6.3 第2课时 对数函数图象与性质的应用 （课件PPT）-【新课程学案】2025-2026学年高中数学必修第一册（苏教版）

对数函数图象与性质的应用 (教学方式:拓展融通课—习题讲评式教学) 第2课时 课时目标 1.进一步掌握对数函数的图象与性质,掌握与对数函数有关的图象变换. 2.能利用对数的单调性解简单的对数不等式及对数型函数的单调性问题. 3.掌握对数函数的实际应用,能在实际问题中建立对数函数模型. CONTENTS 目录 1 2 3 题型(一)　对数函数的图象及应用 题型(二)　解对数不等式 题型(三)　对数型函数的单调性问题 课时检测 4 题型(四)　对数函数性质的综合问题 5 题型(一) 对数函数的图象及应用 01 [例1]　函数y=lg(x+1)的图象大致是 (　 ) √ 解析：因为y=lg x过点(1,0),函数单调递增,将其向左平移一个单位长度可得y=lg(x+1)过点(0,0),函数单调递增.故选C. [例2]　已知f(x)=|log3x|,若f(a)>f(2),则a的取值范围为______________.  ∪(2,+∞) 解析：作出函数f(x)的图象,如图所示.由于f(2)=f, 故结合图象可知,当f(a)>f(2)时,a的取值范围为∪(2,+∞). |思|维|建|模| 1.根据对数函数图象判断底数大小的方法 作直线y=1与所给图象相交,交点的横坐标即为各个底数,根据在第一象限内,自左向右,图象对应的对数函数的底数逐渐变大,可比较底数的大小. 2.函数图象的变换规律 (1)一般地,函数y=f(x+a)+b(a,b为实数)的图象是由函数y=f(x)的图象沿x轴向左或向右平移|a|个单位长度后,再沿y轴向上或向下平移|b|个单位长度得到的. (2)含有绝对值的函数的图象一般是经过对称变换得到的. 1.若函数y=loga(x+b)+c(a>0,a≠1)的图象恒过定点(3,2),则实数b=_____,c=_____.  针对训练 2 -2 解析：∵函数的图象恒过定点(3,2),∴将(3,2)代入y=loga(x+b)+c,得2=loga(3+b)+c.又当a>0,且a≠1时,loga1=0恒成立,∴c=2,3+b=1. ∴b=-2,c=2. 解：函数y=|log2(x+1)|的图象如图所示. 由图象知,其值域为[0,+∞),单调递减区间是(-1,0],单调递增区间是(0,+∞). 2.画出函数y=|log2(x+1)|的图象,并写出函数的值域及单调区间. 题型(二)　解对数不等式 02 [例3]　已知函数f(x)=loga(x-1),g(x)=loga(6-2x)(a>0,a≠1). (1)求函数φ(x)=f(x)+g(x)的定义域; 解：由解得1<x<3. ∴函数φ(x)的定义域为{x|1<x<3}. 解：不等式 f(x)≤g(x), 即为loga(x-1)≤loga(6-2x), ①当a>1时, 不等式等价于解得1<x≤; (2)试确定不等式f(x)≤g(x)中x的取值范围. ②当0<a<1时, 不等式等价于解得≤x<3. 综上可得,当a>1时,不等式的解集为; 当0<a<1时,不等式的解集为. |思|维|建|模| 常见的对数不等式的3种类型 (1)形如logax>logab的不等式,借助y=logax的单调性求解,如果a的取值不确定,需分a>1与0<a<1两种情况讨论; (2)形如logax>b的不等式,应将b化为以a为底数的对数式的形式,再借助y=logax的单调性求解; (3)形如logax>logbx的不等式,可利用图象求解. 针对训练 解：∵loga>1=logaa>0,∴0<a<1. ∴函数y=logax是减函数.∴<a<1. 即实数a的取值范围是. 3.(1)已知loga>1,求实数a的取值范围; 解：∵函数y=log0.7x在(0,+∞)上单调递减, ∴log0.7(2x)<log0.7(x-1)可化为解得x>1. ∴实数x的取值范围是(1,+∞). (2)已知log0.7(2x)<log0.7(x-1),求实数x的取值范围. 题型(三) 对数型函数的单调性 问题 03 [例4]　(1)(2024·新课标Ⅰ卷)已知函数f(x)=在R上单调递增，则a的取值范围是　　　　　(　　) A.(-∞，0] B.[-1，0] C.[-1，1] D.[0，+∞) √ 解析：若函数f(x)在R上单调递增，则需满足 解得-1≤a≤0，即a的取值范围是[-1，0].故选B. (2)(多选)关于函数y=log0.4(-x2+3x+4),下列说法正确的是 (　 ) A.