第14讲 相似三角形的判定（知识清单+易错+4必考题型）（讲义）-2025-2026学年九年级数学上册考试满分全攻略同步备考系列（浙教版）

第14讲 相似三角形的判定 题型梳理 易错分析 易错点一 相似三角形对应边、对应角不确定时未分类讨论致错 题型方法 题型一 相似三角形的预备定理 题型二 相似三角形的判定定理1 题型三 相似三角形的判定定理2 题型四 相似三角形的判定定理3 知识清单 知识点1.判定三角形相似的预备定理（重点） 平行于三角形的一边的直线与其他两边相交，所构成的三角形与原三角形相似； 这是判定三角形相似的一种基本方法．相似的基本图形可分别记为“A”型和“X”型，如图所示在应用时要善于从复杂的图形中抽象出这些基本图形． 知识点2.三角形相似的判定定理1（重点） 如果一个三角形的两角与另一个三角形的两角对应相等，那么这两个三角形相似． 可简述为：两角对应相等，两个三角形相似． 如图，在与中，如果、，那么． A B C A1 B1 C1 要点诠释： 　　要判定两个三角形是否相似，只需找到这两个三角形的两个对应角相等即可，对于直角三角形而言，若有一个锐角对应相等，那么这两个三角形相似. 知识点3.三角形相似的判定定理2（重点）（难点） 如果一个三角形的两边与另一个三角形的两边对应成比例，并且夹角相等，那么这两个三角形相似． 可简述为：两边对应成比例且夹角相等，两个三角形相似． 如图，在与中，，，那么． A B C A1 B1 C1 要点诠释： 　　此方法要求用三角形的两边及其夹角来判定两个三角形相似，应用时必须注意这个角必需是两边的夹角，否则，判断的结果可能是错误的. 知识点4.三角形相似的判定定理3（重点） 如果一个三角形的三条边与另一个三角形的三条边对应成比例，那么这两个三角形相似． 可简述为：三边对应成比例，两个三角形相似． 如图，在与中，如果，那么∽． A B C A1 B1 C1 易错分析 【易错点一】相似三角形对应边、对应角不确定时未分类讨论致错 【例1】如图，在中，，，D为上一点，且，在上取一点E，若以A、D、E为顶点的三角形与相似，则的长为（　　） A．8 B． C．8或 D．8或 【答案】C 【分析】本题主要考查了相似三角形的性质，本题应分两种情况进行讨论，①；②；可根据各相似三角形得出比例关系式求出的长即可． 【详解】解：当时，如图1， ， ，，， ， ， ； 当时，如图2， ， ，，， ， ． 综上，的长为8或． 故选：C． 【举一反三】【变式1】（22-23九年级上·浙江杭州·期末）已知在中，，D，E分别是边上的点，且．若和相似，则（　　） A．5 B．3 C． D．3或 【答案】D 【分析】本题主要考查了相似三角形的性质．根据相似三角形的性质，对应边成比例，由此即可求解． 【详解】解：①如图所示，，    ∴，， ∴； ②如图所示，，    ∴， ∴， 综上所述，AE的长为3或， 故选：D． 【变式2】（23-24九年级上·浙江宁波·期末）如图，在中，，已知点D为的中点，点E在线段上，连结，若与相似，则的值为 ． 【答案】或3 【分析】本题考查相似三角形的性质，关键是要分两种情况讨论． 分两种情况，当时推出，代入有关数据得到，当时，推出，代入有关数据求出，即可得到的值为或3． 【详解】解：∵为的中点，， 当时， 当时， ∴的值为或3． 故答案为：或3． 【变式3】（2022九年级上·浙江·专题练习）如图，在矩形中，，P是边上的一个动点，则当与相似时， ． 【答案】或或6． 【分析】分两种情况讨论：和，根据该相似三角形的对应边成比例求得的长度． 【详解】解：①当时， ，即， 解得：或； ②当时， ， 即， 解得：． 综上所述，的长度是或或6． 故答案是：或或6． 【点睛】本题考查了矩形的性质，相似三角形的性质．熟练掌握相似三角形的性质是解题的关键． 题型方法 【题型一】相似三角形的预备定理 【例1】（23-24九年级上·浙江·阶段练习）如图，点D，E，F在的边上，，．