专题22.1 二次函数的图像和性质（知识梳理+25个考点讲练+中考真题演练+难度分层练 共65题）-2025-2026学年人教版数学九年级上册同步培优精编讲练

专题22.1 二次函数的图像和性质 （知识梳理+25个考点讲练+中考真题演练+难度分层练 共65题） 知识梳理 技巧点拨 2 知识点梳理01： y=ax²图像和性质 2 知识点梳理02：的图像和性质 2 知识点梳理03： 的图像和性质 3 的图像和性质 3 知识点梳理05：二次函数的图像和性质 3 知识点梳理06：比较函数值大小的方法 4 知识点梳理07：二次函数平移的方法 4 知识点梳理08：求对称轴的方法 4 知识点梳理09：图像共存性问题的解决方法 5 知识点梳理10：抛物线的轴对称问题 5 知识点梳理11：利用待定系数法求解析式的方法 5 知识点梳理12：根据增减性求字母的取值范围 5 优选题型 考点讲练 5 考点1：列二次函数关系式 5 考点2：根据二次函数的定义求参数 6 考点3：y=ax²的图象和性质 7 考点4：y=ax²+k的图象和性质 7 考点5：y=a (x-h) ²的图象和性质 8 考点6：y=a (x-h) ²+k的图象和性质 9 考点7：二次函数图象的平移 9 考点8：把y=ax²+bx+c化成顶点式 10 考点9：画y=ax²+bx+c的图象 10 考点10：y=ax²+bx+c的图象与性质 12 考点11：二次函数图象与各项系数符号 13 考点12：一次函数、二次函数图象综合判断 13 考点13：两个二次函数图象综合判断 14 考点14：根据二次函数的图象判断式子符号 14 考点15：已知抛物线上对称的两点求对称轴 15 考点16：根据二次函数的对称性求函数值 15 考点17：y=ax²+bx+c的最值 16 考点18：利用二次函数对称性求最短路径 17 考点19：待定系数法求二次函数解析式 18 考点20：线段周长问题（二次函数综合） 19 考点21：面积问题（二次函数综合） 20 考点22：角度问题（二次函数综合） 21 考点23：特殊三角形问题（二次函数综合） 23 考点24：特殊四边形问题（二次函数综合） 24 考点25：其他问题（二次函数综合） 26 中考真题 实战演练 27 难度分层 拔尖冲刺 29 基础夯实 29 培优拔高 30 知识点梳理01： y=ax²图像和性质 的符号 开口方向 顶点坐标 对称轴 性质 向上 轴 时，随的增大而增大；时，随的增大而减小；时，有最小值． 向下 轴 时，随的增大而减小；时，随的增大而增大；时，有最大值． 知识点梳理02：的图像和性质 的符号 开口方向 顶点坐标 对称轴 性质 向上 轴 时，随的增大而增大；时，随的增大而减小；时，有最小值． 向下 轴 时，随的增大而减小；时，随的增大而增大；时，有最大值． 知识点梳理03： 的图像和性质 的符号 开口方向 顶点坐标 对称轴 性质 向上 X=h 时，随的增大而增大；时，随的增大而减小；时，有最小值． 向下 X=h 时，随的增大而减小；时，随的增大而增大；时，有最大值． 的图像和性质 的符号 开口方向 顶点坐标 对称轴 性质 向上 X=h 时，随的增大而增大；时，随的增大而减小；时，有最小值． 向下 X=h 时，随的增大而减小；时，随的增大而增大；时，有最大值． 知识点梳理05：二次函数的图像和性质 用配方法可化成：的形式，其中. 二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）: 顶点坐标是（﹣，）， 对称轴直线x＝﹣， 二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象具有如下性质： ①当a＞0时，抛物线y＝ax2+bx+c（a≠0）的开口向上， x＜﹣时，y随x的增大而减小； x＞﹣时，y随x的增大而增大； x＝﹣时，y取得最小值，即顶点是抛物线的最低点． ②当a＜0时，抛物线y＝ax2+bx+c（a≠0）的开口向下， x＜﹣时，y随x的增大而增大； x＞﹣时，y随x的增大而减小； x＝﹣时，y取得最大值，即顶点是抛物线的最高点． ③抛物线y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象可由抛物线y＝ax2的图象向右或向左平移|﹣|个单位，再向上或向下平移||个单位得到的． 知识点梳理06：比较函数值大小的方法 ①代入法，代入函数解析式求出函数值直接比较； ②性质法，利用函数的增减性比较； ③距离法，结合开口方向和点到对称轴的距离进行比较 知识点梳理07：二次函数平移的方法 平移原则上加下减，左加右减； 注意：上下平移变的是y值，左右平移变的是x值，所以在对一般式进行平移时可通过两种方法：第一是先化为顶点式平移，第二是直接变x值和y值即可。 知识点梳理08：求对称轴的方法 ①已知两对称点的坐标，求对称轴； ②已知对称轴和一个点的坐标，求对称点的坐标 方法：如果抛物线上两点(x1,m),(x2,m),那么抛物线的对称轴为x＝ 知识点梳理09：图像共存性问题的解决方法 根据位置先确定一个函数的系数符号，再依据系数符号，判断另一个函数图像位置。 知识点梳理10：抛物线的轴对称问题 ·表现形式：求一个抛物线关于x轴，y轴对称的函数解析式 ·思路方法：抛物线y=ax²+bx+c. ①关于x轴对称的解析式为：y=-ax²-bxc(a,b,c都变为相反数)； ②关于y轴对称的解析式为：y=ax²-bx+c(b变为相反数) 知识点梳理11：利用待定系数法求解析式的方法 ①二次函数的一般式：y=ax²+bx+c(a≠0)； ②二次函数的顶点式： Y＝a(x-h)²＋k(a≠0); ③二次函数的双根式： y=a(x-x1)(x－x2) 知识点梳理12：根据增减性求字母的取值范围 表现形式：已知增减性求二次函数字母取值范围. 一般步骤： 第一步：确定二次函数的开口方向和对称轴； 第二步：利用增减性确定对称轴的位置，建立不等式求解。 考点1：列二次函数关系式 【典例精讲】（24-25九年级上·辽宁大连·期中）如图，在平面直角坐标系中，点的坐标是，点是轴上一动点，连接，作线段的垂直平分线，过点作轴的垂线，记，的交点为，改变点的位置，可以得到相应的点，设点的坐标是，则关于的函数解析式为 ． 【变式训练】（2024九年级下·浙江舟山·学业考试）如图，正三角形的边长为1，是边上的一点，过作边的垂线，交于，用表示线段的长度，显然线段的面积是线段长度的函数，这个函数的表达式是 ． 考点2：根据二次函数的定义求参数 【典例精讲】（2024·广东广州·一模）已知． (1)化简A； (2)若点是抛物线上的一点，求A的值． 【变式训练】（24-25九年级上·全国·期中）已知关于x的函数． (1)当此函数为一次函数时，求函数的解析式； (2)当此函数为二次函数时，求函数的解析式； 考点3：y=ax²的图象和性质 【典例精讲】（24-25九年级上·广西钦州·期中）如图，在平面直角坐标系中，垂直于x轴的直线分别交抛物线和抛物线于点A和点B，过点A作轴交抛物线于点C，过点B作轴交抛物线于点D，则的值为 ． 【变式训练】（2025·上海闵行·一模）如图，在等腰直角三角形中，，点A、B在抛物线上，点C在y轴上，A、B两点的横坐标分别为1和，b的值为 ． 考点4：y=ax²+k的图象和性质 【典例精讲】（24-25九年级上·安徽合肥·期中）【探究】如图，已知抛物线． (1)在坐标系中画出此抛物线的大致图象（不要求列表）： (2)该抛物线可由抛物线向______平移______个单位得到； (3)当时，的取值范围是______． 【变式训练】（24-25九年级上·江苏南通·期末）定义：对于函数图象上的两点，将的值称为该函数图象在段的“攀登值”，记作．已知二次函数的图象上有两点，若对于任意的均满足当时，该函数图象在段的“攀登值”始终有，则a的取值范围是 ． 考点5：y=a (x-h) ²的图象和性质 【典例精讲】（24-25八年级下·黑龙江绥化·阶段练习）已知直线交抛物线于点，交抛物线于点，下列结论：①若，则，②若，则，③若，则，④若，则；其中正确的是（    ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【变式训练】（24-25九年级上·北京·期中）如图，正三角形的边长为1，动点D从点B开始沿边向点C移动，过点D作边的垂线，交于G，连接． (1)随着点D的移动，随之而变化的量有_________（至少写三个）； (2)请你用函数表示上述变化过程中某两个变量之间的关系，并利用函数的有关知识分析变化的规律． 考点6：y=a (x-h) ²+k的图象和性质 【典例精讲】（2025·辽宁大连·模拟预测）如图，将抛物线平移到抛物线，点，分别在抛物线，上．下列结论：①无论取何值，都有；②若点平移后的对应点为，则；③当时，线段的长随着的增大而减小．其中正确的结论为（   ） A．①②③ B．①② C．①③ D．②③ 【变式训练】（24-25九年级上·吉林·期中）已知抛物线 ． (1)若此抛物线的顶点在直线 上，求的值； (2)若点 与点在此抛物线上，且直接写出的取值范围. 考点7：二次函数图象的平移 【典例精讲】（2025·广西南宁·三模）已知点和点在抛物线上，沿x轴向左平移该抛物线，记平移后点A的对应点为，点B的对应点为，是x轴上的一个定点．当最短时，此时抛物线的解析式为 ． 【变式训练】（24-25九年级上·广西河池·期中）如图，将抛物线沿y轴向下平移一段距离后，得到一条新的抛物线；若曲线段平移至曲线段，曲线段所扫过的为阴影部分，则阴影部分的面积是 ． 考点8：把y=ax²+bx+c化成顶点式 【典例精讲】（24-25九年级上·江苏泰州·阶段练习）已知抛物线的顶点在轴上． (1)求的值； (2)抛物线上两点，．若，则______（填“”、“”或“”）； (3)若点，为抛物线上的两点，且，求出的取值范围． 【变式训练】（24-25九年级上·安徽淮南·阶段练习）在平面直角坐标系中，关于的二次函数的顶点为． （1）点的坐标为 （用含字母的代数式表示）； （2）若将抛物线先向下平移6个单位，再向左平移2个单位得到新的二次函数，若，则该抛物线顶点纵坐标的最小值为 ． 考点9：画y=ax²+bx+c的图象 【典例精讲】（24-25九年级上·北京·阶段练习）已知二次函数． (1)补全表格，并在平面直角坐标系中用描点法画出该函数图象； … 0 1 2 3 … … 0 3 … (2)根据图象回答：当时，的取值范围是______； (3)设，，过点与轴垂直的直线l与抛物线交于点，．其中，与直线交于点，若，直接写出t的取值范围______． 【变式训练】（24-25九年级上·内蒙古呼伦贝尔·期中）已知：二次函数中的和满足如表： … 0 1 2 3 4 5 … … 3 0 0 8 … (1)可求得的值为 ； (2)求出这个二次函数的解析式； (3)画出函数图象，并根据图像写出当时的取值范围． 考点10：y=ax²+bx+c的图象与性质 【典例精讲】（24-25九年级上·安徽合肥·阶段练习）如图，边长为4的菱形中，，现将一条垂直于对角线的直线从点出发，以每秒1个单位的速度向点匀速平移，交或于点，交或于点，设的面积为（当直线过点或点时，规定），运动时间为，则关于的函数图象是（   ） A．B．C． D． 【变式训练】（24-25九年级上·江苏泰州·阶段练习）已知二次函数，函数值与自变量之间满足下列数量关系： …… 0 1 2 3 …… …… …… 当时，函数值的最大值记为，最小值记为，则 ． 考点11：二次函数图象与各项系数符号 【典例精讲】（24-25九年级上·福建泉州·阶段练习）四个二次函数的图象对应的函数关系式分别是①；②；③；④．则的大小关系为（   ） A． B． C． D． 【变式训练】（24-25九年级上·江苏泰州·阶段练习）二次函数的图象如图所示，则下列结论中错误的是（    ） A． B．当时， C． D． 考点12：一次函数、二次函数图象综合判断 【典例精讲】（24-25九年级上·江苏南通·期末）已知平面直角坐标系中，点为抛物线上一点．当时，点关于轴的对称点始终在直线的上方，则的取值范围是 ． 【变式训练】（24-25九年级上·江苏常州·期末）二次函数的图象经过点． (1)求二次函数的对称轴； (2)当点坐标为时， ①求出此时二次函数的表达式； ②求出此时函数图像与直线的交点坐标． 