专题13 电学计算（重庆专用）-【好题汇编】5年（2021-2025）高考1年模拟物理真题分类汇编

专题13 电学计算 考点 五年考情（2021-2025） 命题趋势 考点1 静电场 2023 命题逐渐引入非线性元件的数学化处理，如通过二极管的伏安特性曲线分析非理想电路的动态响应，结合分段函数思想计算不同电压区间的电流分布。实验探究方面，常设计验证闭合电路欧姆定律的数字化实验，利用电压传感器测量 U-I 曲线，结合线性拟合方法求解电源电动势与内阻并评估系统误差，体现理论与实证的深度融合。 能力要求上，突出数学工具的工程化应用与逻辑推理的严谨性。考生需熟练运用导数分析瞬时电动势的变化率，或通过积分计算非匀强磁场中的磁通量变化量；部分试题引入有限差分法，如通过分段线性拟合处理复杂电路中的暂态过程。实验设计能力的考查力度显著增强，例如设计测量半导体热敏电阻温度系数的实验方案时，需综合考虑温控系统精度、电路结构优化与数据修正方法。部分试题还引入多维度动态建模能力，如通过 “场 - 路 - 能” 转化链分析智能电网中的功率分配问题，或利用傅里叶变换简化周期性交变电流的谐波分析，全面检验考生对物理规律的迁移能力与创新应用水平。 考点2 磁场 2022 考点3 电磁感应 2021、2024、2025 考点01 静电场 1．（2023·重庆·高考）某同学设计了一种粒子加速器的理想模型。如图所示，xOy平面内，x轴下方充满垂直于纸面向外的匀强磁场，x轴上方被某边界分割成两部分，一部分充满匀强电场（电场强度与y轴负方向成α角），另一部分无电场，该边界与y轴交于M点，与x轴交于N点。只有经电场到达N点、与x轴正方向成α角斜向下运动的带电粒子才能进入磁场。从M点向电场内发射一个比荷为的带电粒子A，其速度大小为v0、方向与电场方向垂直，仅在电场中运动时间T后进入磁场，且通过N点的速度大小为2v0。忽略边界效应，不计粒子重力。 （1）求角度α及M、N两点的电势差。 （2）在该边界上任意位置沿与电场垂直方向直接射入电场内的、比荷为的带电粒子，只要速度大小适当，就能通过N点进入磁场，求N点横坐标及此边界方程。 （3）若粒子A第一次在磁场中运动时磁感应强度大小为B1，以后每次在磁场中运动时磁感应强度大小为上一次的一半，则粒子A从M点发射后，每次加速均能通过N点进入磁场。求磁感应强度大小B1及粒子A从发射到第n次通过N点的时间。 考点02 磁场 2．（2022·重庆·高考）某同学以金属戒指为研究对象，探究金属物品在变化磁场中的热效应。如图所示，戒指可视为周长为L、横截面积为S、电阻率为的单匝圆形线圈，放置在匀强磁场中，磁感应强度方向垂直于戒指平面。若磁感应强度大小在时间内从0均匀增加到，求： （1）戒指中的感应电动势和电流； （2）戒指中电流的热功率。 考点03 电磁感应 3．（2025·重庆·高考）研究小组设计了一种通过观察粒子在荧光屏上打出的亮点位置来测量粒子速度大小的装置，如题图所示，水平放置的荧光屏上方有沿竖直方向强度大小为B，方向垂直于纸面向外的匀强磁场。O、N、M均为荧光屏上的点，且在纸面内的同一直线上。发射管K（不计长度）位于O点正上方，仅可沿管的方向发射粒子，一端发射带正电粒子，另一端发射带负电粒子，同时发射的正、负粒子速度大小相同，方向相反，比荷均为。已知，，不计粒子所受重力及粒子间相互作用。 (1)若K水平发射的粒子在O点产生光点，求粒子的速度大小。 (2)若K从水平方向逆时针旋转60°，其两端同时发射的正、负粒子恰都能在N点产生光点，求粒子的速度大小。 (3)要使（2）问中发射的带正电粒子恰好在M点产生光点，可在粒子发射t时间后关闭磁场，忽略磁场变化的影响，求t。 4．（2024·重庆·高考）有人设计了一粒种子收集装置。如图所示，比荷为的带正电的粒子，由固定于M点的发射枪，以不同的速率射出后，沿射线MN方向运动，能收集各方向粒子的收集器固定在MN上方的K点，O在MN上，且KO垂直于MN。若打开磁场开关，空间将充满磁感应强度大小为B，方向垂直于纸面向里的匀强磁场，速率为v0的粒子运动到O点时，打开磁场开关，该粒子全被收集，不计粒子重力，忽略磁场突变的影响。 (1)求OK间的距离； (2)速率为4v0的粒子射出瞬间打开磁场开关，该粒子仍被收集，求MO间的距离； (3)速率为4v0的粒子射出后，运动一段时间再打开磁场开关，该粒子也能被收集。以粒子射出的时刻为计时O点。求打开磁场的那一时刻。    5．（2024·重庆·高考）小明设计了如图所示的方案，探究金属杆在磁场中的运动情况，质量分别为2m、m的金属杆P、Q用两根不可伸长的导线相连，形成闭合回路，两根导线的间距和P、Q的长度均为L，仅在Q的运动区域存在磁感应强度大小为B、方向水平向左的匀强磁场。Q在垂直于磁场方向的竖直面内向上运动，P、Q始终保持水平，不计空气阻力、摩擦和导线质量，忽略回路电流产生的磁场。重力加速度为g，当P匀速下降时，求 （1）P所受单根导线拉力的大小； （2）Q中电流的大小。    6．（2021·重庆·高考）如图1所示的竖直平面内，在原点O有一粒子源，可沿x轴正方向发射速度不同、比荷均为的带正电的粒子。在的区域仅有垂直于平面向内的匀强磁场；的区域仅有如图2所示的电场，时间内和时刻后的匀强电场大小相等，方向相反（时间内电场方向竖直向下），时间内电场强度为零。在磁场左边界直线上的某点，固定一粒子收集器（图中未画出）。0时刻发射的A粒子在时刻经过左边界进入磁场，最终被收集器收集；B粒子在时刻以与A粒子相同的发射速度发射，第一次经过磁场左边界的位置坐标为；C粒子在时刻发射，其发射速度是A粒子发射速度的，不经过磁场能被收集器收集。忽略粒子间相互作用力和粒子重力，不考虑边界效应。 (1)求电场强度E的大小； (2)求磁感应强度B的大小； (3)设时刻发射的粒子能被收集器收集，求其有可能的发射速度大小。 1．（2025·重庆巴蜀中学·三诊）如图所示，平面内，在的区域存在匀强电场，电场强度大小为，方向与方向夹角为；在轴下方存在匀强磁场，方向垂直于纸面向外。一质量为、电荷量为的带正电的粒子以大小为的初速度从原点沿轴正方向射出，一段时间后粒子第一次从点进入磁场，在磁场中运动一段时间后回到原点再进入电场。不计粒子的重力，取,。 (1)求粒子从到点的时间； (2)求磁感应强度的大小； (3)若在正半轴上另放置个质量也为的不带电微粒(按碰撞顺序标号依次为1、2、)，使带电粒子最初从点出发后每次从电场进入磁场时都恰好与一个不带电微粒发生正碰，碰后结合为一个整体，该整体仍可视为质点，且总质量与电荷量不变，不计重力。求第个微粒的位置坐标。 2．（2025·重庆育才中学·二模）如题图所示，平面直角坐标系xOy中，第一象限存在沿y轴负方向的匀强电场，第三、四象限存在垂直纸面向外的匀强磁场。一质量为m、电荷量为q的带电粒子，从y轴上的以一定的初速度沿x轴正方向射入第一象限，到达时速度大小为v，又经x轴上的M点射入磁场，最后从x轴上的N点离开磁场，M、N关于O点对称，均不计粒子重力，求： (1)M点的坐标； (2)磁感应强度B的大小； (3)撤掉甲图中的电场和磁场，在一、二象限加上图乙所示的磁场，磁场方向垂直纸面向外，磁场关于y轴对称，一簇相同的带正电的粒子从N点以不同方向射入，速度方向与x轴正方向的夹角0<θ<90°，所有粒子穿越磁场后都汇聚于M，已知所有粒子在磁场中做圆周运动的半径均为r，求磁场边界的函数方程。 3．