2.2.3 一元二次不等式的解法（课件PPT）-【新课程学案】2025-2026学年高中数学必修第一册（人教B版）

该高中数学课件围绕一元二次不等式解法展开，结合二次函数图象与方程根的关系，涵盖不含参数、含参数不等式及简单分式不等式求解，通过课前定义预习与微点助解搭建支架，衔接课堂题型研究，帮助学生构建知识脉络。 其亮点是题型研究式教学，以思维建模总结步骤，如例1用图象分析解集培养几何直观（数学眼光），含参数不等式分类讨论发展推理能力（数学思维），分式不等式转化规范符号表达（数学语言）。学生能提升解题能力，教师可高效实施教学。

2.2.3 一元二次不等式的解法 [教学方式:深化学习课 —题型研究式教学] 课时目标 1.会结合一元二次函数的图象，判断一元二次方程实数根的存在性及实数根的个数，了解二次函数的零点与一元二次方程根的关系. 2.能借助一元二次函数求解一元二次不等式，并能用集合表示一元二次不等式的解集. 3.借助一元二次函数的图象，了解一元二次不等式与相应函数、方程的联系. (一)一元二次不等式 (1)一般地，形如_____________的不等式称为一元二次不等式，其中a，b，c是常数，而且a≠0.一元二次不等式中的不等号也可以是“<”“≥”“≤”等. (2)一元二次不等式_______组成的集合为一元二次不等式的解集. ax2+bx+c>0 所有解 |微|点|助|解| 1.因式分解法 一般地，如果x1<x2，则不等式(x-x1)(x-x2)<0的解集是(x1，x2)，不等式(x-x1)·(x-x2)>0的解集是(-∞，x1)∪(x2，+∞). 2.配方法 一元二次不等式ax2+bx+c>0(a≠0)通过配方可变为(x-h)2>k或(x-h)2<k的形式. 当k>0时，(x-h)2>k的解集为(-∞，h-)∪(h+，+∞)，(x-h)2<k的解集为(h-，h+). 当k<0时，(x-h)2>k的解集为R，(x-h)2<k的解集为∅. 当k=0时，(x-h)2>k的解集为{x|x≠h}，(x-h)2<k的解集为∅. (二)简单的分式不等式的解法 |微|点|助|解| 常见分式不等式的转化 　 先将分式不等式移项、通分，整理成一边为0的形式，再等价转化为整式不等式求解(设f(x)=ax+b，g(x)=cx+d)，即 (1)>0⇔f(x)·g(x)>0; (2)<0⇔f(x)·g(x)<0; (3)≥0⇔f(x)·g(x)≥0且g(x)≠0; (4)≤0⇔f(x)·g(x)≤0且g(x)≠0. 1.判断正误(正确的画“√”，错误的画“×”) (1)mx2-5x<0是一元二次不等式.(　 ) (2)若a>0，则一元二次不等式ax2+1>0无解.(　 ) (3)不等式x2-2x+3>0的解集为R.(　 ) 基础落实训练 × × √ 2.不等式x2-6x-1≤0的解集为_________________.  3.不等式x2+4x+1≥0的解集为___________________________. 4.不等式<0的解集为__________.    解析:原不等式⇔(x-1)(x-2)<0，解得1<x<2. [3-，3+] (-∞，-2-]∪[-2+，+∞) {x|1<x<2} 5.求不等式≤1的解集. 解:∵≤1，∴≥0，∴∴x≥1或x<0. CONTENTS 目录 1 2 3 题型(一)　不含参数的一元二次 不等式的解法 题型(二)　含参数的一元二次不等式的解法 题型(三)　简单的分式不等式的解法 4 题型(四)　二次函数与一元二次 方程、不等式间的关系及应用 5 课时检测 题型(一) 不含参数的一元二次 不等式的解法 01 [例1]　解下列不等式: (1)-2x2+x-6<0; [解]　原不等式可化为2x2-x+6>0. 因为方程2x2-x+6=0的判别式Δ=(-1)2-4×2×6<0， 所以函数y=2x2-x+6的图象开口向上，与x轴无交点 (如图1所示). 观察图象可得，原不等式的解集为R. 图1　 (2)-x2+6x-9≥0; [解]　原不等式可化为x2-6x+9≤0，即(x-3)2≤0， 函数y=(x-3)2的图象如图2所示， 根据图象可得，原不等式的解集为{3}. 图2 (3)x2-2x-3>0. [解]　方程x2-2x-3=0的两根是x1=-1，x2=3. 函数y=x2-2x-3的图象是开口向上的抛物线， 与x轴有两个交点(-1，0)和(3，0)，如图3所示. 观察图象可得不等式的解集为{x|x<-1或x>3}. 