24.3正多边形和圆 同步练习 2025-2026学年人教版九年级数学上册

224.3正多边形和圆 同步练习 一．选择题（共8小题） 1．中心角为45°的正n边形的边数n等于（　　） A．12 B．10 C．8 D．6 2．若六边形的边心距为，则这个正六边形的半径为（　　） A．1 B．2 C．4 D． 3．如图，正五边形ABCDE内接于⊙O，点P是劣弧上一点（点P不与点C重合），则∠CPD＝（　　） A．45° B．36° C．35° D．30° 4．如图，ABCDEF是中心为原点O，顶点A，D在x轴上，半径为4的正六边形，则顶点F的坐标为（　　） A．（2，2） B．（﹣2，2） C．（﹣2，2） D．（﹣1，） 5．若同一个圆的内接正三角形、正六边形的边长分别记作a3，a6，则a3：a6等于（　　） A．1： B．1：3 C．3：1 D．：1 6．已知等边三角形的内切圆半径，外接圆半径和高的比是（　　） A．1：2： B．2：3：4 C．1：：2 D．1：2：3 7．如图，正六边形螺帽的边长是2cm，这个扳手的开口a的值应是（　　） A．2cm B．cm C．cm D．1cm 8．正多边形的中心角与该正多边形一个内角的关系是（　　） A．互余 B．互补 C．互余或互补 D．不能确定 二．填空题（共6小题） 9．如图，A、B、C、D为一个正多边形相邻的4个顶点，∠ADB＝15°，则这个正多边形的边数为 　 　 ． 10．已知正多边形的一个外角为72°，则该正多边形的内角和为　 　 ． 11．已知正方形的半径是4，那么这个正方形的边心距是　 　 ． 12．正六边形的边长为4cm，则它的面积为 　 　 cm2． 13．各边相等的圆内接多边形　 　 正多边形；各角相等的圆内接多边形　 　 正多边形．（填“是”或“不是”） 14．点M、N分别是正八边形相邻的边AB、BC上的点，且AM＝BN，点O是正八边形的中心，则∠MON＝　 　 度． 三．解答题（共6小题） 15．已知正六边形ABCDEF的边心距为1，求这个正六边形的半径，周长和面积． 16．比较正五边形与正六边形，可以发现它们的相同点和不同点．例如： 它们的一个相同点：正五边形的各边相等，正六边形的各边也相等． 它们的一个不同点：正五边形不是中心对称图形，正六边形是中心对称图形． 请你再写出它们的两个相同点和不同点： 相同点： ①　 　 ； ②　 　 ． 不同点： ①　 　 ； ②　 　 ． 17．已知⊙O和⊙O上的一点A． （1）作⊙O的内接正方形ABCD和内接正六边形AEFCGH； （2）在（1）题的作图中，如果点E在弧AD上，求证：DE是⊙O内接正十二边形的一边． 18．如图，⊙O是正方形ABCD与正六边形AEFCGH的外接圆． （1）正方形ABCD与正六边形AEFCGH的边长之比为 　 　 ； （2）连接BE，BE是否为⊙O的内接正n边形的一边？如果是，求出n的值；如果不是，请说明理由． 19．如图，正方形ABCD内接于⊙O，M为弧AD中点，连接BM，CM． （1）求证：BM＝CM； （2）连接OB、OM，求∠BOM的度数． 20．窗花是我们节日装饰的元素之一．如图是一个花瓣造型的窗花示意图，由六条等弧连接而成，六条弧所对应的弦构成一个正六边形，中心为点O，所在圆的圆心C恰好是△ABO的内心，AB＝2． （1）求证：△ABO为等边三角形． （2）求窗花的周长（图中实线部分的长度）．（结果保留π） 答案与解析 一．选择题（共8小题） 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 答案 C C B C D D A B 一．选择题（共8小题） 1．中心角为45°的正n边形的边数n等于（　　） A．12 B．10 C．8 D．6 【解答】解：由题意得，45°， 解得n＝8， 故选：C． 2．若六边形的边心距为，则这个正六边形的半径为（　　） A．1 B．2 C．4 D． 【解答】解：根据题意画出图形，如图所示，OG为六边形的边心距，OB为其半径； 因为多边形为正六边形，故∠OBA＝60°， 在Rt△OGB中，OB4， 即这个正六边形的半径为4． 故选：C． 3．如图，正五边形ABCDE内接于⊙O，点P是劣弧上一点（点P不与点C重合），则∠CPD＝（　　） A．45° B．36° C．35° D．