（2025·重庆一中·三模）在xOy平面内，仅在y轴右侧某边界上方存在竖直向下的匀强电场，大小为E；边界下方存在垂直纸面向外的匀强磁场，大小为B（图中均未画出）。一群质量为m、电荷量为+q（q>0）的粒子从坐标原点O，以速度方向与y轴正半轴夹角为α（）、大小任意的初速度射入电场区域，运动到边界时，速度方向均与y轴负半轴夹角30°射入磁场区域，不计粒子相互作用力和重力，不考虑场的边界效应。 (1)若粒子初速度大小为v0，求粒子在电场中运动的时间； (2)求该边界的方程及粒子轨迹恰好与x轴相切时的初速度大小； (3)在处固定一个绝缘弹性小圆柱，若粒子撞击小圆柱后速度大小不变，方向相反（粒子电荷量不发生转移），同时仅在粒子撞击小圆柱后磁场方向立刻反向且大小不变。粒子能回到坐标原点O，求粒子初速度大小的可能值。 4．（2025·重庆育才·全真模考）小池同学设计了如图所示的装置来选择一定速率范围的带电粒子。MN为水平放置的两平行金属板，两板正对且长度均为L、板间间距为，平行金属板内部有竖直向下的匀强电场，电场强度大小为。金属板右侧竖直放置一足够长的荧光屏，荧光屏到金属板右侧的距离也为L。金属板左侧某区域存在垂直纸面向里的匀强磁场，P为粒子源且PM在同一水平面上，粒子源能沿PQ方向发射质量为m、电量为－q（q>0）的某种粒子，粒子速率在0~vm范围内连续分布。粒子从P射出后会立即进入匀强磁场区域，所有粒子离开磁场后均能沿水平方向射入平行金属板之间，之后打在金属板上的粒子会被吸收且对电场无影响，速度为vm的粒子恰好从S点垂直进入平行金属板。已知PQ与PM夹角为60°，S点位于磁场边界且到下极板M的距离为L，不计粒子重力和粒子间的相互作用。求： (1)该磁场的磁感应强度大小； (2)该磁场的最小面积； (3)荧光屏上有粒子打到的区域的最大长度。 5．（2025·重庆育才·全真模考）如图所示，一闭合矩形单匝导线框abcd放在水平面内，其质量为m，阻值为R，ab边长为L；左、右两边界平行的区域内有磁感应强度大小为B、方向竖直向下的匀强磁场。当线框ab边进入磁场左边界时速度为v0，当cd边离开磁场右边界时线框速度恰好为。已知运动中ab边始终与磁场左边界平行，忽略导线框受到的地面阻力、空气阻力及导线框的自感，求： (1)线框ab边进入磁场时，线框的加速度的大小； (2)ab边进入磁场到cd边离开磁场的过程中，导线框abcd产生的焦耳热。 6．（2025·重庆西南大附中·全真模考）如图，高为h的绝缘水平桌面上固定有间距为L的U形金属导轨，导轨一端接有阻值为R的电阻。质量均为m的导体棒a和b静止在导轨上，与导轨接触良好且始终与导轨垂直，接入电路的阻值均为R，与导轨间的动摩擦因数均为μ（设最大静摩擦力等于滑动摩擦力）。整个空间存在竖直方向的匀强磁场（图中未画出），磁感应强度大小为B。现用大小为F、沿导轨水平向右的恒力拉a，当a运动到导轨最右端时，b刚要滑动，此时撤去拉力，a离开导轨后落到水平地面上。重力加速度为g，不计空气阻力，不计导轨电阻。求： (1)当a运动到导轨最右端时，b受到的安培力大小和方向； (2)a运动至导轨最右端时（撤去F前）的加速度大小； (3)a的落地点与导轨最右端的水平距离x。 7．（2025·重庆八中·三诊）如题图所示，在平面第一象限内，直线与直线之间存在磁感应强度大小为、方向垂直纸面向里的匀强磁场轴下方有一直线CD与轴平行且与x轴相距为轴与直线CD之间（包含x轴）存在沿y轴正方向的匀强电场；在第三象限，直线CD与直线之间存在磁感应强度大小也为B、方向垂直纸面向外的匀强磁场。纸面内有一束宽度为的平行电子束，如图，沿y轴负方向射入第一象限的匀强磁场，各电子的速度随入射位置不同大小各不相等，电子束的左边界与y轴的距离也为，经第一象限磁场偏转后发现所有电子都可以通过原点并进入轴下方的电场，最后所有电子都垂直于边界离开磁场。已知：电子质量为，电量大小为e，电场强度大小为。求： (1)电子进入轴上方磁场前的最大速度v1的大小； (2)直线的方程； (3)现将第一象限的磁场反向（即垂直纸面向外），大小不变。并将第三象限的磁场去掉，同时在第四象限直线CD的下方，以CD为上边界，右边和下边广阔，左边受限，加上一大小为，(未知）垂直纸面向里的匀强磁场，确保所有电子都汇集到同一点（-8a，-5a），求第四象限所加磁场的大小及磁场左边界满足的关系。 8．（2025·重庆巴蜀中学·三诊）如图所示，固定在同一水平面内的两条平行光滑金属导轨、间距为，导轨间有垂直于导轨平面，方向竖直向下的匀强磁场，磁感应强度大小为。导轨左侧连接一阻值为的定值电阻，右侧用导线分别与处于磁场外的平行板电容器的和相连，电容器两极板间的距离为，在两极板间放置水平台面，并在台面上安装一直线形挡板并与半径为的圆弧形挡板平滑连接，挡板与台面均固定且绝缘。金属杆倾斜放置于导轨上，始终与导轨成角，杆接入电路的电阻也为，保持金属杆以速度沿平行于的方向匀速滑动(杆始终与导轨接触良好)。质量为、带电量为的滑块，在水平台面上以初速度从位置出发，沿挡板运动并通过位置。电容器两板间的电场视为匀强电场(不考虑台面及挡板对电场的影响)，圆弧形挡板处在电场中。与间距为且仅与间台面粗糙，其间小滑块与台面的动摩擦因数为，其余部分的摩擦均不计，导轨和导线的电阻均不计，重力加速度为。求： (1)小滑块通过位置时的速度大小； (2)保证滑块能完成上述运动的电容器两极板间电场强度的最大值； (3)保证滑块能完成上述运动的金属杆的最大速度大小。 9．（2025·重庆·高三学业质量调研抽测（三））如图，在y≥0，0≤x≤L的I区域存在竖直向上的匀强电场，在y≥0，x>L的II区域存在垂直纸面向外的匀强磁场。置于坐标原点O的粒子发射源可沿x轴正方向发射初速度为v0、质量为m、带电量为+q的粒子，一段时间后与两区域边界成45°角斜向右上方进入II区域，经磁场偏转后垂直击中x轴，不计重力。求：    (1)匀强电场的电场强度大小E； (2)匀强磁场的磁感应强度大小B。 10．（2025·重庆·高三学业质量调研抽测（三））如图，平行光滑金属导轨固定在绝缘水平桌面上，右端连接光滑倾斜轨道，导轨间距为。导轨左侧接有电阻，与区域间存在竖直向上与竖直向下的匀强磁场，磁感应强度大小均为，与、与的距离均为。M导体棒质量为、N绝缘棒质量为，两棒垂直导轨放置。现N棒静止于与之间某位置，M棒在边界静止，某时刻M棒受到水平向右的恒力作用开始运动。已知，当运动到边界时撤去，此时M棒已达到匀速运动。已知整个过程中两棒与导轨始终垂直且接触良好，导轨左侧电阻和M棒接入导轨的电阻均为，其他导体电阻不计，所有碰撞均为弹性碰撞，首次碰撞之后N与M每次碰撞前M均已静止，且碰撞时间极短，M、N始终与导轨垂直且接触良好，求： (1)撤去时M棒的速度大小以及M棒穿过区域过程中系统产生的热量Q； (2)从M棒开始进入区域到M棒第一次静止，通过电阻的电荷量； (3)自发生第一次碰撞后到最终两棒都静止，导体棒M在磁场中运动的总位移大小。 11．（2025·重庆南开中学·质检八）如图所示，平面直角坐标系第一象限存在沿y轴正方向的匀强电场。距离原点O为L处有一个与y轴平行且足够长的荧光屏，荧光屏与x轴相交于Q点。y轴左侧存在垂直平面向里的匀强磁场。一重力可忽略，比荷大小为k的负粒子以速度。从y轴负方向上的P点（）水平向左射入磁场，经磁场、电场后进入无场区的第四象限并最终打到荧光屏上M点（未画出）。