专题17 电磁学计算（湖南专用）-【好题汇编】5年（2021-2025）高考1年模拟物理真题分类汇编

专题17 电磁学计算 考点 五年考情（2021-2025） 命题趋势 考点1 恒定电流 2022 五年考情凸显磁场的核心高频地位，命题趋势聚焦多场耦合的动力学建模、电磁能量转化的定量追踪的深度解析。试题设计显著强化带电粒子在复合电磁场中的轨迹控制，结合几何关系求解圆形磁场边界内的偏转半径与射出角度；电磁感应问题更趋动态综合，涉及导体棒在时变磁场中的变速切割运动，要求分段推导感应电动势瞬时值，分析安培力阻碍作用导致的变加速过程，同时结合焦耳定律定量计算多级电阻系统的热能分布；恒定电流考查侧重电路优化设计，如通过基尔霍夫定律求解多网孔含容电路的暂态电流分布。工程应用紧密追踪前沿科技，如分析磁流体推进舰船的推力功率转换效率；能力要求上，突出数学工具的工程化应用与逻辑推理的严谨性。 考点2 磁场 2025、2024、2021 考点3 电磁感应 2023 考点01 恒定电流 1．（2022·湖南·高考）如图，两个定值电阻的阻值分别为和，直流电源的内阻不计，平行板电容器两极板水平放置，板间距离为，板长为，极板间存在方向水平向里的匀强磁场。质量为、带电量为的小球以初速度沿水平方向从电容器下板左侧边缘点进入电容器，做匀速圆周运动，恰从电容器上板右侧边缘离开电容器。此过程中，小球未与极板发生碰撞，重力加速度大小为，忽略空气阻力。 （1）求直流电源的电动势； （2）求两极板间磁场的磁感应强度； （3）在图中虚线的右侧设计一匀强电场，使小球离开电容器后沿直线运动，求电场强度的最小值。 考点02 磁场 2．（2025·湖南·高考）如图。直流电源的电动势为，内阻为，滑动变阻器R的最大阻值为，平行板电容器两极板水平放置，板间距离为d，板长为，平行板电容器的右侧存在方向垂直纸面向里的匀强磁场。闭合开关S，当滑片处于滑动变阻器中点时，质量为m的带正电粒子以初速度水平向右从电容器左侧中点a进入电容器，恰好从电容器下极板右侧边缘b点进入磁场，随后又从电容器上极板右侧边缘c点进入电容器，忽略粒子重力和空气阻力。 (1)求粒子所带电荷量q； (2)求磁感应强度B的大小； (3)若粒子离开b点时，在平行板电容器的右侧再加一个方向水平向右的匀强电场，场强大小为，求粒子相对于电容器右侧的最远水平距离。 3．（2024·湖南·高考）如图，有一内半径为2r、长为L的圆筒，左右端面圆心O′、O处各开有一小孔。以O为坐标原点，取O′O方向为x轴正方向建立xyz坐标系。在筒内x ≤ 0区域有一匀强磁场，磁感应强度大小为B，方向沿x轴正方向；筒外x ≥ 0区域有一匀强电场，场强大小为E，方向沿y轴正方向。一电子枪在O′处向圆筒内多个方向发射电子，电子初速度方向均在xOy平面内，且在x轴正方向的分速度大小均为v0。已知电子的质量为m、电量为e，设电子始终未与筒壁碰撞，不计电子之间的相互作用及电子的重力。 （1）若所有电子均能经过O进入电场，求磁感应强度B的最小值； （2）取（1）问中最小的磁感应强度B，若进入磁场中电子的速度方向与x轴正方向最大夹角为θ，求tanθ的绝对值； （3）取（1）问中最小的磁感应强度B，求电子在电场中运动时y轴正方向的最大位移。 4．（2021·湖南·学业水平选择性）带电粒子流的磁聚焦和磁控束是薄膜材料制备的关键技术之一、带电粒子流（每个粒子的质量为、电荷量为）以初速度垂直进入磁场，不计重力及带电粒子之间的相互作用。对处在平面内的粒子，求解以下问题。 （1）如图（a），宽度为的带电粒子流沿轴正方向射入圆心为、半径为的圆形匀强磁场中，若带电粒子流经过磁场后都汇聚到坐标原点，求该磁场磁感应强度的大小； （2）如图（a），虚线框为边长等于的正方形，其几何中心位于。在虚线框内设计一个区域面积最小的匀强磁场，使汇聚到点的带电粒子流经过该区域后宽度变为，并沿轴正方向射出。求该磁场磁感应强度的大小和方向，以及该磁场区域的面积（无需写出面积最小的证明过程）； （3）如图（b），虚线框Ⅰ和Ⅱ均为边长等于的正方形，虚线框Ⅲ和Ⅳ均为边长等于的正方形。在Ⅰ、Ⅱ、Ⅲ和Ⅳ中分别设计一个区域面积最小的匀强磁场，使宽度为的带电粒子流沿轴正方向射入Ⅰ和Ⅱ后汇聚到坐标原点，再经过Ⅲ和Ⅳ后宽度变为，并沿轴正方向射出，从而实现带电粒子流的同轴控束。求Ⅰ和Ⅲ中磁场磁感应强度的大小，以及Ⅱ和Ⅳ中匀强磁场区域的面积（无需写出面积最小的证明过程）。 考点03 电磁感应 5．（2023·湖南·高考）如图，两根足够长的光滑金属直导轨平行放置，导轨间距为，两导轨及其所构成的平面均与水平面成角，整个装置处于垂直于导轨平面斜向上的匀强磁场中，磁感应强度大小为．现将质量均为的金属棒垂直导轨放置，每根金属棒接入导轨之间的电阻均为。运动过程中金属棒与导轨始终垂直且接触良好，金属棒始终未滑出导轨，导轨电阻忽略不计，重力加速度为。   （1）先保持棒静止，将棒由静止释放，求棒匀速运动时的速度大小； （2）在（1）问中，当棒匀速运动时，再将棒由静止释放，求释放瞬间棒的加速度大小； （3）在（2）问中，从棒释放瞬间开始计时，经过时间，两棒恰好达到相同的速度，求速度的大小，以及时间内棒相对于棒运动的距离。    1．（2025·湖南株洲·一模）如图，电源电动势E=15V，内阻不计，两个定值电阻R1=20Ω，R2=40Ω，平行板电容器电容C=1μF，其极板长l=3.0cm，两极板间距d=1.0cm，下极板接地。将开关S闭合，电子枪发射一电子沿极板中轴线射入极板，刚好打在上极板中点。已知电子电量e=1.6×10−19C，电子质量m=9×10−31kg，电子重力不计。 (1)求电容器所带电荷量Q； (2)求电子初速度v0； (3)断开开关S，让电子枪源源不断的沿中轴线发射电子，假设落到极板上的电子都能够被完全吸收，求能打在极板上的总电子数。 2．（2025·湖南邵阳·一模）如图甲所示，空间存在两边界为同轴圆柱面的电磁场区域Ⅰ、Ⅱ，区域Ⅱ位于区域Ⅰ外侧，圆柱面的轴线沿空间直角坐标系Oxyz的x轴方向。半径的足够长水平圆柱形区域Ⅰ内分布着沿x轴正方向的匀强磁场，磁感应强度大小；沿x轴正方向观察电磁场分布如图乙，宽度的区域Ⅱ同时存在电、磁场，电场强度的匀强电场沿x轴正方向，磁场的磁感应强度大小也为、磁感线与圆弧边界平行且沿顺时针方向，沿y轴负方向观察电磁场分布如图丙，比荷的带正电粒子，从坐标为的A点以一定初速度沿z轴负方向进入且能沿直线通过区域Ⅱ。