30° 【解答】解：如图，连接OC，OD， ∵ABCDE是正五边形， ∴∠COD72°， ∴∠CPD∠COD＝36°， 故选：B． 4．如图，ABCDEF是中心为原点O，顶点A，D在x轴上，半径为4的正六边形，则顶点F的坐标为（　　） A．（2，2） B．（﹣2，2） C．（﹣2，2） D．（﹣1，） 【解答】解：连接OF． ∵∠AOF60°，OA＝OF， ∴△AOF是等边三角形， ∴OA＝OF＝4． 设EF交y轴于G，则∠GOF＝30°． 在Rt△GOF中， ∵∠GOF＝30°，OF＝4， ∴GF＝2，OG＝2． ∴F（﹣2，2）． 故选：C． 5．若同一个圆的内接正三角形、正六边形的边长分别记作a3，a6，则a3：a6等于（　　） A．1： B．1：3 C．3：1 D．：1 【解答】解：设圆的半径是r， 则多边形的半径是r， 如图1，则内接正三角形的边长a3＝2rsin60°r， 如图2，正六边形的边长是a6＝r， 因而半径相等的圆的内接正三角形、正六边形的边长之比a3：a6：1． 故选：D． 6．已知等边三角形的内切圆半径，外接圆半径和高的比是（　　） A．1：2： B．2：3：4 C．1：：2 D．1：2：3 【解答】解：图中内切圆半径是OD，外接圆的半径是OC，高是AD， 因而AD＝OC+OD； 在直角△OCD中，∠DOC＝60°， 则OD：OC＝1：2， 因而OD：OC：AD＝1：2：3， 所以内切圆半径，外接圆半径和高的比是1：2：3．故选：D． 7．如图，正六边形螺帽的边长是2cm，这个扳手的开口a的值应是（　　） A．2cm B．cm C．cm D．1cm 【解答】解：∵正六边形的任一内角为120°， ∴∠1＝30°（如图）， ∴a＝2cos∠1， ∴a＝2． 故选：A． 8．正多边形的中心角与该正多边形一个内角的关系是（　　） A．互余 B．互补 C．互余或互补 D．不能确定 【解答】解：设正多边形的边数为n，则正多边形的中心角为，正多边形的一个外角等于， 所以正多边形的中心角等于正多边形的一个外角， 而正多边形的一个外角与该正多边形相邻的一个内角的互补， 所以正多边形的中心角与该正多边形一个内角互补． 故选：B． 二．填空题（共6小题） 9．如图，A、B、C、D为一个正多边形相邻的4个顶点，∠ADB＝15°，则这个正多边形的边数为 　12　 ． 【解答】解：如图，设正多边形的外接圆为⊙O，连接OA，OB， ∵∠ADB＝15°， ∴∠AOB＝2∠ADB＝30°， 而360°÷30°＝12， ∴这个正多边形为正十二边形， 故答案为：12． 10．已知正多边形的一个外角为72°，则该正多边形的内角和为　540°　 ． 【解答】解：多边形的边数为：360°÷72°＝5， 正多边形的内角和的度数是：（5﹣2）•180°＝540°． 故答案为：540°． 11．已知正方形的半径是4，那么这个正方形的边心距是　2　 ． 【解答】解：如图，根据正方形的性质知：△BOC是等腰直角三角形， 过O作OE⊥BC于E， ∵正方形的半径是4， ∴BO＝4， ∴OE＝BEBO＝2， 故答案为：2． 12．正六边形的边长为4cm，则它的面积为 　24　 cm2． 【解答】解：∵此多边形为正六边形， ∴∠AOB60°； ∵OA＝OB， ∴△OAB是等边三角形， ∴OA＝AB＝2cm， ∴OG＝OA•cos30°＝42， ∴S△OABAB×OG4×24cm2， ∴S六边形＝6S△OAB＝6×424cm2． 故答案为：24． 13．各边相等的圆内接多边形　是　 正多边形；各角相等的圆内接多边形　不是　 正多边形．（填“是”或“不是”） 【解答】解：∵正多边形的各边相等， ∴各边所对的圆周角必然相等， ∴各边相等的圆内接多边形是正多边形； ∵圆内接多边形的各角相等； 举出一个反例：当四个角都是直角时，这个四边形可能是矩形， ∴各角相等的圆内接多边形不一定是正多边形． 故答案为：是，不是． 14．点M、N分别是正八边形相邻的边AB、BC上的点，且AM＝BN，点O是正八边形的中心，则∠MON＝　45　 度． 【解答】解：连接OA、OB、OC； ∵正八边形是中心对称图形， ∴中心角为360°÷8＝45°； ∴∠OAM＝∠OBN67.5°， ∵OA＝OB，∠OAM＝∠OBN，AM＝BN， ∴△OAM≌△OBN， ∴∠AOM＝∠BON， ∴∠MON＝∠AOB＝45°． 