若磁场的磁感应强度，电场强度，求 (1)该粒子从射入磁场到打在荧光屏上的时间； (2)OP为多少时，M点距Q点的距离最大并求出该最大值。 12．（2025·重庆育才中学·三诊）利用电场和磁场来控制带电粒子的运动 ，在现代科技、生产、医疗领域中有广泛应用 。如图 甲所示，在竖直平面内建立xOy 坐标系，在 y ≥ 0 的区域存在磁感应强度大小为B 、方向垂直纸面向里的匀强磁场，在O 点沿y 轴正方向放置足够长的荧光屏A。第三象限内存在沿y 轴正方向的匀强电场，在点处沿x 轴正方向射出速度为v0的粒子，恰好从O 点射入磁场，经磁场偏转后打在荧光屏上点 Q。粒子的质量为 m ，电荷量为+q ，不计粒子的重力及粒子间的相互作用 。sin37°= 0.6 ，cos37°= 0.8 。 (1)求电场强度 E 及粒子到达 O 点的速度； (2)该粒子从 P 点运动到Q 点的时间和Q 点坐标； (3)如图乙所示 ，移去荧光屏 A ，在处 ，平行于x 轴放置一足够长的挡板 C ，在电场中 P， O 两点之间有一连续分布的曲线状粒子源，该粒子源沿x 轴正方向以速度持续发射与P点处相同的粒子 ，粒子按y 坐标均匀分布 ，所有粒子经电场偏转后均从O 点进入磁场，粒子源发射一段时间后 停止发射 ，粒子击中挡板 C 立即被吸收。 求曲线状粒子源的坐标方程以及击中挡板 C 的粒子数与发射的总粒子数之比η。 13．（2025·重庆·三诊）一粗细均匀、总电阻为R、边长为L的正方形单匝闭合金属线圈，静置于与线圈平面垂直的匀强磁场中，该磁场的磁感应强度B随时间t变化的关系如图所示，其中、为已知量。整个过程中，线圈无形变。求在时间段内： (1)该线圈中产生的电热Q； (2)通过该线圈截面的电量q。 14．（2025·重庆八中·全真模拟强化训练（三））如图，一半径为的圆表示一柱形区域的横截面，与轴相切于原点，在柱形区域加一方向垂直于纸面向里的匀强磁场，磁感应强度为。在区域存在沿轴正方向的匀强电场。粒子源可静止释放质量为、电荷量为的带正电微粒，位置可在第三、四象限自由调节。当粒子源放置在（0， ）处，释放的微粒在磁场中运动时间为。不计微粒重力。 (1)求电场强度； (2)粒子源放置在坐标（，），释放的微粒在磁场中运动时间为，求满足条件的与的关系式； (3)粒子源坐标（，），满足关系，求在磁场中运动时间最长粒子的对应粒子源坐标。 15．（2025·重庆八中·全真模拟强化训练（三））如图为我国自主研发高层建筑逃生磁力缓降装置，可简化为图a的模型：中间柱体为固定绝缘细杆，细管内沿管均匀安装了圆柱形磁极，磁极周围存在聚集状的水平磁场，俯视图如图（b）。载人逃生装置上安装了一周长为L、匝数为N、总电阻为R的圆形线圈，该线圈套在绝缘细杆上。已知线圈所在处的磁感应强度大小始终为B，线圈和载人逃生装置的质量M，运动过程中线圈始终保持水平且不与磁极接触，重力加速度取g。除了磁场力外，不计任何其它力。求： (1)线圈下落速度稳定时其内部电流的大小和方向（俯视为顺时针或逆时针） (2)若线圈和载人逃生装置从初始位置静止下滑了H后恰好平衡，求此过程中线圈上产生的焦耳热。 16．（2025·重庆·高三二模）如图所示，平面直角坐标系中，圆形区域内充满垂直平面的匀强磁场（图中未画出），圆与x轴相切于坐标原点O，圆心坐标为。第三象限内存在方向的匀强电场，场强大小为E，轴上固定一足够长的粒子接收薄板。一群质量为m、电荷量为q的粒子，沿方向以相同速度从第二象限射入圆形区域。粒子分布在区域内各处，经圆内磁场偏转后均能从O点进入电场区域，并最终落在上区域（最远落在C点）。忽略粒子重力及粒子间的相互作用，求： (1)该匀强磁场的磁感应强度； (2)的距离； (3)落在C处的粒子在磁场中运动的时间。 17．（2025·重庆育才中学·模拟）如图所示，A点为一平台右边缘一点，平台右侧存在一半径为R=0.5 m的固定绝缘光滑圆弧轨道。其中Q点为轨道最高点且与点A等高。圆弧左边缘P点与圆心O的连线与竖直直径QM的夹角为53°。过P点的竖直面右侧存在水平方向的匀强电场（图中未画出）。一质量为m=0.8 kg，电荷量为q=+2×10-6 C的小球（可视作质点且电荷量不变）从A点水平向右抛出，恰好于P点与轨道相切进入轨道。小球的运动轨迹与圆弧轨道在同一竖直面内，不计空气阻力，sin53°=0.8，cos53°=0.6，则： (1)求小球从平台上的A点射出时的速度大小v0； (2)若匀强电场方向水平向右且电场强度E=3×106 N/C，求小球对圆弧轨道的最大压力大小。 18．（2025·重庆·高考核心卷）磁悬浮列车系统简化为如图所示的物理模型：水平光滑绝缘平行直导轨间，等距离分布方向相反的匀强磁场，磁感应强度大小均为，已知导轨的间距为，每个磁场分布区间的长度都是。导轨上有边长为、质量为的单匝正方形金属线框，电阻为。线框以速度开始向前滑行，求： (1)开始滑行时，两部分磁场在线框中产生的总电流I； (2)线框只在安培力作用下停止滑行时，通过线框截面的电荷量。 19．（2025·重庆八中·全真模考）某同学设计了一种利用电场控制粒子运动的理想模型，如图甲所示，水平放置的长度为平行金属板、间距为，一质量为，带电量为的正粒子沿两板中央水平射入，重力加速度为。如图乙所示，加在板、间的电势差呈周期性变化，其正向电压为，反向电压为，周期为，若粒子撞击平行金属板，将被金属板吸收，不计A、板两端处电场的边界效应。求： (1)粒子在不同时刻进入板间的加速度大小； (2)若粒子入射速度大小为，要求粒子从金属板右侧射出，粒子的入射时刻满足的条件。 (3)某时刻入射的粒子恰能从板右侧中央点水平飞出，粒子入射速度大小的可能值。 / 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题13 电学计算 考点 五年考情（2021-2025） 命题趋势 考点1 静电场 2023 命题逐渐引入非线性元件的数学化处理，如通过二极管的伏安特性曲线分析非理想电路的动态响应，结合分段函数思想计算不同电压区间的电流分布。实验探究方面，常设计验证闭合电路欧姆定律的数字化实验，利用电压传感器测量 U-I 曲线，结合线性拟合方法求解电源电动势与内阻并评估系统误差，体现理论与实证的深度融合。 能力要求上，突出数学工具的工程化应用与逻辑推理的严谨性。考生需熟练运用导数分析瞬时电动势的变化率，或通过积分计算非匀强磁场中的磁通量变化量；部分试题引入有限差分法，如通过分段线性拟合处理复杂电路中的暂态过程。实验设计能力的考查力度显著增强，例如设计测量半导体热敏电阻温度系数的实验方案时，需综合考虑温控系统精度、电路结构优化与数据修正方法。部分试题还引入多维度动态建模能力，如通过 “场 - 路 - 能” 转化链分析智能电网中的功率分配问题，或利用傅里叶变换简化周期性交变电流的谐波分析，全面检验考生对物理规律的迁移能力与创新应用水平。 考点2 磁场 2022 考点3 电磁感应 2021、2024、2025 考点01 静电场 1．（2023·重庆·高考）某同学设计了一种粒子加速器的理想模型。如图所示，xOy平面内，x轴下方充满垂直于纸面向外的匀强磁场，x轴上方被某边界分割成两部分，一部分充满匀强电场（电场强度与y轴负方向成α角），另一部分无电场，该边界与y轴交于M点，与x轴交于N点。只有经电场到达N点、与x轴正方向成α角斜向下运动的带电粒子才能进入磁场。从M点向电场内发射一个比荷为的带电粒子A，其速度大小为v0、方向与电场方向垂直，仅在电场中运动时间T后进入磁场，且通过N点的速度大小为2v0。