23.1　成比例线段 同步练习 2025-2026学年数学华东师大版九年级上册

23.1成比例线段 1.成比例线段 成比例线段 1.下列各组线段中,是成比例线段的是 (　　) A.1 cm,2 cm,3 cm,4 cm B.2 cm,3 cm,4 cm,5 cm C.1 cm,2 cm,3 cm,5 cm D.1 cm,2 cm,5 cm,10 cm 2.(教材P49例1变式)已知线段a、b、c、d是成比例线段,且a=3,b=2,c=4,那么d的值可以为 (　　) A.2 B.3 C. D. 3.如果A、B两地的实际距离为280 km,那么在比例尺为1∶1 000 000的地图上,A、B两地的图上距离为　　　　 cm.  4.已知a=4 cm,b=5 cm,c=6 cm,d= cm,判断线段a、b、c、d是否是成比例线段. 比例的基本性质 5.若,则xy= (　　) A.3 B.6 C.12 D.24 6.若,则的值为　　　　.  7.已知,且3a-2c=-8,求2c-3b+4a的值. 1.若3x=2y(y≠0),则下列比例式一定成立的是 (　　) A. B. C. D. 2.如果,那么= (　　) A. B. C. D. 3.如果线段a、b、c、d满足,那么下列式子恒成立的是 (　　) A. B.(m>0) C. D. 4.在20世纪70年代,我国著名数学家华罗庚教授将黄金分割法作为一种“优选法”,在全国大规模推广,取得了很大成果.如图,利用黄金分割法,所作EF将矩形窗框ABCD分为上、下两部分,其中E为边AB的黄金分割点,即BE2=AE·AB.已知AB的长为2 m,则线段BE的长为　　　　 m.  5.(跨学科)小明的家乡有一座小山,他查阅资料得到该山的“等高线示意图”(如图所示),山上的三处观景台A、B、C在同一直线上,将这三点标在“等高线示意图”上,刚好都在相应的等高线上,设A、B两地的实际直线距离为m,B、C两地的实际直线距离为n,则的值为　　　　.  6.美是一种感觉,当人体下半身长与身高的比值越接近0.618时,越给人一种美感.某女士身高165 cm,下半身长x与身高l的比值是0.6. (1)求该女士下半身长x; (2)为尽可能达到美的效果,求她应穿的高跟鞋的高度(结果精确到0.1). 7.已知三条长度分别为2 cm、6 cm、12 cm的线段,若再添一条线段,使这四条线段成比例,求所添线段的长度. 8.已知a、b、c为△ABC的三边,,且a+b+c=12,求△ABC的面积. 9.(运算能力)已知=k(k≠0),求k2-3k-4的值. 【详解答案】 基础达标 1.D　解析:因为1×10=2×5,所以D中线段是成比例线段,符合题意.故选D. 2.D　解析:根据题意得a∶b=c∶d,即3∶2=4∶d,解得d=.故选D. 3.28　解析:∵比例尺为1∶1 000 000,A、B两地的实际距离为280 km, ∴A、B两地的图上距离为28 000 000×=28(cm). 4.解:a=4 cm,b=5 cm,c=6 cm,d= cm,∵4×=5×6,即ad=bc,∴线段a、b、c、d是成比例线段. 5.C　解析:∵,∴xy=2×6=12.故选C. 6.　解析:∵,∴设n=3k,m=5k,∴. 7.解:∵,∴设a=2k,b=3k,c=5k,∵3a-2c=-8,∴6k-10k=-8,解得k=2,∴a=4,b=6,c=10,∴2c-3b+4a=20-18+16=18. 能力提升 1.B　解析:由,得3x=2y,故B选项比例式一定成立.故选B. 2.D　解析:∵,∴b=a, ∴.故选D. 3.D　解析:A.∵,∴,故本选项错误;B.∵,m>0,∴不一定成立,故本选项错误;C.∵,∴=-,故本选项错误;D.∵,∴,故本选项正确.故选D. 4.(-1+)　解析:设BE=x m,则AE=(2-x)m.∵BE2=AE·AB,AB=2 m,∴x2=2(2-x),即x2+2x-4=0,解得x1=-1+,x2=-1-(舍去).∴线段BE的长为(-1+)m. 5.2　解析:由题意,得AB∶BC=2∶1,∴m∶n=2∶1,即=2. 6.解:(1)x=165×0.6=99(cm). 答:该女士下半身长x为99 cm. (2)设她应穿的高跟鞋的高度是y cm, 则99+y=0.618(165+y), 解得y≈7.8. 答:她应穿的高跟鞋的高度为7.8 cm. 7.解:设所添线段的长度为d cm,根据题意,得 当2∶6=12∶d时,解得d=36; 当6∶12=2∶d时,解得d=4; 当12∶2=6∶d时,解得d=1. 则所添线段的长度为36 cm或4 cm或1 cm. 8.解:设=k, 则a=3k-4,b=2k-3,c=4k-8, 把a=3k-4,b=2k-3,c=4k-8代入a+b+c=12, 可得3k-4+2k-3+4k-8=12, 解得k=3, ∴a=5,b=3,c=4, ∴b2+c2=9+16=25,a2=25, ∴b2+c2=a2, ∴△ABC是直角三角形, ∴△ABC的面积=bc=×3×4=6. 9.解:∵=k,∴由比例的基本性质可得=k, 当a+b+c+d≠0时, k=. 