定义域为(-1,4) B.最大值为2 C.最小值为-2 D.单调递增区间为 √ √ √ 解析：令-x2+3x+4>0,得-1<x<4, 即函数y=log0.4(-x2+3x+4)的定义域为(-1,4),故A正确; ∵-x2+3x+4=-,∴-x2+3x+4∈, ∴y=log0.4(-x2+3x+4)∈[-2,+∞),故B错误,C正确; 令t=-x2+3x+4,则其在上单调递增,在上单调递减, 又y=log0.4t在(0,+∞)上单调递减, 由复合函数的单调性得y=log0.4(-x2+3x+4)的单调递增区间为, 故D正确. 　|思|维|建|模| 　　形如f(x)=logag(x)(a>0,a≠1)的函数的单调区间的求法 (1)先求g(x)>0的解集(也就是函数f(x)的定义域). (2)当底数a>1时,在g(x)>0这一前提下,g(x)的单调递增区间是f(x)的单调递增区间;g(x)的单调递减区间是f(x)的单调递减区间. (3)当底数0<a<1时,在g(x)>0这一前提下,g(x)的单调递增区间是f(x)的单调递减区间,g(x)的单调递减区间是f(x)的单调递增区间. 针对训练 解：∵a>0,且a≠1,∴u=ax-3为增函数.∴若函数f(x)为增函数, 则f(x)=logau必为增函数.∴a>1.又u=ax-3在[1,3]上恒为正, ∴a-3>0,即a>3.故a的取值范围为(3,+∞). 4.函数f(x)=loga(ax-3)在[1,3]上单调递增,求a的取值范围. 题型(四) 对数函数性质的综合 问题 04 解：∵x+1>0,∴x>-1.函数f(x)的定义域为(-1,+∞). ∵f(x)>0,即log2(x+1)-2>0,∴log2(x+1)>2.∴x+1>4. ∴x>3.∴x的取值范围是(3,+∞). [例5]　已知函数f(x)=log2(x+1)-2. (1)若f(x)>0,求x的取值范围; 解：∵x∈(-1,3],∴x+1∈(0,4].∴log2(x+1)∈(-∞,2]. ∴log2(x+1)-2∈(-∞,0].∴f(x)的值域为(-∞,0]. (2)若x∈(-1,3],求f(x)的值域. |思|维|建|模| (1)求对数型函数的值域一般是先求真数的范围,然后利用对数函数的单调性求解; (2)判断函数的奇偶性,一定要先求函数的定义域,再研究f(x)与f(-x)的关系. 针对训练 5.已知函数f(x)=lo(4-x)-lo(4+x). (1)求函数f(x)的定义域; 解：由得-4<x<4,所以函数f(x)的定义域为(-4,4). 解：函数f(x)为奇函数.证明如下:因为函数f(x)的定义域为(-4,4), 所以定义域关于原点对称. 因为f(-x)=lo(4+x)-lo(4-x)=-=-f(x), 所以f(x)为奇函数. (2)判断并证明函数f(x)的奇偶性; 解：由f(x)<0,得lo(4-x)-lo(4+x)<0, 所以lo(4-x)<lo(4+x),因为y=lox在定义域内为减函数, 所以解得-4<x<0.所以不等式f(x)<0的解集为(-4,0). (3)求不等式f(x)<0的解集. 课时检测 05 1 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 2 1.若lg(2x-4)≤1，则x的取值范围是 (　 ) A.(-∞，7] B.(2，7] C.[7，+∞) D.(2，+∞) √ 解析：由lg(2x-4)≤1，得0<2x-4≤10，即2<x≤7，故选B. 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 2 3 4 2.(多选)若loga2<logb2<0，则下列结论正确的是 (　 ) A.0<b<1 B.0<a<1 C.a>b D.b>a>1 √ √ √ 解析：因为loga2<0，logb2<0，所以0<a<1，0<b<1.又loga2<logb2，所以a>b. 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 3 4 2 3.函数y=x+log2x(x≥1)的值域为 (　 ) A.(1，+∞) B.(-∞，1) C.[1，+∞) D.[-1，+∞) √ 解析：由于y=x和y=log2x在[1，+∞)上均单调递增，所以函数y=x+ log2x(x≥1)在[1，+∞)上单调递增，所以函数的值域为[1，+∞). 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 3 4 2 √ 4.