忽略边界效应，不计粒子重力。 （1）求角度α及M、N两点的电势差。 （2）在该边界上任意位置沿与电场垂直方向直接射入电场内的、比荷为的带电粒子，只要速度大小适当，就能通过N点进入磁场，求N点横坐标及此边界方程。 （3）若粒子A第一次在磁场中运动时磁感应强度大小为B1，以后每次在磁场中运动时磁感应强度大小为上一次的一半，则粒子A从M点发射后，每次加速均能通过N点进入磁场。求磁感应强度大小B1及粒子A从发射到第n次通过N点的时间。 【答案】（1），；（2），；（3）， 【来源】2023年高考重庆卷物理真题 【详解】（1）粒子M点垂直于电场方向入射，粒子在电场中做类平抛运动，沿电场方向做匀加速直线运动，垂直于电场方向做匀速直线运动，在N点将速度沿电场方向与垂直于电场方向分解，在垂直于电场方向上有，解得，粒子从过程，根据动能定理有，解得 （2）对于从M点射入的粒子，沿初速度方向的位移为，沿电场方向的位移为，令N点横坐标为，根据几何关系有，解得，根据上述与题意可知，令粒子入射速度为v，则通过N点进入磁场的速度为2v，令边界上点的坐标为（x，y）则在沿初速度方向上有 在沿电场方向有解得 （3）由上述结果可知电场强度，解得，设粒子A第次在磁场中做圆周运动的线速度为，可得第次在N点进入磁场的速度为，第一次在N点进入磁场的速度大小为，可得，设粒子A第次在磁场中运动时的磁感应强度为，由题意可得，由洛伦兹力提供向心力得，联立解得粒子A第n次在磁场中的运动轨迹如图所示    粒子每次在磁场中运动轨迹的圆心角均为300°，第n次离开磁场的位置C与N的距离等于，由C到N由动能定理得，，联立上式解得，由类平抛运动沿电场方向的运动可得，粒子A第n次在电场中运动的时间为，粒子A第n次在磁场中运动的周期为 粒子A第n次在磁场中运动的时间为，设粒子A第n次在电场边界MN与x轴之间的无场区域的位移为，边界与x轴负方向的夹角为，则根据边界方程可得，，由正弦定理可得，解得，粒子A第n次在电场边界MN与x轴之间运动的时间为 粒子A从发射到第n次通过N点的过程，在电场中运动n次，在磁场和无场区域中均运动n-1次，则所求时间，由等比数列求和得、 解得 考点02 磁场 2．（2022·重庆·高考）某同学以金属戒指为研究对象，探究金属物品在变化磁场中的热效应。如图所示，戒指可视为周长为L、横截面积为S、电阻率为的单匝圆形线圈，放置在匀强磁场中，磁感应强度方向垂直于戒指平面。若磁感应强度大小在时间内从0均匀增加到，求： （1）戒指中的感应电动势和电流； （2）戒指中电流的热功率。 【答案】（1），；（2） 【详解】（1）设戒指的半径为，则有，磁感应强度大小在时间内从0均匀增加到，产生的感应电动势为，可得，戒指的电阻为，则戒指中的感应电流为 （2）戒指中电流的热功率为 考点03 电磁感应 3．（2025·重庆·高考）研究小组设计了一种通过观察粒子在荧光屏上打出的亮点位置来测量粒子速度大小的装置，如题图所示，水平放置的荧光屏上方有沿竖直方向强度大小为B，方向垂直于纸面向外的匀强磁场。O、N、M均为荧光屏上的点，且在纸面内的同一直线上。发射管K（不计长度）位于O点正上方，仅可沿管的方向发射粒子，一端发射带正电粒子，另一端发射带负电粒子，同时发射的正、负粒子速度大小相同，方向相反，比荷均为。已知，，不计粒子所受重力及粒子间相互作用。 (1)若K水平发射的粒子在O点产生光点，求粒子的速度大小。 (2)若K从水平方向逆时针旋转60°，其两端同时发射的正、负粒子恰都能在N点产生光点，求粒子的速度大小。 (3)要使（2）问中发射的带正电粒子恰好在M点产生光点，可在粒子发射t时间后关闭磁场，忽略磁场变化的影响，求t。 【答案】(1) (2) (3) 【详解】（1）由题意粒子水平发射后做匀速圆周运动，要在O点产生光点，其运动半径 运动过程中由洛伦兹力提供向心力有，联立解得 （2）若K从水平方向逆时针旋转60°，其两端同时发射的正、负粒子恰都能在N点产生光点，则两端粒子的轨迹正好构成一个完整的圆，且在N点相切，如图 由于K从水平方向逆时针旋转60°，则，根据和和关系可知此时粒子做匀速圆周运动的半径为 根据洛伦兹力提供向心力可知，解得 （3）由题意带正电粒子恰好在M点产生光点，则关闭磁场时粒子速度恰好指向M，过M点做正电粒子轨迹的切线，切点为P，如图 根据前面解析可知，所以，由于，且，根据几何关系可知，而，所以，粒子在磁场中运动的周期，对应的圆心角，所以 4．（2024·重庆·高考）有人设计了一粒种子收集装置。如图所示，比荷为的带正电的粒子，由固定于M点的发射枪，以不同的速率射出后，沿射线MN方向运动，能收集各方向粒子的收集器固定在MN上方的K点，O在MN上，且KO垂直于MN。若打开磁场开关，空间将充满磁感应强度大小为B，方向垂直于纸面向里的匀强磁场，速率为v0的粒子运动到O点时，打开磁场开关，该粒子全被收集，不计粒子重力，忽略磁场突变的影响。 (1)求OK间的距离； (2)速率为4v0的粒子射出瞬间打开磁场开关，该粒子仍被收集，求MO间的距离； (3)速率为4v0的粒子射出后，运动一段时间再打开磁场开关，该粒子也能被收集。以粒子射出的时刻为计时O点。求打开磁场的那一时刻。    【答案】(1) (2) (3) 【详解】（1）当粒子到达О点时打开磁场开关，粒子做匀速圆周运动，设轨迹半径为r1，如图所示    由洛伦兹力提供向心力得，其中 （2）速率为4v0的粒子射出瞬间打开磁场开关，则粒子在磁场中运动的轨迹半径r2 = 4r1，如图所示，由几何关系有（4r1-2r1）2＋MO2 = (4r1)2，解得 （3）速率为4v0的粒子射出一段时间t到达N点，要使粒子仍然经过K点，则N点在O点右侧，如图所示    由几何关系有（4r1-2r1）2＋ON2 = (4r1)2，解得，粒子在打开磁场开关前运动时间为 解得 5．（2024·重庆·高考）小明设计了如图所示的方案，探究金属杆在磁场中的运动情况，质量分别为2m、m的金属杆P、Q用两根不可伸长的导线相连，形成闭合回路，两根导线的间距和P、Q的长度均为L，仅在Q的运动区域存在磁感应强度大小为B、方向水平向左的匀强磁场。Q在垂直于磁场方向的竖直面内向上运动，P、Q始终保持水平，不计空气阻力、摩擦和导线质量，忽略回路电流产生的磁场。重力加速度为g，当P匀速下降时，求 （1）P所受单根导线拉力的大小； （2）Q中电流的大小。    【答案】（1）mg；（2） 【来源】2024年高考重庆卷物理真题 【详解】（1）由P匀速下降可知，P处于平衡状态，所受合力为0，设导线的拉力大小为T，对P有2T = 2mg解得T = mg （2）设Q所受安培力大小为F，对P、Q整体受力分析，有mg＋F = 2mg，又F = BIL，解得 6．（2021·重庆·高考）如图1所示的竖直平面内，在原点O有一粒子源，可沿x轴正方向发射速度不同、比荷均为的带正电的粒子。在的区域仅有垂直于平面向内的匀强磁场；的区域仅有如图2所示的电场，时间内和时刻后的匀强电场大小相等，方向相反（时间内电场方向竖直向下），时间内电场强度为零。在磁场左边界直线上的某点，固定一粒子收集器（图中未画出）。0时刻发射的A粒子在时刻经过左边界进入磁场，最终被收集器收集；B粒子在时刻以与A粒子相同的发射速度发射，第一次经过磁场左边界的位置坐标为；C粒子在时刻发射，其发射速度是A粒子发射速度的，不经过磁场能被收集器收集。