考点13：两个二次函数图象综合判断 【典例精讲】（22-23九年级上·浙江杭州·期中）设二次函数，（，，是实数，）． (1)若，函数的对称轴为直线，且函数的图象经过点，求，的值． (2)设函数的最大值为，函数的最小值为，若，求证：． (3)若函数的图象与函数的图象的两个交点分别在二、四象限，求证：． 【变式训练】如图，在平面直角坐标系中，垂直于x轴的直线分别交抛物线y＝x2（x≥0）和抛物线y＝x2（x≥0）于点A和点B，过点A作AC∥x轴交抛物线y＝x2于点C，过点B作BD∥x轴交抛物线y＝x2于点D，则的值为（　　） A． B． C． D． 考点14：根据二次函数的图象判断式子符号 【典例精讲】（24-25九年级上·北京·阶段练习）如表记录了二次函数中两个变量与的三组对应值： … 2 8 … … 1 … 点，在该函数图象上．若当时，，下列四个结论：①；②；③；④若记二次函数的图象为图形，存在直线与图形有两个交点，则．上述结论中，所有正确结论的序号是（    ） A．①②③④ B．②③④ C．①③④ D．②③ 【变式训练】（24-25九年级上·广东江门·阶段练习）如图是二次函数的图象，给出以下结论：①；②；③；④；⑤当时，y随x的增大而增大，其中正确的是 ． 考点15：已知抛物线上对称的两点求对称轴 【典例精讲】（2025·福建·中考真题）在平面直角坐标系中，二次函数的图象过点． (1)求的值； (2)已知二次函数的最大值为． ①求该二次函数的表达式； ②若为该二次函数图象上的不同两点，且，求证：． 【变式训练】（2025·陕西咸阳·二模）已知二次函数的图像经过点，有下列说法：①当时，随的增大而减小；②若点在该函数的图象上，则；③该函数的图象有最低点；④该函数图象的对称轴是直线．其中说法正确的是（    ） A．①③④ B．①②③ C．②④ D．①③ 考点16：根据二次函数的对称性求函数值 【典例精讲】（23-24九年级上·四川南充·期中）抛物线经过三点，，，则，，的大小关系是（    ） A． B． C． D． 【变式训练】（24-25九年级上·山东临沂·期末）在平面直角坐标系中，已知抛物线． (1)当时，求抛物线顶点坐标； (2)在（1）的条件下，把二次函数的图象向左平移1个单位，得到新的二次函数图象，当时，求新的二次函数的最大值与最小值； (3)已知和是抛物线上两点，若对于，，都有，求的取值范围． 考点17：y=ax²+bx+c的最值 【典例精讲】（24-25九年级上·江苏泰州·阶段练习）关于的一元二次方程为． (1)求证：不论为何值，该方程总有两个不相等的实数根； (2)设该方程的两个根为，（），在平面直角坐标系中，点的坐标记为，连接，则的最小值为______． 【变式训练】24-25九年级上·广西南宁·阶段练习）在平面直角坐标系中，对“纵横值”给出如下定义：点是函数图象上任意一点，纵坐标y与横坐标x的差“”称为点A的“纵横值”．函数图象上所有点的“纵横值”中的最大值称为函数的“最优纵横值”． 例如：点在函数图象上，点A的“纵横值”为，函数图象上所有点的“纵横值”可表示为，当时，的最大值为，所以函数的“最优纵横值”为7． 根据定义，解答下列问题： (1)点的“纵横值”为________； (2)若二次函数的顶点在直线上，且最优纵横值为5，求c的值； (3)若二次函数的顶点在直线上，当时，求该二次函数的纵横值的范围． 考点18：利用二次函数对称性求最短路径 【典例精讲】（24-25九年级上·广东广州·期中）抛物线经过点． (1)求这条抛物线的解析式； (2)如图，点是抛物线对称轴上一点，连接，，当最小时，求点的坐标． 【变式训练】（24-25九年级上·全国·假期作业）如图，在平面直角坐标系中，抛物线与x轴交于点A，B，与y轴交于点C，． (1)求抛物线的解析式； (2)点D在抛物线的对称轴上，若的值最小，求点D的坐标； (3)若点P是抛物线上的一点，当点P在直线上方的抛物线上运动时，的面积是否存在最大值？若存在，请求出这个最大值，并写出此时P点的坐标；若不存在，请说明理由． 考点19：待定系数法求二次函数解析式 【典例精讲】（24-25九年级上·福建泉州·阶段练习）已知二次函数自变量x与函数y的部分对应值如表： x … 0 1 2 3 4 … y … 5 0 0 m … (1)二次函数图象的开口方向 ，m的值为 ． (2)求出这个二次函数的解析式； 【变式训练】（24-25九年级上·云南红河·阶段练习）如图，已知抛物线与x轴交于点A、B两点，与y轴交于C点，点B的坐标为，抛物线与直线交于C、D两点．连接、． (1)求抛物线对应的二次函数解析式及D点坐标． (2)抛物线上有一点P，满足，求点P的坐标． 考点20：线段周长问题（二次函数综合） 【典例精讲】（24-25九年级上·海南省直辖县级单位·期中）如图，在平面直角坐标系中，二次函数的图象与x轴交于A、B两点，与y轴交于点．A点在原点的左侧，B点的坐标为．点P是抛物线上一个动点，且在直线的上方． (1)求这个二次函数的表达式； (2)在该抛物线的对称轴上是否存在点Q，使得的周长最小？若存在，求出Q点的坐标；若不存在，请说明理由； (3)当点P运动到什么位置时，四边形的面积最大，并求出此时点P的坐标和四边形面积的最大值． 【变式训练】（24-25九年级上·内蒙古呼伦贝尔·期末）如图，已知二次函数的图象与x轴交于A、B两点，其中点A的坐标为，与y轴交于点C，点在抛物线上； (1)求抛物线的解析式； (2)抛物线的对称轴上是否存在点P，使得周长最小，若存在，求出P点的坐标及周长的最小 考点21：面积问题（二次函数综合） 【典例精讲】（24-25九年级上·江苏镇江·阶段练习）已知抛物线与x轴左右交点分别是A、B，顶点是，与y轴交于点． (1)求抛物线的解析式，并画出它的大致图像（不需要列表）； (2)求四边形面积； (3)当时，函数y的取值范围是 ； (4)点、在此抛物线上，比较、的大小关系． 【变式训练】（24-25九年级上·山东聊城·期末）如图，已知二次函数过点，． (1)求此二次函数的解析式； (2)将（1）中的函数图象先向左平移1个单位，再向上平移3个单位，直接写出平移后函数的解析式和顶点坐标； (3)点C，D为（2）中平移后抛物线与x轴的交点，在这条抛物线上是否存在点P，使的面积为4，若存在，求出点P的坐标，若不存在说明理由． 考点22：角度问题（二次函数综合） 【典例精讲】（24-25九年级上·海南省直辖县级单位·期末）如图，抛物线经过点、，交轴于点，点是抛物线上一动点． (1)求该抛物线的函数表达式； (2)当点的坐标为时，求四边形的面积； (3)若，求点的坐标． 【变式训练】（24-25九年级上·湖北·阶段练习）在平面直角坐标系中，抛物线与直线交于A，B两点，点A在y轴上，点B的横坐标为，点P是抛物线上不与A，B重合的一动点，点的横坐标为m． (1)求c的值． (2)如图，点A与点C关于抛物线的对称轴对称，当点P在AC上方的抛物线上时，若AC平分，求m的值． (3)当点P在y轴右侧的抛物线上运动时，过点P作交y轴于点M，作轴交AB于点N，设四边形的周长为l． ①求l关于m的函数解析式； ②若点都在l关于m的函数图象上，当时，直接写出m的取值范围． 考点23：特殊三角形问题（二次函数综合） 【典例精讲】（24-25九年级上·重庆大足·期末）如图1，抛物线交x轴于点和点B，交y轴于点． (1)求抛物线的函数表达式； (2)如图2，若点P是线段上的一动点，作轴，交抛物线于点Q，当最大时，在抛物线对称轴上找一点M，使的值最小，求出此时点M的坐标； (3)若点P在直线上的运动过程中，是否存在点P，使为等腰三角形？若存在，直接写出点P的坐标；若不存在，请说明理由． 【变式训练】（24-25九年级上·吉林四平·期末）如图，直线与x轴交于点，与y轴交于点B，抛物线经过A，B两点，点是线段上的一个动点（不与点O和点A重合），过点E作轴，交直线于点D，交抛物线于点P，连接． (1)求抛物线解析式； (2)当线段的长度最大时，求点P的坐标； (3)若线段和为等腰三角形的腰，求此时点E的坐标． 考点24：特殊四边形问题（二次函数综合） 【典例精讲】（24-25九年级上·河南开封·期末）已知抛物线的对称轴为直线，且与y轴的交点坐标为 直线l与x轴相交于点C． (1)求该抛物线的函数表达式； (2)如图，点P是该抛物线对称轴右侧图象上一动点，过点P作轴，，垂足分别为A、B．设点P的横坐标为m． ①当四边形为正方形时，求m的值； ②根据①的结果，直接写出．时，m的取值范围． 【变式训练】（24-25九年级上·甘肃定西·期末）如图1，在平面直角坐标系中，抛物线经过点，，D为抛物线的顶点． (1)求a，b的值． (2)如图2，连接，在线段上有一动点P（不与点O，B重合），过点P作轴，交直线于点E， ①当直线经过点D时，求的长； ②以为边在的左侧作正方形，当点F在抛物线上时，求点P的坐标． 考点25：其他问题（二次函数综合） 【典例精讲】（24-25九年级上·北京·期中）如图，在平面直角坐标系中，直线与轴交于点，与轴交于点，与抛物线交于点，．已知点的坐标为，点的横坐标为． (1)求直线与抛物线的解析式； (2)当时，若抛物线与直线有交点，结合图象，求的取值范围． 【变式训练】（24-25九年级上·河北保定·阶段练习）如图，抛物线． (1)试说明：无论为何值，抛物线必经过某个定点． (2)若抛物线与轴的负半轴交于点，与轴的正半轴交于点，与轴交于点，且满足． ①求的值． ②抛物线上是否存在点P，使得？若存在，求出点的坐标；若不存在，请说明理由． 1．（2025·广东广州·中考真题）若抛物线的顶点在直线上，则m的值为 ． 2．（2025·广东广州·中考真题）在平面直角坐标系中，两点，在抛物线，则下列结论中正确的是（   ） A．当且时，则 B．当时，则 C．当且时，则 D．当时，则 3．（2025·天津·中考真题）四边形中，，．动点从点出发，以的速度沿边、边向终点运动；动点从点同时出发，以的速度沿边向终点运动．规定其中一个动点到达终点时，另一个动点也随之停止运动．设运动的时间为．当时，点M，N的位置如图所示．有下列结论： ①当时，； ②当时，的最大面积为； ③有两个不同的值满足的面积为．其中，正确结论的个数是（   ） A．0 B．1 C．2 D．3 4．（2025·辽宁·中考真题）如图，在平面直角坐标系中，直线与轴相交于点，与轴相交于点，点在线段上（不与点，重合），过点作的垂线，与直线相交于点，点关于直线的对称点为，连接． (1)求证：； (2)设点的坐标为，当时，线段与线段相交于点，求四边形面积的最大值. 5．（2024·四川攀枝花·中考真题）在平面直角坐标系中，已知二次函数的表达式为． (1)若，且点在函数的图象上，求此时函数的最小值； (2)若函数的图象经过点，当自变量x的值满足时，y随x的增大而增大，求a的取值范围； (3)若函数的图象的对称轴为，点在函数的图象上，且总有，求m的取值范围． 基础夯实 1．（24-25九年级上·辽宁鞍山·阶段练习）抛物线的顶点坐标是（    ） A． B． C． D． 2．（24-25九年级上·安徽合肥·阶段练习）将二次函数先向左平移个单位，再向下平移个单位，平移后的函数是 ． 3．（24-25九年级上·江苏泰州·阶段练习）已知二次函数，当时，有最值为4，且函数图象经过点．求该二次函数的表达式． 4．（24-25九年级上·湖北襄阳·阶段练习）已知函数 (1)将函数化成的形式，写出其顶点坐标、对称轴及最值； (2)当x 时，y随x的增大而增大，当x 时，y随x的增大而减小． 5．（24-25九年级上·安徽合肥·阶段练习）已知二次函数． (1)当时，随的增大而增大，求的取值范围； (2)若二次函数的图象经过点，顶点坐标． ①求关于的函数解析式； ②求该二次函数的图象顶点最低时的值． 培优拔高 1．（2025年广西来宾市九年级中考三模数学试题）在平面直角坐标系中，为坐标原点，抛物线的图像如图，下列说法中错误的是（   ） ①②③④ A．①②③ B．①②③④ C．②③④ D．以上说法都正确 2．（24-25九年级上·湖北恩施·阶段练习）若三点，，中恰有两点在拋物线（且a，b均为常数）上、下列四个结论： ①抛物线的对称轴是直线； ②当时，的取值范围是：； ③当时，关于的一元二次方程有两个不相等的实数根； ④若和都是抛物线上的点，且，则． 其中正确的结论（序号）有 ． 3．