图3 |思|维|建|模|　解一元二次不等式的一般方法和步骤 针对训练 1. 解不等式-2<x2-3x≤10. 解:原不等式等价于不等式组 不等式①可化为x2-3x+2>0，即(x-1)(x-2)>0， 解得x>2或x<1. 不等式②可化为x2-3x-10≤0，即(x-5)(x+2)≤0，解得-2≤x≤5. 故原不等式的解集为{x|-2≤x<1或2<x≤5}. 2.解下列不等式: (1)2x2+7x+3>0; 解:因为Δ=72-4×2×3=25>0，所以方程2x2+7x+3=0有两个不等实根x1=-3，x2=-. 又二次函数y=2x2+7x+3的图象开口向上， 所以原不等式的解集为. (2)-4x2+18x-≥0; 解:原不等式可化为≤0，所以原不等式的解集为. (3)-2x2+3x-2<0. 解:原不等式可化为2x2-3x+2>0，因为Δ=9-4×2×2=-7<0， 所以方程2x2-3x+2=0无实根， 又二次函数y=2x2-3x+2的图象开口向上， 所以原不等式的解集为R. 题型(二)　含参数的一元二次 不等式的解法 02 [例2]　解关于x的不等式ax2-2≥2x-ax(x∈R). [解]　原不等式可化为ax2+(a-2)x-2≥0. ①当a=0时，原不等式化为x+1≤0，解得x≤-1. ②当a>0时，原不等式化为(x+1)≥0， 解得x≥或x≤-1. ③当a<0时，原不等式化为(x+1)≤0. 当>-1，即a<-2时，解得-1≤x≤; 当=-1，即a=-2时，解得x=-1满足题意; 当<-1，即-2<a<0时，解得≤x≤-1. 综上所述，当a=0时，不等式的解集为{x|x≤-1}; 当a>0时，不等式的解集为; 当-2<a<0时，不等式的解集为 x ≤x≤-1 ; 当a=-2时，不等式的解集为{-1}; 当a<-2时，不等式的解集为. |思|维|建|模|　解含参数的一元二次不等式的步骤 讨论二次项 系数 二次项系数若含有参数，应讨论是小于0，还是大于0，若小于0，则将不等式转化为二次项系数为正的形式 判断方程根的个数 判断方程根的个数，讨论判别式Δ与0的关系 写出解集 确定无根时可直接写出解集，确定方程有两个根时，要讨论两根的大小关系，从而确定解集形式 [提醒]　对应方程的根优先考虑用因式分解确定，分解不开时再求判别式Δ，用求根公式计算 3.解关于x的不等式x2-(3a-1)x+(2a2-2)>0. 针对训练 解:原不等式可化为[x-(a+1)][x-2(a-1)]>0，讨论a+1与2(a-1)的大小. ①当a+1>2(a-1)，即a<3时，不等式的解为x>a+1或x<2(a-1). ②当a+1=2(a-1)，即a=3时，不等式的解为x≠4. ③当a+1<2(a-1)，即a>3时，不等式的解为x>2(a-1)或x<a+1. 综上，当a<3时，不等式的解集为{x|x>a+1或x<2(a-1)}， 当a=3时，不等式的解集为{x|x≠4}， 当a>3时，不等式的解集为{x|x>2(a-1)或x<a+1}. 题型(三)　简单的分式不等式 的解法 03 [例3]　求下列不等式的解集: (1)≥0; [解]　法一　≥0等价于 ∴即x<-或x≥. ∴原不等式的解集为. 法二　原不等式可化为或 解得x≥或x<-， ∴原不等式的解集为. (2)>1. [解]　法一　原不等式可化为>0，即<0，∴(2x+1)(x+3)<0，∴-3<x<-. ∴原不等式的解集为. 法二　原不等式可化为(2-x)(x+3)>(x+3)2， 即(2x+1)(x+3)<0，∴-3<x<-， ∴原不等式的解集为 . |思|维|建|模| 分式不等式的解法 (1)对于比较简单的分式不等式，可直接转化为一元二次不等式或一元一次不等式组求解，但要注意等价变形，保证分母不为零. (2)对于不等号右边不为零的较复杂的分式不等式，先移项再通分(不要去分母)，使之转化为不等号右边为零，然后再用上述方法求解. 4.下列不等式中，解集相同的是 (　 ) A.x2-2x<3与< B.x<5与x+<5+ C.>0与x-3>0 D.>0与x+1>0 针对训练 √ 解析:对于A，x2-2x<3的解集为{x|-1<x<3}， 由<⇒<0⇒<0， 解集为{x|x<-1或1<x<3}，所以解集不同; 对于B，x+<5+⇒明显解集不同; 对于C，>0的解集为{x|x>3}，故两个解集相同; 对于D，>0的解集为{x|x>-1且x≠3}，与x+1>0的解集不同.故选C. 5.若集合M={x|0<x≤3}，N=，则M∩N=(　 ) A.