1.3 不等式-【高考密码】备战2026年高考数学十年高考真题分类汇编

1.3　不等式 考点1 不等式的解法与性质 1.（2025全国二卷，4,5分）不等式≥2的解集是(　　) A.{x|-2≤x≤1} B.{x|x≤-2} C.{x|-2≤x<1} D.{x|x>1} 【答案】C 【解析】由≥2,得≥0,即≤0,所以解得-2≤x<1,所以原不等式的解集为{x|-2≤x<1}.故选C. 2.(2022全国甲理,12,5分)已知a=,b=cos,c=4sin,则 (　　) A.c>b>a　　　　B.b>a>c C.a>b>c　　　　D.a>c>b 【答案】　A　 【解析】 解法一:当x∈时,sin x<x<tan x,又,所以tan.由=1,可得c>b.当x∈R时,|x|≥|sin x|,即x2≥sin2x,所以,所以=1-cos x,即cos x≥1-,当且仅当x=0时等号成立,所以cos,即b>a.综上可知,c>b>a,故选A. 解法二:当x∈时,sin x<x<tan x. ①比较a与b. b=cos,故b-a==2>0,∴b>a. ②比较b与c. 当x∈时,由x<tan x可知, ∴cos,即b<c. 综上可知,c>b>a.故选A. 3.(2014大纲全国文,3,5分)不等式组的解集为(　　) A.{x|-2<x<-1}　　　　　B.{x|-1<x<0} C.{x|0<x<1}　　　　　D.{x|x>1} 【答案】　C　 【解析】 由x(x+2)>0得x>0或x<-2; 由|x|<1得-1<x<1, 所以不等式组的解集为{x|0<x<1}, 故选C. 4.(2014浙江文,7,5分)已知函数f(x)=x3+ax2+bx+c,且0<f(-1)=f(-2)=f(-3)≤3,则(　　) A.c≤3　　　　　B.3<c≤6 C.6<c≤9　　　　　D.c>9 【答案】　C　 【解析】 由0<f(-1)=f(-2)=f(-3)≤3,得 0<-1+a-b+c=-8+4a-2b+c=-27+9a-3b+c≤3, 由-1+a-b+c=-8+4a-2b+c,得3a-b-7=0①, 由-1+a-b+c=-27+9a-3b+c,得4a-b-13=0②, 由①②,解得a=6,b=11, ∴0<c-6≤3,即6<c≤9,故选C. 5.(2013重庆,7,5分)关于x的不等式x2-2ax-8a2<0(a>0)的解集为(x1,x2),且x2-x1=15,则a=(　　) A.　　　B.　　　C.　　　D. 【答案】　A　 【解析】 解法一:∵不等式x2-2ax-8a2<0的解集为(x1,x2),∴x1,x2是方程x2-2ax-8a2=0的两根. 由根与系数的关系知 ∴x2-x1===15, 又∵a>0,∴a=,故选A. 解法二:由x2-2ax-8a2<0,得(x+2a)(x-4a)<0,∵a>0, ∴不等式x2-2ax-8a2<0的解集为(-2a,4a), 又∵不等式x2-2ax-8a2<0的解集为(x1,x2), ∴x1=-2a,x2=4a. ∵x2-x1=15,∴4a-(-2a)=15, 解得a=,故选A. 6.(2019课标Ⅰ理,4,5分)古希腊时期,人们认为最美人体的头顶至肚脐的长度与肚脐至足底的长度之比是≈0.618,称为黄金分割比例,著名的“断臂维纳斯”便是如此.此外,最美人体的头顶至咽喉的长度与咽喉至肚脐的长度之比也是.若某人满足上述两个黄金分割比例,且腿长为105 cm,头顶至脖子下端的长度为26 cm,则其身高可能是(　　) A.165 cm　　　B.175 cm　　　C.185 cm　　　D.190 cm 【答案】　B　 【解析】 本题主要考查学生的数学应用意识、抽象概括能力、运算求解能力,以及方程思想;考查的核心素养为数学抽象、数学建模以及数学运算. 由人体特征可知,头顶至咽喉的长度应小于头顶至脖子下端的长度,故咽喉至肚脐的长度应小于≈42 cm,可得到此人的身高应小于26+42+≈178 cm; 同理,肚脐至足底的长度应大于腿长105 cm,故此人的身高应大于105+105×0.618≈170 cm,结合选项可知,只有B选项符合题意,故选B. 一题多解　用线段代替人,如图. 已知==≈0.618,c<26,b>105,c+d=a,设此人身高为h cm,则a+b=h,由⇒a>64.89, 由⇒d<42.07, 所以c+d<26+42.07=68.07,即a<68.07, 由⇒b<110.15, 整理可得64.89+105<a+b<68.07+110.15, 即169.89<h<178.22(单位:cm).故选B. 7.(2015浙江文,6,5分)有三个房间需要粉刷,粉刷方案要求:每个房间只用一种颜色,且三个房间颜色各不相同.