1.1 第1课时 集合的概念（课件PPT）-【新课程学案】2025-2026学年高中数学必修第一册（人教A版）

该高中数学课件聚焦集合的概念，通过“好听的歌能否组成集合”等实例导入，系统梳理元素与集合的含义、关系及确定性、互异性、无序性特征，为后续函数定义域等知识构建基础学习支架。 其亮点在于采用“逐点理清式”教学，通过多维理解表格、微点助解辨析、典例变式训练，培养学生用数学眼光抽象概念、用数学思维推理参数问题的能力。课时检测结合符号表示强化数学语言，助力学生夯实基础，教师可直接用于高效教学。

第一章 集合与常用逻辑用语 集合的概念 1.1 集合的概念 [教学方式:基本概念课——逐点理清式教学] 第1课时 课时目标 1.通过实例了解集合与元素的含义，能判断元素与集合的关系. 2.能利用集合元素的确定性、互异性、无序性解决一些简单的问题. 3.熟记常用数集的表示符号，通过常用数集准确把握元素与集合之间的关系. CONTENTS 目录 1 2 3 逐点清(一)　元素与集合的概念 逐点清(二)　元素与集合的关系 逐点清(三)　集合中元素特征的应用 4 课时检测 逐点清(一)　元素与集合的概念 01 1.元素与集合的含义 多维理解 元素 一般地，把_________统称为元素 集合 把一些_____组成的总体叫做集合，简称为____ 符号表示 元素通常用小写拉丁字母a，b，c，…表示，集合通常用大写拉丁字母A，B，C，…表示 研究对象 元素 集 |微|点|助|解| (1)“集合”是数学中的一个基本概念，同“点”“线”“面”等概念一样都是描述性概念. (2)集合是一个“整体”，一些对象一旦组成了集合，那么这个集合就是这些对象的全体，而非个别对象. (3)组成集合的元素可以是数、点、图形、多项式、方程，也可以是人或物等. 2.集合相等 只要构成两个集合的元素是______的，我们就称这两个集合是相等的. 3.集合中元素的特征 一样 确定性 一个集合一旦确定，某一个元素属于或不属于这个集合也是确定的 互异性 一个集合中的任何两个元素都不相同.也就是说，集合中的元素没有重复 无序性 集合中的元素是没有顺序的 1.判断正误(正确的画“√”，错误的画“×”) (1)在一个集合中可以找到两个相同的元素. (　 ) (2)好听的歌能组成一个集合. (　 ) (3)方程(x-1)2(x+2)=0所有解组成的集合有3个元素. (　 ) (4)分别由元素0，1，2和2，0，1组成的两个集合是相等的. (　 ) 微点练明 √ × × × 2.(多选)考察下列每组对象，能组成集合的是 (　 ) A.中国各地最美的乡村 B.直角坐标系中横、纵坐标相等的点 C.不小于3的自然数 D.唐宋散文八大家 √ 解析： A中“最美”标准不明确，不符合确定性，B、C、D中的元素标准明确，均可构成集合，故选BCD. √ √ 3.集合中“元素”的英文单词“element”中的字母构成的集合中元素的个数为 (　 ) A.2 B.3 C.4 D.5 √ 解析：由集合中元素的互异性可知，该集合中有“e”“l”“m”“n”“t”5个元素. 4.已知集合A中含有3个元素a，0，-1，集合B中含有3个元素c+b，，1，且集合A和集合B是相等的，则a=_____，b=_____，c=______.  解析：∵集合A和集合B是相等的，又≠0， ∴a=1，c+b=0，=-1，∴a=1，b=-2，c=2. 1 -2 2 逐点清(二)　元素与集合的关系 02 1.元素与集合的关系 多维理解 关系 概念 记法 读法 属于 如果_______________，就说a属于集合A _____ “a属于A” 不属于 如果_____________________，就说a不属于集合A _____ “a不属于A” a是集合A的元素 a∈A a不是集合A中的元素 a∉A 2.常用数集及其记法 名称 非负整数集 (或自然数集) 正整数集 整数集 有理 数集 实数集 记法 _____ ____或N+ ____ ____ ____ N N* Z Q R |微|点|助|解| (1)元素和集合是两个完全不同的概念，元素是集合中的某一对象，而集合是由所有的元素组成的. (2)由元素的确定性可知，对于任何a与A，a∈A或a∉A这两种情况必有一种且只有一种成立. (3)符号“∈”和“∉”只能用于元素与集合之间，并且这两个符号的左边是元素，右边是集合，具有方向性(开口对着集合)，左右两边不能互换. (4)N是非负整数集(即自然数集)，而N*与N+表示正整数集，N包括元素0，而N*与N+不包括元素0. 1.若a是R中的元素，但不是Q中的元素，则a可以是 (　 ) A.3.14 B.-5 C. D. √ 微点练明 解析：因为是实数，但不是有理数，所以选D. 2.集合M是由大于-2且小于1的实数构成的，则下列关系正确的是 (　 ) A.∈M B.0∉M C.1∈M D.-∈M √ 3.已知集合A中元素满足2x+a>0，a∈R，若1∉A，且2∈A，则 (　 ) A.a>-4 B.a≤-2 C.