若集合A=，B={x|log2(2x-1)≤0}，则A∩B=(　 ) A. B. C. D. 解析：A={x|3x2+x-2≤0}=，B={x|log2(2x-1)≤0} ={x|0<2x-1≤1}=，∴A∩B=. 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 3 4 2 √ 16 5.(多选)如果函数f(x)=loga|x-1|在(0，1)上单调递减，那么 (　 ) A.f(x)在(1，+∞)上单调递增且无最大值 B.f(x)在(1，+∞)上单调递减且无最小值 C.f(x)在定义域内是偶函数 D.f(x)的图象关于直线x=1对称 √ 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 3 4 2 16 解析：由|x-1|>0，得函数y=loga|x-1|的定义域为{x|x≠1}.设g(x)=|x-1| =则g(x)在(-∞，1)上单调递减，在(1，+∞)上单调递增，且g(x)的图象关于直线x=1对称，所以f(x)的图象关于直线x=1对称，D正确;因为f(x)=loga|x-1|在(0，1)上单调递减，所以a>1，所以f(x)=loga|x-1|在(1，+∞)上单调递增且无最大值，A正确，B错误; 又f(-x)=loga|-x-1|=loga|x+1|≠f(x)，所以C错误.故选A、D. 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 3 4 2 √ 6.(多选)已知函数f(x)=lo(-x2+2x+3)，则下列说法正确的是(　 ) A.在(-1，1)上单调递减 B.在(1，3)上单调递增 C.函数定义域为(-1，3) D.函数的增区间为(1，+∞) √ √ 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 3 4 2 解析：令-x2+2x+3>0，解得x∈(-1，3).即函数f(x)的定义域为(-1，3)，故C选项正确，结合定义域可知D选项错误.令t=-x2+2x+3，则y=lot，根据对数函数的单调性知，y关于t单调递减，而函数t=-x2+2x+3在(-1，1)上关于x单调递增，在(1，3)上关于x单调递减;由复合函数单调性可知，原函数在(-1，1)上单调递减，在(1，3)上单调递增，故A、B正确. 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 3 4 2 √ 7.已知函数f(x)=lg(x2-4x-5)在(a，+∞)上单调递增，则a的取值范围是 (　 ) A.(-∞，-1] B.(-∞，2] C.[2，+∞) D.[5，+∞) 解析：由x2-4x-5>0，解得x>5或x<-1.所以函数f(x)的定义域为 (-∞，-1)∪(5，+∞).又函数y=x2-4x-5=(x-2)2-9在(5，+∞)上单调递增，在(-∞，-1)上单调递减，所以f(x)在(5，+∞)上单调递增.所以 (a，+∞)⊆(5，+∞)，即a≥5. 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 3 4 2 8.(5分)函数f(x)=log2(1+2x)的单调递增区间是____________. 解析：易知函数f(x)的定义域为，因为函数y=log2x和y=1+2x都是增函数，所以f(x)的单调递增区间是  1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 3 4 2 9.(5分)若函数f(x)=ax+loga(x+1)在[0，1]上的最大值和最小值之和为a，则a的值为　　　　　.  解析：由题意得f(x)在[0，1]上单调递增或单调递减，∴f(x)的最大值或最小值在端点处取得，即f(0)+f(1)=a，即1+a+loga2=a.∴loga2=-1.解得a=. 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 3 4 2 10.(5分)设0<a<1，函数f(x)=loga(2ax-2)，则使得f(x)<0的x的取值范围为____________.  解析：由于y=logax(0<a<1)在(0，+∞)上单调递减，且f(x)<0， 所以2ax-2>1，即ax>. 由0<a<1，可得x<loga. 