{x|0<x≤1}　　　　　 B.{x|1<x<2} C.{x|0<x≤2} D.{x|0<x<1} √ 解析:由-2=≤0，得N={x|-2≤x<1}，所以M∩N={x|0<x<1}. 题型(四)　二次函数与一元二次 方程、不等式间的关系及应用 04 [例4]　已知关于x的不等式ax2+bx+c>0的解集为{x|2<x<3}，求关于x的不等式cx2+bx+a<0的解集. [解]　由不等式ax2+bx+c>0的解集为{x|2<x<3}可知a<0，且2和3是方程ax2+bx+c=0的两根，由根与系数的关系可知=-5，=6.由a<0知c<0， =-，故不等式cx2+bx+a<0，即x2+x+>0，即x2-x+>0，解得x<或x>，所以不等式cx2+bx+a<0的解集为. [变式拓展] 若将本例中的条件“关于x的不等式ax2+bx+c>0的解集为{x|2<x<3}”变为“关于x的不等式ax2+bx+c≥0的解集为”.求不等式cx2+bx+a<0的解集. 解:由ax2+bx+c≥0的解集为知a<0，且-，2为方程ax2+bx+c=0的两个根， ∴-==-，∴b=-a，c=-a， ∴不等式cx2+bx+a<0变为x2+x+a<0，即2ax2+5ax-3a>0. 又∵a<0，∴2x2+5x-3<0， 故所求不等式的解集为. |思|维|建|模| (1)一元二次不等式ax2+bx+c>0(a≠0，Δ>0)的解集的端点值是一元二次方程ax2+bx+c=0的根，也是函数y=ax2+bx+c的图象与x轴交点的横坐标. (2)二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)的图象在x轴上方的部分，满足不等式ax2+bx+c>0;图象在x轴下方的部分，满足不等式ax2+bx+c<0，一元二次不等式与对应函数、方程之间相互依存、相互转化. 6.若不等式4x2-12x-7>0与关于x的不等式x2+px+q>0的解集相同，则x2-px+q<0的解集是 (　 ) A. B. C. D. 针对训练 √ 解析:由4x2-12x-7>0得(2x-7)(2x+1)>0，则x>或x<-. 由题意可得则 x2-px+q<0对应方程x2-px+q=0的两根分别为，-， 故x2-px+q<0的解集是. 7.若关于x的不等式(x+1)(x-3)<m的解集为{x|0<x<n}，则实数n的值为____.  解析:∵关于x的不等式(x+1)(x-3)<m的解集为{x|0<x<n}，∴x=0是方程(x+1)(x-3)=m的解， ∴m=-3，∴原不等式为(x+1)(x-3)<-3， 即x2-2x<0，解得0<x<2， 故不等式的解集为{x|0<x<2}，∴n=2. 2 8.已知不等式ax2-5x-6>0的解集为{x|x<-1或x>b}(b>-1). (1)求实数a，b的值; 解:因为不等式ax2-5x-6>0的解集为{x|x<-1或x>b}(b>-1). 则方程ax2-5x-6=0的两个根为-1和b ， 所以解得a=1，b=6. (2)解不等式ax2-(c+ab)x+bc≤0(c∈R). 解:不等式ax2-(c+ab)x+bc≤0(c∈R) 即为x2-(c+6)x+6c≤0， 所以(x-6)(x-c)≤0， 当c<6时，不等式的解集为{x|c≤x≤6}; 当c=6时，不等式的解集为{6}; 当c>6时，不等式的解集为{x|6≤x≤c}. 05 课时检测 1 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 2 1.已知二次函数y=ax2+bx+c的图象如图所示，则不等式ax2+bx+c>0的解集是 (　 ) A.{x|-2<x<1} B.{x|x<-2或x>1} C.{x|-2≤x≤1} D.{x|x≤-2或x≥1} √ 解析:由二次函数图象知ax2+bx+c>0的解集是{x|-2<x<1}. 15 14 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 2 3 4 2.(多选)与不等式≥0同解的不等式是(　 ) A.(x-3)(2-x)≥0 B.0<x-2≤1 C.≤0 D.(x-3)(2-x)>0 √ 解析:不等式≥0可化为≤0，∴ 解得2<x≤3. ∴0<x-2≤1.故选B、C. 15 14 √ 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 3 4 2 3.