1. 1 集合的概念课件-2025-2026学年高一上学期数学人教A版（2019）必修第一册

该高中数学课件聚焦集合的概念、元素与集合的关系、常用数集及表示方法，通过课前预习任务单梳理基础，课堂学习活动单以典例解析深化理解，迁移应用检测单巩固提升，构建预习-课堂-应用的学习支架，帮助学生衔接知识脉络。 其特色在于以数学抽象、逻辑推理、数学运算素养为导向，通过元素互异性判断、方程解集合元素等典例培养逻辑推理，描述法与列举法转化强化数学运算，结合综合性、创新性题目提升应用能力。学生能系统掌握知识并发展素养，教师可借助结构化内容高效开展教学。

第一章 | 集合与常用逻辑用语 1. 1 集合的概念 明确目标 发展素养 1.通过实例了解集合的含义 2.理解元素与集合的属于关系 3.掌握常用的数集及其记法 4.掌握集合的两种表示方法 1.通过学习集合的概念，逐步形成数学抽象素养 2.借助集合中元素的互异性的应用，培养逻辑推理素养 3.借助描述法转化为列举法时的运算，培养数学运算素养   定义 表示 元素 一般地，把__________统称为元素 通常用小写拉丁字母a，b，c，…表示集合中的元素 集合 把一些元素组成的_____叫做集合，简称为_____ 通常用大写拉丁字母A，B，C，…表示集合 知识点一　元素与集合 (一)教材梳理填空 1．元素与集合的含义： 研究对象 总体 集 2．集合中元素的特性：_______、互异性和无序性． 3．集合相等：只要构成两个集合的元素是______的，我们就称这两个集合是相等的． 确定性 一样 (二)基本知能小试 1．判断正误： (1)立德中学今年入学的爱好数学的学生可以组成一个集合． (　　) (2)元素1,2,3和元素3,2,1组成的集合是相等的． (　　) (3)单词“good”的构成字母组成的集合中有4个元素． (　　) 答案：(1)×　(2)√　(3)× 2．下列能构成集合的是 (　　) A．中央电视台著名节目主持人 B．我市跑得快的汽车 C．上海市所有的中学生 D．香港的高楼 解析：A、B、D中研究的对象不确定，因此不能构成集合． 答案:C　 3．若以方程x2－3x＋2＝0和x2－5x＋6＝0的所有解为元素组成集合A，则A中元素的个数为 (　　) A．1　　　　　　 B．2 C．3 D．4 解析：方程x2－3x＋2＝0的解为1,2，方程x2－5x＋6＝0的解为2,3由于两方程有相同的解2，在集合中作为1个元素，故A中有3个元素，故选C. 答案:C　 知识点二　元素与集合的关系及常用数集 (一)教材梳理填空 1．元素与集合的关系： 关系 概念 记法 a属于集合A 如果a是集合A的元素，就说a_____集合A _____ a不属于集合A 如果a不是集合A中的元素，就说a______集合A _____ 2．常用数集及其记法： 名称 自然数集 正整数集 整数集 有理数集 实数集 记法 ____ ________ ____ ____ ____ 属于 a∈A 不属于 a∉A N N*或N＋ Z R Q [微思考]　N与N*有何区别？ 一一列举 共同特征 描述法 列举法 描述性 “集合”是一个原始的不加定义的概念，它同平面几何中的“点”“线”“面”等概念一样都只是描述性的说明 整体性 集合是一个整体，暗含“所有”“全部”“全体”的含义，因此一些对象一旦组成了集合，这个集合就是这些对象的总体 广泛性 现实生活中我们看到的、听到的、闻到的、触摸到的、想到的各种各样的事物或一些抽象的符号等，都可以看作“对象”，即集合中的元素 [方法技巧] 判断元素能否构成集合，关键在于是否有一个明确的客观标准来衡量这些对象，即看这些元素是否具有确定性．同时注意互异性和无序性．如果条件满足就可以断定这些元素可以构成集合，否则就不能构成集合． 