（24-25九年级上·山东枣庄·期末）已知开口向下的抛物线与x轴交于点，对称轴为直线．下列结论：①；②；③函数的最大值为；④（是一个常数）．其中结论正确的是 （填序号）． 3（23-24九年级上·陕西渭南·期末）如图，，C是线段上一动点（不与点A，B重合），以为边作正方形，以为边作菱形（正方形与菱形在的同侧），连接，当时，面积的最大值为 ． 4．（23-24九年级上·天津和平·期末）抛物线（b，c为常数）的图像过点． (1)求抛物线的解析式； (2)这个二次函数的图像开口向_______，顶点坐标是_______，当x_______时，y随x的增大而减小； (3)方程的解是_______； (4)当时，y的取值范围是_______． 5．（24-25九年级上·福建泉州·阶段练习）已知二次函数．当时， (1)若该函数图像的对称轴为直线，且过点，求该函数的表达式； (2)若方程有两个相等的实数根，求证：． 第 1 页 共 11 页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题22.1 二次函数的图像和性质 （知识梳理+25个考点讲练+中考真题演练+难度分层练 共65题） 知识梳理 技巧点拨 2 知识点梳理01： y=ax²图像和性质 2 知识点梳理02：的图像和性质 2 知识点梳理03： 的图像和性质 3 的图像和性质 3 知识点梳理05：二次函数的图像和性质 3 知识点梳理06：比较函数值大小的方法 4 知识点梳理07：二次函数平移的方法 4 知识点梳理08：求对称轴的方法 4 知识点梳理09：图像共存性问题的解决方法 5 知识点梳理10：抛物线的轴对称问题 5 知识点梳理11：利用待定系数法求解析式的方法 5 知识点梳理12：根据增减性求字母的取值范围 5 优选题型 考点讲练 5 考点1：列二次函数关系式 5 考点2：根据二次函数的定义求参数 7 考点3：y=ax²的图象和性质 错误！未定义书签。 考点4：y=ax²+k的图象和性质 11 考点5：y=a (x-h) ²的图象和性质 13 考点6：y=a (x-h) ²+k的图象和性质 14 考点7：二次函数图象的平移 16 考点8：把y=ax²+bx+c化成顶点式 18 考点9：画y=ax²+bx+c的图象 20 考点10：y=ax²+bx+c的图象与性质 24 考点11：二次函数图象与各项系数符号 27 考点12：一次函数、二次函数图象综合判断 29 考点13：两个二次函数图象综合判断 30 考点14：根据二次函数的图象判断式子符号 32 考点15：已知抛物线上对称的两点求对称轴 35 考点16：根据二次函数的对称性求函数值 37 考点17：y=ax²+bx+c的最值 39 考点18：利用二次函数对称性求最短路径 42 考点19：待定系数法求二次函数解析式 45 考点20：线段周长问题（二次函数综合） 47 考点21：面积问题（二次函数综合） 51 考点22：角度问题（二次函数综合） 54 考点23：特殊三角形问题（二次函数综合） 62 考点24：特殊四边形问题（二次函数综合） 65 考点25：其他问题（二次函数综合） 69 中考真题 实战演练 72 难度分层 拔尖冲刺 78 基础夯实 78 培优拔高 81 知识点梳理01： y=ax²图像和性质 的符号 开口方向 顶点坐标 对称轴 性质 向上 轴 时，随的增大而增大；时，随的增大而减小；时，有最小值． 向下 轴 时，随的增大而减小；时，随的增大而增大；时，有最大值． 知识点梳理02：的图像和性质 的符号 开口方向 顶点坐标 对称轴 性质 向上 轴 时，随的增大而增大；时，随的增大而减小；时，有最小值． 向下 轴 时，随的增大而减小；时，随的增大而增大；时，有最大值． 知识点梳理03： 的图像和性质 的符号 开口方向 顶点坐标 对称轴 性质 向上 X=h 时，随的增大而增大；时，随的增大而减小；时，有最小值． 向下 X=h 时，随的增大而减小；时，随的增大而增大；时，有最大值． 的图像和性质 的符号 开口方向 顶点坐标 对称轴 性质 向上 X=h 时，随的增大而增大；时，随的增大而减小；时，有最小值． 向下 X=h 时，随的增大而减小；时，随的增大而增大；时，有最大值． 知识点梳理05：二次函数的图像和性质 用配方法可化成：的形式，其中. 二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）: 顶点坐标是（﹣，）， 对称轴直线x＝﹣， 二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象具有如下性质： ①当a＞0时，抛物线y＝ax2+bx+c（a≠0）的开口向上， x＜﹣时，y随x的增大而减小； x＞﹣时，y随x的增大而增大； x＝﹣时，y取得最小值，即顶点是抛物线的最低点． ②当a＜0时，抛物线y＝ax2+bx+c（a≠0）的开口向下， x＜﹣时，y随x的增大而增大； x＞﹣时，y随x的增大而减小； x＝﹣时，y取得最大值，即顶点是抛物线的最高点． ③抛物线y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象可由抛物线y＝ax2的图象向右或向左平移|﹣|个单位，再向上或向下平移||个单位得到的． 知识点梳理06：比较函数值大小的方法 ①代入法，代入函数解析式求出函数值直接比较； ②性质法，利用函数的增减性比较； ③距离法，结合开口方向和点到对称轴的距离进行比较 知识点梳理07：二次函数平移的方法 平移原则上加下减，左加右减； 注意：上下平移变的是y值，左右平移变的是x值，所以在对一般式进行平移时可通过两种方法：第一是先化为顶点式平移，第二是直接变x值和y值即可。 知识点梳理08：求对称轴的方法 ①已知两对称点的坐标，求对称轴； ②已知对称轴和一个点的坐标，求对称点的坐标 方法：如果抛物线上两点(x1,m),(x2,m),那么抛物线的对称轴为x＝ 知识点梳理09：图像共存性问题的解决方法 根据位置先确定一个函数的系数符号，再依据系数符号，判断另一个函数图像位置。 知识点梳理10：抛物线的轴对称问题 ·表现形式：求一个抛物线关于x轴，y轴对称的函数解析式 ·思路方法：抛物线y=ax²+bx+c. ①关于x轴对称的解析式为：y=-ax²-bxc(a,b,c都变为相反数)； ②关于y轴对称的解析式为：y=ax²-bx+c(b变为相反数) 知识点梳理11：利用待定系数法求解析式的方法 ①二次函数的一般式：y=ax²+bx+c(a≠0)； ②二次函数的顶点式： Y＝a(x-h)²＋k(a≠0); ③二次函数的双根式： y=a(x-x1)(x－x2) 知识点梳理12：根据增减性求字母的取值范围 表现形式：已知增减性求二次函数字母取值范围. 一般步骤： 第一步：确定二次函数的开口方向和对称轴； 第二步：利用增减性确定对称轴的位置，建立不等式求解。 考点1：列二次函数关系式 【典例精讲】（24-25九年级上·辽宁大连·期中）如图，在平面直角坐标系中，点的坐标是，点是轴上一动点，连接，作线段的垂直平分线，过点作轴的垂线，记，的交点为，改变点的位置，可以得到相应的点，设点的坐标是，则关于的函数解析式为 ． 【答案】 【思路引导】本题考查了函数关系式，线段垂直平分线的性质和勾股定理，连接，过点作交于点，可知，，，在中由勾股定理即可求解． 【规范解答】解：如图，连接，过点作交于点， 线段的垂直平分线为， ， 点的坐标是， ，，， 在中，根据勾股定理得：， ， ， 故答案为：． 【变式训练】（2024九年级下·浙江舟山·学业考试）如图，正三角形的边长为1，是边上的一点，过作边的垂线，交于，用表示线段的长度，显然线段的面积是线段长度的函数，这个函数的表达式是 ． 【答案】 【思路引导】此题主要考查了等边三角形的性质，直角三角形的性质，勾股定理等，熟练掌握等边三角形的性质，理解在直角三角形中，的角所对的直角边等于斜边的一半是解决问题的关键．先求出，根据直角三角形的性质得，再由勾股定理可得，然后等边的边长为1，得，，据此可得出函数的表达式． 【规范解答】解：如图，连接， 为等边三角形， ， ， ， 在中，， ， 由勾股定理得：， 等边的边长为1，， ， ， ∴， 故答案为：． 考点2：根据二次函数的定义求参数 【典例精讲】（2024·广东广州·一模）已知． (1)化简A； (2)若点是抛物线上的一点，求A的值． 【答案】(1) (2) 【思路引导】此题考查了分式的化简求值、抛物线上的点的特征，准确掌握分式的混合运算顺序和二次函数的性质是解题的关键． （1）先计算括号内的加法，再计算除法即可化简A； （2）再把点代入得到，则，整体代入化简的A中计算即可． 【规范解答】（1）解： ； （2）解：∵点是抛物线上的一点， ∴ ∴ ∴． 【变式训练】（24-25九年级上·全国·期中）已知关于x的函数． (1)当此函数为一次函数时，求函数的解析式； (2)当此函数为二次函数时，求函数的解析式； 【答案】(1)或 (2) 【思路引导】本题考查了一次函数和二次函数的定义，解题的关键是根据定义列出关于k的方程和不等式． （1）根据一次函数的定义列出关于k的方程，求出k的值即可； （2）根据二次函数的定义列出关于k的方程和不等式，求出k的值即可． 【规范解答】（1）解：函数为一次函数， ，或， ，或 当时函数， 当时函数， 此一次函数解析式为或； （2）解：x的函数为二次函数． ，且 解得：， 当时，， 函数的解析式． 考点3：y=ax²的图象和性质 【典例精讲】（24-25九年级上·广西钦州·期中）如图，在平面直角坐标系中，垂直于x轴的直线分别交抛物线和抛物线于点A和点B，过点A作轴交抛物线于点C，过点B作轴交抛物线于点D，则的值为 ． 【答案】 【思路引导】本题考查了二次函数图象上点的坐标特征，设，则，根据题意得出，，即可求得，，从而求得 ． 【规范解答】解：设，则， ∵轴交抛物线于点C，轴交抛物线于点D， ∴，， ∴，， ， 故答案为：． 【变式训练】（2025·上海闵行·一模）如图，在等腰直角三角形中，，点A、B在抛物线上，点C在y轴上，A、B两点的横坐标分别为1和，b的值为 ． 【答案】2 【思路引导】本题考查了二次函数图象上点的坐标特征，等腰直角三角形的性质，坐标与图形，全等三角形的判定与性质，利用“k型全等”求得B点的坐标，代入即可求解，构造全等三角形解题是关键． 【规范解答】解：过B作轴于E，过A作轴于D， 在等腰直角三角形中，，则， ∵A、B两点的横坐标分别为1和， ∴，， ∵点A、B在抛物线上， ∴，， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴，， ∴， ∴， 整理， 解得：或（舍去）， ∴b的值为2， 故答案为：2． 考点4：y=ax²+k的图象和性质 【典例精讲】（24-25九年级上·安徽合肥·期中）【探究】如图，已知抛物线． (1)在坐标系中画出此抛物线的大致图象（不要求列表）： (2)该抛物线可由抛物线向______平移______个单位得到； (3)当时，的取值范围是______． 【答案】(1)见解析 (2)上，4 (3)或 【思路引导】本题考查了二次函数的图象与性质，函数图象平移的规律，熟练掌握二次函数的图象与性质是解题的关键． （1）根据题意可知，该抛物线开口向下，顶点坐标为，经过点，，，，即可画出大致图象； （2）根据律抛物线的平移口诀：自变量加减左右移，函数值加减上下移，进行求解即可； （3）先求得和时，的值，然后结合（1）中图象即可得出结论． 【规范解答】（1）解：， 该抛物线的顶点坐标为，开口向下， 令，则，即该抛物线经过点，， 令，则，即该抛物线经过点，， 所以此抛物线的大致图象如下图即为所求： （2）解：由上加下减的原则可得，向上平移4个单位可得出． 故答案为：上，4． （3）解：当时，，解得， 当时，，解得， 结合（1）中图象可知，当时，的取值范围为：或． 故答案为：或． 【变式训练】（24-25九年级上·江苏南通·期末）定义：对于函数图象上的两点，将的值称为该函数图象在段的“攀登值”，记作．已知二次函数的图象上有两点，若对于任意的均满足当时，该函数图象在段的“攀登值”始终有，则a的取值范围是 ． 【答案】/ 【思路引导】本题考查的是新定义的含义，二次函数的性质，根据新定义可得，可得，再结合进一步解答即可． 