（不计粒子的重力和空气阻力） (1)求大小以及它在区域Ⅰ中运动的半径； (2)若撤去区域Ⅱ的电场，求该粒子以速度从进入区域Ⅱ到离开区域Ⅰ运动的总时间。 3．（2025·湖南·一起考·高三下·一模）如图所示，平行光滑金属导轨固定在水平面上，导轨宽为L，导轨所在空间有竖直向下的匀强磁场，磁感应强度大小为B，两金属杆质量均为m，两金属杆连入电路部分的电阻均为R，0时刻、2杆静止，同时给1杆水平向右的初速度，则： (1)两杆最终的速度是多少？ (2)设t时刻两杆的速度已经稳定，则0~t时间内两杆对地的位移分别是多大？ 4．（24-25高三·湖南常德·二模）如图所示，在平面直角坐标系中，第二象限有一过坐标原点的曲线，该曲线及其上方有竖直向下的匀强电场。曲线上每个位置可连续发射质量为、电荷量为的粒子，粒子均以大小为的初速度水平向右射入电场，所有粒子均能到达原点，曲线上A点离轴的距离为，电场强度大小为。第四象限内（含边界）存在垂直于纸面向外、磁感应强度大小为的匀强磁场，为平行于轴且足够大的荧光屏，荧光屏可以上下移动，不计粒子重力及粒子间的相互作用，粒子打到荧光屏上即被吸收。 (1)求图中曲线方程； (2)若粒子运动中不会与荧光屏相碰，求从A点发射的粒子在磁场中运动时间； (3)若将荧光屏缓慢上下移动，求从A点至点发射的粒子打在荧光屏上的发光点间的最大距离。 5．（24-25高三·湖南郴州·三测）如图，xOy平面内有大量质子从原点O在180°的范围内连续以相同速率v0向y轴右侧发射，右侧足够远处放置与x轴垂直且足够大的荧光屏，O在荧光屏上的投影点为O'。现在第I象限和第IV象限一定范围内分别施加一个垂直于xOy平面的区域匀强磁场（磁场大小相同、方向不同），使得所有质子都垂直打在荧光屏上CC'范围内，已知O'C=O'C'=R。忽略质子间的相互作用，已知质子质量为m、电荷量为e，求： (1)磁场在第I象限的方向和大小； (2)在I、IV象限所加磁场的最小总面积。 6．(24-25高三下·湖南沅澧共同体·一模)理想变压器原、副线圈的匝数比为，原线圈接在电压峰值为的正弦交变电源上，副线圈的回路中接有阻值为R的电热丝，电热丝密封在绝热固定容器内，容器内封闭有一定质量的理想气体，接通电路开始加热，加热前气体温度为。 (1)求变压器的输出功率P； (2)已知该容器内的气体吸收的热量Q与其温度变化量成正比，即，其中C已知。若电热丝产生的热量全部被气体吸收，要使容器内的气体压强达到加热前的2倍，求电热丝的通电时间t。 7．（2025·湖南长沙雅礼中学·一模）如图所示，电阻不计的金属导轨和平行等高正对放置，导轨左右两侧相互垂直，左侧两导轨粗糙，右侧两导轨光滑且与水平面的夹角，两组导轨均足够长。整个空间存在平行于左侧导轨的匀强磁场。导体棒Q在外力作用下静置于左侧导轨上并保持水平，其与导轨间的动摩擦因数。导体棒P水平放置于右侧导轨上，两导体棒的质量均为m，电阻相等。时起，对导体棒P施加沿斜面向下的随时间变化的拉力（k已知），使其由静止开始做匀加速直线运动，同时撤去对Q的外力，导体棒Q开始沿轨道下滑。已知两导体棒与导轨始终垂直且接触良好，重力加速度为g，最大静摩擦力等于滑动摩擦力。（，） (1)求导体棒P的加速度； (2)求时导体棒Q加速度的大小； (3)求导体棒Q最大速度的大小。 8．(24-25高三下·湖南怀化多校联考·三模)如图，在坐标系内，第一象限有垂直纸面向外的匀强磁场，第二象限有沿轴正方向的匀强电场，电场强度大小为。一质量为、电荷量为的带电粒子从轴上的点以速度沿与轴正方向成角的方向射入磁场，恰好垂直于轴射出磁场进入电场，不计粒子重力，求： (1)磁感应强度的大小； (2)粒子再次经过轴时的坐标及粒子的速度大小。 9．（24-25高三下·湖南·大联考二模）如图所示，在x轴原点О位置有一粒子源，可以释放出初速度为零的带正电的粒子，粒子的质量为m，电荷量为q。释放后的粒子受到半圆形区域I中电场的作用，区域内各点的电场方向始终沿径向指向半圆形区域I边缘﹐电场强度的大小恒定为，半圆形区域Ⅰ的半径为r。随后带电粒子进入垂直纸面向外的匀强磁场区域Ⅱ﹐磁场区域Ⅱ是一个以O'为圆心，半径为2r的圆形区域，与半圆形区域Ⅰ重叠部分没有磁场，O'点在О点正上方，O'O=，磁感应强度的大小为。在x=3r的位置有一块竖直放置的屏幕，带电粒子运动至屏幕后被屏幕吸收。 (1)求带电粒子由电场中进入磁场时的速度大小以及带电粒子在磁场区域中做圆周运动的半径； (2)一带电粒子离开电场时的速度方向与x轴负方向的夹角为60°，求该带电粒子离开磁场区域时的速度方向以及与x轴之间的竖直距离； (3)求第（2）问中的带电粒子运动的总时间。 10．（25届·怀化·二模）间距为的光滑平行金属直导轨，水平放置在磁感应强度大小为、方向垂直轨道平面向下的匀强磁场中。一质量为、电阻值为的金属棒静止垂直放在导轨之间，导轨右侧足够长，左侧如图所示，已知电源可提供大小恒为的直流电流，电阻，电容大小为（初始时刻不带电）。电路中各部分与导轨接触良好，导轨电阻不计且在运动过程中与始终与导轨垂直，开关的切换可在瞬间完成。 (1)当开关与电源接通时，棒中电流由流向，求此时棒的加速度大小和方向。 (2)当金属棒加速到时，开关瞬间与接通，此时金属棒内自由电子沿棒定向移动的速度为。经过一段时间，自由电子沿棒定向移动的速率变为，棒内定向移动的自由电子总数不变，求该段时间内一直在金属棒内运动的自由电子沿金属棒定向移动的距离。 (3)当金属棒速度为时，开关瞬间与接通，同时给金属棒一水平外力使其做匀速运动。某时刻外力的功率为定值电阻功率的3倍，求此时刻电容器两端电压及从开关接通到此时刻外力做的功。 11．（2025·湖南岳阳·高三下二模）如图所示，质量为，边长为，阻值为且均匀分布的正方形金属框，位于光滑的水平面上。金属框的边与磁场左边界平行，运动方向与磁场左边界垂直。图甲和图乙中的磁场为匀强磁场，大小为，方向垂直水平面向下。图丙中沿正方向存在按均匀增大的稳恒磁场（是单位为的已知常量，为坐标值）。 (1)如图甲，给金属框一初速度，则金属框刚进磁场时，求边所受的安培力的大小； (2)如图乙，给金属框一变力，使金属框从图示位置由静止开始做匀加速直线运动。在进入磁场的过程中，力随时间的变化率为定值。求金属框的加速度大小； (3)如图丙，给金属框一初速度，使金属框从图示位置开始向右运动，求停止运动时边的坐标值。 12．