1.4 第2课时 充分、必要及充要条件的应用（课件PPT）-【新课程学案】2025-2026学年高中数学必修第一册（人教A版）

该高中数学课件聚焦充分、必要及充要条件的应用，采用习题讲评式拓展融通课教学。通过探求条件、求参数范围、充要条件证明三类题型，结合思维建模总结方法，搭配针对训练，构建“例题-方法-练习”的学习支架，衔接前后知识脉络。 其亮点在于以集合观点和逻辑推理为核心，思维建模环节总结解题步骤培养数学思维，充要条件证明题规范推导提升数学语言表达能力。如用集合包含关系求参数范围，实例丰富，助力学生掌握方法，教师可直接用于教学提高效率。

充分、必要及充要条件的应用 [教学方式:拓展融通课——习题讲评式教学] 第2课时 课时目标 1.本节重点关注判定充分、必要条件问题，或利用已知关系探求参数的取值范围问题. 2.能够利用命题之间的关系判定充要关系或进行充要性的证明，解题关键是分清命题的条件与结论，分清充分性和必要性这两个问题. CONTENTS 目录 1 2 3 题型(一)　充分、必要条件的探求 题型(二)　利用充分条件、 必要条件求参数 题型(三)　充要条件的证明 4 课时检测 题型(一)　充分、必要条件的探求 01 [例1]　使“x≤-或x≥3”成立的一个充分不必要条件是(　 ) A.x<0 　B.x≥0 C.x∈{-1， 3， 5} 　D.x≤-或x≥3 √ 解析：对于A，x<0不能推出x≥3或x≤-，反之也不能，是其既不充分也不必要条件；对于B，x≥0不能推出x≥3或x≤-，反之也不能，是其既不充分也不必要条件；对于C，x∈{-1，3，5}可以推出x≥3或x≤-，反之不能，是其充分不必要条件；对于D，x≤-或x≥3，是其充要条件. √ [例2]　设a，b∈R，则“ab+1=a+b”的充要条件是 (　 ) A.a，b都为1 　B.a，b都不为1 C.a，b中至少有一个为1 　D.a，b都不为0 解析：由ab+1=a+b，可得(a-1)·(b-1)=0，解得a=1或b=1，故“ab+1=a+b”的充要条件是“a，b中至少有一个为1”.故选C. |思|维|建|模| 1.探求充分、必要条件的方法 (1)寻求q的充分条件p，即求使q成立的条件p，从集合的角度看，是找q的子集； (2)寻求q的必要条件p，即求以q为条件可推出的结论p，从集合的角度看，是找能包含q的集合. 2.探求充要条件的方法 (1)先由结论寻找使之成立的条件，再由条件来推证结论成立，即保证必要性和充分性都成立. (2)变换命题为其等价命题，使每一步都可逆，直接得到使结论成立的充要条件. 针对训练 1.“a<0，b<0”的一个必要条件为 (　 ) A.a+b<0 B.a+b>0 C.>1 D.<-1 √ 解析：对于A，因为a<0，b<0，所以a+b<0，即“a+b<0”是“a<0，b<0”的必要条件，A正确；对于B，当a<0，b<0时，a+b>0不可能成立，B不正确；对于C，当a<0，b<0时，>1不一定成立，如a=-1，b=-2满足条件，而<1，C不正确；对于D，当a<0，b<0时，必有>0成立，即不能推出<-1，D不正确.故选A. √ 2.(多选)使0<x<3成立的一个充分条件是 (　 ) A.2<x≤3 B.0≤x<1 C.0<x≤2 D.1<x<2 √ 解析：从集合观点看，求0<x<3成立的一个充分条件，就是从A、B、C、D中选出集合{x|0<x<3}的子集.由于{x|0<x≤2}⊆{x|0<x<3}，{x|1<x<2}⊆{x|0<x<3}，故选CD. 题型(二)　利用充分条件、 必要条件求参数 02 设A，B为两个集合.A⊆B是指x∈A⇒x∈B，这就是说，“x∈A”是“x∈B”的充分条件，“x∈B”是“x∈A”的必要条件；若A⊆B且A⊇B，即A=B，则“x∈A”是“x∈B”的充要条件；若A⊈B且A⊉B，则“x∈A”既不是“x∈B”的充分条件，也不是“x∈B”的必要条件，即“x∈A”是“x∈B”的既不充分也不必要条件. [例3]　已知p：-2≤x≤10，q：1-m≤x≤1+m(m>0)，若p是q的必要不充分条件，则实数m的取值范围为________________.  {m|0<m≤3} 解析：设p代表的集合为A={x|-2≤x≤10}， q代表的集合为B={x|1-m≤x≤1+m}， 因为p是q的必要不充分条件，所以B⫋ A， 故有或解得m≤3.又m>0， 所以实数m的取值范围为{m|0<m≤3}. [变式拓展] 1.若本例中“p是q的必要不充分条件”改为“p是q的充分不必要条件”，其他条件不变，求实数m的取值范围. 解：设p代表的集合为A，q代表的集合为B， 因为p是q的充分不必要条件，所以A⫋ B. 所以或解得m≥9，即实数m的取值范围是{m|m≥9}. ⫋ 2.若本例中p，q不变，是否存在实数m使p是q的充要条件?若存在，求出m的值；若不存在，请说明理由. 解：若p是q的充要条件， 则此方程组无解， 故不存在实数m， 使得p是q的充要条件. |思|维|建|模|　求参数值(范围)的一般步骤 化简 化简集合，明确题干中的充分条件和必要条件 转化 根据集合间的包含关系与充分条件和必要条件的关系，将问题转化为集合间的关系问题 列式 利用集合间的关系，建立关于参数的不等式或不等式组.注意等号成立的条件 获解 解不等式，得参数范围 针对训练 3.已知P={x|a-4<x<a+4}，Q={x|1<x<3}，“若x∈P”是“x∈Q”的必要条件，求实数a的取值范围. 