专题08函数的奇偶性和周期性（讲义）- 内蒙古2026年对口招生一轮复习《数学知识点清单》（原卷版+解析版）

编写说明：内蒙古2026年对口招生一轮复习《数学知识点清单》，依据《中等职业学校数学课程标准》（2020年版）及历年对口高考真题进行编写。本资料将高考必备知识进行科学划分，系统总结归纳知识点，全面梳理高考题型。整套资料共包含46个专题，每个专题均配备配套讲义、课件及练习题。 本专题是内蒙古2026年对口招生一轮复习《数学知识点清单》第8个专题：函数奇偶性及周期性。本专题涵盖函数奇偶性概念、判断、及周期性的概念等知识点，每个知识点后均配有真题及模拟题，供学生进行知识检测。 内蒙古2026年对口招生 一轮复习 《数学知识点清单》 专题08 函数奇偶性及周期性（讲义） 1．函数的奇偶性 (1)偶函数的定义 一般地，如果对于函数f(x)的定义域内任意一个x，都有f(－x)＝f(x)，那么函数f(x)就叫做偶函数． (2)奇函数的定义 一般地，如果对于函数f(x)的定义域内任意一个x，都有f(－x)＝－f(x)，那么函数f(x)就叫做奇函数． (3)奇、偶函数的图象特征 偶函数的图象关于y轴对称；奇函数的图象关于原点对称． (4)具有奇偶性函数的定义域的特点 具有奇偶性函数的定义域关于原点对称，即“定义域关于原点对称”是“一个函数具有奇偶性”的 必要不充分条件． (5)奇、偶函数的“运算”(共同定义域上) 奇±奇＝奇，偶±偶＝偶，奇×奇＝偶，偶×偶＝偶，奇×偶＝奇. (6)函数奇偶性与单调性之间的关系 (1)若函数f(x)为奇函数，且在[a，b]上为增(减)函数，则f(x)在[－b，－a]上为增(减)函数； (2)若函数f(x)为偶函数，且在[a，b]上为增(减)函数，则f(x)在[－b，－a]上为减(增)函数． 2．函数的周期性 (1)周期、周期函数 对于函数f(x)，如果存在一个非零常数T，使得当x取定义域内每一个的值时，都有f(x＋T)＝f(x)，那么函数f(x)就叫做周期函数．T叫做这个函数的周期． (2)最小正周期 如果在周期函数f(x)的所有周期中存在一个最小的正数，那么这个最小正数就叫做f(x)的最小正周期． 1. （2025年内蒙古对口升学）已知函数f(x),g(x)的定义域都为R, 且 f(x)是偶函数，g(x)是奇函数，若f(x)+g(x)= 一x³+x²+1, 则f(1)—g(1)= A.3 B.-1 C.1 D.-3 答案：A 解析：已知(f(x))是偶函数，(g(x))是奇函数，根据奇偶函数性质：(f(-x)=f(x))，(g(-x)=-g(x))。 由(f(x)+g(x)=-x³+x²+1)，将(x)替换为(-x)，得(f(-x)+g(-x)=x³+x²+1)，即(f(x)-g(x)=x³+x²+1)。 求(f(1)-g(1))时，代入(x=1)，得(f(1)-g(1)=1³+1²+1=3)。 2.（2023年内蒙古对口升学）已知函数f(x)在定义域R 上是奇函数，当x >0 时 ，f（x）=2 则f（—）=（ ） A.— B.-1 C.1 D. 答案： B 解析：因为f（x）为奇函数，所以f（—）=-f（）代入到f（x）=2得结果为-1 3.（2022年内蒙古对口升学）f(x) = a — bx 是定义在 [—a — 1,2a] 上的偶函数, 则 a + b 的值是 ( ) A. 1 B. 2 C. —1 D. 0 答案： A 解析：偶函数定义域关于原点对称，故(-a-1+2a=0)，解得(a=1)，定义域为([-2,2])。 偶函数满足(f(-x)=f(x))，即(a(-x)²-b(-x)=ax²-bx)，化简得(2bx=0)对定义域内所有(x)成立，故(b=0)。 因此(a+b=1+0=1)。 4.（2020年内蒙古对口升学）若偶函数f(x)在(-∞,-1]上是增函数,则下列关系式中成立的是( ) A. f(-)<f(-1)<f(2) B. f(-1)<f(-)<f(2) B. f(2)<f(-1)<f(-) D.f(2)<f(-)<f(-1) 答案： D C. 解析：因为f(x)是偶函数，所以有f(-)=f()，f(-1)=f(1),f(-2)=f(2),又f(x)在(-∞,-1]上是增函数，所以f(-2)<f(-)<f(-1)，即f(2)<f(-)<f(-1) 5.