1.4 第1课时 充分条件与必要条件、充要条件（课件PPT）-【新课程学案】2025-2026学年高中数学必修第一册（人教A版）

该高中数学课件聚焦充分条件、必要条件及充要条件，从“若p则q”命题切入，通过逐点理清建立与集合关系、判定定理、性质定理的联系，搭建学习支架帮助学生构建概念脉络。 其亮点是采用“逐点理清式”教学，微点助解用“有之必成立”等通俗语言及集合关系辅助理解，微点练明结合多选、案例及高考题，课时检测融入杜甫诗句等生活实例。通过数学思维培养推理能力，用数学语言精确表达，助力学生深化理解，也便于教师系统教学提升效率。

充分条件与必要条件 1.4 充分条件与必要条件、充要条件 [教学方式:基本概念课——逐点理清式教学] 第1课时 课时目标 1.理解充分条件的意义，理解判定定理与充分条件的关系. 2.理解必要条件的意义，理解性质定理与必要条件的关系. 3.理解充要条件的意义，理解数学定义与充要条件的关系. CONTENTS 目录 1 2 3 逐点清(一)　充分条件 逐点清(二)　必要条件 逐点清(三)　充要条件 4 课时检测 逐点清(一)　充分条件 01 1.充分条件 一般地，“若p，则q”为真命题，是指由p通过推理可以得出q.这时，我们就说，由p可以推出q，记作_____，并且说，p是q的_____条件. 2.判定定理与充分条件的关系 数学中的每一条判定定理都给出了相应数学结论成立的一个____条件. 多维理解 p⇒q 充分 充分 |微|点|助|解| (1)只有“若p，则q”为真命题时，才有“p⇒q”. (2)若p⇒q，则p是q的充分条件.所谓充分，就是说条件是充分的，也就是说条件是充足的，条件是足够的，条件是足以保证的.“有之必成立，无之未必不成立”. (3)“p是q的充分条件”还可以换种说法“q的充分条件是p”. (4)除了用定义判断充分条件，还可以利用集合间的关系判断，若p构成的集合为A，q构成的集合为B，A⊆B，则p是q的充分条件. 1.(多选)下列“若p，则q”形式的命题中，p是q的充分条件的是 (　 ) A.若x<1，则x<2 B.若两个三角形的三边对应成比例，则这两个三角形相似 C.若|x|≠1，则x≠1 D.若ab>0，则a>0，b>0 √ 微点练明 √ √ 解析：由x<1，可以推出x<2，所以选项A符合题意；由两个三角形的三边对应成比例，可以推出这两个三角形相似，所以选项B符合题意；由|x|≠1，可以推出x≠1，所以选项C符合题意；由ab>0，不一定能推出a>0，b>0，比如a=b=-1，所以选项D不符合题意. 2.下列“若p，则q”形式的命题中，哪些命题中的p是q的充分条件? (1)若a，b为无理数，则ab为无理数； 解：，2为无理数，但×2=4，为有理数，因此p不能推出q，所以p不是q的充分条件. (2)在△ABC中，若A>B，则BC>AC； 解：由三角形中大角对大边可知，若A>B，则BC>AC，因此p⇒q， 所以p是q的充分条件. (3)已知a，b∈R，若a2+b2=0，则a=b=0. 解：因为a，b∈R，所以a2≥0，b2≥0，由a2+b2=0，可推出a=b=0，即p⇒q，所以p是q的充分条件. 逐点清(二)　必要条件 02 1.必要条件 一般地，“若p，则q”为真命题，是指由p通过推理可以得出q.这时，我们就说，由p可以推出q，记作p⇒q，并且说，q是p的______条件. 2.性质定理与必要条件的关系 数学中的每一条性质定理都给出了相应数学结论成立的一个____条件. 多维理解 必要 必要 |微|点|助|解| (1)对于命题“若p，则q”的条件和结论，我们都视为条件，只看“⇒”的推出方向，“箭尾”是“箭头”的充分条件，“箭头”是“箭尾”的必要条件. (2)若p⇒q，则q是p的必要条件.所谓必要，就是条件是必须有的，必不可少，缺其不可.“有之未必成立，无之必不成立”. (3)“q是p的必要条件”还可以换种说法“p的必要条件是q”. (4)也可利用集合的关系判断，如条件甲“x∈A”，条件乙“x∈B”，若A⊇B，则甲是乙的必要条件. 1.(多选)下列“若p，则q”形式的命题中，p是q的必要条件的是 (　 ) A.若x，y是偶数，则x+y是偶数 B.若a<2，则方程x2-2x+a=0有实根 C.若四边形的对角线互相垂直，则这个四边形是菱形 D.