已知三个房间的粉刷面积(单位:m2)分别为x,y,z,且x<y<z,三种颜色涂料的粉刷费用(单位:元/m2)分别为a,b,c,且a<b<c.在不同的方案中,最低的总费用(单位:元)是(　　) A.ax+by+cz　　　　　B.az+by+cx C.ay+bz+cx　　　　　D.ay+bx+cz 【答案】　B　 【解析】 用粉刷费用最低的涂料粉刷面积最大的房间,且用粉刷费用最高的涂料粉刷面积最小的房间,这样所需总费用最低,最低总费用为(az+by+cx)元,故选B. 8.(2015北京文,10,5分)2-3,,log25三个数中最大的数是　　　　.  【答案】　log25 【解析】　∵2-3=<1,1<<2,log25 >2, ∴这三个数中最大的数为log25. 9.(2015江苏,7,5分)不等式<4的解集为　　　　.  【答案】　{x|-1<x<2} 【解析】　不等式<4可转化为<22,利用指数函数y=2x的性质可得,x2-x<2,解得-1<x<2,故所求解集为{x|-1<x<2}. 10.(2015广东,11,5分)不等式-x2-3x+4>0的解集为　　　　.(用区间表示)  【答案】　(-4,1) 【解析】　不等式-x2-3x+4>0等价于x2+3x-4<0,解得-4<x<1. 11.(2014湖南文,13,5分)若关于x的不等式|ax-2|<3的解集为x-<x<,则a=　　　　.  【答案】　-3 【解析】　依题意,知a≠0.|ax-2|<3⇔-3<ax-2<3⇔-1<ax<5,当a>0时,不等式的解集为, 从而有此方程组无解.当a<0时,不等式的解集为,从而有解得a=-3. 12.(2013广东理,9,5分)不等式x2+x-2<0的解集为　　　　.  【答案】　{x|-2<x<1} 【解析】　x2+x-2=(x+2)(x-1)<0,解得-2<x<1,故不等式的解集是{x|-2<x<1}. 13.（2025上海，2,4分）不等式<0的解集为　　　　.  【答案】(1,3) 【解析】原不等式可化为(x-1)(x-3)<0,解得1<x<3, 则原不等式的解集为(1,3). 考点2 基本不等式 1.（2025北京，6,4分）已知a>0,b>0,则(　　) A.a2+b2>2ab B.+≥ C.a+b> D.+≤ 【答案】　C 对于B,取a=,b=,则+<,故B错误; 对于C,因为a>0,b>0,所以a+b≥2且>0,所以2>,故a+b>,故C正确; 对于D,取a=2,b=1,则+>,故D错误.故选C. 2.(2015陕西,理9,5分)设f(x)=ln x,0<a<b,若p=f(),q=f,r=(f(a)+f(b)),则下列关系式中正确的是(　　) A.q=r<p　　　B.q=r>p　　　C.p=r<q　　　D.p=r>q 【答案】　C　 【解析】 由题意得p=ln,q=ln,r=(ln a+ln b)=ln=p,∵0<a<b,∴>,∴ln>ln,∴p=r<q. 3.(2015福建理,5,5分)若直线+=1(a>0,b>0)过点(1,1),则a+b的最小值等于(　　) A.2　　　B.3　　　C.4　　　D.5 【答案】　C　 【解析】 因为直线+=1(a>0,b>0)过点(1,1),所以+=1.所以a+b=(a+b)·=2++≥2+2=4,当且仅当a=b=2时取“=”,故选C. 4.(2015湖南文,7,5分)若实数a,b满足+=,则ab的最小值为(　　) A.　　　B.2　　　C.2　　　D.4 【答案】　C　 【解析】 依题意知a>0,b>0,则+≥2=,当且仅当=,即b=2a时,“=”成立.因为+=,所以≥,即ab≥2,所以ab的最小值为2,故选C. 5.(2014重庆文,9,5分)若log4(3a+4b)=log2,则a+b的最小值是(　　) A.6+2　　　B.7+2　　　C.6+4　　　D.7+4 【答案】　D　 【解析】 由log4(3a+4b)=log2, 得3a+4b=ab,且a>0,b>0, ∴a=,由a>0,得b>3. ∴a+b=b+=b+=(b-3)++7≥2+7=4+7,即a+b的最小值为7+4. 6.(2014福建,9,5分)要制作一个容积为4 m3,高为1 m的无盖长方体容器.已知该容器的底面造价是每平方米20元,侧面造价是每平方米10元,则该容器的最低总造价是(　　) A.80元　　　B.120元　　　C.160元　　　D.240元 【答案】　C　 【解析】 设底面矩形的长和宽分别为a m、b m,则ab=4.容器的总造价为20ab+2(a+b)×10=[80+20(a+b)]元,80+20(a+b)≥80+40=160(当且仅当a=b时等号成立).