或，记为． (1)数轴上表示2和8两点之间的距离是_____，数轴上表示3和的两点之间的距离是_____． (2)数轴上表示和的两点之间的距离表示为_____． (3)当时，求的值． 题型9 利用分类讨论思想解决绝对值化简问题）（|a|/a型） 36．（24-25七年级下·黑龙江绥化·期中）在解决数学问题的过程中，我们常用到“分类讨论”的数学思想，下面是运用分类讨论的数学思想解决问题的过程，请仔细阅读，并解答问题． 【提出问题】三个有理数，，满足，求的值． 【解决问题】解：由题意，得，，三个有理数都为正数或其中一个为正数，另两个为负数． ①，，都是正数，即时， 则； ②当，，中有一个为正数，另两个为负数时，不妨设， 则． 综上所述，值为或． 【探究】请根据上面的解题思路解答下面的问题： 三个有理数，，满足，求的值． 37．（24-25七年级上·湖北十堰·期末）在解决数学问题的过程中，我们常用到“分类讨论”的数学思想，下面是运用分类讨论的数学思想解决问题的过程，请仔细阅读，并解答下列问题： 【提出问题】三个有理数，，满足，求的值． 【解决问题】 解：由题意，得，，三个有理数都为正数或其中一个为正数，另两个为负数． 当，，都是正数，即，，时，则； 当，，中有一个为正数，另两个为负数时，设，，，则． 所以的值为或． 【探究】请根据上面的解题思路解答下面的问题： (1)已知，，且，求的值． (2)三个有理数，，满足，求的值． 38．（24-25七年级上·河南周口·阶段练习）在解决数学问题的过程中，我们常用到“分类讨论”的数学思想，下面是运用分类讨论的数字思想解决问题的过程．请仔细阅读，并解答问题． 【提出问题】三个有理数满足，求的值． 【解决问题】解：由题意，得三个有理数都为正数或其中一个为正数，另两个为负数． ①都是正数，即，，时，则； ②当中有一个为正数，另两个为负数时，不妨设，，，则． 综上所述，值为或． 【探究拓展】请根据上面的解题思路解答下面的问题： (1)已知是不为的有理数，当时，则的值是______； (2)已知是有理数，当时，求的值； (3)已知是有理数，，，求的值． 39．（23-24七年级上·江苏扬州·阶段练习）阅读下列材料并解决有关问题，我们知道：用字母表示一个有理数，则用表示的相反数．一个正数的绝对值等于它本身，0的绝对值是0，负数的绝对值等于它的相反数．用字母表示为：，当时，，当时，．现在我们可以用这个结论来解决下面问题： (1)已知，是有理数，当，时，______． (2)已知，是有理数，当时，______． (3)已知，，是有理数，且时，求的值． 40．（24-25七年级上·四川达州·阶段练习）阅读下列材料：，当时，；当时，．运用以上结论解决下面问题： (1)已知，是有理数，当时，则_______； (2)已知，，是有理数，当的，求的值； (3)已知，，是有理数，，且，求的值． 题型10 绝对值与数轴综合 41．（24-25七年级上·福建漳州·期中）我国著名数学家华罗庚说过“数缺形时少直观，形少数时难入微”，数形结合是解决数学问题的重要思想方法．例如，（i）代数式的几何意义是数轴上x所对应的点与2所对应的点之间的距离：因为，所以的几何意义就是数轴上x所对应的点与所对应的点之间的距离． （ii）探究问题：如图，点A、B、P分别表示数、2、x，   |的几何意义是线段与的长度之和， ∴当点P在线段上时，，当点P在点A的左侧或点B的右侧时，．的最小值是3． 请你根据上述自学材料，探究解决下列问题：解决问题： (1)的最小值是______； (2)利用上述思想方法解不等式：；    (3)当a为何值时，代数式的最小值是1． 42．（24-25七年级上·江西南昌·期中）已知数轴上两点M、N对应的数分别为、4，点P为数轴上任意一点，其对应的数为x． (1)一般地，数轴上表示数m和数n的两点之间的距离等于．则MN的长为 ． (2)利用绝对值的几何意义，探索的最小值，当 时，有值最小值为 ；当点P到点M，点N的距离相等时，x的值为 ． (3)数轴上是否存在点P，使点P到点M，点N的距离之和是20？若存在，求出x的值；若不存在，请说明理由．（写出必要解答过程） (4)如果点P以每秒1个单位长度的速度从点M出发沿数轴向右运动，同时点Q从点N出发以每秒2个单位长度的速度沿数轴向左运动，当点Q到达点M时，点P与Q同时停止运动．设点P的运动时间为t秒．当点P、点Q与点M三个点中，其中一个点到另外两个点的距离相等时，直接写出t的值． 43．（24-25七年级上·福建莆田·期中）如图，在数轴上点表示数，点表示数，点表示数，是最小的正整数，且、满足， (1)_______，_______，_______； (2)若将数轴折叠，使得点与点重合，则折痕与数轴的交点所表示的数为_____，点与数_____对应的点重合； (3)若点、、是数轴上的动点，点以每秒个单位长度的速度向左运动，同时，点和点分别以每秒个单位长度和个单位长度的速度向右运动，点与点之间的距离表示为，点和点之间的距离表示为，那么的值是否随着运动时间（秒）的变化而改变？若变化，请说明理由：若不变，求出其值． 44．（24-25七年级上·湖南长沙·阶段练习）如图，点A和点B在数轴上对应的数分别为a和b，．点P为数轴上一动点，其对应的数为x． (1)①若点P为线段的中点，则此时点P对应的数______； ②若点P到点A、点B的距离之和为8，则此时点P对应的数______； (2)若点P在移动的过程中，满足，求此时点P对应的数的值； (3)记线段的中点为点M，线段的中点为点N，若点P以每秒3个单位长度的速度从表示数5的点向左运动． ①在运动过程中，点M到点N的距离是否不变？如果是，请求出这个值，如果不是，请说明理由． ②设运动t秒后，点P到点M和点N的距离恰好满足2倍关系，请求出t值． 45．（24-25七年级上·江苏无锡·阶段练习）如图，为原点，在数轴上点表示的数为，点表示的数为，且满足． (1)________，_________； (2)若点从点出发，以每秒个单位长度的速度沿数轴向右匀速运动，设运动的时间为（秒）． ①当点运动到线段上，且时，求的值； ②先取的中点，当点在线段上时，再取的中点，试探究的值是否为定值？若是，求出该定值；若不是，请用含的代数式表示． ③若点从点出发，同时，另一动点从点出发，以每秒个单位长度的速度向左匀速运动，到达点后立即原速返回向右匀速运动，点运动到点停止．当时，求的值． 2 / 2 学科网（北京）股份有限公司 $$