不等式4+3x-x2<0的解集为 (　 ) A.{x|-1<x<4} B.{x|x>4或x<-1} C.{x|x>1或x<-4} D.{x|-4<x<1} √ 15 14 解析:不等式4+3x-x2<0可化为x2-3x-4>0，即(x+1)(x-4)>0，解得x>4或x<-1. 故不等式的解集为{x|x>4或x<-1}. 故选B. 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 3 4 2 4.设m+n>0，则关于x的不等式(m-x)(n+x)>0的解集是 (　 ) A.{x|x<-n或x>m} 　　B.{x|-n<x<m} C.{x|x<-m或x>n} 　　D.{x|-m<x<n} 解析:方程(m-x)(n+x)=0的两根为m，-n，因为m+n>0，所以m>-n，结合函数y=(m-x)·(n+x)的图象(图略)，得不等式的解集是{x|-n<x<m}. √ 15 14 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 3 4 2 5.若不等式ax2+5x-2>0的解集是，则a的值为 (　 ) A.- B.2 C.-2 D. √ 解析:因为不等式ax2+5x-2>0的解集为，所以，2为方程ax2+5x-2=0的两根，所以根据根与系数的关系可得×2=-，所以a=-2. 15 14 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 3 4 2 6.关于x的不等式x2-2ax-8a2<0(a>0)的解集为{x|x1<x<x2}，且x2-x1=15，则a= (　 ) A. B. C. D. 解析:由条件知x1，x2为方程x2-2ax-8a2=0的两根，则x1+x2=2a，x1x2=-8a2，故(x2-x1)2=(x1+x2)2-4x1x2=(2a)2-4×(-8a2)=36a2=152，解得a=，故选A. √ 15 14 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 3 4 2 7.在R上定义运算“☉”:a☉b=ab+2a+b，则满足x☉(x-2)<0的实数x的取值范围为 (　 ) A.{x|0<x<2} B.{x|-2<x<1} C.{x|x<-2或x>1} D.{x|-1<x<2} √ 15 14 解析:根据给出的定义得，x☉(x-2)=x(x-2)+2x+(x-2)=x2+x-2=(x+2)(x-1)，又x☉(x-2)<0，则(x+2)(x-1)<0，故不等式的解集是{x|-2<x<1}. 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 3 4 2 8.(5分)不等式x2-4x+4>0的解集是________.  解析:原不等式可化为(x-2)2>0，所以x≠2. 15 14 {x|x≠2} 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 3 4 2 9.(5分)若0<a<1，则不等式(a-x)>0的解集是_______________.  解析:原不等式等价于(x-a)<0，由0<a<1，得a<，所以a<x<. 15 14 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 3 4 2 10.(5分)关于x的不等式ax-b<0的解集是{x|x>1}，则关于x的不等式(ax+b)(x-3)>0的解集是___________.  解析:因为关于x的不等式ax-b<0的解集是{x|x>1}，所以不等式ax<b的解集是{x|x>1}，所以a=b<0，所以不等式(ax+b)(x-3)>0可化为(x+1)· (x-3)<0，解得-1<x<3，所以该不等式的解集是{x|-1<x<3}. 15 14 {x|-1<x<3} 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 3 4 2 11.(5分)关于x的不等式(mx-1)(x-2)>0，若此不等式的解集为，则m的取值范围是_________.  解析:∵不等式(mx-1)(x-2)>0的解集为， ∴方程(mx-1)(x-2)=0的两个实数根为和2，且解得m<0，∴m的取值范围是{m|m<0}. 