【规范解答】解：由题意可得：，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴，而， ∴； 故答案为： 考点5：y=a (x-h) ²的图象和性质 【典例精讲】（24-25八年级下·黑龙江绥化·阶段练习）已知直线交抛物线于点，交抛物线于点，下列结论：①若，则，②若，则，③若，则，④若，则；其中正确的是（    ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】B 【思路引导】本题考查了二次函数的图象与性质、因式分解、不等式的性质，利用作差法比较的大小关系是解题的关键．由抛物线经过点可得，同理可得，利用因式分解的知识得到，再利用不等式的性质逐个分析判断即可得出结论． 【规范解答】解：抛物线经过点， ， 同理可得：， ， 若，则，， ，即，故①正确； 若，则，， ，即，故②不正确； 若，则，， ，即，故③正确； 若，则，而无法判断的正负性，故无法判断与的大小关系，故④不正确； 综上所述，其中正确的是①③，有2个． 故选：B． 【变式训练】（24-25九年级上·北京·期中）如图，正三角形的边长为1，动点D从点B开始沿边向点C移动，过点D作边的垂线，交于G，连接． (1)随着点D的移动，随之而变化的量有_________（至少写三个）； (2)请你用函数表示上述变化过程中某两个变量之间的关系，并利用函数的有关知识分析变化的规律． 【答案】(1)见解析 (2)答案不唯一，见解析 【思路引导】本题考查等边三角形的性质，常量与变量，二次函数的性质等知识点，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题． （1）答案不唯一比如线段，线段，线段； （2）根据特殊三角形两边之间的关系解答即可． 【规范解答】（1）解：变量有线段的长，线段的长，线段的长，线段的长，线段的长，线段的长，的面积，的面积，的面积，的面积，的度数，的度数，的度数，的度数． （2）解：答案不唯一，例如选取线段的长与的面积两个变量． 设线段的长为x，的面积为y，则自变量x的取值范围为， 在中，的长度为，斜边的长度为， 根据勾股定理可得． 所以面积函数的表达式为， 由二次函数的性质可知变化规律为：面积y随线段x的增大而减小． 考点6：y=a (x-h) ²+k的图象和性质 【典例精讲】（2025·辽宁大连·模拟预测）如图，将抛物线平移到抛物线，点，分别在抛物线，上．下列结论：①无论取何值，都有；②若点平移后的对应点为，则；③当时，线段的长随着的增大而减小．其中正确的结论为（   ） A．①②③ B．①② C．①③ D．②③ 【答案】A 【思路引导】本题考查了二次函数的性质，二次函数的图象与几何变换，二次函数图象上点的坐标特征，一次函数的性质，数形结合是解题的关键． 求得抛物线的顶点即可判断①对；由抛物线的解析式可知将抛物线向右平移3个单位，向下平移3个单位得到抛物线，即可求得平移后的对应点为的最短路程为，即可判断②对；由可知当时，，根据一次函数的性质即可判断③对． 【规范解答】解：抛物线开口向下，顶点为， 无论取何值，都有，故①对； 将抛物线的顶点为，抛物线开口向下，顶点为， 将抛物线向右平移3个单位，向下平移3个单位得到抛物线， 点平移后的对应点为的最短路程为，故②对； ，当时，，随着的增大而减小， 当时，随着的增大，线段变短，故③对． 故选：A． 【变式训练】（24-25九年级上·吉林·期中）已知抛物线 ． (1)若此抛物线的顶点在直线 上，求的值； (2)若点 与点在此抛物线上，且直接写出的取值范围. 【答案】(1) (2) 【思路引导】（）根据抛物线的解析式可得抛物线的顶点坐标为，再代入一次函数解析式解答即可求解； （）根据抛物线的对称性可得点关于抛物线对称轴的对称点为，进而根据二次函数的性质解答即可求解； 本题考查了二次函数的图象与性质，二次函数的顶点式，掌握二次函数的图象与性质是解题的关键． 【规范解答】（1）解：∵抛物线 ， ∴抛物线的顶点坐标为， ∵此抛物线的顶点在直线 上， ∴， 解得； （2）解：∵抛物线的顶点坐标为， ∴抛物线的对称轴为直线， ∴点关于抛物线对称轴的对称点为， ∵抛物线开口向上， ∴当时，． 考点7：二次函数图象的平移 【典例精讲】（2025·广西南宁·三模）已知点和点在抛物线上，沿x轴向左平移该抛物线，记平移后点A的对应点为，点B的对应点为，是x轴上的一个定点．当最短时，此时抛物线的解析式为 ． 【答案】 【思路引导】本题主要考查了二次函数图象的平移问题，一次函数与几何综合，轴对称最短路径问题，可求出，设抛物线向左平移m个单位长度，则平移后的抛物线解析式为，，作点关于x轴的对称点E，连接，则，可推出当三点共线时，有最小值，即此时有最小值，利用点B和点C坐标求出直线解析式为，再把点E坐标代入直线解析式中计算求解即可． 【规范解答】解：在中，当时，， ∴， 设抛物线向左平移m个单位长度，则平移后的抛物线解析式为，， 作点关于x轴的对称点E，连接，则， ∴， ∴， ∴当三点共线时，有最小值，即此时有最小值， 设直线解析式为， ∴， ∴， ∴直线解析式为， ∴， 解得（已检验）， ∴平移后的抛物线解析式为， 故答案为：． 【变式训练】（24-25九年级上·广西河池·期中）如图，将抛物线沿y轴向下平移一段距离后，得到一条新的抛物线；若曲线段平移至曲线段，曲线段所扫过的为阴影部分，则阴影部分的面积是 ． 【答案】16 【思路引导】本题考查了二次函数图象与几何变换以及平行四边形面积求法等知识，由平移的性质可知四边形是平行四边形，根据求出线段的长度，根据平移变换求出平移的距离，然后根据平行四边形的面积公式求解即可． 【规范解答】解：连接，由平移的性质可知四边形是平行四边形， 当时，， 解得， ∴． ∵的顶点坐标为，的顶点坐标为， ∴抛物线向下平移了4个单位长度， ∴阴影部分的面积是． 故答案为：16． 考点8：把y=ax²+bx+c化成顶点式 【典例精讲】（24-25九年级上·江苏泰州·阶段练习）已知抛物线的顶点在轴上． (1)求的值； (2)抛物线上两点，．若，则______（填“”、“”或“”）； (3)若点，为抛物线上的两点，且，求出的取值范围． 【答案】(1) (2) (3) 【思路引导】本题考查二次函数的性质、二次函数图象上点的坐标特征，解答本题的关键是明确题意，利用二次函数的性质解答． （1）先配方成顶点式，再利用顶点在x轴上列方程，解方程可得答案； （2）首先得到抛物线对称轴为直线，当时，y随x的增大而减小，进而求解即可； （3）根据题意得到点C到对称轴的距离大于点D到对称轴的距离，然后得到，进而求解即可． 【规范解答】（1）∵， ∵抛物线的顶点在轴上， ∴， ∴； （2）∵， ∴， ∴抛物线对称轴为直线， ∵， ∴抛物线开口向上， ∴当时，y随x的增大而减小， ∵抛物线上两点，，， ∴； （3）∵点，为抛物线上的两点，且， ∴点C到对称轴的距离大于点D到对称轴的距离， ∵抛物线对称轴为直线， ∴， ∴ ∴ 解得． 【变式训练】（24-25九年级上·安徽淮南·阶段练习）在平面直角坐标系中，关于的二次函数的顶点为． （1）点的坐标为 （用含字母的代数式表示）； （2）若将抛物线先向下平移6个单位，再向左平移2个单位得到新的二次函数，若，则该抛物线顶点纵坐标的最小值为 ． 【答案】 【思路引导】本题考查了二次函数图象与系数的关系，二次函数图象的平移及二次函数的最值，掌握二次函数的顶点式和增减性是解本题的关键． （1）化成顶点式即可求得； （2）原二次函数图象顶点坐标纵坐标为，根据平移方式得出新的函数关系式，最后结合的取值范围求出该抛物线顶点纵坐标的最小值即可． 【规范解答】解：（1）∵， ∴顶点的坐标为． 故答案为：； （2）原抛物线顶点纵坐标为， 将原抛物线向下平移6个单位，再向左平移2个单位，则有： ， 此函数图象开口向上，对称轴为，顶点坐标为， ∵， ∴当时，有最小值，为， 即该抛物线顶点纵坐标的最小值为， 故答案为：． 考点9：画y=ax²+bx+c的图象 【典例精讲】（24-25九年级上·北京·阶段练习）已知二次函数． (1)补全表格，并在平面直角坐标系中用描点法画出该函数图象； … 0 1 2 3 … … 0 3 … (2)根据图象回答：当时，的取值范围是______； (3)设，，过点与轴垂直的直线l与抛物线交于点，．其中，与直线交于点，若，直接写出t的取值范围______． 【答案】(1)，，；函数图象见解析 (2) (3) 【思路引导】本题考查二次函数的图象和性质，正确画出函数图象，是解题的关键． （1）将的值代入解析式，求出值，填表，进而画出函数图象即可； （2）图象法进行求解即可； （3）图象法进行求解即可． 【规范解答】（1）解：， 时，；时，，时，， 描点、连线、绘制函数图象如下： 故答案为：，，； （2）解：观察函数图象知，当时，y的取值范围是， 故答案为：； （3）解：根据图象，当直线在点A和B之间时满足， ∴t的取值范围为， 故答案为：． 【变式训练】（24-25九年级上·内蒙古呼伦贝尔·期中）已知：二次函数中的和满足如表： … 0 1 2 3 4 5 … … 3 0 0 8 … (1)可求得的值为 ； (2)求出这个二次函数的解析式； (3)画出函数图象，并根据图像写出当时的取值范围． 【答案】(1)3 (2) (3)图见解析， 【思路引导】本题考查了用待定系数法求二次函数的解析式：在利用待定系数法求二次函数关系式时，要根据题目给定的条件，选择恰当的方法设出关系式，从而代入数值求解．也考查了二次函数的图象性质． （1）利用表中数据和抛物线的对称性得到当和所对应的函数值相等，从而得到的值； （2）设交点式，然后把把代入得求出的值即可； （3）描点作图，由函数图象可直接得到的取值范围． 【规范解答】（1）解：∵抛物线经过点和， 抛物线的对称轴为直线， 当和所对应的函数值相等， ； 故答案为：； （2）解：设抛物线解析式为， 把代入得， 解得， ， 即抛物线解析式为； （3）解：如图： 由图象可得，当时，． 考点10：y=ax²+bx+c的图象与性质 【典例精讲】（24-25九年级上·安徽合肥·阶段练习）如图，边长为4的菱形中，，现将一条垂直于对角线的直线从点出发，以每秒1个单位的速度向点匀速平移，交或于点，交或于点，设的面积为（当直线过点或点时，规定），运动时间为，则关于的函数图象是（   ） A．B．C． D． 【答案】D 【思路引导】设交于点，分和，两种情况求出关于的函数解析式，进行判断即可． 【规范解答】解：设交于点， ∵菱形中，，， ∴， ∴和为等边三角形， ∴， ∵直线从点出发，以每秒1个单位的速度由点向点匀速平移，直线， ∴；运动时间为t时，， 当时， ∵直线， ∴，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴，即：， ∴图象是开口向上的抛物线的一段； 当时，，则：， ∵直线， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴，即：， 图象为开口向下的抛物线的一段； 综上：符合题意的只有D选项； 故选：D． 【考点评析】本题考查动点的函数图象．菱形的性质，等边三角形的判定和性质，勾股定理，直角三角形的性质，熟练掌握菱形的性质，正确求出函数解析式，是解题的关键． 【变式训练】（24-25九年级上·江苏泰州·阶段练习）已知二次函数，函数值与自变量之间满足下列数量关系： …… 0 1 2 3 …… …… …… 当时，函数值的最大值记为，最小值记为，则 ． 【答案】8 【思路引导】本题主要考查二次函数的图象与性质，根据表格所给数据画出函数图象，运用函数图象与性质确定的值即可解答． 【规范解答】解：根据表格所给数据画出函数图象，如图， 可得函数图象开口向下，顶点坐标为，对称轴为直线， ∴当时，函数值的最大值；当和时，函数值相等， ∴当时，函数值的最小值； ∴， 故答案为：8． 考点11：二次函数图象与各项系数符号 【典例精讲】（24-25九年级上·福建泉州·阶段练习）四个二次函数的图象对应的函数关系式分别是①；②；③；④．则的大小关系为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【思路引导】本题考查了二次函数的性质：①抛物线的开口大小由决定，越大，抛物线的开口越窄，越小，抛物线的开口越宽；②抛物线的开口方向由决定，当时，抛物线开口向上，当时，抛物线开口向下．