解：因为“x∈P”是“x∈Q”的必要条件，所以Q⊆P. 所以即 所以-1≤a≤5. 故实数a的取值范围为{a|-1≤a≤5}. 题型(三)　充要条件的证明 03 [例4]　求证：一元二次方程ax2+bx+c=0有一正根和一负根的充要条件是ac<0. 证明：充分性：(由ac<0推证方程有一正根和一负根) 因为ac<0，所以一元二次方程ax2+bx+c=0的判别式Δ=b2-4ac>0，所以方程一定有两个不等实根. 设两根为x1，x2，则x1x2=<0， 所以方程的两根异号. 即方程ax2+bx+c=0有一正根和一负根. 必要性：(由方程有一正根和一负根推证ac<0) 因为方程ax2+bx+c=0有一正根和一负根， 设为x1，x2，则由根与系数的关系得x1x2=<0， 即ac<0. 综上可知，一元二次方程ax2+bx+c=0有一正根和一负根的充要条件是ac<0. |思|维|建|模|　充要条件证明的两个思路 直接法 证明p是q的充要条件，首先要明确p是条件，q是结论；其次推证p⇒q是证明充分性，推证q⇒p是证明必要性 集合思想 记p：A={x|p(x)}，q：B={x|q(x)}，若A=B，则p与q互为充要条件. 针对训练 4.求证：一次函数y=kx+b(k≠0)的图象过原点的充要条件是b=0. 证明：①充分性：如果b=0，那么y=kx(k≠0)， 当x=0时，y=0，函数图象过原点. ②必要性：因为y=kx+b(k≠0)的图象过原点，所以当x=0时，y=0，得0=k·0+b，所以b=0. 综上，一次函数y=kx+b(k≠0)的图象过原点的充要条件是b=0. 课时检测 04 1 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 2 1.使“|x|>1”成立的一个充分不必要条件是 (　 ) A.x>1 B.x<1 C.-1<x<1 D.x>-1 16 √ 解析：设M={x||x|>1}，解得M={x|x>1或x<-1}，使“|x|>1”成立的充分不必要条件只需要为集合M的真子集，由选项可知A符合. 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 2 3 4 2.已知a，b∈R，则“a>b”的一个必要条件是 (　 ) A.|a|>|b| B.a2>b2 C.a>b+1 D.a>b-1 16 √ 解析：由a>b可得a>b-1，故“a>b-1”是“a>b”的必要条件，由a>b不能得到|a|>|b|，a2>b2，a>b+1，比如a=-1，b=-2. 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 3 4 2 3.已知p：1≤x<4，q：x<m，若p是q的充分条件，则实数m的取值范围为 (　 ) A.{m|m>4} B.{m|m<4} C.{m|m≤4} D.{m|m≥4} 16 √ 解析：令A={x|1≤x<4}，B={x|x<m}，因为p是q的充分条件，所以p⇒q，即A⊆B，所以m≥4.故选D. 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 3 4 2 4.已知不等式m-1<x<m+1成立的充分条件是<x<，则实数m的取值范围是(　 ) A. B. C. D. 16 √ 解析：由题意得⊆{x|m-1<x<m+1}，所以解得-≤m≤. 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 3 4 2 5.已知p：4x-m<0，q：1≤3-x≤4，若p是q的一个必要不充分条件，则实数m的取值范围为 (　 ) A.{m|m≥8} B.{m|m>8} C.{m|m>-4} D.{m|m≥-4} 16 √ 解析：由4x-m<0，得x<；由1≤3-x≤4，得-1≤x≤2.∵p是q的一个必要不充分条件，∴>2，∴m>8. 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 3 4 2 6.设集合U={(x，y)|x∈R，y∈R}，A={(x，y)|2x-y+m>0}，B={(x，y)| x+y-n>0}，那么点P(2，3)∈(A∩B)的充要条件是 (　 ) A.m>-1，n<5 B.m<-1，n<5 C.m>-1，n>5 D.m<-1，n>5 16 √ 解析：∵P(2，3)∈(A∩B)， ∴满足即 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 3 4 2 7.集合A={x|-1<x<1}，B={x|-a<x-b<a}.若“a=1”是“A∩B≠⌀”的充分条件，则实数b的取值范围是 (　 ) A.{b|-2≤b<0} B.{b|0<b≤2} C.{b|-2<b<2} D.{b|-2≤b≤2} 16 √ 解析：因为B={x|-a<x-b<a}={x|b-a<x<b+a}.又“a=1”是“A∩B≠⌀”的充分条件，所以-1≤b-1<1或-1<b+1≤1，即-2<b<2. 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 3 4 2 8.(5分)已知命题p：4-x≤6，q：x≥a-1，若p是q的充要条件，则实数a=_________.  16 -1 解析：由题意得p：x≥-2，q：x≥a-1，因为p是q的充要条件，所以a-1=-2，即a=-1. 