（24-25高三·湖南邵阳·二联考）某种离子诊断测量简化装置如图所示，竖直平面内存在边界为矩形MNPQ、方向垂直纸面向里、磁感应强度大小为的水平匀强磁场，探测板平行于竖直放置，能沿水平方向左右缓慢移动且接地。a、b、c为三束宽度不计、间距均为的离子束，离子均以相同速度持续从边界竖直向上射入磁场，束中的离子在磁场中沿半径为的四分之一圆弧运动后从右边界水平射出，并打在探测板的上边缘点。已知每束每秒射入磁场的离子数均为，探测板的长度为，离子质量均为、电荷量均为，不计重力及离子间的相互作用，。 (1)求离子速度的大小； (2)a、c两束中同时进入磁场的两个离子，求它们打在探测板上的时间差； (3)若打到探测板上的离子被全部吸收，求离子束对探测板的平均作用力的水平分量与板到距离的关系。 13．（2025·湖南长沙·湖南师大附中·高三下·一模）如图，固定在地面上的木板和半径为的圆弧槽刚好接触，圆弧槽凹侧和底面光滑，各物块与木板上表面间动摩擦因数均为。圆弧槽右侧通过不计质量的细杆与一压力传感器相连。从点向左，每隔放置一小物块，编号依次为1、2、3、4，质量均为，物块4与一劲度系数为的弹簧（处于原长）相连，物块4左侧木板表面光滑，弹簧左端连在木板左端。圆弧槽左侧空间有方向向左的匀强电场。一质量为、电荷量为的外表绝缘小物块从圆弧槽顶点处无初速度释放。已知当弹簧形变量为时，弹性势能为，重力加速度为。求： (1)带电小物块下滑过程压力传感器的最大示数； (2)若所有碰撞均为弹性碰撞，在的前提下，施加电场的强度多大时才能使弹簧的最大压缩量也为？ (3)先将1、2、3号物块拿掉，若带电物块与4为完全非弹性碰撞，施加电场的强度多大才能使弹簧的最大压缩量也为？ 14．（2025·湖南永州·三模）如图，水平面上固定有足够长的平行导轨P、Q，导轨间存在方向竖直向下，大小为B（大小未知）的匀强磁场，且导轨间距足够大。有一质量为M的圆筒垂直导轨放置，长度略小于导轨内侧间距（可认为相等），a端封闭，b端开口，能沿导轨自由滑动。另有一质量为m，带电量为q（q>0）的小球（直径大小可忽略不计）能沿圆筒自由移动。圆筒不会屏蔽磁场，小球不发生电荷转移，忽略一切摩擦及空气阻力。 (1)先撤去圆筒，将小球紧贴导轨Q并给其与导轨Q夹角为37°的初速度，如图甲，若小球没有离开磁场，且与导轨Q最大距离为1.8L，求磁感应强度B的大小； (2)若B为（1）中所求，现装上圆筒，若M=m，将小球放入筒中靠近b端处，给圆筒中心施加大小为1.5mg，方向平行于导轨向右的恒力F，如图乙，求F作用距离为L时小球速度大小； (3)若，装上圆筒，将小球放入圆筒中且与导轨P的距离为L，现给小球与圆筒一个平行于导轨向右的相同初速度，如图丙。当小球与导轨a端发生碰撞时，平行于导轨方向的速度不变，垂直于导轨的速度反向且大小变为碰前的e倍（0<e<1），请计算： ①在与a端发生第n次碰撞到第n+1次碰撞期间，小球与P导轨的最大距离。 ②从小球开始运动到①中与P导轨的最大距离时，小球在平行导轨方向所经过的位移大小。 15．（25届高三下·湖南长沙邵阳多校联考·三模）如图所示，在平面直角坐标系xOy的第二象限内放置有如图所示的两块极板，极板厚度不计，第一、四象限有垂直纸面向外匀强磁场，磁感应强度大小为，第三象限也有垂直纸面向外的匀强磁场，磁感应强度大小为。已知两极板间距为4d，极板的长度为d，现给极板加上电压，从上极板的左端位置以沿x轴正方向的初速度发射一电荷量为+q、质量为m的带正电粒子，粒子从y=2d处进入磁场。不计粒子的重力，，求： (1)上极板的电性及电压U的大小； (2)若在极板间再加一垂直纸面向里匀强磁场，则粒子在极板间经过多长时间竖直方向速度大小是水平方向速度大小的； (3)若有一线状粒子源放置在y轴2d≤y≤4d区域水平向右发射速度为与题中相同的粒子进入磁场，且所有粒子能够始终在磁场中运动，现用一平行x轴的挡板去遮挡粒子，要在磁场区域内挡住所有粒子，挡板长度的最小值为多少。 16．（2025·湖南娄底·高三下二模）如图，在坐标系内，有几个电磁场区域，在的上方有一个垂直平面向里的匀强磁场区域，圆心为，磁感应强度，在到轴之间，有一个沿轴正向的匀强电场区域（图中未画出）。区域下边界与区域上边界相切在第三、四象限有一个垂直平面向外的匀强磁场区域，磁感应强度未知。为一个与等高的处于磁场区域边沿的粒子源，可以源源不断地向右侧区域各个方向发射质量为，带电量为的粒子，粒子速度大小相同都为。所有粒子均沿轴负向垂直进入区域，最右侧的粒子恰好经过原点进入区域。忽略各种场的边缘效应求： (1)点的坐标： (2)电场强度与的比值，及粒子进入区域时的速度大小； (3)若粒子从区域再次穿过轴时，区域的电场方向变为等大反向，最终所有粒子从区域与等高的点离开磁场，求区域的磁感应强度大小。 17．（25届·邵阳·三联·下）如图所示，金属板和互相平行竖直放置，形成两条狭缝，金属板上的小孔和O点共线，狭缝的电势差与狭缝的电势差均为U，一质量为m，电荷量为的粒子从小孔飘入狭缝（初速度为零），通过小孔进入金属板和P之间的区域I，区域I中存在匀强磁场和匀强电场（未画出），其中匀强磁场的磁感应强度为B，方向垂直纸面向里。粒子沿直线运动，经过进入狭缝，经O点进入金属板右侧区域II，区域II具有和区域I完全相同的电场和磁场。以O点为坐标原点，垂直于金属板向右的方向为轴正方向，平行于金属板向上的方向为轴正方向建立直角坐标系，不计粒子重力，不计粒子经过狭缝的时间。求： (1)粒子刚进入区域I时的速度大小； (2)区域I、区域II电场强度E； (3)粒子到达O点开始计时，第二次到达距轴最远处的速度和需要的时间。 / 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题17 电磁学计算 考点 五年考情（2021-2025） 命题趋势 考点1 恒定电流 2022 五年考情凸显磁场的核心高频地位，命题趋势聚焦多场耦合的动力学建模、电磁能量转化的定量追踪的深度解析。试题设计显著强化带电粒子在复合电磁场中的轨迹控制，结合几何关系求解圆形磁场边界内的偏转半径与射出角度；电磁感应问题更趋动态综合，涉及导体棒在时变磁场中的变速切割运动，要求分段推导感应电动势瞬时值，分析安培力阻碍作用导致的变加速过程，同时结合焦耳定律定量计算多级电阻系统的热能分布；恒定电流考查侧重电路优化设计，如通过基尔霍夫定律求解多网孔含容电路的暂态电流分布。