若ab=0，则a=0 √ 微点练明 √ √ 解析： A：x+y是偶数不一定能推出x，y是偶数，因为x，y可以是奇数，不符合题意；B：当方程x2-2x+a=0有实根时，则有(-2)2-4a≥0⇒ a≤1，显然能推出a<2，符合题意；C：因为菱形对角线互相垂直，所以由四边形是菱形能推出四边形的对角线互相垂直，符合题意；D：显然由a=0可以推出ab=0，符合题意. 2.分析下列各项中p与q的关系. (1)p：α为锐角，q：α=45°； 解：由于q⇒p，p q，故p是q的必要条件，q是p的充分条件. (2)p：x+1=0，q：(x+1)(x-2)=0. 解：由于p⇒q，q p，故p是q的充分条件，q是p的必要条件. 逐点清(三)　充要条件 03 (1)如果“若p，则q”和它的逆命题“若q，则p”均是真命题，即既有_____，又有_____，就记作______.此时，p既是q的充分条件，也是q的必要条件，我们说p是q的充分必要条件，简称为______条件. (2)如果p是q的充要条件，那么q也是p的充要条件.概括地说，如果p⇔q，那么p与q互为______条件. 多维理解 p⇒q q⇒p p⇔q 充要 充要 |微|点|助|解| 1.充分、必要、充要条件的传递性 ①p⇒q，q⇒s则p⇒s，即p是s的充分条件； ②q⇒p，s⇒q则s⇒p，即p是s的必要条件； ③p⇔q，q⇔s则p⇔s，即p是s的充要条件. 2.条件关系判定的常用结论 条件p与结论q的关系 结论 p⇒q，且q p p是q的充分不必要条件 q⇒p，且p q p是q的必要不充分条件 p⇒q，且q⇒p，即p⇔q p是q的充要条件 p q，且q p p是q的既不充分也不必要条件 1.(2023·北京高考)若xy≠0，则“x+y=0”是“+=-2”的(　 ) A.充分不必要条件　　 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件 √ 微点练明 2.(2023·天津高考)“a2=b2”是“a2+b2=2ab”的 (　 ) A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充分必要条件 D.既不充分又不必要条件 √ 3.指出下列各题中，p是q的什么条件.(“充分不必要条件”“必要不充分条件”“充要条件”“既不充分也不必要条件”) (1)p：x=1，q：x-1=； 解：当x=1时，x-1=成立， 当x-1=时，x=1或x=2， 故p是q的充分不必要条件. (2)p：m<0，q：一元二次方程x2+(m-3)x+m=0有一正根和一负根； 解：记一元二次方程x2+(m-3)x+m=0的两根为x1，x2， 则x1x2=m，∴方程有一正根和一负根等价于x1x2<0，x1x2<0⇔m<0，故p是q的充要条件. (3)p：△ABC有两个角相等，q：△ABC是正三角形； 解：∵p不能推出q，q⇒p， ∴p是q的必要不充分条件. (4)p：|ab|=ab，q：ab>0. 解：∵ab=0时，|ab|=ab，∴“|ab|=ab”不能推出“ab>0”，即p不能推出q.而当ab>0时，有|ab|=ab，即q⇒p. ∴p是q的必要不充分条件. (5)p：a是自然数，q：a是正数. 解：0是自然数，但0不是正数，故p不能推出q； 又是正数，但不是自然数，故q不能推出p， 故p是q的既不充分也不必要条件. 课时检测 04 1 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 2 1.若p是q的充分条件，则q是p的 (　 ) A.充分条件 B.必要条件 C.不充分条件 D.不必要条件 √ 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 2 3 4 2.若集合A={1，a}，B={1，2，3}，则“a=3”是“A⊆B”的 (　 ) A.充分条件 B.必要条件 C.既不充分也不必要条件 D.充要条件 √ 解析：∵A={1，a}，B={1，2，3}，A⊆B，∴a∈B且a≠1，∴a=2或a=3，即a=3⇒A⊆B，∴“a=3”是“A⊆B”的充分条件. 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 3 4 2 3.命题p：x≤1，命题q：≤1，则q是p的(　 ) A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件 √ 解析：由q：≤1，得到x≥1或x<0，由于p/⇒q，q/⇒p，故q是p的既不充分也不必要条件. 