根据以上抛物线性质即可分析出的大小关系． 【规范解答】抛物线、开口向上， 且抛物线的开口更窄， ， 抛物线、开口向下， 且抛物线的开口更窄， ， ． 故选：． 【变式训练】（24-25九年级上·江苏泰州·阶段练习）二次函数的图象如图所示，则下列结论中错误的是（    ） A． B．当时， C． D． 【答案】D 【思路引导】本题考查了图象与二次函数系数之间的关系，二次函数系数符号由抛物线开口方向，对称轴和抛物线与y轴的交点确定．根据抛物线的开口方向得出a的符号，根据抛物线对称轴可得b的符号，根据抛物线与y轴的交点可得c的符号，从而逐项进行判断即可． 【规范解答】∵抛物线开口向上， ∴， ∵抛物线对称轴为， ∴， ∴，故选项D错误，符合题意； ∴， ∵抛物线与 y 轴交于负半轴， ∴， ∴，故选项A正确，不符合题意； ∵抛物线与 x 轴一个交点为 ，对称轴为， ∴抛物线与 x 轴的另一个交点为 ， ∴ 时 ， ∴时 ，故选项B正确，不符合题意； 当 时，， ∵抛物线与 x 轴的交点为 ， ∴，故选项C正确，不符合题意； 故选：D． 考点12：一次函数、二次函数图象综合判断 【典例精讲】（24-25九年级上·江苏南通·期末）已知平面直角坐标系中，点为抛物线上一点．当时，点关于轴的对称点始终在直线的上方，则的取值范围是 ． 【答案】 【思路引导】本题考查了二次函数图象与系数的关系，二次函数图象上点的坐标特征，一次函数图象上点的坐标特征，根据题意得到关于的不等式是解题的关键． 求得直线，当时的函数值为，根据题意当时，抛物线的函数值小于1，得到关于的不等式，解不等式即可求得的取值范围． 【规范解答】解∶直线中，当时，， 关于轴的对称点始终在直线的上方， 当时，， ， 解得， 的取值范围是， 故答案为∶ ． 【变式训练】（24-25九年级上·江苏常州·期末）二次函数的图象经过点． (1)求二次函数的对称轴； (2)当点坐标为时， ①求出此时二次函数的表达式； ②求出此时函数图像与直线的交点坐标． 【答案】(1)直线 (2)①②和 【思路引导】本题主要考查了求二次函数解析式，二次函数的性质，一次函数与二次函数的交点问题，解题的关键是熟练掌握二次函数的性质． （1）根据二次函数的性质进行解答即可； （2）①用待定系数法求出二次函数解析式，然后求出二次函数的顶点坐标即可． ②联立一次函数与二次函数解析式求解即可． 【规范解答】（1）解：由题意得：二次函数的对称轴为： 直线． （2）解：将点代入二次函数得：， 解得：， 二次函数的表达式为：． ②联立方程组， 解得：或， 则二次函数图像与直线的交点坐标为和， 考点13：两个二次函数图象综合判断 【典例精讲】（22-23九年级上·浙江杭州·期中）设二次函数，（，，是实数，）． (1)若，函数的对称轴为直线，且函数的图象经过点，求，的值． (2)设函数的最大值为，函数的最小值为，若，求证：． (3)若函数的图象与函数的图象的两个交点分别在二、四象限，求证：． 【答案】(1)为2，为 (2)证明见解析 (3)证明见解析 【思路引导】（1）根据，对称轴，求出的值，再把点代入函数即可求出的值； （2）根据顶点坐标公式得出和，再利用得出； （3）分情况根据对称轴的位置推出结论即可． 【规范解答】（1）解：∵函数的对称轴为直线， ∴， ∴， ∵函数的图象经过点， ∴， ∴； （2）∵函数的最大值为， ∴，， ∵函数的最小值为， ∴，， ∴， ∵， ∴； （3）∵函数的图象与函数的图象的两个交点分别在二、四象限，且， ①若，， 则， 即， ∵，， ∴， ②若，， 则， 即， ∵，， ∴， 综上可知，． 【考点评析】本题考查了二次函数图象和性质，熟练掌握二次函数的对称轴公式，顶点坐标公式等知识是解题的关键． 【变式训练】如图，在平面直角坐标系中，垂直于x轴的直线分别交抛物线y＝x2（x≥0）和抛物线y＝x2（x≥0）于点A和点B，过点A作AC∥x轴交抛物线y＝x2于点C，过点B作BD∥x轴交抛物线y＝x2于点D，则的值为（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【思路引导】设A（m，m2），则B（m，m2），根据题意得出C（2m，m2），D（m，m2），即可求得BD＝m﹣m＝m，AC＝2m﹣m＝m，从而求得＝． 【规范解答】设A（m，m2），则B（m，m2）， ∵AC∥x轴交抛物线y＝x2于点C，BD∥x轴交抛物线y＝x2于点D， ∴C（2m，m2），D（m，m2）， ∴BD＝m﹣m＝m，AC＝2m﹣m＝m， . 故选C． 【考点评析】本题考查了二次函数图象上点的坐标特征.根据特征表示出A、B、C、D点的坐标是解题的关键． 考点14：根据二次函数的图象判断式子符号 【典例精讲】（24-25九年级上·北京·阶段练习）如表记录了二次函数中两个变量与的三组对应值： … 2 8 … … 1 … 点，在该函数图象上．若当时，，下列四个结论：①；②；③；④若记二次函数的图象为图形，存在直线与图形有两个交点，则．上述结论中，所有正确结论的序号是（    ） A．①②③④ B．②③④ C．①③④ D．②③ 【答案】B 【思路引导】本题考查了二次函数的图象与性质，由表格数据可得，该二次函数对称轴为直线，再结合二次函数的增减性，逐项分析即可得解，熟练掌握二次函数的性质，采用分类讨论的思想是解此题的关键． 【规范解答】解：由表格数据可得，该二次函数对称轴为直线， ∴点关于对称轴的对称点为， 若时，开口向上，离对称轴越近值越小， ∵点，在该函数图象上，当时，， ∴， 当时，，解得，不符合题意； 当时，，解得，，符合题意； 当时，，解得，，符合题意； 若时，开口向下，离对称轴越近值越大， ∵点，在该函数图象上，当时，， ∴， 当时，，解得，不符合题意； 当时，，解得，不符合题意； 当时，，解得，不符合题意； ∴，当时，，当时，，故①错误，②正确； ∵，开口向上，当时，函数值随着增大而增大，把代入得，当时，， ∴，即，故③正确； 当时，二次函数的图象有最低点，当时，函数值随着增大而增大， ∵二次函数的图象记为图形，且存在直线与图形有两个交点， ∴， ∵由题意可得图形不是单调的，其中必须包含， ∴， ∴，故④正确； 综上所述，正确的有②③④， 故选：B． 【变式训练】（24-25九年级上·广东江门·阶段练习）如图是二次函数的图象，给出以下结论：①；②；③；④；⑤当时，y随x的增大而增大，其中正确的是 ． 【答案】①③④ 【思路引导】本题考查的是二次函数的性质、二次函数的图象及抛物线与轴的交点．熟练掌握二次函数的性质是解题的关键； 根据二次函数的图象对各选项进行逐一分析即可． 【规范解答】解：抛物线与轴有两个交点，   判别式，故结论①正确；   抛物线与轴的交点分别为、，   抛物线的对称轴是，   ，   ，   即，故结论③正确；   二次函数开口向上，   ，   ，   抛物线与轴的交点在原点下方，   ，   ；故结论②不正确；   由函数图象可知，当时，，   ，故结论④正确；   抛物线的对称轴是，且开口向上，   时，随的增大而增大，时，随的增大而减少，故结论⑤不正确．   综上，结论①③④正确，   故答案为：①③④． 考点15：已知抛物线上对称的两点求对称轴 【典例精讲】（2025·福建·中考真题）在平面直角坐标系中，二次函数的图象过点． (1)求的值； (2)已知二次函数的最大值为． ①求该二次函数的表达式； ②若为该二次函数图象上的不同两点，且，求证：． 【答案】(1) (2)①；②见解析 【思路引导】本题考查了二次函数表达式、二次函数的图象与性质、一元二次方程． （1）根据二次函数的对称性求解即可； （2）①先求出顶点坐标，然后根据最大值为列方程求解即可； ②先根据二次函数的对称性求出，然后把通分后代入即可求解． 【规范解答】（1）解：二次函数的图象的对称轴为． 因为点在该函数的图象上， 所以， 所以， 所以． （2）①由（1）可得，， 所以该函数的表达式为， 函数图象的顶点坐标为． 因为函数的最大值为， 所以，且， 解得，或（舍去）． 所以该二次函数的表达式为． ②因为点在函数的图象上， 所以． 由①知，点关于直线对称，不妨设， 则，即． 所以 ， 所以． 【变式训练】（2025·陕西咸阳·二模）已知二次函数的图像经过点，有下列说法：①当时，随的增大而减小；②若点在该函数的图象上，则；③该函数的图象有最低点；④该函数图象的对称轴是直线．其中说法正确的是（    ） A．①③④ B．①②③ C．②④ D．①③ 【答案】D 【思路引导】本题考查了用待定系数法求二次函数的解析式、二次函数的图象与性质，解决本题的关键是把点，的坐标代入二次函数，利用待定系数法求出二次函数的解析式，然后再根据二次函数的图象与性质进行判断． 【规范解答】解：把点，的坐标代入二次函数， 可得：， 解方程组可得：， 二次函数的解析式为， 二次函数中， 抛物线开口向上， 二次函数的对称轴为， 在对称轴的左侧随的增大而减小， 当时，随的增大而减小，故正确； 点，在该函数的图象上， 当时，可得：， 当时，可得：， ，故错误； 二次函数，则顶点坐标为，且图象开口向上， ∴该函数的图象有最低点，故正确； 二次函数的对称轴为，故错误． 正确的有①③． 故选：D． 考点16：根据二次函数的对称性求函数值 【典例精讲】（23-24九年级上·四川南充·期中）抛物线经过三点，，，则，，的大小关系是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【思路引导】本题考查二次函数的性质，熟练掌握二次函数的对称性和增减性是解题的关键． 把二次函数化简成顶点式，得到抛物线的对称轴为直线，根据在对称轴两侧时，三点的横坐标离对称轴越近，纵坐标越小，由此判断，，的大小． 【规范解答】解：∵， ∴抛物线开口向上，对称轴为直线， 根据开口向上，距离对称轴越远函数值越大， ∵， ∴， 故选：A． 【变式训练】（24-25九年级上·山东临沂·期末）在平面直角坐标系中，已知抛物线． (1)当时，求抛物线顶点坐标； (2)在（1）的条件下，把二次函数的图象向左平移1个单位，得到新的二次函数图象，当时，求新的二次函数的最大值与最小值； (3)已知和是抛物线上两点，若对于，，都有，求的取值范围． 【答案】(1) (2)， (3)或 【思路引导】本题考查二次根式的图象和性质，二次函数图象的平移，熟练运用数形结合和分类讨论思想是解题的关键． （1）将代入解析式，再将解析式变形为顶点式，即可得出顶点坐标； （2）根据平移方式求出平移后的解析式，求出对称轴，根据x的取值范围可得y的最值； （3）先求出对称轴为：直线，再分和两种情况，根据抛物线的增减性分别求解即可． 【规范解答】（1）解：当时，抛物线的解析式为， ， 该抛物线的顶点为； （2）解：由题意知，抛物线的解析式， 当抛物线向左平移1个单位，抛物线的解析式为， 即， 抛物线开口向上，对称轴为直线， 当时， 时，二次函数有最大值，最大值为：， 时二次函数有最小值，最大值为：； （3）解：抛物线的对称轴为：直线， 当时，抛物线开口向上，对称轴右侧，y随x的增大而增大， 若对于，，都有， 则， ∴， ∴； 当时，抛物线开口向下，对称轴右侧，y随x的增大而减小， 对称轴为：直线， ∴在抛物线上的对称点为， 若对于，，都有， 则， 的取值范围为：或． 考点17：y=ax²+bx+c的最值 【典例精讲】（24-25九年级上·江苏泰州·阶段练习）关于的一元二次方程为． (1)求证：不论为何值，该方程总有两个不相等的实数根； (2)设该方程的两个根为，（），在平面直角坐标系中，点的坐标记为，连接，则的最小值为______． 【答案】(1)见解析 (2) 【思路引导】本题主要考查一元二次方程根与系数的关系，根的判别式以及两点间距离公式，灵活运用各知识点是解答本题的关键． （1）求出，可得结论； （2）根据一元二次方程根与系数的关系得，由两点间距离公式得，变形后结合二次函数的性质求出的最小值即可． 【规范解答】（1）证明：∵ ， ∴不论为何值，该方程总有两个不相等的实数根； （2）解：∵，是方程的两个实数根， ∴， ∴ ∵在平面直角坐标系中，点的坐标记为， ∴， ∵， ∴当时，即时，取得最小值1， ∴， 故答案为：． 【变式训练】24-25九年级上·广西南宁·阶段练习）在平面直角坐标系中，对“纵横值”给出如下定义：点是函数图象上任意一点，纵坐标y与横坐标x的差“”称为点A的“纵横值”．