提醒：注意集合元素的互异性，相同的元素在集合中只能出现一次．　　 【对点练清】 1．(多选)下列对象能构成集合的是 (　　) A．某市拥有小轿车的家庭 B．2020年高考数学试卷中的难题 C．所有的有理数 D．绝对值大于5的实数 解析：根据集合的概念，B选项中的“难题”标准不明确，不满足集合中元素的确定性，显然A、C、D选项中都能构成集合．故选A、C、D. 答案:ACD　 题型二　元素与集合的关系　 【学透用活】 元素与集合的关系解读 唯一性 a∈A与a∉A取决于a是不是集合A中的元素，只有属于和不属于两种关系 方向性 符号“∈”“∉”具有方向性，左边是元素，右边是集合 [方法技巧] 用列举法表示集合的三个步骤 (1)求出集合的元素． (2)把元素一一列举出来，且相同元素只能列举一次． (3)用花括号括起来． 提醒：二元方程组的所有实数解组成的集合、函数图象上的所有点组成的集合都是点的集合，一定要写成实数对的形式，元素与元素之间用“，”隔开，如{(2,3)，(5，－1)}．　　 提示：没有对求得的值进行互异性检验，从而产生增根． 提示：N*是所有正整数组成的集合，而N是由0和所有的正整数组成的集合，所以N比N*多一个元素0. (二)基本知能小试 1．给出下列关系：①∈R；②∈Q；③－3∉Z；④－∉N.其中正确的个数为(　　) A．1　　 B．2　　　 C．3　　　 D．4 解析：　是实数，①正确；是无理数，②错误；－3是整数，③错误；－是无理数，④正确．故选B. 答案:B 2．已知集合M有两个元素3和a＋1，且4∈M，则实数a＝________. 解析：由题意可知a＋1＝4，即a＝3. 答案：3 知识点三　集合的表示方法 (一)教材梳理填空 1．列举法： 把集合的所有元素__________出来，并用花括号“{　}”括起来表示集合的方法叫做________． 2．描述法： 一般地，设A是一个集合，我们把集合A中所有具有_________P(x)的元素x所组成的集合表示为{x∈A|P(x)}，这种表示集合的方法称为________． [微思考]　(1)不等式x－3<4的解集中的元素有什么共同特征？ (2)如何用描述法表示不等式x－2<3的解集？ 提示：(1)元素的共同特征为x∈R，且x<7. (2){x|x<5，x∈R}． (二)基本知能小试 1．判断正误： (1)一个集合可以表示为{a，b，a，c}． (　　) (2)集合{－3,1}与集合{(－3,1)}表示同一个集合． (　　) (3){x∈R|x＞1}＝{y∈R|y＞1}． (　　) 答案：(1)×　(2)×　(3)√ 2．由大于－1且小于5的所有自然数组成的集合用列举法表示为___________，用描述法表示为________________． 答案：{0,1,2,3,4}　{x∈N|－1＜x＜5} 题型一　集合的概念及特征　 【学透用活】 准确认识集合的含义 [典例1]　下列对象能构成集合的是 (　　) A．高一年级长得帅的学生 B．sin 30°，sin 45°，cos 60°，1 C．全体很大的自然数 D．平面内到△ABC三个顶点距离相等的所有点 [解析]　由于“帅”与“很大”没有一个确定的标准，因此A、C不能构成集合；B中sin 30°＝cos 60°，不满足互异性；D满足集合的三要素．因此选D. [答案]　D 2．由实数x，－x|x|，，()2，－组成的集合最多含有________个元素． 解析：由题可知x≥0，所以x，－x|x|，，()2，－可分别化为x，－x2，x，x2，－x，故由实数x，－x|x|，，()2，－组成的集合最多含有4个元素． 答案：4 [典例2]　(1)满足“a∈A且4－a∈A，a∈N且4－a∈N”，有且只有2个元素的集合A的个数是 (　　) A．