忽略粒子间相互作用力和粒子重力，不考虑边界效应。 (1)求电场强度E的大小； (2)求磁感应强度B的大小； (3)设时刻发射的粒子能被收集器收集，求其有可能的发射速度大小。 【答案】(1)；(2)；(3) 、、 【详解】（1）由粒子类平抛 粒子先类平抛后匀直，可得，，，，或，解得 （2）对粒子类平抛，得，A进入磁场时速度与轴正方向夹角为，则，得 即，A粒子做匀圆，速度为半径为，有，由，可得对粒子类平抛运动的时间为 ，可得，由几何关系 得，联立解得 （3）①设直接类平抛过D点，即， 解得 ②设先类平抛后匀圆过D点，刚进入磁场时与轴夹角为、偏移的距离为， 则， ，整理得令，则上式变成观察可得是其中一解，所以上方程等价于 可得其解是或（另一解不符合题意，舍去）则有或综上所述，能够被粒子收集器收集的粒子速度有：、、。 1．（2025·重庆巴蜀中学·三诊）如图所示，平面内，在的区域存在匀强电场，电场强度大小为，方向与方向夹角为；在轴下方存在匀强磁场，方向垂直于纸面向外。一质量为、电荷量为的带正电的粒子以大小为的初速度从原点沿轴正方向射出，一段时间后粒子第一次从点进入磁场，在磁场中运动一段时间后回到原点再进入电场。不计粒子的重力，取,。 (1)求粒子从到点的时间； (2)求磁感应强度的大小； (3)若在正半轴上另放置个质量也为的不带电微粒(按碰撞顺序标号依次为1、2、)，使带电粒子最初从点出发后每次从电场进入磁场时都恰好与一个不带电微粒发生正碰，碰后结合为一个整体，该整体仍可视为质点，且总质量与电荷量不变，不计重力。求第个微粒的位置坐标。 【答案】(1) (2) (3)或 【详解】（1）带电粒子在电场中运动时，则y方向有，解得，粒子经第一次到达P点，此时粒子在y方向上速度为，则，联立解得 （2）对粒子，x方向有，解得，由，联立解得，设粒子第一次经过点时速度大小为，方向与轴正向夹角为，由解得第一次在磁场中圆周运动半径，半径在x轴方向的投影 ，由，联立解得 （3）如图所示 每次碰后在磁场中偏转后回到电场，以及在电场中偏转后进行下一次碰前，过x轴时y方向速度大小不变，设第n次碰后y方向速度为，则，碰撞过程中，y方向动量守恒： ，第n次在磁场中圆周运动半径的x轴投影，即每次碰后，经磁场后都要向方向返回 第n次在电场中运动时，在y方向做匀变速直线运动，则有，解得 ，即每次在电场中偏转时间相同，第一次碰前x方向速度：，与第①个静止微粒碰撞，x方向动量守恒有，解得，在磁场中偏转后回到电场时x方向速度仍为，第二次碰前x方向速度，与第②个静止微粒碰撞，x方向动量守恒有，解得，第三次碰前x方向速度，易知，第（n−1）次碰后x方向速度为 ，第n次碰前x方向速度，第（n−1）次碰后到第n次碰前，沿+x方向前进距离，解得，综上，第n个微粒的位置坐标 联立可得或 解得或 2．（2025·重庆育才中学·二模）如题图所示，平面直角坐标系xOy中，第一象限存在沿y轴负方向的匀强电场，第三、四象限存在垂直纸面向外的匀强磁场。一质量为m、电荷量为q的带电粒子，从y轴上的以一定的初速度沿x轴正方向射入第一象限，到达时速度大小为v，又经x轴上的M点射入磁场，最后从x轴上的N点离开磁场，M、N关于O点对称，均不计粒子重力，求： (1)M点的坐标； (2)磁感应强度B的大小； (3)撤掉甲图中的电场和磁场，在一、二象限加上图乙所示的磁场，磁场方向垂直纸面向外，磁场关于y轴对称，一簇相同的带正电的粒子从N点以不同方向射入，速度方向与x轴正方向的夹角0<θ<90°，所有粒子穿越磁场后都汇聚于M，已知所有粒子在磁场中做圆周运动的半径均为r，求磁场边界的函数方程。 【答案】(1) (2) (3)当时， 当时 【详解】（1）带电粒子在第一象限做类平抛运动，可得 依题意，从P点到Q点和从P点到M点的竖直方向位移关系为 解得 又根据，可知 则M点的横轴坐标为，即M点坐标为。 （2）设到M点速度方向与x轴的夹角为α，则 解得 设Q点竖直分速度为，则M点竖直分速度为 所以M点得速度满足 根据几何关系，可得 解得 带电粒子在磁场中做匀速圆周运动，可得 根据几何关系，可得 联立解得 （3）当时，满足解得 当时，满足。 3．（2025·重庆一中·三模）在xOy平面内，仅在y轴右侧某边界上方存在竖直向下的匀强电场，大小为E；边界下方存在垂直纸面向外的匀强磁场，大小为B（图中均未画出）。一群质量为m、电荷量为+q（q>0）的粒子从坐标原点O，以速度方向与y轴正半轴夹角为α（）、大小任意的初速度射入电场区域，运动到边界时，速度方向均与y轴负半轴夹角30°射入磁场区域，不计粒子相互作用力和重力，不考虑场的边界效应。 (1)若粒子初速度大小为v0，求粒子在电场中运动的时间； (2)求该边界的方程及粒子轨迹恰好与x轴相切时的初速度大小； (3)在处固定一个绝缘弹性小圆柱，若粒子撞击小圆柱后速度大小不变，方向相反（粒子电荷量不发生转移），同时仅在粒子撞击小圆柱后磁场方向立刻反向且大小不变。粒子能回到坐标原点O，求粒子初速度大小的可能值。 【答案】(1) (2)， (3)，， 【详解】（1）根据牛顿第二定律得 在电场里运动速度变化量又Δv=aΔt，解得 （2）水平方向 竖直方向 则边界方程 设初速度与边界的夹角为θ，沿着直线边界方向的位移为x0，则， 设粒子在磁场中做匀速圆周运动的半径为R，则 粒子轨迹恰好与x轴相切，由几何关系可知 解得 （3）由边界方程可知小圆柱恰好位于边界上。 情况一：经过电场磁场直接回到O点，则 解得 情况二：经过电场撞击小圆柱后反弹回到O点，则 解得 情况三：经过电场，磁场后撞击小圆柱反弹再回到O点，则 解得 4．（2025·重庆育才·全真模考）小池同学设计了如图所示的装置来选择一定速率范围的带电粒子。MN为水平放置的两平行金属板，两板正对且长度均为L、板间间距为，平行金属板内部有竖直向下的匀强电场，电场强度大小为。金属板右侧竖直放置一足够长的荧光屏，荧光屏到金属板右侧的距离也为L。金属板左侧某区域存在垂直纸面向里的匀强磁场，P为粒子源且PM在同一水平面上，粒子源能沿PQ方向发射质量为m、电量为－q（q>0）的某种粒子，粒子速率在0~vm范围内连续分布。粒子从P射出后会立即进入匀强磁场区域，所有粒子离开磁场后均能沿水平方向射入平行金属板之间，之后打在金属板上的粒子会被吸收且对电场无影响，速度为vm的粒子恰好从S点垂直进入平行金属板。已知PQ与PM夹角为60°，S点位于磁场边界且到下极板M的距离为L，不计粒子重力和粒子间的相互作用。求： (1)该磁场的磁感应强度大小； (2)该磁场的最小面积； (3)荧光屏上有粒子打到的区域的最大长度。 【答案】(1) (2) (3) 【详解】（1）考虑速度为的粒子，粒子从S点离开磁场，由初速度、末速度方向作垂线得到轨迹圆心O，如图1所示 由几何关系可知此时 由洛伦兹力提供向心力有 解得 （2）要使得不同速度的粒子运动方向均顺时针转过60°，在角平分线上构建直线边界PS，PS左上方有匀强磁场，速度为的粒子构成磁场上边界，形成一弓形磁场区域如图2所示 由几何关系可知弓形面积 （3）如图3所示，设出射方向距离直线PM距离为x的粒子，其轨迹半径为，在电场中沿电场中的偏移量为有y，打在荧光屏上的位置与A点相距Y 由几何知 根据匀变速直线运动规律有 则 能打在荧光屏上的v是有范围的。粒子能通过金属板，要求（取等表示恰能通过）。 代入得 显然x=L是该方程的一个根。 