（2021年内蒙古对口升学） 函数的周期为________． 答案： 解析：T== 知识点1 函数的奇偶性 1.下列函数中，既是偶函数又在上单调递增的函数是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】AD选项为奇函数，故AD错；B选项为偶函数，当时，，单调递增，故B正确； C选项为偶函数，但在上单调递减，故C错，故选：B. 2.下列函数为奇函数的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】对于A：定义域为，且，所以为偶函数，故A错误；对于B：定义域为，且，所以为奇函数，故B正确； 对于C：定义域为，且，所以为偶函数，故C错误；对于D：定义域为，定义域不关于原点对称，故为非奇非偶函数，故D错误，故选：B． 3.函数是定义在上的奇函数，当时，，则 . 【答案】 【解析】函数是定义在上的奇函数，所以，故答案为:. 4.已知是偶函数，，则 . 【答案】4 【解析】因为是偶函数，，所以，4，故答案为：4. 5.是R上的奇函数，当时，，则时，（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】当时，，当时，，则，又为R上的奇函数，所以，故选：C. 6.已知是定义在上的奇函数，且当时，，则当时，（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】时，，，∴，故选：C. 7.已知函数是定义域为R的奇函数，当时，，若，则（       ）． A． B．2 C． D．1 【答案】D 【解析】由奇函数的性质可知   a=2，，故选：D. 8.已知函数. （1）若函数的图象过点（2，2），求函数的单调递增区间； （2）若函数是偶函数，求值. 【答案】（1）；（2）． 【解析】解：（1）由题意，，∴，即，∴函数的单调递增区间为； （2）∵函数是偶函数，∴，即，∴． 9.已知函数． （1）当时，判断函数的奇偶性； （2）当时，判断函数在上的单调性，并证明． 【答案】(1)奇函数；(2)在上是单调递减函数；证明见解析 【解析】（1）解：当时，，定义域为，关于原点对称，，所以是奇函数． （2）证明：当时，，证明：取，，所以，，则，即，所以在上是单调递减函数． 知识点二 函数的周期性 1.下列函数是周期函数的有（       ） ①       ②       ③ A．①③ B．②③ C．①② D．①②③ 【答案】C 【解析】易得和是周期函数，不是周期函数，故选：C. 2.已知是以2为周期的函数，且，则（       ） A．1 B．-1 C． D．7 【答案】A 【解析】因为函数是周期为2的周期函数，所以为的周期，即，所以，故选：A. 3.已知满足对任意，且时，则的值为（ ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】因为满足对，所以函数的最小正周期为，又时，，因此，故选C. 4.已知定义在上的函数满足，当时，，则 . 【答案】 【解析】由得，故是以2为周期的周期函数，所以，故答案为：. 5.若是R上周期为6的奇函数，且满足，，则（       ） A．-1 B．-2 C．2 D．3 【答案】D 【解析】由题知是上周期为的奇函数，所以有， ，故，故选：D. 6.已知函数是定义在R上的周期为2的奇函数，当时，，则 . 【答案】 【解析】因为函数是定义在R上的周期为2的奇函数，所以，，因为当时，，所以，所以，所以，故答案为： 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！34 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$ 编写说明：内蒙古2026年对口招生一轮复习《数学知识点清单》，依据《中等职业学校数学课程标准》（2020年版）及历年对口高考真题进行编写。本资料将高考必备知识进行科学划分，系统总结归纳知识点，全面梳理高考题型。整套资料共包含46个专题，每个专题均配备配套讲义、课件及练习题。 本专题是内蒙古2026年对口招生一轮复习《数学知识点清单》第8个专题：函数奇偶性及周期性。