下列结论中正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】此题考查了相似三角形的判定与性质，平行线分线段成比例，熟记相似三角形的判定与性质是解题的关键．本题根据相似三角形的判定与性质及平行线分线段成比例逐一求解即可． 【详解】解：∵， ∴，故A不符合题意； ∵，， ∴，， ∴，故B符合题意； ∵，， ∴，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴，故C不符合题意； ∵， ， ∴，故D不符合题意； 故选：B． 【举一反三】【变式1】（21-22九年级上·浙江绍兴·期末）如图，在中，，则下列比例式不一定正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】平行线分线段成比例定理，以及三角形相似判定与性质，即可求得答案，注意排除法的应用． 【详解】解： A．∵，∴△ADE∽△ABC，∴，故选项A不合题意； B．∵，∴，故选项B符合题意； C．∵，∴，故选项C不合题意； D．∵，∴△ADE∽△ABC，∴．故选项D不合题意． 故选：B． 【点睛】此题考查了平行线分线段成比例定理与三角形相似的判定与性质．此题难度不大，解题的关键是注意比例线段的对应关系． 【变式2】（22-23九年级上·浙江·单元测试）如图，中，是边上一点，交于点，连接，交于点，则下列结论正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据得，即可得，根据得，即可得，等量代换得，即可判断选项A，根据，可判断选项B，根据可判断选项C，根据与不相似得，可判断选项D，即可得． 【详解】解：∵， ∴， ， ∵， ∴， ， ∴， 故A选项正确； ∵， 故B选项说法错误，不符合题意； ， 故C选项说法错误，不符合题意； ∵与不相似， ∴ 故D选项说法错误，不符合题意； 故选：A． 【点睛】本题考查了相似三角形的判判定与性质，解题的关键是掌握相似三角形的判定与性质． 【变式3】（21-22九年级上·浙江宁波·期中）如图，在平行四边形ABCD中，E是BA延长线上一点，CE与AD、BD分别交于点G、F．则下列说法错误的是（        ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据平行四边形的性质，可得：AB=CD， ， ，从而得到 ， ， ，即可判断． 【详解】解：因为四边形ABCD是平行四边形， 所以AB=CD， ， ， 所以 ， 所以，故A选项正确，不符合题意； 所以 ， 所以 ，故B选项错误，符合题意； 所以 ， 所以，故C选项正确，不符合题意； 因为 ， ， 所以 ， 所以 ， 所以，故D选项正确，不符合题意． 故选：B． 【点睛】本题主要考查了平行四边形的性质，相似三角形的判定和性质，熟练掌握相似三角形的判定定理和性质定理是解题的关键． 【题型二】相似三角形的判定定理1 【例2】（24-25九年级上·浙江杭州·期末）如图，D是边上的一点，，的平分线交边于点E，交于点F，则在下列给出的三角形中，与相似的是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查了三角形角平分线的定义，三角形外角的性质，相似三角形的判定等知识点，熟练掌握相似三角形的判定是解题的关键． 由三角形角平分线的定义可得，即，由三角形外角的性质可推出，于是可证得，且依据已知条件，无法证明、、与相似，综上，即可得出答案． 【详解】解：是的平分线， ， 即：， 又， ， ， 且依据已知条件，无法证明、、与相似， 故选：． 【举一反三】【变式1】（24-25九年级上·浙江杭州·期末）如图，在中，，点，分别在，上，，连接，，交于点．若，则图中与相似的三角形是 ． 【答案】 【分析】本题考查了等腰三角形的性质，相似三角形的判定，全等三角形的判定与性质，难度较大，解题的关键在于构造辅助线． 