-4<a<-2 D.-4<a≤-2 √ 解析：由题意可知解得-4<a≤-2. 4.(多选)下列说法正确的是 (　 ) A.集合N与集合N*是同一个集合 B.集合N中的元素都是集合Z中的元素 C.集合Q中的元素都是集合Z中的元素 D.集合Q中的元素都是集合R中的元素 √ √ 解析：因为集合N*表示正整数集，N表示自然数集，Z表示整数集，Q表示有理数集，R表示实数集，所以A、C中的说法不正确，B、D中的说法正确. 5.用符号“∈”和“∉”填空： (1)设集合A为所有偶数组成的集合，则0_____A，-2 026_____A；  (2)设集合B是由平面直角坐标系中所有第二象限的点组成的集合，则 -1_____B，(-1，1)______B.  ∈ ∈ ∉ ∈ 逐点清(三)　集合中元素特征 的应用 03 [典例]　已知集合A中含有两个元素1和a2，若a∈A，求实数a的值. 解：由题意，可知a=1或a2=a， 若a=1，则a2=1，这与a2≠1相矛盾，故a≠1. 若a2=a，则a=0或a=1(舍去)，又当a=0时，A中含有元素1和0，满足集合中元素的互异性，符合题意.综上可知，实数a的值为0. 　　[变式拓展] 1.本例若去掉条件“求a∈A”，其他条件不变，求实数a的取值范围. 解：由集合中元素的互异性可知a2≠1，即a≠±1. 所以a的取值范围是a≠±1. 2.本例条件中若“1”和“a”互换位置，求实数a的值. 解：若1∈A，则a=1或a2=1，即a=±1. 当a=1时，集合A有重复元素，与集合中元素的互异性矛盾，所以a≠1. 当a=-1时，集合A含有两个元素1，-1，符合集合中元素的互异性，所以a=-1. |思|维|建|模|　由集合中的元素特征求参数的步骤 1.由a2，2-a，3组成的一个集合A，若A中元素个数不是2，则实数a的取值可以是 (　 ) A.-1 B.1 C. D.2 √ 针对训练 解析：由题意知a2，2-a，3组成一个集合A，A中元素个数不是2，因为a2=2-a=3无解，所以由a2，2-a，3组成的集合A的元素个数为3，故a2≠2-a≠3，即a≠-2，a≠±1，a≠±，即a可取2，故A、B、C错误，D正确. 2.已知集合P有三个元素-1，2a+1，a2-1.若0∈P，则实数a的值为 (　 ) A.-　 　 B.1　 　 C.-或1　 　 D.0或1 √ 解析：因为0∈P，所以2a+1=0或a2-1=0.当2a+1=0，即a=-时，P中含有元素-1，0，-，满足题意；当a2-1=0，即a=±1时，若a=1，则P中含有元素-1，3，0，满足题意；若a=-1，则P中含有元素-1，0，不满足题意.综上，实数a的值为-或1. 课时检测 04 1 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 2 1.(多选)下列各组对象能构成集合的是 (　 ) A.倒数等于它本身的数 B.某班视力较好的同学 C.所有锐角三角形 D.小于π的正整数 √ 解析：根据集合的概念，可知集合中元素具有确定性，可得选项A、C、D中的元素都是确定的，故选项A、C、D能构成集合，但B选项中“视力较好”的标准不明确，不符合确定性，不能构成集合.故选ACD. √ √ 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 2 3 4 2.(多选)下列元素与集合的关系正确的是 (　 ) A.-1∈N B.0∉N* C.∈Q D.∈R √ √ 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 3 4 2 3.设不等式3-2x<0的解集为M，下列关系正确的是 (　 ) A.0∈M，2∈M B.0∉M，2∈M C.0∈M，2∉M D.0∉M，2∉M √ 解析：本题是判断0和2与集合M间的关系，因此只需判断0和2是否是不等式3-2x<0的解即可.当x=0时，3-2x=3>0，所以0∉M；当x=2时，3-2x=-1<0，所以2∈M. 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 3 4 2 4.(多选)若以集合A的四个元素a，b，c，d为边长构成一个四边形，则这个四边形不可能是 (　 ) A.梯形 B.平行四边形 C.菱形 D.矩形 √ √ √ 解析：由于a，b，c，d四个元素互不相同，故它们组成的四边形的四条边都不相等. 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 3 4 2 5.已知集合M具有性质：若a∈M，则2a∈M，现已知-1∈M，则下列元素一定是M中的元素的是 (　 ) A.1 B.0 C.-2 D.2 √ 解析：因为-1∈M，所以2×(-1)∈M，即-2∈M. 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 3 4 2 6.