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 3 4 2 9.(5分)已知集合A={x|a-2<x<a+2}，B={x|x≤-2或x≥4}，则A∩B=⌀的充要条件是__________.  16 0≤a≤2 解析：A∩B=⌀⇔解得0≤a≤2. 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 3 4 2 10.(5分)若“x≤-2”是“x<a”的必要不充分条件，则实数a的取值范围是___________.  16 {a|a≤-2} ⫋ 解析：因为“x≤-2”是“x<a”的必要不充分条件， 所以{x|x<a}⫋{x|x≤-2}，即有a≤-2. 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 3 4 2 11.(5分)设n∈N*，一元二次方程x2-4x+n=0有整数根的充要条件是n=_________.  16 3或4 解析：由判别式Δ=16-4n≥0，n∈N*，得1≤n≤4. 逐个分析，当n=1，2时，方程没有整数解；而当n=3时，方程有正整数解1，3；当n=4时，方程有正整数解2.所以n=3或4. 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 3 4 2 12.(5分)已知2a-b=3，写出使得“m>-a2+b+1对任意的实数a，b恒成立”的一个充分不必要条件为__________________________________. (用含m的式子表示)  16 m=1(答案不唯一，满足m>-1均可) 解析：2a-b=3，则b=2a-3，所以-a2+b+1=-a2+2a-3+1=-a2+2a-2=-(a-1)2-1，所以a=1时，-a2+b+1取得最大值为-1，因此m>-a2+b+1对任意的实数a，b恒成立的充要条件是m>-1，在此范围内任取一数均可. 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 3 4 2 13.(10分)若集合A={x|x>-2}，B={x|x≤b，b∈R}，试写出： (1)A∪B=R的充要条件；(3分) 16 解：若A∪B=R，则b≥-2，故A∪B=R的充要条件是b≥-2. (2)A∪B=R的一个必要不充分条件；(3分) 解：由(1)知A∪B=R的充要条件是b≥-2， 所以A∪B=R的一个必要不充分条件可以是b≥-3. (3)A∪B=R的一个充分不必要条件.(4分) 解：由(1)知A∪B=R的充要条件是b≥-2， 所以A∪B=R的一个充分不必要条件可以是b≥-1. 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 3 4 2 14.(10分)已知x，y都是非零实数，且x>y，求证：<的充要条件是xy>0. 16 证明：①必要性：由<，得-<0，即<0，又由x>y，得y-x<0， 所以xy>0. ②充分性：由xy>0及x>y，得>，即<. 综上所述，<的充要条件是xy>0. 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 3 4 2 15.(10分)已知全集U=R，集合A=， B={x|a-1<x<a+1，a∈R}. (1)当a=2时，求(∁UA)∩(∁UB)；(4分) 16 解：因为A=={x|2<x≤5}， 当a=2时，B={x|1<x<3}， 因为全集U=R，则∁UA={x|x≤2或x>5}，∁UB={x|x≤1或x≥3}， 因此，(∁UA)∩(∁UB)={x|x≤1或x>5}. 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 3 4 2 (2)若x∈A是x∈B的必要不充分条件，求实数a的取值范围.(6分) 16 解：易知集合B={x|a-1<x<a+1，a∈R}为非空集合， 因为x∈A是x∈B的必要不充分条件， 则B⫋A，所以解得3≤a≤4. 因此，实数a的取值范围是{a|3≤a≤4}. 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 3 4 2 16.(15分)记关于x的方程|x2+ax+b|=2的解集为M，其中a，b∈R. (1)求M恰有3个元素的充要条件；(5分) 16 解：因为原方程等价于x2+ax+b=2或x2+ax+b=-2， 所以x2+ax+b-2=0或x2+ax+b+2=0， 由于Δ1=a2-4b+8>a2-4b-8=Δ2， 所以当Δ2=0时，M恰有3个元素，即a2-4b=8， 故M恰有3个元素的充要条件为a2-4b=8. 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 3 4 2 (2)在(1)的条件下，试求：以M中的元素为边长的三角形恰好为直角三角形的充要条件.(10分) 16 解：必要性：由(1)知，两个方程x2+ax+-4=0或x2+ax+=0，两个方程的三个根分别为--2，-+2，-，若它们是直角三角形的三边， 则+=，解得a=-16，b=62. 充分性：若a=-16，b=62，可解得M={6，8，10}，以6，8，10为边长的三角形恰为直角三角形.所以以M中的元素为边长的三角形恰好为直角三角形的充要条件是a=-16，b=62. 本课结束 $$