工程应用紧密追踪前沿科技，如分析磁流体推进舰船的推力功率转换效率；能力要求上，突出数学工具的工程化应用与逻辑推理的严谨性。 考点2 磁场 2025、2024、2021 考点3 电磁感应 2023 考点01 恒定电流 1．（2022·湖南·高考）如图，两个定值电阻的阻值分别为和，直流电源的内阻不计，平行板电容器两极板水平放置，板间距离为，板长为，极板间存在方向水平向里的匀强磁场。质量为、带电量为的小球以初速度沿水平方向从电容器下板左侧边缘点进入电容器，做匀速圆周运动，恰从电容器上板右侧边缘离开电容器。此过程中，小球未与极板发生碰撞，重力加速度大小为，忽略空气阻力。 （1）求直流电源的电动势； （2）求两极板间磁场的磁感应强度； （3）在图中虚线的右侧设计一匀强电场，使小球离开电容器后沿直线运动，求电场强度的最小值。 【答案】（1）；（2）；（3） 【详解】（1）小球在电磁场中做匀速圆周运动，则电场力与重力平衡，可得 两端的电压 根据欧姆定律得 联立解得 （2）如图所示 设粒子在电磁场中做圆周运动的半径为，根据几何关系 解得 根据 解得 （3）由几何关系可知，射出磁场时，小球速度方向与水平方向夹角为，要使小球做直线运动，当小球所受电场力与小球重力在垂直小球速度方向的分力相等时，电场力最小，电场强度最小，可得 解得 考点02 磁场 2．（2025·湖南·高考）如图。直流电源的电动势为，内阻为，滑动变阻器R的最大阻值为，平行板电容器两极板水平放置，板间距离为d，板长为，平行板电容器的右侧存在方向垂直纸面向里的匀强磁场。闭合开关S，当滑片处于滑动变阻器中点时，质量为m的带正电粒子以初速度水平向右从电容器左侧中点a进入电容器，恰好从电容器下极板右侧边缘b点进入磁场，随后又从电容器上极板右侧边缘c点进入电容器，忽略粒子重力和空气阻力。 (1)求粒子所带电荷量q； (2)求磁感应强度B的大小； (3)若粒子离开b点时，在平行板电容器的右侧再加一个方向水平向右的匀强电场，场强大小为，求粒子相对于电容器右侧的最远水平距离。 【答案】(1) (2) (3) 【详解】（1）粒子在电容器中做类平抛运动，水平方向做匀速直线运动有 竖直方向做匀变速直线运动， 由闭合回路欧姆定律可得 联立可得 （2）粒子进入磁场与竖直方向的夹角为， 粒子在磁场中做匀速圆周运动 由几何关系易得 联立可得 （3）取一个竖直向上的速度使得其对应的洛伦兹力和水平向右的电场力平衡，则有 解得 粒子以速度向上做匀速直线运动，粒子做圆周运动的合速度的竖直方向分速度为 此时合速度与竖直方向的夹角为 合速度为 粒子做圆周运动的半径 最远距离为 3．（2024·湖南·高考）如图，有一内半径为2r、长为L的圆筒，左右端面圆心O′、O处各开有一小孔。以O为坐标原点，取O′O方向为x轴正方向建立xyz坐标系。在筒内x ≤ 0区域有一匀强磁场，磁感应强度大小为B，方向沿x轴正方向；筒外x ≥ 0区域有一匀强电场，场强大小为E，方向沿y轴正方向。一电子枪在O′处向圆筒内多个方向发射电子，电子初速度方向均在xOy平面内，且在x轴正方向的分速度大小均为v0。已知电子的质量为m、电量为e，设电子始终未与筒壁碰撞，不计电子之间的相互作用及电子的重力。 （1）若所有电子均能经过O进入电场，求磁感应强度B的最小值； （2）取（1）问中最小的磁感应强度B，若进入磁场中电子的速度方向与x轴正方向最大夹角为θ，求tanθ的绝对值； （3）取（1）问中最小的磁感应强度B，求电子在电场中运动时y轴正方向的最大位移。 【答案】（1）；（2）；（3） 【详解】（1）电子在匀强磁场中运动时，将其分解为沿x轴的匀速直线运动和在yOz平面内的匀速圆周运动，设电子入射时沿y轴的分速度大小为，由电子在x轴方向做匀速直线运动得 在yOz平面内，设电子做匀速圆周运动的半径为R，周期为T，由牛顿第二定律知 可得 且 由题意可知所有电子均能经过O进入电场，则有 联立得 当时，B有最小值，可得 （2）将电子的速度分解，如图所示 有 当有最大值时，最大，R最大，此时，又 ， 联立可得 ， （3）当最大时，电子在电场中运动时沿y轴正方向有最大位移，根据匀变速直线运动规律有 由牛顿第二定律知，又 联立得 4．（2021·湖南·学业水平选择性）带电粒子流的磁聚焦和磁控束是薄膜材料制备的关键技术之一、带电粒子流（每个粒子的质量为、电荷量为）以初速度垂直进入磁场，不计重力及带电粒子之间的相互作用。对处在平面内的粒子，求解以下问题。 （1）如图（a），宽度为的带电粒子流沿轴正方向射入圆心为、半径为的圆形匀强磁场中，若带电粒子流经过磁场后都汇聚到坐标原点，求该磁场磁感应强度的大小； （2）如图（a），虚线框为边长等于的正方形，其几何中心位于。在虚线框内设计一个区域面积最小的匀强磁场，使汇聚到点的带电粒子流经过该区域后宽度变为，并沿轴正方向射出。求该磁场磁感应强度的大小和方向，以及该磁场区域的面积（无需写出面积最小的证明过程）； （3）如图（b），虚线框Ⅰ和Ⅱ均为边长等于的正方形，虚线框Ⅲ和Ⅳ均为边长等于的正方形。在Ⅰ、Ⅱ、Ⅲ和Ⅳ中分别设计一个区域面积最小的匀强磁场，使宽度为的带电粒子流沿轴正方向射入Ⅰ和Ⅱ后汇聚到坐标原点，再经过Ⅲ和Ⅳ后宽度变为，并沿轴正方向射出，从而实现带电粒子流的同轴控束。求Ⅰ和Ⅲ中磁场磁感应强度的大小，以及Ⅱ和Ⅳ中匀强磁场区域的面积（无需写出面积最小的证明过程）。 【答案】（1）；（2），垂直与纸面向里，；（3），，， 【详解】（1）粒子垂直进入圆形磁场，在坐标原点汇聚，满足磁聚焦的条件，即粒子在磁场中运动的半径等于圆形磁场的半径，粒子在磁场中运动，洛伦兹力提供向心力 解得 （2）粒子从点进入下方虚线区域，若要从聚焦的点飞入然后平行轴飞出，为磁发散的过程，即粒子在下方圆形磁场运动的轨迹半径等于磁场半径，粒子轨迹最大的边界如图所示，图中圆形磁场即为最小的匀强磁场区域 磁场半径为，根据可知磁感应强度为 根据左手定则可知磁场的方向为垂直纸面向里，圆形磁场的面积为 （3）粒子在磁场中运动，3和4为粒子运动的轨迹圆，1和2为粒子运动的磁场的圆周 根据可知I和III中的磁感应强度为 ， 图中箭头部分的实线为粒子运动的轨迹，可知磁场的最小面积为叶子形状，取I区域如图 图中阴影部分面积的一半为四分之一圆周与三角形之差，所以阴影部分的面积为 类似地可知IV区域的阴影部分面积为 根据对称性可知II中的匀强磁场面积为 考点03 电磁感应 5．