第五章 一元一次方程 5.2 解一元一次方程-【支点·同步系列】2025-2026学年新教材七年级上册数学（人教版2024）

5.2解一元一次方程 第1课时利用合并同类项解一元一次方程 要点提示 1.同类项：如果两项所舍字母潮同，并且相同宇母的指数也相同，那么这样的两项叫作集项，如x和3x是同类项 2.合并同类项：几个同类项经过加、减合并成一项叫作合并同类项，如3a十2a一a=4a,合并可类项时，用各项 桑的和作为合并后的系数，字母和字母的指数不变 3.利用合并同类项解一元一次方程的步骤：(1)合并同类项，(2)系数化为1. O1固基础念 知识点2列方程解决“总量=各部分量的 和”的实际问题 知识点1利用合并同类项解一元一次方程 4.(教材变式)某商场三个季度共销售冰箱 3 1.方程-2x-3x=2 一1的解为 2800台，第一个季度的销售量是第二个季度 A.x=-3 B.x=- 1 的2倍，第三个季度的销售量是第一个季度 3 的2倍.第二个季度销售冰箱 () C.x=3 D者 A.400台 B.800台 C.1600台 D.2800台 2将方程导。一号=10的解表示在数销上，是 5.古代数学文化中国古代数学著作《算法统 图中数轴上的 ( 宗》中有这样一段记载：“三百七十八里关， D 初日健步不为难，次日脚痛减一半，六朝才 第2题图 得到其关.”其大意是有人要去某关口，路程 A.D点B.C点 CB点 D.A点 为378里，第一天健步行走，从第二天起，由 3.解下列方程： 于脚痛，每天走的路程都为前一天的一半， (1)13x-6x=-15-27. 一共走了六天才到关口.此人第一天和第六 天这两天共走了 () A.102里B.126里C.192里D.198里 6.(2025上饶玉山期末)在我国明代数学家吴 (2)-=-2 敬所著的《九章算术比类大全》中，有一道数 学名题叫“宝塔装灯”，内容如下：“远望巍巍 塔七层，红灯点点倍加增：共灯三百八十一， 请问顶层几盏灯？”“倍加增”指从塔的顶层 到底层，每层悬挂的灯数是上一层的2倍 3 请你算出塔的顶层有多少盏灯. 数学七年级RJ板 02提能力 能第一次追上我.”爸爸回答道：“我骑完一 圈的时候你才骑半圈，以后要多跟爸爸一 7.若关于x的一元一次方程一x十mx一4m 起锻炼身体.” 一7的解是x=6,则m的值是 (1)请根据他们的对话内容，求小月和爸爸 A.-3 B c-3 D. 的骑行速度. 8.铺地板时，根据设计要求，如果一个长方形 (2)爸爸第一次追上小月后，小月立刻掉头 内部能用一些正方形铺满（既不重叠，又无 沿原路骑行，再经过多少分钟，小月和爸爸 缝隙)，就能铺出“优美长方形”.如图所示， 在相遇前相距100m? “优美长方形”ABCD的周长为26，则正方形 d的边长为 第8题围 9.跨语文学科古文记载：巍巍古寺在山中，不 知寺内几多僧.三百六十四只碗，恰合用尽 不差争.三人共食一碗饭，四人共尝一碗羹 请问先生明算者，算来寺内几多僧？设寺内 有x名僧人，则x的值为 10.解方程：灵2十2爱3十3爱4十…十 2024×2025=2024. ……03拓思维心 12.甲、乙两站相距336km,一列慢车从甲站开 出，每小时行驶72km,一列快车从乙站开 出，每小时行驶96km. (1)若两车同时出发，相向而行，几小时后 相距84km? (2)若两车同时出发，反向而行，几小时后 相距1008km? 11.(2025宜春上高期末)周末，小月和爸爸在 400m的环形跑道上骑车锻炼，他们在同一 地点沿着同一方向同时出发，爸爸第一次 追上小月后，小月说：“爸爸，您要2min才 55 上册第五草 第2课时利用移项、合并同类项解一元一次方程 要点提示 1移项：把等式一边的某项变号后移到另一边.移项的依据是等式的性质1， 2.移项的方法：先将含未知熟的项移到方程的一边，再将常数项移到方程的另一边， 3.利用移项法解一元一次方程的步骤：(1)移项.(2)合并同类项.(3)系数化为1 O1因基础】 就多出11文钱；如果每人出6文钱，就还差 16文钱.买鸡的有 人，鸡的价钱为 知识点1利用移项、合并同类项解一元一次 文 方程 5.据我国古代《易经》记载，远古时期人们通过 1.(2024一2025南昌青山湖区月考)若多项式 在绳子上打结来记录数量，即“结绳记数” 3x十5与5x-7的值相等，则x的值为 如图，有个妇人在从右到左依次排列的绳子 ( 上打结，满五进一，用来记录采集到的野果 A.6 B.5 C.4 D.3 的个数，她一共采集到了42个野果，则在第 2.