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 3 4 2 4.杜甫在《奉赠韦左丞丈二十二韵》中有诗句：“读书破万卷，下笔如有神”.对此诗句的理解是读书只有读透书，博览群书，这样落实到笔下，运用起来才有可能得心应手，如有神助一般，由此可得，“读书破万卷”是“下笔如有神”的 (　 ) A.充分不必要条件 B.充要条件 C.必要不充分条件 D.既不充分也不必要条件 √ 解析：杜甫的诗句表明书读得越多，文章未必就写得越好，但不可否认的是，一般写作较好的人，他的阅读量一定不会少，而且所涉猎的文章范畴也会比一般读书人广泛.因此“读书破万卷”是“下笔如有神”的必要不充分条件. 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 3 4 2 5.下列“若p，则q”形式的命题中，q是p的必要条件的是 (　 ) A.若四边形的一组邻边相等，则四边形是平行四边形 B.若两个三角形的周长相等，则这两个三角形全等 C.若a<3，则a<5 D.若x是无理数，则x2也是无理数 √ 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 3 4 2 解析：因为p不是q的充分条件，所以q不是p的必要条件，故A错误；若一个三角形三边分别为5，6，9，另一三角形三边分别为6，6，8，两个三角形周长相等，却不全等，p不是q的充分条件，则q不是p的必要条件，故B错误；由a<3可以推出a<5，所以a<3是a<5的充分条件，则a<5是a<3的必要条件，故C正确；若x=，则x2=2，x2不是无理数，p不是q的充分条件，则q不是p的必要条件，故D错误. 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 3 4 2 6.下列“若p，则q”形式的命题中，p是q的充分条件的是 (　 ) A.若=，则x=y B.若x2=1，则x=1 C.若x=y，则= D.若x<y，则x2<y2 √ 解析：B项中，x2=1⇒x=1或x=-1；C项中，当x=y<0时，无意义；D项中，当x<y<0时，x2>y2，所以B、C、D中p不是q的充分条件；显然A项正确. 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 3 4 2 7.(多选)已知p，q都是r的充分条件，s是r的必要条件，q是s的必要条件，则 (　 ) A.p是q的既不充分也不必要条件 B.p是s的充分条件 C.r是q的必要不充分条件 D.s是q的充要条件 √ √ 解析：由已知得p⇒r⇒s⇒q，q⇒r⇒s.∴p是q的充分条件；p是s的充分条件；r是q的充要条件；s是q的充要条件.故选BD. 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 3 4 2 8.设x∈R，则“0<x<5”是“|x-1|<1”的 (　 ) A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件 √ 解析：由|x-1|<1可得0<x<2，所以|x-1|<1的解集是0<x<5的解集的真子集.故“0<x<5”是“|x-1|<1”的必要不充分条件.故选B. 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 3 4 2 9.(多选)下列命题，p是q的充要条件的是 (　 ) A.p：x=1；q：x-1= B.p：-1≤x≤5；q：x≥-1且x≤5 C.p：三角形是等边三角形；q：三角形是等腰三角形 D.p：A∩B=A，q：∁UB⊆∁UA √ √ 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 3 4 2 解析：对于A，当x=1时，x-1=成立；当x-1=时，x=1或x=2.∴p不是q的充要条件，p是q的充分不必要条件. 对于B，∵-1≤x≤5⇔x≥-1且x≤5， ∴p是q的充要条件. 对于C，∵等边三角形一定是等腰三角形，而等腰三角形不一定都是等边三角形，∴p不是q的充要条件，p是q的充分不必要条件. 对于D，∵A∩B=A⇔A⊆B⇔∁UB⊆∁UA，∴p是q的充要条件. 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 3 4 2 10.