（2023·湖南·高考）如图，两根足够长的光滑金属直导轨平行放置，导轨间距为，两导轨及其所构成的平面均与水平面成角，整个装置处于垂直于导轨平面斜向上的匀强磁场中，磁感应强度大小为．现将质量均为的金属棒垂直导轨放置，每根金属棒接入导轨之间的电阻均为。运动过程中金属棒与导轨始终垂直且接触良好，金属棒始终未滑出导轨，导轨电阻忽略不计，重力加速度为。   （1）先保持棒静止，将棒由静止释放，求棒匀速运动时的速度大小； （2）在（1）问中，当棒匀速运动时，再将棒由静止释放，求释放瞬间棒的加速度大小； （3）在（2）问中，从棒释放瞬间开始计时，经过时间，两棒恰好达到相同的速度，求速度的大小，以及时间内棒相对于棒运动的距离。    【答案】（1）；（2）；（3）， 【详解】（1）a导体棒在运动过程中重力沿斜面的分力和a棒的安培力相等时做匀速运动，由法拉第电磁感应定律可得 有闭合电路欧姆定律及安培力公式可得，a棒受力平衡可得 联立得 （2）由右手定则可知导体棒b中电流向里，b棒 沿斜面向下的安培力，此时电路中电流不变，则b棒牛顿第二定律可得 解得 （3）释放b棒后a棒受到沿斜面向上的安培力，在到达共速时对a棒动量定理 b棒受到向下的安培力，对b棒动量定理 联立解得 此过程流过b棒的电荷量为q，则有 由法拉第电磁感应定律可得 联立b棒动量定理可得 1．（2025·湖南株洲·一模）如图，电源电动势E=15V，内阻不计，两个定值电阻R1=20Ω，R2=40Ω，平行板电容器电容C=1μF，其极板长l=3.0cm，两极板间距d=1.0cm，下极板接地。将开关S闭合，电子枪发射一电子沿极板中轴线射入极板，刚好打在上极板中点。已知电子电量e=1.6×10−19C，电子质量m=9×10−31kg，电子重力不计。 (1)求电容器所带电荷量Q； (2)求电子初速度v0； (3)断开开关S，让电子枪源源不断的沿中轴线发射电子，假设落到极板上的电子都能够被完全吸收，求能打在极板上的总电子数。 【答案】(1)1.0×10−5C (2)2.0×106m/s (3)4.69×1013 【详解】（1）电阻R1、R2串联分压，R2两端电压 电容器所带电荷量 （2）电子在平行板电容器间做类平抛运动，沿极板方向做匀速直线运动 垂直于极板方向做匀加速直线运动 解得 （3）随着电子被不断吸收，极板间电压不断降低，电子打在极板上的位置不断右移，当电容器两端电压为U时，电子刚好从上极板右端飞出。此时电子沿极板方向有 垂直于极板方向有 电容器因吸收电子减少的电荷量 打在极板上的电子数为 2．（2025·湖南邵阳·一模）如图甲所示，空间存在两边界为同轴圆柱面的电磁场区域Ⅰ、Ⅱ，区域Ⅱ位于区域Ⅰ外侧，圆柱面的轴线沿空间直角坐标系Oxyz的x轴方向。半径的足够长水平圆柱形区域Ⅰ内分布着沿x轴正方向的匀强磁场，磁感应强度大小；沿x轴正方向观察电磁场分布如图乙，宽度的区域Ⅱ同时存在电、磁场，电场强度的匀强电场沿x轴正方向，磁场的磁感应强度大小也为、磁感线与圆弧边界平行且沿顺时针方向，沿y轴负方向观察电磁场分布如图丙，比荷的带正电粒子，从坐标为的A点以一定初速度沿z轴负方向进入且能沿直线通过区域Ⅱ。（不计粒子的重力和空气阻力） (1)求大小以及它在区域Ⅰ中运动的半径； (2)若撤去区域Ⅱ的电场，求该粒子以速度从进入区域Ⅱ到离开区域Ⅰ运动的总时间。 【答案】(1)，0.1m (2) 【详解】（1）粒子沿直线通过区域Ⅱ，受力平衡则有 解得 粒子在区域Ⅰ中匀速圆周运动，洛伦兹力提供向心力，由牛顿第二定律可得 解得 （2）撤去区域Ⅱ中的电场后，粒子在区域Ⅱ中做匀速圆周运动，则有 解得 根据几何关系可知，粒子在区域Ⅱ中运动轨迹转过的圆心角为45°。 粒子在区域Ⅱ中的运动时间为 粒子离开区域Ⅱ后，在区域Ⅰ中垂直于磁场的平面内做匀速圆周运动，则有、 解得 根据几何关系可知，粒子在区域Ⅰ中该方向上匀速圆周运动转过的圆心角为90°。 粒子在区域Ⅰ中的运动时间为 综上，粒子从进入区域Ⅱ到离开区域Ⅰ运动的总时间为 3．（2025·湖南·一起考·高三下·一模）如图所示，平行光滑金属导轨固定在水平面上，导轨宽为L，导轨所在空间有竖直向下的匀强磁场，磁感应强度大小为B，两金属杆质量均为m，两金属杆连入电路部分的电阻均为R，0时刻、2杆静止，同时给1杆水平向右的初速度，则： (1)两杆最终的速度是多少？ (2)设t时刻两杆的速度已经稳定，则0~t时间内两杆对地的位移分别是多大？ 【答案】(1)，方向水平向右 (2)， 【详解】（1）由于两杆受到的安培力大小相等，方向相反，则两金属杆组成的系统满足动量守恒，则有 解得两杆最终的速度大小为 方向水平向右。 （2）设1杆速度为，2杆速度为，则总电动势为 回路电流为 金属杆所受的安培力为 联立可得 对2杆，由动量定理得 其中 联立可得 两杆组成的系统动量守恒，则有 即 两边同乘以，再求和得 即 联立解得， 4．（24-25高三·湖南常德·二模）如图所示，在平面直角坐标系中，第二象限有一过坐标原点的曲线，该曲线及其上方有竖直向下的匀强电场。曲线上每个位置可连续发射质量为、电荷量为的粒子，粒子均以大小为的初速度水平向右射入电场，所有粒子均能到达原点，曲线上A点离轴的距离为，电场强度大小为。第四象限内（含边界）存在垂直于纸面向外、磁感应强度大小为的匀强磁场，为平行于轴且足够大的荧光屏，荧光屏可以上下移动，不计粒子重力及粒子间的相互作用，粒子打到荧光屏上即被吸收。 (1)求图中曲线方程； (2)若粒子运动中不会与荧光屏相碰，求从A点发射的粒子在磁场中运动时间； (3)若将荧光屏缓慢上下移动，求从A点至点发射的粒子打在荧光屏上的发光点间的最大距离。 【答案】(1)（） (2) (3) 【详解】（1）设曲线某点坐标为（x，y），粒子在电场中做类平抛运动，水平方向有 竖直方向有 其中 解得（） （2）对从曲线上A点射入的粒子，作出粒子的运动轨迹如图所示 在电场中，粒子做类平抛运动，在水平方向有 在竖直方向有 设粒子进入磁场时速度与竖直方向的夹角为，则有 解得 粒子在磁场中做匀速圆周运动，则有， 解得 则粒子在磁场运动时间 解得 （3）设粒子从点进入磁场的速度，与轴负向的夹角为，运动半径为，由洛伦兹力提供向心力有 解得 由几何知识可知，若无荧光屏粒子出磁场时对应的弦长为 该弦长与v无关，即从任一点发射的粒子都从同一点射出磁场。令点发射的粒子在磁场中运动轨道半径，结合上述有 令从A点发射的粒子在磁场中运动轨道半径，则有 所以打在荧光屏上的发光点的最大距离为 解得 5．