再因式分解可得 即能通过平行板的粒子速度范围为 接下来求Y的范围，可直接对Y求导（自变量是v），则 令可得 对应的最值为 当v=vm时，解得 当，解得 综上，Y的长度为 5．（2025·重庆育才·全真模考）如图所示，一闭合矩形单匝导线框abcd放在水平面内，其质量为m，阻值为R，ab边长为L；左、右两边界平行的区域内有磁感应强度大小为B、方向竖直向下的匀强磁场。当线框ab边进入磁场左边界时速度为v0，当cd边离开磁场右边界时线框速度恰好为。已知运动中ab边始终与磁场左边界平行，忽略导线框受到的地面阻力、空气阻力及导线框的自感，求： (1)线框ab边进入磁场时，线框的加速度的大小； (2)ab边进入磁场到cd边离开磁场的过程中，导线框abcd产生的焦耳热。 【答案】(1) (2) 【详解】（1）ab进入磁场时，根据法拉第电磁感应定律有 根据闭合电路欧姆定律有 安培力大小为 由牛顿第二定律有 联立解得 （2）对全过程，根据能量守恒定律有 解得 6．（2025·重庆西南大附中·全真模考）如图，高为h的绝缘水平桌面上固定有间距为L的U形金属导轨，导轨一端接有阻值为R的电阻。质量均为m的导体棒a和b静止在导轨上，与导轨接触良好且始终与导轨垂直，接入电路的阻值均为R，与导轨间的动摩擦因数均为μ（设最大静摩擦力等于滑动摩擦力）。整个空间存在竖直方向的匀强磁场（图中未画出），磁感应强度大小为B。现用大小为F、沿导轨水平向右的恒力拉a，当a运动到导轨最右端时，b刚要滑动，此时撤去拉力，a离开导轨后落到水平地面上。重力加速度为g，不计空气阻力，不计导轨电阻。求： (1)当a运动到导轨最右端时，b受到的安培力大小和方向； (2)a运动至导轨最右端时（撤去F前）的加速度大小； (3)a的落地点与导轨最右端的水平距离x。 【答案】(1)，安培力方向向左 (2) (3) 【详解】（1）b刚要滑动时有 根据楞次定律“来拒去留”可知，b受到的安培力方向向左。 （2）对a分析，根据牛顿第二定律有 根据并联电路电流关系可知，经过a的电流是b的2倍，则 解得 （3）根据安培力公式有 其中 此后a做平抛运动，则有， 解得 7．（2025·重庆八中·三诊）如题图所示，在平面第一象限内，直线与直线之间存在磁感应强度大小为、方向垂直纸面向里的匀强磁场轴下方有一直线CD与轴平行且与x轴相距为轴与直线CD之间（包含x轴）存在沿y轴正方向的匀强电场；在第三象限，直线CD与直线之间存在磁感应强度大小也为B、方向垂直纸面向外的匀强磁场。纸面内有一束宽度为的平行电子束，如图，沿y轴负方向射入第一象限的匀强磁场，各电子的速度随入射位置不同大小各不相等，电子束的左边界与y轴的距离也为，经第一象限磁场偏转后发现所有电子都可以通过原点并进入轴下方的电场，最后所有电子都垂直于边界离开磁场。已知：电子质量为，电量大小为e，电场强度大小为。求： (1)电子进入轴上方磁场前的最大速度v1的大小； (2)直线的方程； (3)现将第一象限的磁场反向（即垂直纸面向外），大小不变。并将第三象限的磁场去掉，同时在第四象限直线CD的下方，以CD为上边界，右边和下边广阔，左边受限，加上一大小为，(未知）垂直纸面向里的匀强磁场，确保所有电子都汇集到同一点（-8a，-5a），求第四象限所加磁场的大小及磁场左边界满足的关系。 【答案】(1) (2) (3)， 【来源】2025届重庆市第八中学高三下学期三诊物理试卷 【详解】（1）根据题意分析可知，所有电子在第一象限都经历一个四分之一侧周运动后通过原点并沿-x轴方向进入x轴下方的电场，最大速度对应最大半径，则有 r1=2a 根据洛伦兹力提供向心力可得联立解得电子进入x轴上方磁场前的最大速度为 （2）由题意可得所有电子都垂直于EF边界离开磁场，则所有电子运动轨迹的圆心都在 EF直线上,由以上分析可得，经过直线 CD时，设任何电子的-x方向的分速度为 根据运动学公式，在y方向有 其中 在x方向，有 解得 则电子经过直线CD的坐标为(-2ka，-a)，电子经过直线CD的合速度为 速度方向与水平方向的夹角的正切值为 则圆心位置对应的坐标为， 因为电子垂直于直线EF出射，所以圆心也在直线上，可得EF直线为 （3）设某一粒子从电场入射时位置为(x0，0)则轨迹如图 其入射速度、时间关于x0有轨道半径为，，， 射出电场得坐标为 那么当粒子从电场出射时，出射位置横坐标x1与水平分速度vx满足 在磁场中运动时，轨迹圆的圆心， 解得直线l1为 由(2)问知所有粒子垂直经过此直线。 考虑到汇聚的要求，可以考虑利用“入射粒子入射磁场时平行磁场速度与横坐标为线性 关系”这一点，做CD关于l1对称的直线l。 再将入射磁场粒子束视为全部从(0,3a)匀速直线射出并进入CD处磁场，那么粒子束的运 动将关于l1对称，它们将汇聚到(0，3a)关于l的对称点。代入此点位置(-8a，-5a) 解得l1为 y=-5a-x； 磁场左边界满足的关系x=-4a 8．（2025·重庆巴蜀中学·三诊）如图所示，固定在同一水平面内的两条平行光滑金属导轨、间距为，导轨间有垂直于导轨平面，方向竖直向下的匀强磁场，磁感应强度大小为。导轨左侧连接一阻值为的定值电阻，右侧用导线分别与处于磁场外的平行板电容器的和相连，电容器两极板间的距离为，在两极板间放置水平台面，并在台面上安装一直线形挡板并与半径为的圆弧形挡板平滑连接，挡板与台面均固定且绝缘。金属杆倾斜放置于导轨上，始终与导轨成角，杆接入电路的电阻也为，保持金属杆以速度沿平行于的方向匀速滑动(杆始终与导轨接触良好)。质量为、带电量为的滑块，在水平台面上以初速度从位置出发，沿挡板运动并通过位置。电容器两板间的电场视为匀强电场(不考虑台面及挡板对电场的影响)，圆弧形挡板处在电场中。与间距为且仅与间台面粗糙，其间小滑块与台面的动摩擦因数为，其余部分的摩擦均不计，导轨和导线的电阻均不计，重力加速度为。求： (1)小滑块通过位置时的速度大小； (2)保证滑块能完成上述运动的电容器两极板间电场强度的最大值； (3)保证滑块能完成上述运动的金属杆的最大速度大小。 【答案】(1) (2) (3) 【来源】2025届重庆市巴蜀中学高三下学期三诊物理试卷 【详解】（1）小滑块运动到位置时速度为，由动能定理得 解得 （2）由题意可知，电场方向如图 电场强度最大时，小滑块恰能通过位置P，后沿挡板滑至，设小滑块在位置P的速度为，设匀强电场的电场强度为E 由动能定理得 恰能通过图示位置P时，则有 联立解得 （3）设金属棒产生的电动势为，平行板电容器两端的电压为U，则有 导体棒切割磁感线有 由全电路的欧姆定律得 根据 联立可得 9．（2025·重庆·高三学业质量调研抽测（三））如图，在y≥0，0≤x≤L的I区域存在竖直向上的匀强电场，在y≥0，x>L的II区域存在垂直纸面向外的匀强磁场。置于坐标原点O的粒子发射源可沿x轴正方向发射初速度为v0、质量为m、带电量为+q的粒子，一段时间后与两区域边界成45°角斜向右上方进入II区域，经磁场偏转后垂直击中x轴，不计重力。求：    (1)匀强电场的电场强度大小E； (2)匀强磁场的磁感应强度大小B。 【答案】(1) (2) 【来源】2025届重庆市高三下学期学业质量调研抽测（第三次）物理试卷 【详解】（1）粒子在电场中做类平抛运动，水平方向做匀速直线运动，则有 解得粒子平抛运动的时间 结合题意可知，粒子进入磁场中速度与竖直方向的夹角为，则有 由于粒子在竖直方向做匀加速直线运动，根据牛顿第二定律则有 结合匀变速直线运动规律则有 联立解得    （2）根据上述分析可知，粒子在电场中，竖直方向的位移 粒子进入磁场中的速度 作出粒子在磁场中运动轨迹，根据题意可知，粒子圆周运动的轨道半径 粒子圆周运动时，洛伦兹力提供圆周运动的向心力，则有 联立解得 10．