三．解答题（共6小题） 15．已知正六边形ABCDEF的边心距为1，求这个正六边形的半径，周长和面积． 【解答】解：如图，AB为⊙O的内接正六边形的一边，连接OA、OB； 过点O作OM⊥AB于点M；则OM＝1； ∵六边形ABCDEF为正六边形， ∴OA＝OB，∠AOB60°； ∴△OAB为等边三角形，AB＝OA； ∵OM⊥AB， ∴∠AOM＝∠BOM＝30°； ∴cos30°，OA， ∴AB＝OA；， ∴； 正六边形ABCDEF的周长， ∴这个正六边形的半径，周长和面积分别为：，，． 16．比较正五边形与正六边形，可以发现它们的相同点和不同点．例如： 它们的一个相同点：正五边形的各边相等，正六边形的各边也相等． 它们的一个不同点：正五边形不是中心对称图形，正六边形是中心对称图形． 请你再写出它们的两个相同点和不同点： 相同点： ①　都是轴对称图形　 ； ②　都有外接圆和内切圆　 ． 不同点： ①　内角和不同　 ； ②　对角线的条数不同　 ． 【解答】解：相同点不同点 ①都有相等的边．①边数不同； ②都有相等的内角．②内角的度数不同； ③都有外接圆和内切圆．③内角和不同； ④都是轴对称图形．④对角线条数不同； ⑤对称轴都交于一点．⑤对称轴条数不同． 17．已知⊙O和⊙O上的一点A． （1）作⊙O的内接正方形ABCD和内接正六边形AEFCGH； （2）在（1）题的作图中，如果点E在弧AD上，求证：DE是⊙O内接正十二边形的一边． 【解答】（1）解：作法： ①作直径AC； ②作直径BD⊥AC； ③依次连接A、B、C、D四点， 四边形ABCD即为⊙O的内接正方形； ④分别以A、C为圆心，以OA长为半径作弧，交⊙O于E、H、F、G； ⑤顺次连接A、E、F、C、G、H各点． 六边形AEFCGH即为⊙O的内接正六边形． （2）证明：连接OE、DE． ∵∠AOD90°，∠AOE60°， ∴∠DOE＝∠AOD﹣∠AOE＝90°﹣60°＝30°． ∴DE为⊙O的内接正十二边形的一边． 18．如图，⊙O是正方形ABCD与正六边形AEFCGH的外接圆． （1）正方形ABCD与正六边形AEFCGH的边长之比为 　：1　 ； （2）连接BE，BE是否为⊙O的内接正n边形的一边？如果是，求出n的值；如果不是，请说明理由． 【解答】解：（1）设此圆的半径为R， 则它的内接正方形的边长为R， 它的内接正六边形的边长为R， 内接正方形和内接正六边形的边长比为R：R：1． 故答案为：：1； （2）BE是⊙O的内接正十二边形的一边， 理由：连接OA，OB，OE， 在正方形ABCD中，∠AOB＝90°， 在正六边形AEFCGH中，∠AOE＝60°， ∴∠BOE＝30°， ∵n12， ∴BE是正十二边形的边． 19．如图，正方形ABCD内接于⊙O，M为弧AD中点，连接BM，CM． （1）求证：BM＝CM； （2）连接OB、OM，求∠BOM的度数． 【解答】（1）证明：∵正方形ABCD内接于⊙O， ∴AB＝DC， ∴， ∵M为的中点， ∴， ∴， ∴， ∴BM＝CM． （2）解：连接OB、OM、OC， ∵∠BOC360°＝90°， ∴∠BOM+∠COM＝360°﹣∠BOC＝270°， ∵BM＝CM， ∴∠BOM＝∠COM， ∴2∠BOM＝270°， ∴∠BOM＝135°， ∴∠BOM的度数是135°． 20．窗花是我们节日装饰的元素之一．如图是一个花瓣造型的窗花示意图，由六条等弧连接而成，六条弧所对应的弦构成一个正六边形，中心为点O，所在圆的圆心C恰好是△ABO的内心，AB＝2． （1）求证：△ABO为等边三角形． （2）求窗花的周长（图中实线部分的长度）．（结果保留π） 【解答】解：（1）如图，过点C作CM⊥AB于点M，则AM＝BMAB， ∵六条等弧所对应的弦构成一个正六边形，中心为点O， ∴∠AOB60°， ∵OA＝OB， ∴△AOB是等边三角形， （2）∵点O是△AOB的内心， ∴∠CAB＝∠CBA60°＝30°，∠ACB＝2∠AOB＝120°， 在Rt△ACM中，AM，∠CAM＝30°， ∴AC2， ∴的长为， ∴花窗的周长为π×6＝8π． 声明：试题解析著作权属所有，未经书面同意，不得复制发布日期：2025/8/7 10:24:52；用户：殷伟榕；邮箱：13372093358；学号：49327560 第1页（共1页） 学科网（北京）股份有限公司 $$