在上截取，，导角证明，即可证明． 【详解】解：在上截取， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴图中与相似的三角形是， 故答案为：． 【变式2】（24-25九年级上·浙江嘉兴·期末）如图，在中，是边上的一点，且． (1)求证：． (2)若，，求的长． 【答案】(1)证明见解析 (2) 【分析】本题考查了相似三角形的判定与性质，熟知相似三角形的判定定理和性质是解题关键． （1）根据“两个角分别相等的两个三角形相似”即可证明； （2）根据相似三角形的性质得到，即可求解． 【详解】（1）证明：，， ． （2）解：， ，即， ， ． 【变式3】（24-25九年级上·浙江杭州·阶段练习）如图，在中，分别是边上的点，满足； (1)求证：； (2)若，求的长． 【答案】(1)证明见解析 (2) 【分析】本题考查相似三角形的判定与性质，熟记两个三角形相似的判定定理及相似三角形性质求线段长是解决问题的关键． （1）由两个三角形相似的判定定理“两个角对应相等的两个三角形相似”判定即可得证； （2）由（1）中三角形相似得到，代值求解即可得到答案． 【详解】（1）证明：， ； （2）解：由（1）知， ， ，解得． 【题型三】相似三角形的判定定理2 【例3】（24-25九年级上·浙江杭州·期末）如图，中，点D在上，连接．已知，，， 求证：． 【答案】证明见解析 【分析】本题考查相似三角形的判定，根据已知线段的长度，推出，利用两边对应成比例，夹角相等的两个三角形相似，即可得证． 【详解】证明：∵，，． ∴，， ∴，即， 又， ∴． 【举一反三】【变式1】（24-25九年级上·浙江温州·阶段练习）如图，在中，，是边上一点，且． (1)求证：． (2)若，，求的长． 【答案】(1)证明见解析 (2) 【分析】本题考查相似三角形的判定与性质，直角三角形的性质，熟练掌握相似三角形的判定方法和性质是解题的关键． （1）直接利用两边成比例，夹角相等的两个三角形相似判定即可； （2）先利用相似性质得出，再分别在两个直角三角形和中，利用角所对的直角边等于斜边的一半求解即可． 【详解】（1）证明：∵，， ∴； （2）解：∵，， ∴， ∵， ∴，， 又∵， ∴， ∴． 【变式2】如图，D是的边上的一点，，，，求证：． 【答案】见解析 【分析】本题考查了相似三角形的判定定理，先根据，，求出的长，再根据，即可得出结论． 【详解】证明：∵，， ∴， ∵， ∴， ∵为公共角， ∴． 【变式3】如图，在中，点D在上，连接，．求证：． 【答案】见详解 【分析】该题主要考查了相似三角形的判定，关键是掌握相似三角形的判定定理． 根据题意得出，根据两边对应成比例，且夹角相等的两个三角形相似即可证明． 【详解】证明：∵， ∴， ∵， ∴． 【题型四】相似三角形的判定定理3 【例4】（24-25九年级上·浙江宁波·期中）如图，在大小为的正方形网格中，是相似三角形的是（   ） A．①和② B．②和③ C．②和④ D．①和④ 【答案】D 【分析】本题考查勾股定理，相似三角形的判定，掌握相似三角形的定理是解题关键．利用勾股定理分别求出每个三角形的三边长，再根据两三角形的三组对应边的比例相等，则这两个三角形相似判断即可． 【详解】解：①中三角形三边分别为，2，， ②中三角形三边分别为，3，， ③中三角形三边分别为，，， ④中三角形三边分别为2，，， ∵， ∴是相似三角形的是①和④． 故选D． 【举一反三】【变式1】（24-25九年级上·浙江杭州·期末）如图，在方格中，点，，，，点均在格点上，若与相似，则符合条件的格点是（   ） A．点 B．点 C．点 D．点 【答案】C 【分析】本题考查了网格与勾股定理、相似三角形的判定，先分别算出每条边的长度，再根据三边成比例进行判定两个三角形相似，据此进行作答即可． 