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 3 4 2 11.(5分)(2022·全国乙卷)若f(x)=ln+b是奇函数，则a=_____，b=_____.  - ln 2 解析：因为函数f(x)为奇函数，所以其定义域关于原点对称.由a+≠0可得，(1-x)(a+1-ax)≠0，所以x==-1，解得a=-，即函数的定义域为(-∞，-1)∪(-1，1)∪(1，+∞)，再由f(0)=0可得，b=ln 2.即f(x)= ln+ln 2=ln，在定义域内满足f(-x)=-f(x)，符合题意. 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 3 4 2 12.(15分)已知函数f(x)=loga(3-ax)(a>0，且a≠1).当x∈[0，2]时，函数f(x)恒有意义，则实数a的取值范围为______________.  (0，1)∪ 解析：∵a>0且a≠1，设t(x)=3-ax，则t(x)=3-ax为减函数， 当x∈[0，2]时，t(x)的最小值为3-2a. ∵当x∈[0，2]时，f(x)恒有意义， 即x∈[0，2]时，3-ax>0恒成立. 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 3 4 2 ∴3-2a>0，∴a<. 又∵a>0且a≠1，∴0<a<1或1<a<， ∴实数a的取值范围为(0，1)∪. 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 3 4 2 13.(10分)已知函数y=(log2x-2)，2≤x≤8. (1)令t=log2x，求y关于t的函数关系式，并写出t的范围;(3分) 解：y=(t-2)(t-1)=t2-t+1， ∵2≤x≤8，∴1=log22≤log2x≤log28=3， 即t的取值范围为[1，3]. 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 3 4 2 解：由(1)得y=-，1≤t≤3， 当t=时，ymin=-; 当t=3时，ymax=1，∴-≤y≤1. 即函数的值域为. (2)求该函数的值域.(7分) 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 3 4 2 解：∵22a+1>25a-2，∴2a+1>5a-2，即3a<3. ∴a<1，即0<a<1. ∴实数a的取值范围是(0，1). 14.(10分)已知a>0且满足不等式22a+1>25a-2. (1)求实数a的取值范围;(2分) 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 3 4 2 解：由(1)得，0<a<1， ∵loga(3x+1)<loga(7-5x)， ∴即解得<x<. 即不等式的解集为. (2)求不等式loga(3x+1)<loga(7-5x)的解集;(4分) 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 3 4 2 解：∵0<a<1，∴函数y=loga(2x-1)在区间[1，3]上单调递减. ∴当x=3时，y有最小值为-2. 即loga5=-2，∴a-2==5，解得a=. (3)若函数y=loga(2x-1)在区间[1，3]上有最小值为-2，求实数a的值.(4分) 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 3 4 2 解：∵函数f(x)的图象关于原点对称， ∴函数f(x)的定义域关于原点对称. ∵>0，∴(x-1)(1-ax)>0. 令(x-1)(1-ax)=0，得x1=1，x2=， ∴=-1，即a=-1，经验证，a=-1满足题意. 15.(10分)已知函数f(x)=lo的图象关于原点对称，其中a为常数. (1)求a的值;(4分) 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 3 4 2 (2)若当x∈(1，+∞)时，f(x)+lo(x-1)<m恒成立，求实数m的取值范围.(6分) 解：∵f(x)+lo(x-1)=lo+lo(x-1)=lo(1+x).∴当x>1时，lo(1+x)<-1. 又当x∈(1，+∞)时，f(x)+lo(x-1)<m恒成立， ∴m≥-1.即实数m的取值范围是[-1，+∞). 本课结束 $$