15 14 {m|m<0} 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 3 4 2 12.(5分)已知集合A={-5，-1，2，4，5}，请写出一个一元二次不等式，使得该不等式的解集与集合A有且只有一个公共元素，这个不等式可以是_________________________. 解析:因为不等式(x+4)(x-6)>0的解集为{x|x>6或x<-4}，解集中只有-5在集合A中，所以符合题意. 15 14 (x+4)(x-6)>0(答案不唯一) 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 3 4 2 13.(10分)解下列不等式: (1)2+3x-2x2>0;(3分) 解:原不等式可化为2x2-3x-2<0，所以(2x+1)(x-2)<0，解得-<x<2， 故原不等式的解集是. 15 14 (2)x(3-x)≤x(x+2)-1;(4分) 解:原不等式可化为2x2-x-1≥0，所以(2x+1)(x-1)≥0，解得x≤-或x≥1， 故原不等式的解集为. 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 3 4 2 (3)x2-2x+3>0.(3分) 解:因为Δ=(-2)2-4×3=-8<0， 所以原不等式的解集是R. 15 14 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 3 4 2 14.(15分)(1)解关于x的不等式x2-ax-2a2<0(a∈R).(7分) 14 15 解:原不等式可化为(x-2a)(x+a)<0. 对应的一元二次方程的根为x1=2a，x2=-a. ①当a>0时，x1>x2，不等式的解集为{x|-a<x<2a}; ②当a=0时，原不等式化为x2<0，解集为∅; ③当a<0时，x1<x2，不等式的解集为{x|2a<x<-a}. 综上，当a>0时，不等式的解集为{x|-a<x<2a};当a=0时，不等式的解集为∅;当a<0时，不等式的解集为{x|2a<x<-a}. 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 3 4 2 (2)解关于x的不等式x2-2ax+2≤0.(8分) 14 15 解:因为Δ=4a2-8，所以当Δ<0，即-<a<时，原不等式对应的方程无实根，又二次函数y=x2-2ax+2的图象开口向上，所以原不等式的解集为∅. 当Δ=0，即a=±时，原不等式对应的方程有两个相等实根. 当a=时，原不等式的解集为{x|x=}; 当a=-时，原不等式的解集为{x|x=-}. 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 3 4 2 当Δ>0，即a>或a<-时，原不等式对应的方程有两个不等实根，分别为x1=a-，x2=a+，且x1<x2，所以原不等式的解集为{x|a-≤x≤a+}. 综上所述，当-<a<时，原不等式的解集为∅; 当a=时，原不等式的解集为{x|x=};当a=-时，原不等式的解集为{x|x=-};当a>或a<-时，原不等式的解集为{x|a-≤x≤a+}. 14 15 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 3 4 2 15.(15分)已知集合{x∈R|x2-(k+2)x-3k+1≥0}={x|x≤-1或x≥5}. (1)求实数k的值;(6分) 14 15 解:由题意可知，-1和5是方程x2-(k+2)x-3k+1=0的两个根， 所以由根与系数的关系得 解得k=2，故实数k=2. 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 3 4 2 (2)已知t<2，若不等式x2-(k+2)x-3k-m2+4m+15≥0在t≤x≤4上恒成立，求实数m的取值范围.(9分) 14 15 解:由(1)知，k=2，原不等式可化为x2-4x+9-m2+4m≥0， 所以x2-4x≥m2-4m-9在t≤x≤4(t<2)上恒成立，令y=x2-4x=(x-2)2-4， 因为t≤x≤4(t<2)，所以ymin=-4， 所以不等式恒成立等价于m2-4m-9≤-4， 即m2-4m-5≤0，解得-1≤m≤5， 故实数m的取值范围为{m|-1≤m≤5}. 本课结束 $$