【详解】解：依题意，，，， 则 ∵， ∴与不相似， 故A选项不符合题意； 则 ∵， ∴与不相似， 故B选项不符合题意； 则 ∵， ∴与相似， 故C选项符合题意； 则 ∵， ∴与不相似， 故D选项不符合题意； 故选：C． 【变式2】（24-25九年级上·浙江宁波·期末）如图4正方形方格中的两个和的顶点都是格点． (1)求证：； (2)在该网格中画一个顶点都是格点的三角形，要求与相似且面积最小． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【分析】本题考查了相似三角形的判定． （1）利用勾股定理求得各边的长，再利用三边对应成比例的两个三角形是相似三角形即可证明； （2）同（1）作出图形即可． 【详解】（1）解：设网格中每个小正方形的边长为1，则 ，，，，，， ∴， ∴； （2）解：如图，就是所求的三角形． ． 【变式3】（24-25九年级上·浙江绍兴·期末）如图是由边长为1的小正方形组成的网格，A，B，C三点均在格点上． (1)分别求与的值． (2)在网格中画，使A，B，E三点组成的三角形与相似．（只需画出一个） 【答案】(1)， (2)见解析 【分析】本题考查了勾股定理，相似三角形的判定： （1）利用勾股定理求出的值，然后求比值即可； （2）利用勾股地理和相似三角形的判定方法画图即可． 【详解】（1）解：∵ ∴， （2）解：如图 ∵，， ∴， ∴． 当点E在点处时，同理可证． 好题必刷 一、单选题 1．（22-23九年级上·浙江杭州·期末）如图，能使成立的条件是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据相似三角形的判定求解即可． 【详解】解：由题意得，， 若添加，利用两边及其夹角法可判断，故本选项符合题意； A、B、D均不能判定，故不符合题意； 故选：C． 【点睛】本题考查相似三角形的判定，熟知相似三角形的判定定理是解题的关键． 2．（23-24九年级上·浙江杭州·阶段练习）如图，在中，，，，将沿图中的虚线剪开，剪下的阴影三角形与原三角形不相似的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了相似三角形的判定，熟练掌握相似三角形的判定定理是解题的关键． 根据“两角分别相等的两个三角形相似”证明，可判断A不符合题意； 根据平行线截得的三角形与原三角形有两个角相等，故两三角形相似，可判断B不符合题意； 根据“两边成比例且夹角相等的两个三角形相似”证明，可判断C不符合题意； 由对应成比例的边所夹的角不相等，可知阴影三角形与原三角形不相似，可判断D符合题意，于是得到问题的答案． 【详解】解：A、阴影部分的三角形与原三角形有两个角相等，故两三角形相似，故本选项不符合题意； B、根据平行线截得的三角形与原三角形有两个角相等，故两三角形相似，故本选项不符合题意； C、且，两三角形对应边成比例且夹角相等，故两三角形相似，故本选项不符合题意； D、，阴影三角形已知两边所夹的角是，原三角形已知两边所夹的角是 ， ，故两三角形不相似，故本选项符合题意； 故答案为D． 3．（23-24九年级上·浙江杭州·阶段练习）在下列方格纸中，画出了一些顶点在格点上的三角形，其中与相似的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了勾股定理及其逆定理，相似三角形的判定，熟练掌握相似三角形的判定定理是解题关键．先证明三角形是直角三角形，再利用长直角边与短直角边的比值逐一判断，即可得到答案． 【详解】解：由题意可知，，， A、∵三条边长分别为，，，，则该三角形不是直角三角形，不符合题意， B、∵三条边长分别为，，，， ∴此三角形为直角三角形，且短直角边与长直角边之比为， 故此三角形与相似，符合题意； C、∵三条边长分别为2，3，，， ∴此三角形为直角三角形，但短直角边与长直角边之比为， 故不能证明相似，不符合题意； D、∵三条边长分别为，，，， ∴此三角形为直角三角形，但短直角边与长直角边之比为， 故不能证明相似，不符合题意； 故选：B． 