故选C. 7.(多选)(2022新高考Ⅱ,12,5分)若x,y满足x2+y2-xy=1,则 (　　) A.x+y≤1　　　　B.x+y≥-2 C.x2+y2≤2　　　　D.x2+y2≥1 【答案】　BC　 【解析】 因为x2+y2-xy=(x+y)2-3xy=1,且xy≤,所以(x+y)2-3xy≥(x+y)2-(x+y)2=(x+y)2,故(x+y)2≤4,当且仅当x=y时等号成立,即-2≤x+y≤2,故A错误,B正确.由xy≤得1=x2+y2-xy≥x2+y2-,即x2+y2≤2,当且仅当x=y时等号成立.故C正确,D错误,故选BC. 8.(多选)(2020新高考Ⅰ,11,5分)已知a>0,b>0,且a+b=1,则 (　　) A.a2+b2≥　　　　 C.log2a+log2b≥-2　　　　D. 【答案】　ABD　∵a>0,b>0,a+b=1,∴0<a<1,0<b<1,b=1-a. ab≤. 对于A选项,a2+b2=a2+(1-a)2=2a2-2a+1=2,当且仅当a=b=时,取等号,A正确; 对于B选项,a-b=a-(1-a)=2a-1,∵0<a<1,∴-1<2a-1<1,∴<22a-1<2,∴2a-b>成立,B正确; 对于C选项,∵0<ab≤,a>0,b>0, ∴log2a+log2b=log2(ab)≤log2=-2,C不正确; 对于D选项,∵()2=a+b+2≤1+a+b=2,∴成立,D正确. 9.(2019天津文,13,5分)设x>0,y>0,x+2y=4,则的最小值为　　　　.  【答案】　 【解析】　本题主要考查基本不等式的运用.考查学生对基本不等式及其简单变形使用条件的掌握程度,以及学生的推理、运算能力. ===2+. ∵x>0,y>0,∴4=x+2y≥2,解得0<xy≤2,当且仅当x=2y=2,即x=2且y=1时“=”成立.此时≥,∴2+≥2+=,故的最小值为. 思路分析　首先将分子展开,并把已知条件x+2y=4代入,则原式化简为2+,注意到x与2y的和为定值,用基本不等式即可求xy的最大值,最终得到原式的最小值,在此应特别注意基本不等式的使用条件“一正、二定、三相等”,注意等号是否成立. 10.(2018江苏,13,5分)在△ABC中,角A,B,C所对的边分别为a,b,c,∠ABC=120°,∠ABC的平分线交AC于点D,且BD=1,则4a+c的最小值为　　　　.  【答案】　9 【解析】　本题考查基本不等式及其应用. 依题意画出图形,如图所示. 易知S△ABD+S△BCD=S△ABC, 即csin 60°+asin 60°=acsin 120°, ∴a+c=ac,∴+=1, ∴4a+c=(4a+c)=5++≥9, 当且仅当=,即a=,c=3时取“=”. 一题多解1　作DE∥CB交AB于E,∵BD为∠ABC的平分线, ∴==, ∵DE∥CB,∴===, ∴=,=. ∴=+. ∴=, ∴1=++2··||·||×, ∴1=,∴ac=a+c,∴+=1, ∴4a+c=(4a+c)=5++≥9,当且仅当=,即a=,c=3时取“=”. 一题多解2　以B为原点,BD所在直线为x轴建立如图所示的平面直角坐标系, 则D(1,0).∵AB=c,BC=a,∴A,C. ∵A,D,C三点共线,∴∥, ∴+c=0, ∴ac=a+c,∴+=1, ∴4a+c=(4a+c)=5++≥9,当且仅当=,即a=,c=3时取“=”. 11.(2017山东,12,5分)若直线+=1(a>0,b>0)过点(1,2),则2a+b的最小值为　　　　.  【答案】　8 【解析】　由题设可得+=1,∵a>0,b>0, ∴2a+b=(2a+b)=2+++2≥4+2=8. 故2a+b的最小值为8. 12.(2015重庆文,14,5分)设a,b>0,a+b=5,则+的最大值为　　　　.  【答案】　3 【解析】　解法一:令t=+, 则t2=(+)2=a+1+b+3+2·≤9+a+1+b+3=18, 当且仅当=, 即a=,b=时,等号成立. 即t的最大值为3. 解法二:设=m,=n,则m,n均大于零, 因为m2+n2≥2mn,所以2(m2+n2)≥(m+n)2, 所以m+n≤·, 所以+≤·=3, 当且仅当=, 即a=,b=时,“=”成立,所以所求最大值为3. 13.（2025上海，8,5分）设a,b>0,a+=1,则b+的最小值为　　　　.  【答案】4 【解析】易知b+==ab++2≥2+2=4, 当且仅当ab=1,即a=,b=2时等号成立. 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