0　　　　　　 B．1 C．2 D．3 (2)用符号“∈”与“∉”填空： ①(－1)0_____N*; ＋2_____Q；_____Q. ②若a2＝3，则a____R；若a2＝－1，则a____R. [解析]　(1)∵a∈A且4－a∈A，a∈N且4－a∈N， 若a＝0，则4－a＝4，此时A＝{0,4}满足要求； 若a＝1，则4－a＝3，此时A＝{1,3}满足要求； 若a＝2，则4－a＝2，此时A中只有一个元素2，不满足要求． 故有且只有2个元素的集合A有2个，故选C. (2)①(－1)0＝1∈N*; ＋2是无理数，故＋2∉Q；是无限循环小数，是有理数，故∈Q. ②平方等于3的数是±，是实数；平方等于－1的实数不存在．所以a2＝3时，a∈R；a2＝－1时，a∉R. [答案]　(1)C　(2)①∈　∉　∈　②∈　∉ 解决元素与集合的关系问题的策略 (1)判断一个元素是不是某个集合的元素，关键是判断这个元素是否具有这个集合中元素的共同特征． (2)要熟练掌握R，Q，Z，N，N*表示什么数集． (3)解决比较复杂的集合问题时要充分利用集合满足的性质，运用转化思想，将问题等价转化为比较熟悉的问题解决．　　 【对点练清】 1．集合M是由大于－2且小于1的所有实数构成的，则下列关系式正确的是 (　　) A.∈M B．0∉M C．1∈M D．－∈M 解析：＞1，故∉M；－2＜0＜1，故0∈M；1不小于1，故1∉M；－2＜－＜1，故－∈M.故选D. 答案:D 2．设集合D是由满足y＝x2的所有有序实数对(x，y)组成的，则－1________D，(－1,1)________D．(用符号“∉”或“∈”填空) 解析：－1不是有序实数对，∴－1∉D.(－1,1)满足y＝x2，∴(－1,1)∈D. 答案：∉　∈ 题型三　集合的表示　 【分类例析】 角度(一)　用列举法表示集合　 [典例3]　用列举法表示下列集合： (1)不大于10的所有非负偶数组成的集合A； (2)小于8的所有质数组成的集合B； (3)方程2x2－x－3＝0的所有实数根组成的集合C； (4)一次函数y＝x－3与y＝－2x－6的图象的交点组成的集合D. [解]　(1)不大于10的所有非负偶数有0,2,4,6,8,10，所以A＝{0,2,4,6,8,10}． (2)因为小于8的所有质数有2,3,5,7，所以B＝{2,3,5,7}． (3)因为方程2x2－x－3＝0的所有实数根为－1，， 所以C＝. (4)由得 所以一次函数y＝x－3与y＝－2x－6的图象的交点为(－1，－4)，所以D＝{(－1，－4)}． 角度(二)　用描述法表示集合　 [典例4]　用描述法表示下列集合： (1)函数y＝－2x2＋x图象上的所有点组成的集合； (2)不等式2x－3<5的所有解组成的集合； (3)被3除余数等于1的所有正整数组成的集合； (4)3和4的所有正的公倍数组成的集合． [解]　(1)函数y＝－2x2＋x图象上的所有点组成的集合可表示为{(x，y)|y＝－2x2＋x}． (2)不等式2x－3<5的所有解组成的集合可表示为{x|2x－3<5}，即{x|x<4}． (3){x|x＝3n＋1，n∈N}． (4)3和4的最小公倍数是12，因此3和4的所有正的公倍数组成的集合是{x|x＝12n，n∈N*}． 1．描述法表示集合的两个步骤 (1)写代表元素：分清楚集合中的元素是点还是数或是其他的元素． (2)明确元素的特征：将集合中元素所具有的公共特征写在竖线的后面． 2．用描述法表示集合的注意点 (1)若需要多层次描述属性，可选用“且”“或”连接． (2)若描述部分出现元素记号以外的参数，则要说明参数的含义或指出参数的取值范围．　　 