函数图象上所有点的“纵横值”中的最大值称为函数的“最优纵横值”． 例如：点在函数图象上，点A的“纵横值”为，函数图象上所有点的“纵横值”可表示为，当时，的最大值为，所以函数的“最优纵横值”为7． 根据定义，解答下列问题： (1)点的“纵横值”为________； (2)若二次函数的顶点在直线上，且最优纵横值为5，求c的值； (3)若二次函数的顶点在直线上，当时，求该二次函数的纵横值的范围． 【答案】(1)8 (2) (3)函数纵横值 【思路引导】本题考查了二次函数的性质，涉及顶点坐标以及最值，正确理解题意，掌握二次函数的相关性质是解题的关键． （1）点的“纵横值”为，即可求解； （2）由题意得，解得，，进而得，即可求解； （3）由题意得，解得，，进而得，即可求解． 【规范解答】（1）解：点的“纵横值”为， 故答案为：8； （2）二次函数的顶点在直线上， ， 解得， ， ， 最优纵横值为5， ， 解得； （3）二次函数的顶点在直线上， ， 解得， ， ， 当时可知， 当时，， 当时，， 函数纵横值． 考点18：利用二次函数对称性求最短路径 【典例精讲】（24-25九年级上·广东广州·期中）抛物线经过点． (1)求这条抛物线的解析式； (2)如图，点是抛物线对称轴上一点，连接，，当最小时，求点的坐标． 【答案】(1) (2) 【思路引导】（1）把点和点坐标代入后解方程组求出、，从而得到抛物线解析式； （2）抛物线与轴的另一个交点为,利用配方法求出抛物线的对称轴为直线，进而求出点的坐标，连接交直线于点，利用两点之间线段最短可判断此时最小，接着求出直线的解析式，进而求解． 【规范解答】（1）解：把分别代入得 ， 解得 ∴抛物线解析式为； （2）解：设抛物线与轴的另一个交点为， ∵， ∴抛物线的对称轴为直线， 当时，， 解得， ∴． 连接交直线于点，如下图 ∵， ∴， ∴此时最小， 设直线的解析式为， 把分别代入得 ， 解得， ∴直线的解析式为， 当时，， ∴点坐标为． 【考点评析】本题考查了待定系数法求二次函数的解析式，一次函数解析式的求法，二次函数的性质和最短路线问题．在利用待定系数法求函数关系式时，要根据题目给定的条件，选择恰当的方法设出关系式，从而代入数值求解． 【变式训练】（24-25九年级上·全国·假期作业）如图，在平面直角坐标系中，抛物线与x轴交于点A，B，与y轴交于点C，． (1)求抛物线的解析式； (2)点D在抛物线的对称轴上，若的值最小，求点D的坐标； (3)若点P是抛物线上的一点，当点P在直线上方的抛物线上运动时，的面积是否存在最大值？若存在，请求出这个最大值，并写出此时P点的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】(1) (2)点D的坐标为 (3)存在，点 【思路引导】（1）由待定系数法即可求解； （2）点B关于抛物线的对称点为点A，则交抛物线对称轴于点D，则此时，的值最小，进而求解； （3）过点P作轴交于点H，由题意可设点，则点，由铅垂法可得，然后问题可求解． 本题考查了待定系数法求二次函数解析式，二次函数的性质，面积问题，熟练掌握二次函数的性质是解题的关键． 【规范解答】（1）解：∵， 则点A、C的坐标分别为：、， 将A，C的坐标代入抛物线得：，解得：， ∴抛物线的表达式为：； （2）解：点B关于抛物线的对称点为点A，则交抛物线对称轴于点D，则此时，的值最小； 如图1，为最小； 设直线的表达式为：，将点A、C的坐标代入得：， 解得：， ∴直线的表达式为，抛物线的对称轴为直线， 当时，，即点D的坐标为； （3）解：的面积存在最大值；理由如下： 过点P作轴交于点H，如图2， 由（2）可得直线的表达式为， 设点，则点， ∴，的水平宽为3， ∴， ∴当时，的面积最大，最大值为， 此时点． 考点19：待定系数法求二次函数解析式 【典例精讲】（24-25九年级上·福建泉州·阶段练习）已知二次函数自变量x与函数y的部分对应值如表： x … 0 1 2 3 4 … y … 5 0 0 m … (1)二次函数图象的开口方向 ，m的值为 ． (2)求出这个二次函数的解析式； 【答案】(1)向上， (2) 【思路引导】本题考查了二次函数的性质，求二次函数的解析式，熟练掌握以上知识点并灵活运用是解此题的关键． （1）根据抛物线的对称性求解即可； （2）利用待定系数法求解即可． 【规范解答】（1）解：∵抛物线经过点，， ∴抛物线的对称轴为直线， ∴抛物线的顶点坐标为， ∴抛物线开口向上，当和时函数值相等，即； （2）解：设抛物线解析式为， 把代入得， 解得， ∴抛物线解析式为， 即． 【变式训练】（24-25九年级上·云南红河·阶段练习）如图，已知抛物线与x轴交于点A、B两点，与y轴交于C点，点B的坐标为，抛物线与直线交于C、D两点．连接、． (1)求抛物线对应的二次函数解析式及D点坐标． (2)抛物线上有一点P，满足，求点P的坐标． 【答案】(1)； (2)或． 【思路引导】本题考查抛物线与x轴的交点、二次函数的图象上的点的特征，三角形的面积等知识，解题的关键是熟练掌握待定系数法解决问题，学会利用方程组确定两个函数的交点坐标，属于中考常考题型． （1）利用待定系数法即可解决问题，联立方程组，求解即可； （2）由面积关系，推出点P的纵坐标，再利用待定系数法求出点P的坐标即可； 【规范解答】（1）解：∵抛物线过点， ∴， ∴， ∴抛物线的解析式为； 由， 得或， ∴，； （2）解：∵， ∴， ∴，， 当时，， ∴， ∵， ∴此方程无实数解， 当时，， 解得：，， ∴或． 考点20：线段周长问题（二次函数综合） 【典例精讲】（24-25九年级上·海南省直辖县级单位·期中）如图，在平面直角坐标系中，二次函数的图象与x轴交于A、B两点，与y轴交于点．A点在原点的左侧，B点的坐标为．点P是抛物线上一个动点，且在直线的上方． (1)求这个二次函数的表达式； (2)在该抛物线的对称轴上是否存在点Q，使得的周长最小？若存在，求出Q点的坐标；若不存在，请说明理由； (3)当点P运动到什么位置时，四边形的面积最大，并求出此时点P的坐标和四边形面积的最大值． 【答案】(1) (2) (3)，四边形面积的最大值为 【思路引导】本题主要考查了二次函数综合题，利用待定系数法求函数解析式；利用菱形的性质求出点的纵坐标是解题的关键． （1）根据待定系数法求出函数解析式即可； （2）根据题意求出以及二次函数的对称轴，由题意可知，点和点关于对称，当点在上时，的周长最小，即可得到答案； （3）根据面积的和差，得到二次函数，根据二次函数的性质和自变量与函数值的对应关系，求出点的坐标． 【规范解答】（1）解：将两点坐标代入， 得， 解得， ； （2）解：设， 将，代入， ， 解得 故， ， 对称轴， 设点， 由题意可知，点和点关于对称， 当点在上时，的周长最小， 此时点， （3）解：过点作轴的平行线与交于点，与交于点，设点的横坐标为，则，， 由（2）得， 则点的坐标为， ， ， 当时，四边形的面积最大， 此时点的坐标为，四边形的面积最大为． 【变式训练】（24-25九年级上·内蒙古呼伦贝尔·期末）如图，已知二次函数的图象与x轴交于A、B两点，其中点A的坐标为，与y轴交于点C，点在抛物线上； (1)求抛物线的解析式； (2)抛物线的对称轴上是否存在点P，使得周长最小，若存在，求出P点的坐标及周长的最小值． 【答案】(1) (2)， 【思路引导】（1）根据的坐标，待定系数法求解析式即可； （2）先求得点的坐标，根据抛物线的对称性可得，当△PAD周长确定最小值时，三点共线，进而根据勾股定理求两点坐标距离即可求得最小值，再求解直线的解析式即可得到的坐标． 【规范解答】（1）解：在二次函数的图象上， 解得 抛物线的解析式为； （2）解： 对称轴为 如图，连接， 关于轴对称 的周长等于， 当三点共线时，的周长取得最小值，最小值为 由抛物线解析式， 令，即， 解得， ， ， ∴，， 的周长的最小值为， ， 设直线为， ∴， 解得：， ∴直线为， 当时，， ∴． 【考点评析】本题考查了待定系数法求二次函数，勾股定理的应用，一次函数的解析式，根据抛物线的对称性求线段和的最小值，掌握二次函数图象的性质是解题的关键． 考点21：面积问题（二次函数综合） 【典例精讲】（24-25九年级上·江苏镇江·阶段练习）已知抛物线与x轴左右交点分别是A、B，顶点是，与y轴交于点． (1)求抛物线的解析式，并画出它的大致图像（不需要列表）； (2)求四边形面积； (3)当时，函数y的取值范围是 ； (4)点、在此抛物线上，比较、的大小关系． 【答案】(1)，图像见解析 (2) (3) (4)当时；当时，．当时， 【思路引导】（1）利用待定系数法求解即可； （2）如图所示，过点C作轴于点E，当时，，求出，，然后求出，，，，，然后利用四边形面积代数求解即可； （3）首先求出当时，，然后根据图像求解即可； （4）首先将、代入解析式得到 ，，然后作差求解即可． 【规范解答】（1）∵抛物线顶点是， ∴设抛物线解析式为， 将代入得，， 解得， ∴抛物线解析式为； 画图如下： （2）如图所示，过点C作轴于点E， ∵抛物线解析式为， ∴当时，， 解得或3， ∴，， ∴，， ∵，， ∴，，， ∴四边形面积 ； （3）当时，， ∴由图像可得，当时，函数y的取值范围是； （4）∵点、在此抛物线上， ∴，， ∴， ∴当时；当时，．当时，． 【考点评析】此题考查了待定系数法求二次函数解析式、二次函数的图像和性质等知识，读懂题意和准确计算是解题的关键． 【变式训练】（24-25九年级上·山东聊城·期末）如图，已知二次函数过点，． (1)求此二次函数的解析式； (2)将（1）中的函数图象先向左平移1个单位，再向上平移3个单位，直接写出平移后函数的解析式和顶点坐标； (3)点C，D为（2）中平移后抛物线与x轴的交点，在这条抛物线上是否存在点P，使的面积为4，若存在，求出点P的坐标，若不存在说明理由． 【答案】(1)平移后的解析式为， (2)平移后的解析式为，顶点为； (3)存在，或 【思路引导】本题考查二次函数的性质，待定系数法求二次函数解析式，二次函数的平移，正确求出函数解析式是解题的关键： （1）将点，代入，求解即可得出答案； （2）先将解析式变形为，再根据二次函数的平移即可得出答案； （3）当时，，求出，，根据，得出，再得出，求解即可得出答案． 【规范解答】（1）将点，代入 得，， 解得，， ∴二次函数的解析式为； （2）， 由平移规律得平移后的解析式为， ∴顶点为； （3）当时，， 解得：，， ∴，， ∴． ∵， ∴， ∵顶点为， ∴点P在x轴的上方，纵坐标为4， ∴， 解得，或， ∴或． 考点22：角度问题（二次函数综合） 【典例精讲】（24-25九年级上·海南省直辖县级单位·期末）如图，抛物线经过点、，交轴于点，点是抛物线上一动点． (1)求该抛物线的函数表达式； (2)当点的坐标为时，求四边形的面积； (3)若，求点的坐标． 【答案】(1) (2)16 (3)或 【思路引导】（1）利用待定系数法求解即可； （2）过点P作于T，根据列式求解即可； （3）取，连接，，证明，则线段与抛物线的交点即为所求；求出直线的解析式为，联立，解得或（舍去），则；如图所示，取，连接，同理可得，则直线与抛物线的交点即为所求；同理可得；则符合题意的点P的坐标为或． 【规范解答】（1）解：将点代入， 得 解得 ∴抛物线解析式为； （2）解∶如图所示，过点P作于T， ∵，，， ∴ ， ∴， ∴ ； （3）解：如图所示，取，连接，， ∵、，， ∴，，， ∴， ∴线段与抛物线的交点即为所求； 设直线的解析式为， ∴， ∴， ∴直线的解析式为， 联立，解得或（舍去）， ∴； 如图所示，取，连接，， 同理可得， ∴直线与抛物线的交点即为所求； 同理可知直线的解析式为， 联立，解得或（舍去）， ∴； 综上所述，符合题意的点P的坐标为或． 【考点评析】本题主要考查了二次函数综合，一次函数与几何综合，勾股定理等知识，解题的关键在于正确作出辅助线并利用数形结合的思想求解． 【变式训练】（24-25九年级上·湖北·阶段练习）在平面直角坐标系中，抛物线与直线交于A，B两点，点A在y轴上，点B的横坐标为，点P是抛物线上不与A，B重合的一动点，点的横坐标为m． (1)求c的值． (2)如图，点A与点C关于抛物线的对称轴对称，当点P在AC上方的抛物线上时，若AC平分，求m的值． (3)当点P在y轴右侧的抛物线上运动时，过点P作交y轴于点M，作轴交AB于点N，设四边形的周长为l． ①求l关于m的函数解析式； ②若点都在l关于m的函数图象上，当时，直接写出m的取值范围． 