（24-25高三·湖南郴州·三测）如图，xOy平面内有大量质子从原点O在180°的范围内连续以相同速率v0向y轴右侧发射，右侧足够远处放置与x轴垂直且足够大的荧光屏，O在荧光屏上的投影点为O'。现在第I象限和第IV象限一定范围内分别施加一个垂直于xOy平面的区域匀强磁场（磁场大小相同、方向不同），使得所有质子都垂直打在荧光屏上CC'范围内，已知O'C=O'C'=R。忽略质子间的相互作用，已知质子质量为m、电荷量为e，求： (1)磁场在第I象限的方向和大小； (2)在I、IV象限所加磁场的最小总面积。 【答案】(1)垂直xOy平面向外， (2) 【详解】（1）从原点O竖直向上射出的电子垂直打在荧光屏上，故磁场方向必定垂直xOy平面向外，根据题意可得粒子的回旋半径为R，洛伦兹他提供圆周运动的向心力，根据牛顿第二定律则有 解得 （2）在由O点射入第I象限的所有质子中，沿y轴正方向射出的电子转过圆周，速度变为沿x轴正方向，这条轨迹为磁场区域的上边界。设某电子做匀速圆周运动的圆心O'，与O点的连线与y轴正方向夹角为θ，若离开磁场时电子速度变为沿x轴正方向，其射出点（也就是轨迹与磁场边界的交点）的坐标为（x，y）。由图中几何关系可得， 消去参数可知磁场区域的下边界满足的方程为 这是一个圆的方程，圆心在（0，R）处，磁场区域为图中两条圆弧所围成的面积，磁场的最小面积为 根据对称性可知，磁场的最小总面积为 6．(24-25高三下·湖南沅澧共同体·一模)理想变压器原、副线圈的匝数比为，原线圈接在电压峰值为的正弦交变电源上，副线圈的回路中接有阻值为R的电热丝，电热丝密封在绝热固定容器内，容器内封闭有一定质量的理想气体，接通电路开始加热，加热前气体温度为。 (1)求变压器的输出功率P； (2)已知该容器内的气体吸收的热量Q与其温度变化量成正比，即，其中C已知。若电热丝产生的热量全部被气体吸收，要使容器内的气体压强达到加热前的2倍，求电热丝的通电时间t。 【答案】(1) (2) 【详解】（1）由原线圈正弦交流电的峰值可知变压器输入电压有效值为 设变压器副线圈的输出电压为，根据理想变压器的电压与匝数之间的关系有 联立解得 理想变压器的输出功率等于R的功率，即 （2）设加热前容器内气体的压强为，则加热后气体的压强为，温度为，容器内的气体做等容变化，则有 得 由知气体吸收的热量 根据热力学第一定律 气体的体积不变，所以，容器是绝热容器，则 即 解得 7．（2025·湖南长沙雅礼中学·一模）如图所示，电阻不计的金属导轨和平行等高正对放置，导轨左右两侧相互垂直，左侧两导轨粗糙，右侧两导轨光滑且与水平面的夹角，两组导轨均足够长。整个空间存在平行于左侧导轨的匀强磁场。导体棒Q在外力作用下静置于左侧导轨上并保持水平，其与导轨间的动摩擦因数。导体棒P水平放置于右侧导轨上，两导体棒的质量均为m，电阻相等。时起，对导体棒P施加沿斜面向下的随时间变化的拉力（k已知），使其由静止开始做匀加速直线运动，同时撤去对Q的外力，导体棒Q开始沿轨道下滑。已知两导体棒与导轨始终垂直且接触良好，重力加速度为g，最大静摩擦力等于滑动摩擦力。（，） (1)求导体棒P的加速度； (2)求时导体棒Q加速度的大小； (3)求导体棒Q最大速度的大小。 【答案】(1) (2)0 (3) 【详解】（1）时，对P根据牛顿第二定律有 解得 方向平行导轨向下。 （2）对P分析，根据牛顿第二定律有 其中 则有 应有 外力 对Q分析，根据牛顿第二定律有 其中 解得 代入时，解得 （3）由 画出图像如图所示，图像与时间轴围成的面积代表速度变化 由图可知 8．(24-25高三下·湖南怀化多校联考·三模)如图，在坐标系内，第一象限有垂直纸面向外的匀强磁场，第二象限有沿轴正方向的匀强电场，电场强度大小为。一质量为、电荷量为的带电粒子从轴上的点以速度沿与轴正方向成角的方向射入磁场，恰好垂直于轴射出磁场进入电场，不计粒子重力，求： (1)磁感应强度的大小； (2)粒子再次经过轴时的坐标及粒子的速度大小。 【答案】(1) (2) 【详解】（1）粒子带负电，在磁场中的运动轨迹如图所示 由几何关系得 解得 根据洛伦兹力提供向心力有 解得 （2）粒子离开磁场时的坐标为 粒子进入电场后做类平抛运动，−， 解得 竖直方向速度 粒子再次经过轴的速度大小为 解得 9．（24-25高三下·湖南·大联考二模）如图所示，在x轴原点О位置有一粒子源，可以释放出初速度为零的带正电的粒子，粒子的质量为m，电荷量为q。释放后的粒子受到半圆形区域I中电场的作用，区域内各点的电场方向始终沿径向指向半圆形区域I边缘﹐电场强度的大小恒定为，半圆形区域Ⅰ的半径为r。随后带电粒子进入垂直纸面向外的匀强磁场区域Ⅱ﹐磁场区域Ⅱ是一个以O'为圆心，半径为2r的圆形区域，与半圆形区域Ⅰ重叠部分没有磁场，O'点在О点正上方，O'O=，磁感应强度的大小为。在x=3r的位置有一块竖直放置的屏幕，带电粒子运动至屏幕后被屏幕吸收。 (1)求带电粒子由电场中进入磁场时的速度大小以及带电粒子在磁场区域中做圆周运动的半径； (2)一带电粒子离开电场时的速度方向与x轴负方向的夹角为60°，求该带电粒子离开磁场区域时的速度方向以及与x轴之间的竖直距离； (3)求第（2）问中的带电粒子运动的总时间。 【答案】(1)， (2)与轴正方向的夹角为， (3) 【详解】（1）带电粒子从位置静止出发经过辐射状电场后沿径向做匀加速直线运动进入磁场区域，因此有 进入磁场区域，洛伦兹力充当向心力，因此有 （2）如图所示为带电粒子的运动轨迹 由题意可知，带电粒子在磁场中做圆周运动的半径也为 圆心在位置，，因此可知， 由此可知是一个平行四边形，平行于，由此可知带电粒子出射时的方向是水平的。由于与轴负方向的夹角为，且 因此可知与轴正方向的夹角为，因此带电粒子从磁场出射时的位置到轴的竖直距离为 （3）带电粒子在辐射状电场中做匀加速直线运动，离开电场经过点时的速度大小为，因此带电粒子在辐射状电场中运动的时间为 然后进入磁场区域，带电粒子在磁场中运动的周期为 在磁场区域中转过的圆弧所对圆心角为，由此可知在磁场中运动的时间为 出磁场后，带电粒子做匀速直线运动，速度大小为，水平运动的距离为 由此可知水平运动的时间为 最终带电粒子运动的总时间为 10．（25届·怀化·二模）间距为的光滑平行金属直导轨，水平放置在磁感应强度大小为、方向垂直轨道平面向下的匀强磁场中。一质量为、电阻值为的金属棒静止垂直放在导轨之间，导轨右侧足够长，左侧如图所示，已知电源可提供大小恒为的直流电流，电阻，电容大小为（初始时刻不带电）。