集合A中有三个元素2，3，4，集合B中有三个元素2，4，6，若x∈A且x∉B，则x等于 (　 ) A.2 B.3 C.4 D.6 √ 解析：集合A中的元素3不在集合B中，且仅有这个元素符合题意. 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 3 4 2 7.已知集合M是方程x2-x+m=0的解组成的集合，若2∈M，则下列判断正确的是 (　 ) A.1∈M B.0∈M C.-1∈M D.-2∈M √ 解析：由2∈M知2为方程x2-x+m=0的一个解，所以22-2+m=0，解得m=-2.所以方程为x2-x-2=0，解得x1=-1，x2=2.故方程的另一根为-1，所以-1∈M. 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 3 4 2 8.(多选)下列说法正确的是 (　 ) A.N*中最小的数是1 B.若-a∉N*，则a∈N* C.若a∈N*，b∈N*，则a+b的最小值是2 D.x2+4=4x的实数解组成的集合中含有两个元素 √ 解析：因为N*表示正整数集，容易判断A、C正确；对于B，若a=，则满足-a∉N*，但a∉N*，B错误；对于D，x2+4=4x的实数解只有2，所以组成的集合中只有一个元素，D错误. √ 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 3 4 2 9.已知a，b是非零实数，代数式++的值组成的集合是M，则下列判断正确的是(　 ) A.0∈M B.-1∈M C.3∉M D.1∈M √ 解析：当a，b全为正数时，代数式的值是3；当a，b全是负数时，代数式的值是-1；当a，b是一正一负时，代数式的值是-1.综上可知B正确. 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 3 4 2 10.由实数x，-x，|x|，，- 所组成的集合中，含有元素的个数最多为(　 ) A.2 B.3 C.4 D.5 √ 解析：∵=|x|，-=-|x|，故当x=0时，这几个实数均为0；当x>0时，它们分别是x，-x，x，x，-x；当x<0时，它们分别是x，-x，-x， -x，x.最多表示2个不同的数，故集合中的元素最多为2个.故选A. 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 3 4 2 11.(5分)设集合D是满足方程y=x2的有序数对(x，y)的集合，则-1___D，(-1，1)____D.  ∉　 ∈ 解析：因为集合D中的元素是有序数对(x，y)，而-1是数，所以-1∉D，(-1，1)∈D. 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 3 4 2 12.(5分)已知集合P中的元素x满足x∈N，且2<x<a，又集合P中恰有三个元素，则整数a=______.  6 解析：因为集合P中恰有三个不同元素，且元素x满足x∈N，2<x<a，则满足条件的x的值为3，4，5，所以整数a的值是6. 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 3 4 2 13.(5分)已知集合M有2个元素x，2-x，若-1∉M，则下列说法一定错误的是_______.  ①2∈M；②1∈M；③x≠3. ② 解析：依题意解得x≠-1，x≠1且x≠3.对于①，当x=2或2-x=2，即x=2或x=0时，M中的元素为0，2，故①可能正确；对于②，当x=1或2-x=1，即x=1时，M中两元素为1，1不满足互异性，故②不正确；③显然正确. 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 3 4 2 14.(10分)已知集合A含有两个元素m，m2-3m，其中m∈R. (1)实数m不能取哪些数?(5分) 解：根据题意，可得m≠m2-3m，解得m≠0且m≠4，因此，实数m不能取0和4. (2)若4∈A，求实数m的值.(5分) 解：由(1)的结论，可知m≠4，若4∈A，则m2-3m=4，解得m=-1(m=4不符合题意)，因此，实数m的值是-1. 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 3 4 2 15.(10分)设集合S中的元素全是实数，且满足下面两个条件： ①1∉S；②若a∈S，则∈S. (1)求证：若a∈S，则1-∈S；(5分) 解：证明：因为1∉S，a∈S，所以1-a≠0，且∈S， 可得==1-∈S，故若a∈S，则1-∈S. 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 3 4 2 (2)若2∈S，则在S中必含有其他的两个元素，试求出这两个元素.(5分) 解：由2∈S，得=-1∈S； 由-1∈S，得=∈S； 而当∈S时，=2∈S，…，因此当2∈S时，集合S中必含有-1，两个元素. 本课结束 $$