4．（22-23九年级上·浙江·阶段练习）如图，已知圆的内接四边形，边与的延长线交于点Q，对角线与交于点P．有下列结论：①；②；③；④，其中正确的是（    ） A．②③④ B．①③ C．①②④ D．②③ 【答案】C 【分析】本题主要考查了相似三角形的判定，圆内接四边形的性质，同弧所对的圆周角相等，熟练掌握相似三角形的判定方法是解题的关键．根据相似三角形的判定定理可得出结论． 【详解】解：∵， ∴，故①正确； ∵， ∴，故②正确； ∵，但是与不一定相等， ∴不一定成立，故③错误； ∵四边形是圆内接四边形， ∴， ∵， ∴， 又∵， ∴，故④正确； 故选：C． 二、填空题 5．（22-23九年级上·浙江绍兴·期末）图中的两个三角形是否相似， （填“是”或“否”）. 【答案】是 【分析】先根据三角形的内角和定理求得第一个三角形的第三个内角的度数，根据相似三角形的判定即可解答． 【详解】解：如图，第一个三角形的第三个内角的度数为， 根据有两个角对应相等的两个三角形相似得这两个三角形相似， 故答案为：是 【点睛】本题考查相似三角形的判定、三角形的内角和定理，熟练掌握相似三角形的判定是解答的关键． 6．（24-25九年级上·浙江宁波·期中）如图，在三角形纸片中，，，．将沿图示中的虚线剪开，剪下的阴影三角形与原三角形相似的有 ．（请在横线上填上符合条件的序号） 【答案】①②④ 【分析】本题考查的是相似三角形的判定，熟知相似三角形的判定定理是解答此题的关键．根据相似三角形的判定定理对各选项进行逐一判定即可． 【详解】解：①阴影部分的三角形与原三角形有两个角相等，故两三角形相似； ②阴影部分的三角形与原三角形有两个角相等，故两三角形相似； ③两三角形的对应边不成比例，故两三角形不相似； ④两三角形对应边成比例且夹角相等，故两三角形相似． 故答案为：①②④． 7．（24-25九年级上·浙江温州·阶段练习）如图，在四边形中，平分，，，，则的长为 ． 【答案】 【分析】本题考查了相似三角形的判定与性质，熟练掌握相似三角形的判定与性质是解题的关键．根据两个角对应相等的两个三角形相似，证明，然后根据相似三角形的性质得到，再将，代入计算，即得答案． 【详解】解：平分， ， ， ， ， ， ． 故答案为：． 三、解答题 8．（22-23九年级上·浙江金华·阶段练习）如图，在中，点D，E，F分别在上，．设， (1)证明： (2)求的长． 【答案】(1)见解析； (2)4． 【分析】（1）利用可直接得到； （2）利用平行线分线段成比例可得：，从而代入求解即可． 【详解】（1）证明：∵， ∴． （2）∵， ． ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴． 【点睛】本题考查相似三角形的判定与平行线分线段成比例，掌握由平行判断相似的方法和平行线分线段成比例定理是解题的关键． 9．（24-25九年级上·浙江宁波·期末）在边长为1的小正方形网格中，的顶点、、均落在格点（小正方形的顶点）上，请只用无刻度的直尺按要求完成作图． (1)将绕点按逆时针方向旋转，得到，请在图1中作出．（点与点是对应点） (2)请在图2中画一个三角形，使得该三角形与相似（不全等）． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【分析】本题主要考查了旋转作图，相似三角形的判定，解题的关键是熟练掌握旋转的性质和相似三角形的判定定理． （1）根据旋转的性质，先作出点B、C的对应点、，然后再顺次连接即可； （2）根据相似三角形的判定求解即可． 【详解】（1）解：如图所示，为所求作的三角形； （2）解：如图所示， 10．（23-24九年级上·浙江台州·期中）如图，在中，，，求证：．    【答案】见解析 【分析】本题考查了相似三角形的判定：有两组角对应相等的两个三角形相似．