【答案】(1) (2) (3)①；② 【思路引导】本题主要考查求二次函数解析、二次函数与几何的综合、二次函数的性质等知识点，掌握数形结合思想成为解题的关键． （1）根据题意求得点，再代入即可求得c的值； （2）先求出，再运用待定系数法求得直线的解析式为，由点A与点C关于抛物线的对称轴对称，可得轴，的解析式为；如图：过P作交于E、D，根据等腰三角形的性质可得，点的横坐标为m，则、，进而得到，然后根据列关于m的方程求解即可； （3）①分两种情况，当P点位于、B之间时，当P点位于B点右侧时，由题意可得四边形是平行四边形，即、；由题意可得、，进而得到，然后根据平行四边形的周长公式即可解答；②根据函数图像分成五种情况，然后根据二次函数的性质列关于m的方程解答即可． 【规范解答】（1）解：当时，，即， 将代入，可得：． ∴． （2）解：∵点B的横坐标为， ∴，即点， 设直线的解析式为， 则，解得：， ∴直线的解析式为， ∵点A与点C关于抛物线的对称轴对称， ∴轴，的解析式为， 如图：过P作交于E、D， ∵AC平分， ∴， ∵点的横坐标为m， ∴，， ∴， ∴，解得：（舍弃）或． （3）解：①如图：当P点位于、B之间时，过点P作交y轴于点M，作轴交AB于点N， ∴四边形是平行四边形， ∴，， ∵点的横坐标为m， ∴，， ∴， ， ∴l关于m的函数解析式为，即． 如图：当P点位于B点右侧时，过点P作交y轴于点M，作轴交AB于点N， ∴四边形是平行四边形， ∴，， ∵点的横坐标为m， ∴，， ∴， ， ∴l关于m的函数解析式为，即， l关于m的函数解析式为． ②∵， ．，函数图形开口向上，对称轴为 两点都在函数对称轴左侧时，， 两点分别在函数对称轴左右两侧时，， 即，比较到对称轴的距离， ； 两点都在函数对称轴右侧时，， 不等式无解，不符合题意； 当两点分别在函数上时， ，即时， ，或， 则， 当两点都在函数上时，， 综上所述，m的取值范围或或． 考点23：特殊三角形问题（二次函数综合） 【典例精讲】（24-25九年级上·重庆大足·期末）如图1，抛物线交x轴于点和点B，交y轴于点． (1)求抛物线的函数表达式； (2)如图2，若点P是线段上的一动点，作轴，交抛物线于点Q，当最大时，在抛物线对称轴上找一点M，使的值最小，求出此时点M的坐标； (3)若点P在直线上的运动过程中，是否存在点P，使为等腰三角形？若存在，直接写出点P的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】(1) (2) (3)存在，P点坐标为或或或 【思路引导】本题主要考查了待定系数法求函数解析式、二次函数的几何应用、等腰三角形的定义、勾股定理等知识点，掌握二次函数的图象和性质是解题的关键． （1）直接利用待定系数法求解即可； （2）先利用待定系数法求出直线的解析式为，设，则，可得，得到当时PQ最大为，此时；再求得点B的坐标为，再利用待定系数法求出直线的表达式为，最后把代入计算即可求解； （）设，由勾股定理可得，根据等腰三角形的定义分三种情况解答求解即可． 【规范解答】（1）解：∵抛物线交y轴于点，则， 再把代入抛物线，得：， 解得：， 所以抛物线的函数表达式为． （2）解：设直线的解析式为， 则， 解得：， ∴直线的解析式为， 设，则， ∴， ∴当时，最大为，此时， 当时，， 解得：或1，即 设直线的表达式为，代入B、Q两点坐标， 得， 解得， ∴直线的表达式为， ∵抛物线的对称轴为直线，把代入，得， ∴M点坐标为． （3）解：存在，理由如下： 由抛物线的对称轴为直线、、 ， 设， ∴， ①当时，即， 得， 解得：， ∴P点坐标为或； ②当时，即， 得， 解得或1（舍去）， ∴P点坐标为； ③当时，易知P点的横坐标为， 代入中得， ∴P点坐标为． 综上，P点坐标为或或或． 【变式训练】（24-25九年级上·吉林四平·期末）如图，直线与x轴交于点，与y轴交于点B，抛物线经过A，B两点，点是线段上的一个动点（不与点O和点A重合），过点E作轴，交直线于点D，交抛物线于点P，连接． (1)求抛物线解析式； (2)当线段的长度最大时，求点P的坐标； (3)若线段和为等腰三角形的腰，求此时点E的坐标． 【答案】(1) (2) (3)点E的坐标为 【思路引导】（1）由待定系数法即可求解； （2）由，即可求解； （3），由时，则，即可求解． 【规范解答】（1）解：∵直线与x轴交于点， ， ， ∴直线解析式为：， 当时，， ∴点， ∵抛物线经过点A，B， 则， 解得：， ∴抛物线的解析式为：； （2）解：轴， ， ， 点， 点，则点， 则， 当时，最大．， ； （3）解：根据题意得，， 由（2）得，， ， ， 解得：（舍去）或， ∴点E的坐标为． 【考点评析】本题是二次函数综合题，考查了二次函数的性质，待定系数法求解析式，相似三角形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，勾股定理等知识，灵活运用这些性质解决问题是本题的关键． 考点24：特殊四边形问题（二次函数综合） 【典例精讲】（24-25九年级上·河南开封·期末）已知抛物线的对称轴为直线，且与y轴的交点坐标为 直线l与x轴相交于点C． (1)求该抛物线的函数表达式； (2)如图，点P是该抛物线对称轴右侧图象上一动点，过点P作轴，，垂足分别为A、B．设点P的横坐标为m． ①当四边形为正方形时，求m的值； ②根据①的结果，直接写出．时，m的取值范围． 【答案】(1)； (2)①m的值为1或0；②时，m的取值范围为或． 【思路引导】本题为二次函数的综合应用，涉及待定系数法、二次函数的性质、正方形的性质、方程思想及分类讨论思想等知识点，解决本题的关键是结合二次函数的图象得到的取值范围． （1）根据抛物线对称轴求出的值，再根据抛物线与轴的交点求出的值，从而求出二次函数解析式； （2）①点是该抛物线对称轴右侧图象上一动点，轴，，点的横坐标为，可得，，．根据正方形的性质列出方程求解即可； ②根据①可知得当或时，，然后结合抛物线即可解决问题． 【规范解答】（1）解：抛物线的对称轴为直线， ， ， 抛物线与轴的交点坐标为， ， 抛物线的解析式为； （2）解：①点是该抛物线对称轴右侧图象上一动点，轴，，点的横坐标为， ， ，， 当四边形为正方形时，， ， ， 解得，（不符合题意，舍去）， 或者， 解得，（不符合题意，舍去）， 的值为1或0； ②根据①可知：当或时，， 当时，， ， 当或时，， 当时，的取值范围为或． 【变式训练】（24-25九年级上·甘肃定西·期末）如图1，在平面直角坐标系中，抛物线经过点，，D为抛物线的顶点． (1)求a，b的值． (2)如图2，连接，在线段上有一动点P（不与点O，B重合），过点P作轴，交直线于点E， ①当直线经过点D时，求的长； ②以为边在的左侧作正方形，当点F在抛物线上时，求点P的坐标． 【答案】(1) (2)①；② 【思路引导】（1）直接利用待定系数法求解，即可解题； （2）①根据抛物线得到、的坐标，设直线的解析式为，利用待定系数法求出直线的解析式，进而推出点的坐标，即可解题； ②设点P的坐标为，进而得到点的坐标为，结合正方形性质得到点的坐标为，根据点F在抛物线上，建立等式求解，即可解题． 【规范解答】（1）解：抛物线经过点，， ， 解得； （2）解：①由（1）知，抛物线解析式为， ，， 设直线的解析式为， ， 解得， 直线的解析式为， 轴， 当直线经过点D时， 有，则， ； ②设点P的坐标为， 轴， 点的坐标为， ， 在的左侧作正方形，且点F在抛物线上， ， 点的坐标为， 且， 整理得， 解得或， 动点P不与点O，B重合， ， 点P的坐标为． 【考点评析】本题考查待定系数法求二次函数解析式，坐标与图形，待定系数法求一次函数解析式，正方形性质，二次函数与几何综合，解题的关键在于熟练掌握相关知识． 考点25：其他问题（二次函数综合） 【典例精讲】（24-25九年级上·北京·期中）如图，在平面直角坐标系中，直线与轴交于点，与轴交于点，与抛物线交于点，．已知点的坐标为，点的横坐标为． (1)求直线与抛物线的解析式； (2)当时，若抛物线与直线有交点，结合图象，求的取值范围． 【答案】(1)直线解析式为，抛物线解析式为 (2) 【思路引导】（）利用点坐标可求出直线的解析式，进而可得点坐标，再利用待定系数法可求出抛物线的解析式； （）可得抛物线的顶点坐标为，对称轴为直线，进而由点可得，结合图象即可求解； 本题考查了待定系数法求函数解析式，二次函数与不等式，利用待定系数法求出函数解析式是解题的关键． 【规范解答】（1）解：把代入得，， ∴， ∴直线的解析式为， ∵点的横坐标为， ∴点的纵坐标， ∴， 把、代入得， ， 解得， ∴抛物线的解析式为； （2）解：抛物线的顶点坐标为，对称轴为直线， 把代入得，， 把点代入得，， 解得， ∴时，抛物线与直线在时有交点． 【变式训练】（24-25九年级上·河北保定·阶段练习）如图，抛物线． (1)试说明：无论为何值，抛物线必经过某个定点． (2)若抛物线与轴的负半轴交于点，与轴的正半轴交于点，与轴交于点，且满足． ①求的值． ②抛物线上是否存在点P，使得？若存在，求出点的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】(1)见解析； (2)①；②存在，点P的坐标是或． 【思路引导】本题考查待定系数法，二次函数图像和性质，解一元二次方程，熟练掌握二次函数的图像和性质是解题的关键； （1）法一：把代入，即可求解；法二：将整理成，计算求解即可； （2）①由题意，可知，，求得，进而求解点的坐标，进而求解的值；②连接，在轴上取点，使得，过点作，交抛物线于点，把代入，求得点的坐标，进而求得直线的表达式，即可求解； 【规范解答】（1）解：法一：当时，， ∴无论为何值，抛物线必经过定点． 法二：由，可得， ， 解得：， ∴无论为何值，抛物线必经过定点； （2）①由题意，可知，， ∴， ∴，解得（舍去），， ∴点的坐标是． 把点代入，得，解得． ②∵，抛物线的表达式是． 如图，连接，在轴上取点，使得，过点作，交抛物线于点， 则， ∵， 点的坐标是， 点的坐标是． 把代入，得， 点的坐标是． 设直线的表达式是，则， 解得， ∴直线的表达式是． 设直线的表达式是， 把点代入， 得， ∴直线的表达式是． 联立方程组，得， 解得，， ∴抛物线上存在点，使得，点的坐标是或； 1．（2025·广东广州·中考真题）若抛物线的顶点在直线上，则m的值为 ． 【答案】或 【思路引导】本题考查了二次函数的顶点坐标，一次函数的性质，公式法进行解一元二次方程，正确掌握相关性质内容是解题的关键．先整理得出顶点坐标为，再把代入，得出，运用公式法进行解一元二次方程，即可作答． 【规范解答】解：∵， ∴对称轴为直线， 把代入， 得， 即顶点坐标为， ∵抛物线的顶点在直线上， ∴， 整理得， 则， ∴， ∴ 故答案为：或． 2．（2025·广东广州·中考真题）在平面直角坐标系中，两点，在抛物线，则下列结论中正确的是（   ） A．当且时，则 B．当时，则 C．当且时，则 D．当时，则 【答案】A 【思路引导】本题考查了二次函数的图象性质，抛物线开口向上，顶点为，与x轴交于和，分析各选项时需结合抛物线的对称性、增减性及函数值的符号，据此进行作答即可． 【规范解答】解：∵ ∴抛物线的开口向上， 则对称轴为直线， 把代入，得， ∴顶点为， ∵两点，在抛物线， ∴当且时，（因时抛物线在x轴上方）， 故， 此时 故A选项的结论正确； 当时，抛物线在时递减， 故越大，越小， 即， 故B选项的结论错误； 当且时，， 此时应满足或， 故C选项的结论错误； 当时，抛物线在时递增， 故越大，越大， 即， 故D选项的结论错误； 故选：A 3．（2025·天津·中考真题）四边形中，，．动点从点出发，以的速度沿边、边向终点运动；动点从点同时出发，以的速度沿边向终点运动．规定其中一个动点到达终点时，另一个动点也随之停止运动．设运动的时间为．当时，点M，N的位置如图所示．有下列结论： ①当时，； ②当时，的最大面积为； ③有两个不同的值满足的面积为．其中，正确结论的个数是（   ） A．