【对点练清】 用适当的方法表示下列集合： (1)方程组的解组成的集合； (2)所有小于13的既是奇数又是素数的自然数组成的集合； (3)方程x2－2x＋1＝0的所有实数根组成的集合； (4)平面直角坐标系内所有第二象限的点组成的集合； (5)二次函数y＝x2＋2x－10图象上的所有点组成的集合； (6)二次函数y＝x2＋2x－10图象上的所有点的纵坐标组成的集合． 解：(1)解方程组得故其解组成的集合可用描述法表示为，也可用列举法表示为{(4，－2)}． (2)所有小于13的既是奇数又是素数的自然数有4个，分别为3,5,7,11，可用列举法表示为{3,5,7,11}． (3)方程x2－2x＋1＝0的所有实数根为1，因此可用列举法表示为{1}，也可用描述法表示为{x∈R|x2－2x＋1＝0}． (4)集合的代表元素是点，可用描述法表示为{(x，y)|x<0且y>0}． (5)二次函数y＝x2＋2x－10的图象上所有的点组成的集合中，代表元素为点(x，y)，其中x，y满足y＝x2＋2x－10，由于点有无数个，则用描述法表示为{(x，y)|y＝x2＋2x－10}． (6)二次函数y＝x2＋2x－10的图象上所有点的纵坐标组成的集合中，代表元素为y，是实数，故可用描述法表示为{y|y＝x2＋2x－10}． 【课堂思维激活】 一、综合性——强调融会贯通 1．已知集合A中含有3个元素1，x，x2－2x，且3∈A，求x的值．以下是小明同学给出的解题过程． 解：∵3∈A，∴x＝3或x2－2x＝3， 解得x＝－1或3. ∴x的值为－1或3. 分析以上解题过程，你能找出错误之处吗？请写出正确的解题过程． 正解如下： ∵A中含有3个元素且3∈A，∴x＝3或x2－2x＝3. 当x＝3时，x2－2x＝3＝x，不满足互异性，故x≠3. 当x2－2x＝3时，解得x＝－1或x＝3(舍去)． 当x＝－1时，A＝{－1,1,3}符合题意． 综上，x的值为－1. 二、应用性——强调学以致用 2．甲、乙两人同时参加一次数学测试，共有10道选择题，每题均有4个选项，答对得3分，答错或不答得0分．甲和乙都解答了所有的试题，经比较，他们只有1道题的选项不同，如果甲最终的得分为27分，那么乙的所有可能的得分值组成的集合为________． 解析：∵甲最终的得分为27分，∴甲答对了10道题目中的9道．∵甲和乙都解答了所有的试题，∴甲必然有1道题目答错了，不妨设为第1题． ∵甲和乙只有1道题的选项不同，如果是第1道题，则乙可能答错，也可能答对，此时乙可得27分或30分． 如果是第1道题以外的一个题目，则乙一定答错，而第1道题两人选项相同，则乙也一定答错，此时乙可得24分． 综上，乙的所有可能的得分值组成的集合为{24,27,30}． 答案：{24,27,30} 三、创新性——强调创新意识和创新思维 3．若集合{a，b，c，d}＝{1,2,3,4}，且下列四个关系①a＝1，②b≠1，③c＝2，④d≠4有且只有一个是正确的，则符合条件的有序数组(a，b，c，d)的个数是________． 解：若①正确，即a＝1，则②③④都错误，即b＝1，c≠2，d＝4.其中a＝1与b＝1矛盾，显然此种情况不存在． 若②正确，即b≠1，则①③④都错误，即a≠1，c≠2，d＝4，则当b＝2时，有a＝3，c＝1；当b＝3时，有a＝2，c＝1，此时有2个有序数组． 若③正确，即c＝2，则①②④都错误，即a≠1，b＝1，d＝4，则a＝3，即此种情况有1个有序数组． 若④正确，即d≠4，则①②③都错误，即a≠1，b＝1，c≠2，则当d＝2时，有a＝3，c＝4或a＝4，c＝3，有2个有序数组；当d＝3时，有c＝4，a＝2，仅有1个有序数组． 综上可得共有2＋1＋2＋1＝6(个)有序数组． 答案：6 $$