根据已知条件得到四边形是平行四边形，根据平行四边形的性质得到，根据平行线的性质得，，根据相似三角形的判定方法可得到． 【详解】证明：，， 四边形是平行四边形， ， ， ， ， ． 11．（22-23九年级上·浙江绍兴·期中）如图，已知，． (1)求的长； (2)求证：． 【答案】(1) (2)见解析 【分析】（1）利用勾股定理求出，再用即可求出的长； （2）先求出的长，得到，再根据，即可得证． 【详解】（1）解：∵， ∴， ∴； （2）证明：∵，， ∴， ∵，， ∴， ∵， ∴． 【点睛】本题考查勾股定理，相似三角形的判定．熟练掌握勾股定理，相似三角形的判定方法，是解题的关键． 1 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第14讲 相似三角形的判定 题型梳理 易错分析 易错点一 相似三角形对应边、对应角不确定时未分类讨论致错 题型方法 题型一 相似三角形的预备定理 题型二 相似三角形的判定定理1 题型三 相似三角形的判定定理2 题型四 相似三角形的判定定理3 知识清单 知识点1.判定三角形相似的预备定理（重点） 平行于三角形的一边的直线与其他两边相交，所构成的三角形与原三角形相似； 这是判定三角形相似的一种基本方法．相似的基本图形可分别记为“A”型和“X”型，如图所示在应用时要善于从复杂的图形中抽象出这些基本图形． 知识点2.三角形相似的判定定理1（重点） 如果一个三角形的两角与另一个三角形的两角对应相等，那么这两个三角形相似． 可简述为：两角对应相等，两个三角形相似． 如图，在与中，如果、，那么． A B C A1 B1 C1 要点诠释： 　　要判定两个三角形是否相似，只需找到这两个三角形的两个对应角相等即可，对于直角三角形而言，若有一个锐角对应相等，那么这两个三角形相似. 知识点3.三角形相似的判定定理2（重点）（难点） 如果一个三角形的两边与另一个三角形的两边对应成比例，并且夹角相等，那么这两个三角形相似． 可简述为：两边对应成比例且夹角相等，两个三角形相似． 如图，在与中，，，那么． A B C A1 B1 C1 要点诠释： 　　此方法要求用三角形的两边及其夹角来判定两个三角形相似，应用时必须注意这个角必需是两边的夹角，否则，判断的结果可能是错误的. 知识点4.三角形相似的判定定理3（重点） 如果一个三角形的三条边与另一个三角形的三条边对应成比例，那么这两个三角形相似． 可简述为：三边对应成比例，两个三角形相似． 如图，在与中，如果，那么∽． A B C A1 B1 C1 易错分析 【易错点一】相似三角形对应边、对应角不确定时未分类讨论致错 【例1】如图，在中，，，D为上一点，且，在上取一点E，若以A、D、E为顶点的三角形与相似，则的长为（　　） A．8 B． C．8或 D．8或 【举一反三】【变式1】（22-23九年级上·浙江杭州·期末）已知在中，，D，E分别是边上的点，且．若和相似，则（　　） A．5 B．3 C． D．3或 【变式2】（23-24九年级上·浙江宁波·期末）如图，在中，，已知点D为的中点，点E在线段上，连结，若与相似，则的值为 ． 【变式3】（2022九年级上·浙江·专题练习）如图，在矩形中，，P是边上的一个动点，则当与相似时， ． 题型方法 【题型一】相似三角形的预备定理 【例1】（23-24九年级上·浙江·阶段练习）如图，点D，E，F在的边上，，．下列结论中正确的是（    ） A． B． C． D． 【举一反三】【变式1】（21-22九年级上·浙江绍兴·期末）如图，在中，，则下列比例式不一定正确的是（    ） A． B． C． D． 【变式2】（22-23九年级上·浙江·单元测试）如图，中，是边上一点，交于点，连接，交于点，则下列结论正确的是（   ） A． B． C． D． 【变式3】（21-22九年级上·浙江宁波·期中）如图，在平行四边形ABCD中，E是BA延长线上一点，CE与AD、BD分别交于点G、F．