当a+b+c+d=0时,b+c+d=-a, ∴k==-2. ∴k2-3k-4=-3×-4=-或k2-3k-4=(-2)2-3×(-2)-4=6. 学科网（北京）股份有限公司 $$ 23.1　成比例线段　 2.平行线分线段成比例　 平行线分线段成比例 1.(跨学科)如图,五线谱是由等距离、等长度的五条平行横线组成的,同一条直线上的三个点A、B、C都在横线上.若线段AC=,则线段AB的长是 (　　) A. B.2 C. D.5 2.(2024哈尔滨中考)如图,在四边形ABCD中,AD∥BC,点E在AB上,EF∥AD交CD于点F,若AE∶BE=1∶2,DF=3,则FC的长为 (　　) A.6 B.3 C.5 D.9 3.如图,a∥b∥c,直线m、n分别与直线a、b、c交于点B、C、E和点A、D、F.已知AD=2,DF=1,CE=1.2,求线段BE的长. 平行线分线段成比例的推论 4.如图所示的是某位同学用带有刻度的直尺在数轴上作图的方法,若图中的虚线相互平行,则点P表示的数是 (　　) A. B.2 C. D.5 5.(新考法)在△ABC中,点M在边AB上,且AM=AB,阅读以下作图步骤: ①以点B为圆心,以适当长为半径画弧,交BA于点D,交BC于点E; ②以点M为圆心,以BD长为半径画弧,交MA于点D'; ③以点D'为圆心,以DE长为半径画弧,交前一条弧于点E'; ④连结ME'并延长,交AC于点N,如图所示. 根据以上作图步骤,可以推得=　　　　.  6.如图,在△ABC中,点D在AB边上,点E、F在BC边上,且DE∥AC,DF∥AE,,BF=9 cm,求FE和CE的长. 1.如图,已知a∥b∥c,直线m分别交直线a、b、c于点A、B、C,直线n分别交直线a、b、c于点D、E、F,若AB∶BC=3∶1,则DE∶DF= (　　) A.1∶2 B.3∶4 C.2∶3 D.3∶5 第1题图　　第2题图 2.如图,在△ABC中,D是AC的中点,点F在BD上,连结AF并延长交BC于点E,若BF∶FD=3∶1,BC=10,则CE的长为 (　　) A.3 B.4 C.5 D. 3.如图,在△ABC中,D在AC边上,AD∶DC=1∶2,O是BD的中点,连结AO并延长交BC于点E,若BE=1,则EC的长为 (　　) A.2 B.2.5 C.3 D.4 4.如图,在▱ABCD中,EF∥AB,FG∥BC,DE∶DA=2∶5,AB=10,求线段CG的长. 5.如图,在△ABC中,点M为AC边的中点,点E为AB上一点,且AB=4AE,连结EM并延长交BC的延长线于点D. 求证:BC=2CD. 6.(推理能力)阅读下列材料,完成相应的学习任务: 角平分线分线段成比例定理的内容:三角形内角平分线分对边所得的两条线段和这个角的两边对应成比例.如图1,在△ABC中,AD平分∠BAC交BC于点D,则.下面是这个定理的部分证明过程. 证明:如图2,过点C作CE∥DA,交BA的延长线于点E. 任务:请按照上面的证明思路,写出该证明的剩余部分. 图1　图2 【详解答案】 基础达标 1.D　解析:如图,过点A作平行横线的垂线,交点B所在的横线于点D,交点C所在的横线于点E, ∴,∵五线谱是由等距离的五条平行横线组成的,∴, ∴,解得AB=5.故选D. 2.A　解析:∵在四边形ABCD中,AD∥BC,EF∥AD,∴AD∥EF∥BC,∴,即,解得FC=6.故选A. 3.解:∵a∥b∥c, ∴,即, ∴BC=2.4, ∴BE=BC+CE=2.4+1.2=3.6. 4.C　解析:设P点表示的数为x,则根据题意可得,解得x=,经检验,x=是所列分式方程的解且符合实际意义,即P点表示的数为.故选C. 5.　解析:∵AM=AB,∴, 连结DE、D'E'(图略),由题中作图步骤可知BD=MD',BE=ME',DE=D'E', 则△BDE≌△MD'E',∴∠AMN=∠B,∴MN∥BC,∴. 6.解:∵DF∥AE,∴, ∵BF=9 cm,∴FE=6 cm,BE=BF+FE=15 cm,∵DE∥AC, ∴,∴CE=10 cm. 能力提升 1.B　解析:∵AB∶BC=3∶1,∴AB∶AC=3∶4,∵直线a∥b∥c,∴DE∶DF=AB∶AC=3∶4.故选B. 2.B　解析:如图,过点D作DH∥AE,交BC于点H,则=1,=3,∴,∵BC=10,∴CE=4.故选B. 3.C　解析:如图,过点D作DF∥AE交BC于点F, ∵DF∥OE,O是BD的中点,∴=1,∴BE=EF,∵DF∥AE, ∴,∴FC=2EF, ∴EC=3EF=3BE,∵BE=1, ∴EC=3.故选C. 4.解:∵EF∥AB,∴. ∵FG∥BC,∴. ∵四边形ABCD是平行四边形, ∴DC=AB=10,∴DG=4, ∴CG=DC-DG=10-4=6. 5.证明:过点C作CF∥DE,交AB于点F,如图, ∵ME∥CF,∴,∵M为AC边的中点,∴AM=MC,∴AE=EF, ∵AB=4AE,∴EF=AB,BF=AB,∴BF=2EF,∵CF∥DE, ∴=2,∴BC=2CD. 6.解:证明的剩余部分:∵CE∥DA, ∴∠BAD=∠E,∠DAC=∠ACE. ∵AD平分∠BAC, ∴∠BAD=∠DAC, ∴∠E=∠ACE,∴AC=AE. ∵CE∥DA,∴,∴. 学科网（北京）股份有限公司 $$