（2025·重庆·高三学业质量调研抽测（三））如图，平行光滑金属导轨固定在绝缘水平桌面上，右端连接光滑倾斜轨道，导轨间距为。导轨左侧接有电阻，与区域间存在竖直向上与竖直向下的匀强磁场，磁感应强度大小均为，与、与的距离均为。M导体棒质量为、N绝缘棒质量为，两棒垂直导轨放置。现N棒静止于与之间某位置，M棒在边界静止，某时刻M棒受到水平向右的恒力作用开始运动。已知，当运动到边界时撤去，此时M棒已达到匀速运动。已知整个过程中两棒与导轨始终垂直且接触良好，导轨左侧电阻和M棒接入导轨的电阻均为，其他导体电阻不计，所有碰撞均为弹性碰撞，首次碰撞之后N与M每次碰撞前M均已静止，且碰撞时间极短，M、N始终与导轨垂直且接触良好，求： (1)撤去时M棒的速度大小以及M棒穿过区域过程中系统产生的热量Q； (2)从M棒开始进入区域到M棒第一次静止，通过电阻的电荷量； (3)自发生第一次碰撞后到最终两棒都静止，导体棒M在磁场中运动的总位移大小。 【答案】(1)， (2) (3) 【来源】2025届重庆市高三下学期学业质量调研抽测（第三次）物理试卷 【详解】（1）由于撤去时M棒已经达到匀速运动，则有 又， 则 整理得 其中 解得 对M棒，由能量守恒有 解得 （2）两棒发生完全弹性碰撞，根据动量守恒及机械能守恒可得 解得 M棒进入区域磁场中到停下，由动量定理得 解得通过电阻的电荷量 （3）M棒进入区域磁场运动后停下，则 解得绝缘棒N第二次与导体棒M碰前速度大小为，碰后速度为，方向水平向右，导体棒M的速度为，由弹性碰撞可得 解得 对导体棒M，由动量定理有 解得同理可得绝缘棒N第三次与导体棒M碰前速度大小为，碰后的速度为，方向水平向右，导体棒M的速度为，由弹性碰撞可得 解得 对导体棒M，由动量定理有 解得 依次类推 解得 所以导体棒在磁场中的运动位移为 11．（2025·重庆南开中学·质检八）如图所示，平面直角坐标系第一象限存在沿y轴正方向的匀强电场。距离原点O为L处有一个与y轴平行且足够长的荧光屏，荧光屏与x轴相交于Q点。y轴左侧存在垂直平面向里的匀强磁场。一重力可忽略，比荷大小为k的负粒子以速度。从y轴负方向上的P点（）水平向左射入磁场，经磁场、电场后进入无场区的第四象限并最终打到荧光屏上M点（未画出）。若磁场的磁感应强度，电场强度，求 (1)该粒子从射入磁场到打在荧光屏上的时间； (2)OP为多少时，M点距Q点的距离最大并求出该最大值。 【答案】(1) (2)， 【详解】（1）由 可得 磁场中做半个圆周运动用时 电场中水平方向匀速运动，则用时 故 （2）设粒子进入第四象限时速度与x轴正向夹角为，M点距Q点距离为d。粒子在一象限做平抛运动的水平位移为x，竖直位移为y。 粒子在第四象限做匀速直线运动有 又有 故 粒子在第一象限有， 得到 将其代入上式得 由二次函数知当时d有最大值 此时，故 12．（2025·重庆育才中学·三诊）利用电场和磁场来控制带电粒子的运动 ，在现代科技、生产、医疗领域中有广泛应用 。如图 甲所示，在竖直平面内建立xOy 坐标系，在 y ≥ 0 的区域存在磁感应强度大小为B 、方向垂直纸面向里的匀强磁场，在O 点沿y 轴正方向放置足够长的荧光屏A。第三象限内存在沿y 轴正方向的匀强电场，在点处沿x 轴正方向射出速度为v0的粒子，恰好从O 点射入磁场，经磁场偏转后打在荧光屏上点 Q。粒子的质量为 m ，电荷量为+q ，不计粒子的重力及粒子间的相互作用 。sin37°= 0.6 ，cos37°= 0.8 。 (1)求电场强度 E 及粒子到达 O 点的速度； (2)该粒子从 P 点运动到Q 点的时间和Q 点坐标； (3)如图乙所示 ，移去荧光屏 A ，在处 ，平行于x 轴放置一足够长的挡板 C ，在电场中 P， O 两点之间有一连续分布的曲线状粒子源，该粒子源沿x 轴正方向以速度持续发射与P点处相同的粒子 ，粒子按y 坐标均匀分布 ，所有粒子经电场偏转后均从O 点进入磁场，粒子源发射一段时间后 停止发射 ，粒子击中挡板 C 立即被吸收。 求曲线状粒子源的坐标方程以及击中挡板 C 的粒子数与发射的总粒子数之比η。 【答案】(1)，与y轴正方向夹角为30o (2)， (3)， 【详解】（1）粒子在电场中做类平抛运动，水平方向上，粒子做匀速直线运动，则有 竖直方向上粒子做匀加速直线运动，则有 联立解得，粒子在竖直方向的加速度 对粒子受力分析，由牛顿第二定律可得 解得电场强度的大小为 粒子到达O点时竖直方向的分速度 故粒子到达O点时的速度 设速度方向与y正方向的夹角为，由几何关系可知 即 （2）粒子进入磁场后，运动轨迹如图所示 圆心角 粒子在磁场中做匀速圆周运动，洛伦兹力提供向心力，则有 解得 故 粒子在磁场中运动的周期 粒子从O到Q运动的时间为 故粒子从 P 点运动到Q 点的时间 （3）设粒子在第三象限内的加速度为a，曲线上的点坐标为，最终都过点O，即满足， 联立可得 又因为该曲线经过点，代入解得经分析，所有粒子经电场偏转后均从O点进入磁场，且均经过Q点进入第二象限。如图所示 设发射粒子的初始位置纵坐标为，从O点进入第一象限与x轴正方向夹角为，其轨迹恰好与挡板相切，粒子经过O点速度 粒子圆周运动的半径 由已知条件 联立解得 粒子在电场中做匀变速曲线运动，根据 解得 所以 联立解得 故有 13．（2025·重庆·三诊）一粗细均匀、总电阻为R、边长为L的正方形单匝闭合金属线圈，静置于与线圈平面垂直的匀强磁场中，该磁场的磁感应强度B随时间t变化的关系如图所示，其中、为已知量。整个过程中，线圈无形变。求在时间段内： (1)该线圈中产生的电热Q； (2)通过该线圈截面的电量q。 【答案】(1) (2) 【详解】（1）由法拉第电磁感应定律 可得在时间段内，该线圈中产生的感应电动势 在时间段内，该线圈中产生的感应电动势 因此，时间段内，该线圈中产生的电热 （2）在时间段内，通过该线圈的电量 联立解得 14．（2025·重庆八中·全真模拟强化训练（三））如图，一半径为的圆表示一柱形区域的横截面，与轴相切于原点，在柱形区域加一方向垂直于纸面向里的匀强磁场，磁感应强度为。在区域存在沿轴正方向的匀强电场。粒子源可静止释放质量为、电荷量为的带正电微粒，位置可在第三、四象限自由调节。当粒子源放置在（0， ）处，释放的微粒在磁场中运动时间为。不计微粒重力。 (1)求电场强度； (2)粒子源放置在坐标（，），释放的微粒在磁场中运动时间为，求满足条件的与的关系式； (3)粒子源坐标（，），满足关系，求在磁场中运动时间最长粒子的对应粒子源坐标。 【答案】(1) (2) (3)（，-6R） 【详解】（1）粒子在电场中加速，根据动能定理有 粒子在磁场中偏转，根据洛伦兹力提供向心力，则有 联立解得 （2）根据粒子在磁场中运动时间为 可得粒子在磁场中运动圆心角均为 任取一粒子轨迹，从（）入射，轨迹如图所示 SD、SG分别为从S向两轨迹半径所作垂线，所以SDPG为矩形；PS为轨迹对称轴，所以∠SPG=45°，则SDPG为正方形；根据几何关系可得SD=SG= 轨迹半径r= 根据洛伦兹力提供向心力有 根据动能定理有 联立解得 （3）因粒子源坐标方程关于y轴对称，对于左右对称两个位置发射的粒子，在磁场中运动的半径相同，显然右侧粒子在磁场中运动时间更长，所以运动时间最长的粒子的x>0。 