0 B．1 C．2 D．3 【答案】C 【思路引导】本题主要查了二次函数的性质，一元二次方程的应用．当时，点M在上，求出，可判断①；当时，点M在上，利用三角形面积公式求出的面积，利用二次函数的性质，可判断②；分两种情况：当点M在上时，点M在上，结合的面积为，列出方程，可判断③． 【规范解答】解：根据题意得：点M在上的运动时间为，点M在上的运动时间为，点N在上的运动时间为， ①当时，点M在上， 此时，， ∴， ∴，故①正确； ②当时，点M在上， 此时，， ∴， ∴， ∵， ∴当时，随t的增大而增大， ∴当时，取得最大值，最大值为， 即当时，的最大面积为，故②错误； ③当点M在上时， ∵的面积为， ∴， 解得：（舍去）， ∴当时，的面积为； 当点M在上时， ∵，， ∴，即， 此时， 解得：， ∴当时，的面积为； ∴有两个不同的值满足的面积为，故③正确． 故选：C 4．（2025·辽宁·中考真题）如图，在平面直角坐标系中，直线与轴相交于点，与轴相交于点，点在线段上（不与点，重合），过点作的垂线，与直线相交于点，点关于直线的对称点为，连接． (1)求证：； (2)设点的坐标为，当时，线段与线段相交于点，求四边形面积的最大值. 【答案】(1)见解析 (2)四边形面积的最大值为． 【思路引导】（1）先求得，，得到，，利用等腰直角三角形的性质即可证明结论成立； （2）由题意得，，根据折叠的性质得，，利用等腰直角三角形的判定和性质求得，，再利用梯形的面积公式求得四边形面积关于的二次函数，利用二次函数的性质求解即可． 【规范解答】（1）证明：对于直线， 令，则；令，则， ∴，， ∴，， ∵， ∴； （2）解：∵点的坐标为， ∴，， ∵点关于直线的对称点为， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴四边形面积 ∵， ∴当，四边形面积有最大值，最大值为． 【考点评析】本题考查了一次函数的性质，二次函数的性质，等腰直角三角形的判定和性质．第2问求得四边形面积关于的二次函数的解析式是解题的关键． 5．（2024·四川攀枝花·中考真题）在平面直角坐标系中，已知二次函数的表达式为． (1)若，且点在函数的图象上，求此时函数的最小值； (2)若函数的图象经过点，当自变量x的值满足时，y随x的增大而增大，求a的取值范围； (3)若函数的图象的对称轴为，点在函数的图象上，且总有，求m的取值范围． 【答案】(1)2 (2) (3) 【思路引导】本题考查二次函数图象与系数的关系以及二次函数图象上点的坐标特征，解题的关键是利用数形结合的思想进行解答． （1）根据待定系数法求出函数解析式，然后配方成顶点式，即可求解； （2）把，代入抛物线解析式得出，的关系，然后求出对称轴，由函数的增减性求出的取值范围即可； （3）由，得到离对称轴越远，函数值越大，则点到对称轴的距离大于点到对称轴的距离，得出关于m的不等式，然后解不等式即可． 【规范解答】（1）解：当，且点在函数的图象上， ∴， 解得， ∴， ∵， ∴函数图象开口向上， ∴当时，有最小值为2； （2）解：∵过， ∴， ∴， ∴对称轴为直线， ∵当时，随的增大而增大， ， 解得， 又 ∴； （3）解：∵点，在抛物线上， ∵， ∴离对称轴越远，函数值越大， ∵，在抛物线， ∴点到对称轴的距离大于点到对称轴的距离， ∴， 解得． 基础夯实 1．（24-25九年级上·辽宁鞍山·阶段练习）抛物线的顶点坐标是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【思路引导】本题考查求抛物线的顶点坐标，根据的顶点坐标为，进行作答即可． 【规范解答】解：∵， ∴顶点坐标为：； 故选B． 2．（24-25九年级上·安徽合肥·阶段练习）将二次函数先向左平移个单位，再向下平移个单位，平移后的函数是 ． 【答案】 【思路引导】本题考查了二次函数图象的平移“左加右减、上加下减”，熟练掌握二次函数图象的平移规律是解题关键．根据二次函数图象的平移规律即可得． 【规范解答】解：将二次函数先向左平移个单位，再向下平移个单位，平移后的函数是， 故答案为：． 3．（24-25九年级上·江苏泰州·阶段练习）已知二次函数，当时，有最值为4，且函数图象经过点．求该二次函数的表达式． 【答案】 【思路引导】本题主要考查了二次函数的性质，求二次函数解析式，解题的关键是熟练掌握二次函数的顶点式． 利用待定系数法求出二次函数解析式． 【规范解答】解：二次函数，当时，有最值为4， ∴， ∵此函数的图象经过点， ∴， 解得：， ∴二次函数的解析式为． 4．（24-25九年级上·湖北襄阳·阶段练习）已知函数 (1)将函数化成的形式，写出其顶点坐标、对称轴及最值； (2)当x 时，y随x的增大而增大，当x 时，y随x的增大而减小． 【答案】(1)顶点坐标为，对称轴为直线，最小值为1； (2) 【思路引导】本题考查了二次函数的配方、顶点式的性质（顶点坐标、对称轴、最值）以及二次函数的增减性，解题的关键是通过配方法将二次函数的一般式转化为顶点式，再利用顶点式的特点分析函数性质． （1）通过配方法将一般式转化为顶点式，根据顶点式直接得出顶点坐标、对称轴，结合二次项系数符号判断最值； （2）根据抛物线开口方向（由二次项系数符号确定）和对称轴，确定函数增减性对应的x 的取值范围． 【规范解答】（1）解：对函数进行配方： ∴顶点式为，顶点坐标为，对称轴为直线． ∵二次项系数， ∴函数有最小值，最小值为1，无最大值． （2）解：∵抛物线开口向上，对称轴为直线， ∴当时，y随x的增大而增大；当时，y随x的增大而减小． 故答案为：； 5．（24-25九年级上·安徽合肥·阶段练习）已知二次函数． (1)当时，随的增大而增大，求的取值范围； (2)若二次函数的图象经过点，顶点坐标． ①求关于的函数解析式； ②求该二次函数的图象顶点最低时的值． 【答案】(1) (2)①；② 【思路引导】本题主要考查了二次函数图象的性质，二次函数的解析式，熟练掌握二次函数的相关知识是解题的关键． （1）根据对称轴为直线，求解即可； （2）①根据二次函数的图象经过点，得出，根据顶点坐标得出，解答即可； ②由①知，，得出顶点有最低点，求出二次函数的解析式即可解答． 【规范解答】（1）解：二次函数图象开口向下，对称轴为直线， ∵当时，随的增大而增大， ． （2）解：①∵二次函数的图象经过点， ， ， ∵二次函数的顶点坐标为， ，， ； ②由①知，， ∴当时，顶点纵坐标取得最小值为0，此时顶点最低点为， 二次函数中， ∴二次函数的解析式为， ． 培优拔高 1．（2025年广西来宾市九年级中考三模数学试题）在平面直角坐标系中，为坐标原点，抛物线的图像如图，下列说法中错误的是（   ） ①②③④ A．①②③ B．①②③④ C．②③④ D．以上说法都正确 【答案】A 【思路引导】本题主要考查了二次函数图象的性质，掌握数形结合思想成为解题的关键． 由抛物线对称轴为，即，可判断②；由抛物线开口向下，，，再根据与y轴交于正半轴，即，则，故可判定①；由，则，将代入可得，即可判定③；当时，，则，将代入，即可判断④． 【规范解答】解：由图像可知：抛物线对称轴为，即，则，故②错误； 抛物线开口向下，即，所以，与y轴交于正半轴，即，则，故①错误； 由，则，将代入，因为，即，故③错误， 当时，，则，将代入，即，故④正确． 综上，错误的有①②③． 故答案为：A． 2．（24-25九年级上·湖北恩施·阶段练习）若三点，，中恰有两点在拋物线（且a，b均为常数）上、下列四个结论： ①抛物线的对称轴是直线； ②当时，的取值范围是：； ③当时，关于的一元二次方程有两个不相等的实数根； ④若和都是抛物线上的点，且，则． 其中正确的结论（序号）有 ． 【答案】①③④ 【思路引导】本题考查了求二次函数的解析式，二次函数的图象与性质，先求出二次函数的解析式，再结合二次函数的性质逐项分析即可得解，熟练掌握二次函数的性质是解此题的关键． 【规范解答】解：∵三点，，中恰有两点在拋物线（且a，b均为常数）上， ∴点和不可能同时在抛物线上，点和不可能同时在抛物线上； ∴将，代入抛物线解析式可得， 解得， ∴抛物线的解析式为， ∴抛物线的对称轴是直线，故①正确； ∴当时，有最小值为， ∵当时，；当时，， ∴当时，的取值范围是：，故②错误； 当时，， ∵关于的一元二次方程有两个不相等的实数根， ∴， 解得， 故当时，关于的一元二次方程有两个不相等的实数根，故③正确； 令，则， 解得或， ∴抛物线与轴的交点坐标为，， ∵和都是抛物线上的点，且， ∴点位于顶点附近，且， ∴的横坐标比大4个单位长度，此时必然大于0，故④正确； 综上所述，正确的有①③④； 故答案为：①③④． 3．（24-25九年级上·山东枣庄·期末）已知开口向下的抛物线与x轴交于点，对称轴为直线．下列结论：①；②；③函数的最大值为；④（是一个常数）．其中结论正确的是 （填序号）． 【答案】 【思路引导】本题考查了二次函数的图像与性质，熟练掌握二次函数的图像与性质是解题的关键．根据二次函数的图像，开口方向，对称轴，函数的最值，与轴的交点，与轴的交点，逐一判断各结论，即可得到结果． 【规范解答】解：∵抛物线的对称轴为直线， ， ，即，故结论正确，符合题意； 抛物线的图像开口向下， ， ， ， 抛物线开口向下，与轴交于点，对称轴为， ∴抛物线与轴的交点位于轴的正半轴， ， ，故结论错误，不符合题意； 对称轴为， 当时，y有最大值， 抛物线与轴交于点， ， ， 又， ，即函数的最大值为，故结论正确，符合题意； 当时有最大值， 当时，为， ， ， 又， ， ，即，故结论正确，符合题意， 综上所述，结论正确的为． 故答案为：． 3（23-24九年级上·陕西渭南·期末）如图，，C是线段上一动点（不与点A，B重合），以为边作正方形，以为边作菱形（正方形与菱形在的同侧），连接，当时，面积的最大值为 ． 【答案】4 【思路引导】本题主要考查了二次函数的最值问题，正方形的性质，菱形的性质，含30度角的直角三角形的性质，由菱形的性质得到，则可求出，则；设，则，由正方形的性质得到，则，据此求解即可． 【规范解答】解：如图所示，过点D作于F， ∵四边形是菱形， ∴， ∴， ∴， 设，则， ∵四边形是正方形， ∴， ∴， ∴， ∴当，即时，有最大值，最大值为4， 故答案为：4． 4．（23-24九年级上·天津和平·期末）抛物线（b，c为常数）的图像过点． (1)求抛物线的解析式； (2)这个二次函数的图像开口向_______，顶点坐标是_______，当x_______时，y随x的增大而减小； (3)方程的解是_______； (4)当时，y的取值范围是_______． 【答案】(1) (2)下，， (3) (4) 【思路引导】本题主要考查二次函数图象的性质，掌握待定系数法求解析式，二次函数图象的性质，最值的计算方法是关键． （1）运用待定系数法求解即可； （2）根据二次函数解析式，结合二次函数图象的性质求解即可； （3）根据二次函数与轴的交点求解即可； （4）根据自变量取值范围求函数值的大小即可． 【规范解答】（1）解：抛物线（b，c为常数）的图像过点， ∴， 解得，， ∴； （2）解：二次函数解析式为：， ∴顶点坐标为， ， ∴二次函数图象开口向下，对称轴直线为，当时，随的增大而减小， 故答案为：下，，； （3）解：二次函数， 当时，， ∴， 解得，； 故答案为：； （4）解：由（2）可知，二次函数图象开口向下，对称轴为直线，顶点坐标为， ∴在时，当，则， ∴此时函数值的范围为， 在时，当，则， 此时函数值的范围为， 综上所述，当时，y的取值范围是， 故答案为：． 5．（24-25九年级上·福建泉州·阶段练习）已知二次函数．当时， (1)若该函数图像的对称轴为直线，且过点，求该函数的表达式； (2)若方程有两个相等的实数根，求证：． 【答案】(1) (2)证明见解析 【思路引导】本题考查二次函数的图像与性质、待定系数法求函数表达式、一元二次方程根的判别式，熟练掌握二次函数的性质是解答的关键． （1）根据对称轴求得，再把代入得，，即可求解； （2）根据一元二次方程的根与判别式的关系可得，再利用配方法可得，根据平方的非负性可得，即可求解． 【规范解答】（1）解：，对称轴为直线， ， ， 把点代入得，， 该函数的表达式为； （2）解：方程有两个相等的实数根， ， ， ， ， ， ． 第 1 页 共 11 页 学科网（北京）股份有限公司 $$