则下列说法错误的是（        ） A． B． C． D． 【题型二】相似三角形的判定定理1 【例2】（24-25九年级上·浙江杭州·期末）如图，D是边上的一点，，的平分线交边于点E，交于点F，则在下列给出的三角形中，与相似的是（   ） A． B． C． D． 【举一反三】【变式1】（24-25九年级上·浙江杭州·期末）如图，在中，，点，分别在，上，，连接，，交于点．若，则图中与相似的三角形是 ． 【变式2】（24-25九年级上·浙江嘉兴·期末）如图，在中，是边上的一点，且． (1)求证：． (2)若，，求的长． 【变式3】（24-25九年级上·浙江杭州·阶段练习）如图，在中，分别是边上的点，满足； (1)求证：； (2)若，求的长． 【题型三】相似三角形的判定定理2 【例3】（24-25九年级上·浙江杭州·期末）如图，中，点D在上，连接．已知，，， 求证：． 【举一反三】【变式1】（24-25九年级上·浙江温州·阶段练习）如图，在中，，是边上一点，且． (1)求证：． (2)若，，求的长． 【变式2】如图，D是的边上的一点，，，，求证：． 【变式3】如图，在中，点D在上，连接，．求证：． 【题型四】相似三角形的判定定理3 【例4】（24-25九年级上·浙江宁波·期中）如图，在大小为的正方形网格中，是相似三角形的是（   ） A．①和② B．②和③ C．②和④ D．①和④ 【举一反三】【变式1】（24-25九年级上·浙江杭州·期末）如图，在方格中，点，，，，点均在格点上，若与相似，则符合条件的格点是（   ） A．点 B．点 C．点 D．点 【变式2】（24-25九年级上·浙江宁波·期末）如图4正方形方格中的两个和的顶点都是格点． (1)求证：； (2)在该网格中画一个顶点都是格点的三角形，要求与相似且面积最小． 【变式3】（24-25九年级上·浙江绍兴·期末）如图是由边长为1的小正方形组成的网格，A，B，C三点均在格点上． (1)分别求与的值． (2)在网格中画，使A，B，E三点组成的三角形与相似．（只需画出一个） 好题必刷 一、单选题 1．（22-23九年级上·浙江杭州·期末）如图，能使成立的条件是（    ） A． B． C． D． 2．（23-24九年级上·浙江杭州·阶段练习）如图，在中，，，，将沿图中的虚线剪开，剪下的阴影三角形与原三角形不相似的是（   ） A． B． C． D． 3．（23-24九年级上·浙江杭州·阶段练习）在下列方格纸中，画出了一些顶点在格点上的三角形，其中与相似的是（    ） A． B． C． D． 4．（22-23九年级上·浙江·阶段练习）如图，已知圆的内接四边形，边与的延长线交于点Q，对角线与交于点P．有下列结论：①；②；③；④，其中正确的是（    ） A．②③④ B．①③ C．①②④ D．②③ 二、填空题 5．（22-23九年级上·浙江绍兴·期末）图中的两个三角形是否相似， （填“是”或“否”）. 6．（24-25九年级上·浙江宁波·期中）如图，在三角形纸片中，，，．将沿图示中的虚线剪开，剪下的阴影三角形与原三角形相似的有 ．（请在横线上填上符合条件的序号） 7．（24-25九年级上·浙江温州·阶段练习）如图，在四边形中，平分，，，，则的长为 ． 三、解答题 8．（22-23九年级上·浙江金华·阶段练习）如图，在中，点D，E，F分别在上，．设， (1)证明： (2)求的长． 9．（24-25九年级上·浙江宁波·期末）在边长为1的小正方形网格中，的顶点、、均落在格点（小正方形的顶点）上，请只用无刻度的直尺按要求完成作图． (1)将绕点按逆时针方向旋转，得到，请在图1中作出．（点与点是对应点） (2)请在图2中画一个三角形，使得该三角形与相似（不全等）． 10．（23-24九年级上·浙江台州·期中）如图，在中，，，求证：．    11．（22-23九年级上·浙江绍兴·期中）如图，已知，． (1)求的长； (2)求证：． 1 学科网（北京）股份有限公司 $$