电路中各部分与导轨接触良好，导轨电阻不计且在运动过程中与始终与导轨垂直，开关的切换可在瞬间完成。 (1)当开关与电源接通时，棒中电流由流向，求此时棒的加速度大小和方向。 (2)当金属棒加速到时，开关瞬间与接通，此时金属棒内自由电子沿棒定向移动的速度为。经过一段时间，自由电子沿棒定向移动的速率变为，棒内定向移动的自由电子总数不变，求该段时间内一直在金属棒内运动的自由电子沿金属棒定向移动的距离。 (3)当金属棒速度为时，开关瞬间与接通，同时给金属棒一水平外力使其做匀速运动。某时刻外力的功率为定值电阻功率的3倍，求此时刻电容器两端电压及从开关接通到此时刻外力做的功。 【答案】(1)，方向水平向右 (2) (3)， 【详解】（1）由题意电源能提供大小为I的恒定电流，当电流由M经棒流向N时，由牛顿第二定律得 解得，方向水平向右。 （2）当开关与P接通时，有， 当电子沿杆定向移动速率变为时，有， 联立可得此时导体棒的速度 设该段时间内导体棒中的电子沿棒方向定向移动的平均速度为，则对导体棒由水平方向动量定理得 其中 联立可得 又因为 可得 （3）当开关与Q接通时，由闭合电路欧姆定律得 当棒匀速运动时，设任意时刻电流为i，则外力为 由题意得 化简有 再代入闭合电路欧姆定律，得 变力F 做功为 而 则有 11．（2025·湖南岳阳·高三下二模）如图所示，质量为，边长为，阻值为且均匀分布的正方形金属框，位于光滑的水平面上。金属框的边与磁场左边界平行，运动方向与磁场左边界垂直。图甲和图乙中的磁场为匀强磁场，大小为，方向垂直水平面向下。图丙中沿正方向存在按均匀增大的稳恒磁场（是单位为的已知常量，为坐标值）。 (1)如图甲，给金属框一初速度，则金属框刚进磁场时，求边所受的安培力的大小； (2)如图乙，给金属框一变力，使金属框从图示位置由静止开始做匀加速直线运动。在进入磁场的过程中，力随时间的变化率为定值。求金属框的加速度大小； (3)如图丙，给金属框一初速度，使金属框从图示位置开始向右运动，求停止运动时边的坐标值。 【答案】(1) (2) (3) 【详解】（1）给金属框一初速度，感应电动势大小为 感应电流大小为 根据安培力的计算公式可得 联立解得 （2）在进入磁场的过程中，根据牛顿第二定律可得 即 由于 则 解得 （3）当金属框的速度为时，金属框中感应电动势的大小为 金属框所受安培力大小为 取初速度方向为正方向，根据动量定理可得 则有 解得 12．（24-25高三·湖南邵阳·二联考）某种离子诊断测量简化装置如图所示，竖直平面内存在边界为矩形MNPQ、方向垂直纸面向里、磁感应强度大小为的水平匀强磁场，探测板平行于竖直放置，能沿水平方向左右缓慢移动且接地。a、b、c为三束宽度不计、间距均为的离子束，离子均以相同速度持续从边界竖直向上射入磁场，束中的离子在磁场中沿半径为的四分之一圆弧运动后从右边界水平射出，并打在探测板的上边缘点。已知每束每秒射入磁场的离子数均为，探测板的长度为，离子质量均为、电荷量均为，不计重力及离子间的相互作用，。 (1)求离子速度的大小； (2)a、c两束中同时进入磁场的两个离子，求它们打在探测板上的时间差； (3)若打到探测板上的离子被全部吸收，求离子束对探测板的平均作用力的水平分量与板到距离的关系。 【答案】(1) (2) (3)见解析 【详解】（1）离子在磁场中做圆周运动，由牛顿运动定律得 解得离子的速度大小 （2）离子在磁场的运动的周期为， 作出粒子的运动轨迹如图 由几何关系可知束中的离子从同一点射出，离开磁场的速度分别与水平方向的夹角为，则 束中的离子在磁场中运动的圆心角分别为 则两离子的在磁场中运动时间的差值为 得 由于两离子出磁场的速度与磁场边界所成的夹角相同，则两离子从磁场到EF板的时间相同，即离子运动的时间差 （3）同时探测到三束离子，满足： 解得 同时探测到两束离子同理有： 对离子束由动量定理有： 而或束中每个离子动量的水平分量： 离子束对探测板的平均作用力为：当时， 当时， 当时， 13．（2025·湖南长沙·湖南师大附中·高三下·一模）如图，固定在地面上的木板和半径为的圆弧槽刚好接触，圆弧槽凹侧和底面光滑，各物块与木板上表面间动摩擦因数均为。圆弧槽右侧通过不计质量的细杆与一压力传感器相连。从点向左，每隔放置一小物块，编号依次为1、2、3、4，质量均为，物块4与一劲度系数为的弹簧（处于原长）相连，物块4左侧木板表面光滑，弹簧左端连在木板左端。圆弧槽左侧空间有方向向左的匀强电场。一质量为、电荷量为的外表绝缘小物块从圆弧槽顶点处无初速度释放。已知当弹簧形变量为时，弹性势能为，重力加速度为。求： (1)带电小物块下滑过程压力传感器的最大示数； (2)若所有碰撞均为弹性碰撞，在的前提下，施加电场的强度多大时才能使弹簧的最大压缩量也为？ (3)先将1、2、3号物块拿掉，若带电物块与4为完全非弹性碰撞，施加电场的强度多大才能使弹簧的最大压缩量也为？ 【答案】(1) (2) (3) 【详解】（1）如图所示 设滑块与圆心连线从开始运动夹角时，速度为v，则 对滑块受力分析，设受到支持力为，则 由牛顿第三定律圆弧槽受到压力大小为，对圆弧槽受力分析，设压力传感器读数为F，则 由上述可知 当时，F取最大值为 （2）设带电滑块从A端滑上木板时速度为，则 设带电滑块与1号物块碰撞前速度，有 由于，则，各物块质量相等，发生弹性碰撞后带电滑块便静止在1号物块处，1号滑块将与2号滑块碰撞，2号滑块将与3号滑块碰撞，3号滑块碰撞将与4号滑块碰撞。4号滑块被碰后速度设为，则 要使弹簧的最大压缩量也为l，则 联立解得 代入和，解得 （3）设带电物块与4号物块碰前速度为，碰后的速度大小为，则， 小物块经完全非弹性碰撞后,利用能量守恒，则 解得 14．（2025·湖南永州·三模）如图，水平面上固定有足够长的平行导轨P、Q，导轨间存在方向竖直向下，大小为B（大小未知）的匀强磁场，且导轨间距足够大。有一质量为M的圆筒垂直导轨放置，长度略小于导轨内侧间距（可认为相等），a端封闭，b端开口，能沿导轨自由滑动。另有一质量为m，带电量为q（q>0）的小球（直径大小可忽略不计）能沿圆筒自由移动。圆筒不会屏蔽磁场，小球不发生电荷转移，忽略一切摩擦及空气阻力。 (1)先撤去圆筒，将小球紧贴导轨Q并给其与导轨Q夹角为37°的初速度，如图甲，若小球没有离开磁场，且与导轨Q最大距离为1.8L，求磁感应强度B的大小； (2)若B为（1）中所求，现装上圆筒，若M=m，将小球放入筒中靠近b端处，给圆筒中心施加大小为1.5mg，方向平行于导轨向右的恒力F，如图乙，求F作用距离为L时小球速度大小； (3)若，装上圆筒，将小球放入圆筒中且与导轨P的距离为L，现给小球与圆筒一个平行于导轨向右的相同初速度，如图丙。当小球与导轨a端发生碰撞时，平行于导轨方向的速度不变，垂直于导轨的速度反向且大小变为碰前的e倍（0<e<1），请计算： ①在与a端发生第n次碰撞到第n+1次碰撞期间，小球与P导轨的最大距离。 ②从小球开始运动到①中与P导轨的最大距离时，小球在平行导轨方向所经过的位移大小。 【答案】(1) (2) (3)①，② 【详解】（1）根据几何关系有R=L 小球做匀速圆周运动，由洛伦兹力提供向心力，则有 解得 （2）在很小的每一段时间Δt内，小球与圆筒x方向速度vx′视为不变，则y方向受到洛伦兹力为 小球在y方向上由动量定理有 累积后有 解得 对小球与圆筒进行分析，根据动能定理有 解得 解得 （3）从初始到第一次碰前有 根据能量守恒定律有 解得第一次碰前瞬间， 则第一次碰后瞬间有， 从第一次碰后至第二次碰前，根据动量定理有 由于 解得 则第二次碰前x方向上，小球与圆筒速度大小为，由能量守恒定律克知小球y方向上的速度大小为，则第二次碰后瞬间有， 以此类推，第n次碰后瞬间有， 从第n次碰后至小球离P导轨最远，则有 由洛伦兹力提供向心力，则有 其中xn表示第n次碰后至第n+1次碰前小球在x方向上的位移，由于 解得， 又从开始运动到第一次碰前有 解得 则有 15．（25届高三下·湖南长沙邵阳多校联考·三模）如图所示，在平面直角坐标系xOy的第二象限内放置有如图所示的两块极板，极板厚度不计，第一、四象限有垂直纸面向外匀强磁场，磁感应强度大小为，第三象限也有垂直纸面向外的匀强磁场，磁感应强度大小为。已知两极板间距为4d，极板的长度为d，现给极板加上电压，从上极板的左端位置以沿x轴正方向的初速度发射一电荷量为+q、质量为m的带正电粒子，粒子从y=2d处进入磁场。不计粒子的重力，，求： (1)上极板的电性及电压U的大小； (2)若在极板间再加一垂直纸面向里匀强磁场，则粒子在极板间经过多长时间竖直方向速度大小是水平方向速度大小的； (3)若有一线状粒子源放置在y轴2d≤y≤4d区域水平向右发射速度为与题中相同的粒子进入磁场，且所有粒子能够始终在磁场中运动，现用一平行x轴的挡板去遮挡粒子，要在磁场区域内挡住所有粒子，挡板长度的最小值为多少。 【答案】(1)正电， (2) (3) 【详解】（1）粒子向下偏转，上极板带正电 在电场中运动水平方向 竖直方向做匀加速运动 根据牛顿第二定律，有 联立可得 （2）令 解得 根据配速法可将粒子的速度分解为水平向右和水平向左，即粒子在极板间运动可看作以水平向右的匀速直线运动，及速度为的匀速圆周运动圆周运动的周期为 半径 设转过θ角度，竖直方向速度大小是水平方向速度大小的，竖直方向 水平方向 则有 解得或 即θ为37°、90°、270°或323° 当θ=90°时，水平位移 即粒子已经离开极板，故只有θ=37°符合题意， （3）粒子在磁场中的运动轨迹如图所示 半径分别为， 由轨迹分析可知若挡板在磁场中，挡板长度 同理可得若挡板在磁场中，挡板长度 因，则 可得 故挡板的最小长度为 16．（2025·湖南娄底·高三下二模）如图，在坐标系内，有几个电磁场区域，在的上方有一个垂直平面向里的匀强磁场区域，圆心为，磁感应强度，在到轴之间，有一个沿轴正向的匀强电场区域（图中未画出）。区域下边界与区域上边界相切在第三、四象限有一个垂直平面向外的匀强磁场区域，磁感应强度未知。为一个与等高的处于磁场区域边沿的粒子源，可以源源不断地向右侧区域各个方向发射质量为，带电量为的粒子，粒子速度大小相同都为。所有粒子均沿轴负向垂直进入区域，最右侧的粒子恰好经过原点进入区域。忽略各种场的边缘效应求： (1)点的坐标： (2)电场强度与的比值，及粒子进入区域时的速度大小； (3)若粒子从区域再次穿过轴时，区域的电场方向变为等大反向，最终所有粒子从区域与等高的点离开磁场，求区域的磁感应强度大小。 【答案】(1)点坐标为（，） (2)， (3) 【详解】（1）所有粒子均沿轴负向垂直进入区域，所以可知，带电粒子做圆周运动的半径与磁场区域半径相同；由 可得 所以点坐标为（，）。 （2）最右侧的粒子恰好经过原点进入区域，则有 化简可得 所以 设粒子进入区域的速度大小为，则有 可得 （3）所有粒子在区域和区域运动过程中间距始终相等，若最右侧的粒子恰好经过原点进入区域，则最左侧粒子从点正下方的处进入电场，又因为最终所有粒子从区域与等高的点离开磁场，根据运动的对称性可知，最左侧粒子恰好从原点返回区域。其全程运动轨迹如图所示 即所有粒子在区域中运动后向右偏移。 方法一：对粒子沿方向用动量定理有 即 解得 方法二：由类平抛运动规律可知，进入区域时速度与水平夹角为，则有， 所以进去区域时速度大小 由洛伦兹力提供向心力可得 又 解得 17．（25届·邵阳·三联·下）如图所示，金属板和互相平行竖直放置，形成两条狭缝，金属板上的小孔和O点共线，狭缝的电势差与狭缝的电势差均为U，一质量为m，电荷量为的粒子从小孔飘入狭缝（初速度为零），通过小孔进入金属板和P之间的区域I，区域I中存在匀强磁场和匀强电场（未画出），其中匀强磁场的磁感应强度为B，方向垂直纸面向里。粒子沿直线运动，经过进入狭缝，经O点进入金属板右侧区域II，区域II具有和区域I完全相同的电场和磁场。以O点为坐标原点，垂直于金属板向右的方向为轴正方向，平行于金属板向上的方向为轴正方向建立直角坐标系，不计粒子重力，不计粒子经过狭缝的时间。求： (1)粒子刚进入区域I时的速度大小； (2)区域I、区域II电场强度E； (3)粒子到达O点开始计时，第二次到达距轴最远处的速度和需要的时间。 【答案】(1) (2) (3), 【详解】（1）粒子在狭缝中做匀加速直线运动，经过时的速度为，由动能定理得 解得 （2）粒子在区域I中做匀速直线运动，则 解得 方向沿轴负方向； （3）粒子在狭缝中做匀加速直线运动，经过O点速度为，由动能定理得 解得 粒子在区域II的运动看作是速度为的匀速直线运动和速率为的匀速圆周运动的合运动 又 解得 粒子第二次离轴最远时，恰好完成个周期的运动。 由运动的合成与分解，得，即 方向：沿轴正方向； 需要的时间为 / 学科网（北京）股份有限公司 $$