由（2）的几何关系可得 根据洛伦兹力提供向心力有 根据动能定理有 联立解得 则有 令，则有 相当于单位圆上的点到（-3，0）连线的斜率，则相切时斜率最大，此时 解得粒子源坐标为（，-6R） 15．（2025·重庆八中·全真模拟强化训练（三））如图为我国自主研发高层建筑逃生磁力缓降装置，可简化为图a的模型：中间柱体为固定绝缘细杆，细管内沿管均匀安装了圆柱形磁极，磁极周围存在聚集状的水平磁场，俯视图如图（b）。载人逃生装置上安装了一周长为L、匝数为N、总电阻为R的圆形线圈，该线圈套在绝缘细杆上。已知线圈所在处的磁感应强度大小始终为B，线圈和载人逃生装置的质量M，运动过程中线圈始终保持水平且不与磁极接触，重力加速度取g。除了磁场力外，不计任何其它力。求： (1)线圈下落速度稳定时其内部电流的大小和方向（俯视为顺时针或逆时针） (2)若线圈和载人逃生装置从初始位置静止下滑了H后恰好平衡，求此过程中线圈上产生的焦耳热。 【答案】(1)，逆时针 (2) 【详解】（1）线圈下落速度稳定即整体处于平衡状态，重力和安培力相等 则电流为 由右手定则可知电流方向为：俯视图逆时针 （2）线圈下落速度稳定即整体处于平衡状态，重力和安培力相等 由法拉第电磁感应定律有感应电动势为 由欧姆定律有 从静止开始下落到稳定状态过程中由动能定理有 联立解得 16．（2025·重庆·高三二模）如图所示，平面直角坐标系中，圆形区域内充满垂直平面的匀强磁场（图中未画出），圆与x轴相切于坐标原点O，圆心坐标为。第三象限内存在方向的匀强电场，场强大小为E，轴上固定一足够长的粒子接收薄板。一群质量为m、电荷量为q的粒子，沿方向以相同速度从第二象限射入圆形区域。粒子分布在区域内各处，经圆内磁场偏转后均能从O点进入电场区域，并最终落在上区域（最远落在C点）。忽略粒子重力及粒子间的相互作用，求： (1)该匀强磁场的磁感应强度； (2)的距离； (3)落在C处的粒子在磁场中运动的时间。 【答案】(1) (2) (3) 【详解】（1）由几何关系易得，粒子在磁场中做匀速圆周运动的半径 由 解得： 由分析知，粒子带正电，匀强磁场的方向垂直平面向外 （2）设粒子从O点进入电场区域时，速度与方向的夹角为，则 设粒子打在上的位置到O点的距离为，在电场中运动的时间为t，则 平行x轴方向： 平行y轴方向： 联立解得：    当，即时，取最大值 可得： （3）由（2）可知，落在C处的粒子进入电场时对应的 结合几何关系可得，该粒子在磁场中运动的时间 又由 联立解得： 17．（2025·重庆育才中学·模拟）如图所示，A点为一平台右边缘一点，平台右侧存在一半径为R=0.5 m的固定绝缘光滑圆弧轨道。其中Q点为轨道最高点且与点A等高。圆弧左边缘P点与圆心O的连线与竖直直径QM的夹角为53°。过P点的竖直面右侧存在水平方向的匀强电场（图中未画出）。一质量为m=0.8 kg，电荷量为q=+2×10-6 C的小球（可视作质点且电荷量不变）从A点水平向右抛出，恰好于P点与轨道相切进入轨道。小球的运动轨迹与圆弧轨道在同一竖直面内，不计空气阻力，sin53°=0.8，cos53°=0.6，则： (1)求小球从平台上的A点射出时的速度大小v0； (2)若匀强电场方向水平向右且电场强度E=3×106 N/C，求小球对圆弧轨道的最大压力大小。 【答案】(1)3m/s (2)70N 【详解】（1）小球从A到P的过程做平抛运动，设小球在P点时竖直方向上的速度为vPy，则 ， 得v0=3m/s （2）设F为重力与电场力的合力，则 方向与OP垂直指向右下方，又由 而 根据牛顿第二定律 联立解得FN=70N 由牛顿第三定律知F压=70N 18．（2025·重庆·高考核心卷）磁悬浮列车系统简化为如图所示的物理模型：水平光滑绝缘平行直导轨间，等距离分布方向相反的匀强磁场，磁感应强度大小均为，已知导轨的间距为，每个磁场分布区间的长度都是。导轨上有边长为、质量为的单匝正方形金属线框，电阻为。线框以速度开始向前滑行，求： (1)开始滑行时，两部分磁场在线框中产生的总电流I； (2)线框只在安培力作用下停止滑行时，通过线框截面的电荷量。 【答案】(1) (2) 【详解】（1）线框每条竖边在磁场中切割磁感线，则每条竖边上的感应电动势 两条竖边在方向相反的磁场中同时切割磁感线，电动势叠加，根据闭合电路欧姆定律,回路中的电流 解得 （2）线框两条竖边均受到安培力，根据公式可得 对线框分析，根据动量定理有 电荷量 线框停止时，联立解得 19．（2025·重庆八中·全真模考）某同学设计了一种利用电场控制粒子运动的理想模型，如图甲所示，水平放置的长度为平行金属板、间距为，一质量为，带电量为的正粒子沿两板中央水平射入，重力加速度为。如图乙所示，加在板、间的电势差呈周期性变化，其正向电压为，反向电压为，周期为，若粒子撞击平行金属板，将被金属板吸收，不计A、板两端处电场的边界效应。求： (1)粒子在不同时刻进入板间的加速度大小； (2)若粒子入射速度大小为，要求粒子从金属板右侧射出，粒子的入射时刻满足的条件。 (3)某时刻入射的粒子恰能从板右侧中央点水平飞出，粒子入射速度大小的可能值。 【答案】(1) (2) (3) 【详解】（1）设图乙中电场的周期为，正向电压为 若粒子在期间进入板间，粒子受重力和向下的电场力，由牛顿第二定律 解得，方向向下 若粒子在期间进入板间，粒子受重力和向上的电场力，由牛顿第二定律 解得，方向向上 综上，在不同时刻进入板间的加速度大小均为 （2）粒子在平板间运动时间为，即粒子将在板间运动一个周期 不妨假设粒子从进入电场到电场第一次变化之间的时间为，粒子进入电场的时刻为 考虑竖直方向的运动，令，则图像如下： 过程一：粒子将在的时间内，先以零初速、的加速度向某个方向匀加速运动，再以加速度匀减速直至速度变为0。该过程中在竖直方向的运动应满足不撞板： 过程二：粒子在时间内，先以零初速、的加速度向相反方向匀加速运动，再以加速度匀减速直至速度变为0。该过程中在竖直方向的运动应满足不撞板（注意粒子此时不是从OO’上出发的，而是从过程一的末态位置出发），满足 联立解得 则入射时刻满足() （3）要满足粒子恰能从板右侧中央点平行于极板飞出，粒子在板间运动过程，垂直于板方向的位移为0，当粒子到达点时，垂直于板方向的速度为0。 可分两种情况讨论： ①粒子在时进入电场，运动整数个周期后出电场，则可恰好从水平射出。但注意中间粒子不能撞到金属板： 计算得，恒不成立，则该情况不可能成立，舍去。 ②不妨假设粒子从进入电场到电场第一次变化之间的时间为，粒子进入电场的时刻为，设竖直方向运动的初始加速方向为正方向。令，则图像如下： 讨论竖直方向运动，要使出电场时，出电场的坐标点只能是图线与横轴的交点。每次向正方向运动的位移即为图中的轴上方的一个三角形面积；每次向负方向运动的位移即为图中的轴下方的一个三角形面积。 不妨假设向负方向运动的次数为（即大三角形的个数）。要求竖直方向总位移为0，则上方三角形面积较小，且小三角形的个数应当比大三角形的个数多一个（两种三角形个数相同的情况已在①中讨论）。总位移为0：， 解得 整个过程中粒子垂直于板方向的位移大小不能超过。即要求第一次正向运动的位移（第一个小三角形面积）不大于，以及最后一次正向运动的位移不能超过。即：，且 则可得或2 则粒子在板间运动时间 当时， 则，； 当时， 则， / 学科网（北京）股份有限公司 $$