本专题涵盖函数奇偶性概念、判断、及周期性的概念等知识点，每个知识点后均配有真题及模拟题，供学生进行知识检测。 内蒙古2026年对口招生 一轮复习 《数学知识点清单》 专题08 函数奇偶性及周期性（讲义） 1．函数的奇偶性 (1)偶函数的定义 一般地，如果对于函数f(x)的定义域内任意一个x，都有f(－x)＝f(x)，那么函数f(x)就叫做偶函数． (2)奇函数的定义 一般地，如果对于函数f(x)的定义域内任意一个x，都有f(－x)＝－f(x)，那么函数f(x)就叫做奇函数． (3)奇、偶函数的图象特征 偶函数的图象关于y轴对称；奇函数的图象关于原点对称． (4)具有奇偶性函数的定义域的特点 具有奇偶性函数的定义域关于原点对称，即“定义域关于原点对称”是“一个函数具有奇偶性”的 必要不充分条件． (5)奇、偶函数的“运算”(共同定义域上) 奇±奇＝奇，偶±偶＝偶，奇×奇＝偶，偶×偶＝偶，奇×偶＝奇. (6)函数奇偶性与单调性之间的关系 (1)若函数f(x)为奇函数，且在[a，b]上为增(减)函数，则f(x)在[－b，－a]上为增(减)函数； (2)若函数f(x)为偶函数，且在[a，b]上为增(减)函数，则f(x)在[－b，－a]上为减(增)函数． 2．函数的周期性 (1)周期、周期函数 对于函数f(x)，如果存在一个非零常数T，使得当x取定义域内每一个的值时，都有f(x＋T)＝f(x)，那么函数f(x)就叫做周期函数．T叫做这个函数的周期． (2)最小正周期 如果在周期函数f(x)的所有周期中存在一个最小的正数，那么这个最小正数就叫做f(x)的最小正周期． 1. （2025年内蒙古对口升学）已知函数f(x),g(x)的定义域都为R, 且 f(x)是偶函数，g(x)是奇函数，若f(x)+g(x)= 一x³+x²+1, 则f(1)—g(1)= A.3 B.-1 C.1 D.-3 2.（2023年内蒙古对口升学）已知函数f(x)在定义域R 上是奇函数.，当x >0 时 ， f（x）=2则f（—）=（ ） A.— B.-1 C.1 D. 3.（2022年内蒙古对口升学）f(x) =a — bx 是定义在 [—a — 1,2a] 上的偶函数, 则 a + b 的值是 ( ) A. 1 B. 2 C. —1 D. 0 4.（2020年内蒙古对口升学）若偶函数f(x)在(-∞,-1]上是增函数,则下列关系式中成立的是( ) A. f(-)<f(-1)<f(2) B. f(-1)<f(-)<f(2) B. f(2)<f(-1)<f(-) D.f(2)<f(-)<f(-1) 5.（2021年内蒙古对口升学） 函数的周期为________． 知识点1 函数的奇偶性 1.下列函数中，既是偶函数又在上单调递增的函数是（    ） A． B． C． D． 2.下列函数为奇函数的是（    ） A． B． C． D． 3.函数是定义在上的奇函数，当时，，则 . 4.已知是偶函数，，则 . 5.是R上的奇函数，当时，，则时，（    ） A． B． C． D． 6.已知是定义在上的奇函数，且当时，，则当时，（    ） A． B． C． D． 7.已知函数是定义域为R的奇函数，当时，，若，则（       ）． A． B．2 C． D．1 8.已知函数. （1）若函数的图象过点（2，2），求函数的单调递增区间； （2）若函数是偶函数，求值. 9.已知函数． （1）当时，判断函数的奇偶性； （2）当时，判断函数在上的单调性，并证明． 知识点二 函数的周期性 1.下列函数是周期函数的有（       ） ①       ②       ③ A．①③ B．②③ C．①② D．①②③ 2.已知是以2为周期的函数，且，则（       ） A．1 B．-1 C． D．7 3.已知满足对任意，且时，则的值为（ ） A． B． C． D．. 4.已知定义在上的函数满足，当时，，则 . 5.若是R上周期为6的奇函数，且满足，，则（       ） A．-1 B．-2 C．2 D．3 6.已知函数是定义在R上的周期为2的奇函数，当时，，则 . 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！34 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$