(多选)在下列四个结论中，正确的有 (　 ) A.x2>4是x3<-8的必要不充分条件 B.在△ABC中，“AB2+AC2=BC2”是“△ABC为直角三角形”的充要条件 C.若a，b∈R，则“a2+b2=0”是“a，b不全为0”的充要条件 D.若a，b∈R，则“a2+b2≠0”是“a，b不全为0”的充要条件 √ √ 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 3 4 2 解析：对于结论A，由x3<-8⇒x<-2⇒x2>4，但x2>4⇒x<-2或x>2⇒x3<-8或x3>8，不一定有x3<-8，故A正确；对于结论B，由AB2+AC2=BC2⇒ △ABC为直角三角形，但在直角△ABC中，不一定角A是直角，故B不正确；对于结论C，a2+b2=0⇒a=b=0，故C不正确；对于结论D，由a2+b2≠0⇒a，b不全为0，反之，由a，b不全为0⇒a2+b2≠0，故D正确. 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 3 4 2 11.(5分)“x≠-1”是“x2-1≠0”的____________条件.  必要不充分 解析：由x2-1≠0⇒x≠1且x≠-1， 因为“x≠-1”是“x≠1且x≠-1”的必要不充分条件，所以“x≠-1”是“x2-1≠0”的必要不充分条件. 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 3 4 2 12.(5分)设命题p：k>5，b<5，命题q：一次函数y=(k-4)x+b-5的图象交y轴于负半轴，交x轴于正半轴，则p是q的______条件；q是p的______条件.(用“充分”“必要”填空)  充分 必要 解析：当k>5，b<5时，函数y=(k-4)x+b-5的图象如图所示，此时一次函数y=(k-4)x+b-5的图象交y轴于负半轴，交x轴于正半轴， ∴p是q的充分条件，q是p的必要条件. 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 3 4 2 13.(5分)对于集合A，B及元素x，若A⊆B，则x∈B是x∈(A∪B)的_____条件.  充要 解析：由x∈B，显然可得x∈(A∪B)； 反之，由于A⊆B，则A∪B=B， 所以由x∈(A∪B)可得x∈B， 故x∈B是x∈(A∪B)的充要条件. 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 3 4 2 14.(10分)判断下列各组命题中，p是q的什么条件(“充分不必要条件”“必要不充分条件”“充要条件”“既不充分也不必要条件”). (1) 已知x∈R，p：x>1，q：x>2；(3分) 解：法一　由x>1 x>2，所以p不是q的充分条件.反之，若x>2，则必有x>1，所以p是q的必要条件.故p是q的必要不充分条件. 法二　设集合A={x|x>1}，B={x|x>2}，则B⫋A，所以p是q的必要不充分条件. ⫋ 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 3 4 2 (2)p：a能被6整除，q：a能被3整除；(3分) 解：p：a能被6整除，故也能被3和2整除， q：a能被3整除，不一定能被6整除，故p是q的充分不必要条件. (3)p：两个角不都是直角，q：两个角不相等.(4分) 解：由题意，知p q，但q⇒p，所以p是q的必要不充分条件. 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 3 4 2 15.(10分)已知a，b，c∈R，a≠0.判断“a-b+c=0”是“一元二次方程ax2+bx+c=0有一根为-1”的什么条件?并说明理由. 解：“a-b+c=0”是“一元二次方程ax2+bx+c=0有一根为-1”的充要条件.理由如下： 当a，b，c∈R，a≠0时，若a-b+c=0，则-1满足一元二次方程ax2+bx+c=0， 即“一元二次方程ax2+bx+c=0有一根为-1”，故“a-b+c=0”是“一元二次方程ax2+bx+c=0有一根为-1”的充分条件.若一元二次方程ax2+bx+c=0有一根为-1，则a-b+c=0，故“a-b+c=0”是“一元二次方程ax2+bx+c=0有一根为-1”的必要条件.综上所述，“a-b+c=0”是“一元二次方程ax2+bx+c=0有一根为-1”的充要条件. 本课结束 $$