解下列方程： 2根绳子上的打结数是 (1)-2x+6=3x-9. 第3桃第2根第1根 第5题周 (2)4x-2=3-x. 6.在一次读书日活动中，某班级把一批图书分 给学生阅读.若每人分2本，则剩余30本： 若每人分4本，则还缺10本.该班共有多少 名学生？ 知识点2列方程解决“表示同一个量的两个 不同的式子相等”的实际问题 3.某快递分派站现有若干件包裹需快递员派 送，若每个快递员派送10件，还剩6件；若每 个快递员派送12件，还差6件.分派站现有 包裹件数为 ) ●易错点解方程时，对错解的意义理解不 A.60 B.66 透而致错 C.68 D.72 7.某同学解方程5x-1=□x十3时，把“口” 4.古代数学文化《九章算术》一书中记载了这 处的数看错了，解得x=一 样一道题：“今有共买鸡，人出九，盈十一；人 他把口”处 出六，不足十六.问人数、物价各几何.”大意 的数看成了 是有若干人一起买鸡，如果每人出9文钱， A.3 B.-9 C.8 D.-8 数学七年级RJ版 02提能力 13.古代数学文化我国古代数学著作《算法统 宗》里有这样一道题：我问开店李三公，众 8.小云在解关于x的方程6a-x=16时，误将 客都来到店中，一房七客多七客，一房九客 一x看成十x,得到方程的解为x=一2，则原 一房空.问几房几客.意思是一批客人来到 方程的解为 () 李三店中住宿，如果1间客房住？人，那么 A.x=3B.x=2C.x=1D.x=0 有7人无房可住；如果1间客房住9人，那 9.古代数学文化(2024扬州)《九章算术》是中 么就空出1间房.问有多少间房间，多少个 国古代的数学专著，是《算经十书》中最重要 客人.请解答上述问题. 的一部，书中第八章内容“方程”里记载了一 个有趣的追及问题，其大意为速度快的人每 分钟走100m,速度慢的人每分钟走60m, 现在速度慢的人先走100m,速度快的人去 追他.速度快的人追上速度慢的人需要 min. 10.已知关于x的方程9x-3=kx十6有正整 数解，则满足条件的所有整数k的值为 03拓思维念… 14.(教材变式)利用一元一次方程将0.3化成 11.对于任意有理数a和b,我们规定：a*b- 分数，设x=0.3,则10x=3.3.因为3.3=3 a2-2ab.如1*2=12-2×1×2=-3. 十0.3，所以10x=3十x,移项、合并同类 (1)求6*7的值. (2)若（一3）*(2x)=21,求x的值. 项，得9x=3,解得x=}所以0.8= (1)请参照上述方法，把0.7化为分数. (2)类比这种方法，把0.12化为分数. 12.某同学在解关于x的方程4x十3a=2x十 15时，移项过程中2x没有改变符号，得到 方程的解为x=1.求a的值及原方程的解。 上册第五章 61 第3课时利用去括号解一元一次方程 要点提示 1去括号法则：解方程时，若方程中有括号，对要先去括号，去括号的依挪是象该的兮配神，去括号的顺序分两种 情况：(1)通常情况下，先去小括号，再去中括号，最后去大括号（由里向外），(2)报据题月特点，若能使计算简 便，也可先去大括号，再去中括号，最后去小括号， 2.利用去括号解一元一次方程的步骤：(1)去括号.(2)移项.(3)合并同类项，(4)系数化为1. 注意：解方程的去括号和有理数的运算中的去括号相似，在去括号时，要把括号外的国数与括号内的各项分别相乘，如 果括号前而是资号，去掉括号后，括号里的各项都要我变将号 O1固基础 知识点2去括号解一元一次方程的应用 4.端午节买粽子，每个肉粽比豆沙粽多1元，购买 知识点1利用去括号解一元一次方程 10个肉粽和5个豆沙粽共用70元.设每个肉粽 1.将方程6x一5(3十2x)=7去括号，正确的是 x元，则x的值为 ) A.5 B.4.5 C.5.5 D.4 A.6x-15+10x=7 B.6x-15+2x=7 5.(2024贵州)在元朝朱世杰所著的《算术启 C.6x-15-10x=7 D.6x-5-10x=7 蒙》中，记载了一道题，大意是快马每天行 2.已知-2(2-x)十(1十x)=0,则多项式22-7 240里，慢马每天行150里，慢马先行12天， 的值是 则快马追上慢马需要 天 A.-5 B.5 C.1 D.-1 6.(2024江西改编）一个书架宽84cm,在该书 3.解下列方程： 架上按如下图所示的方式摆放数学书和语 (1)(2025上饶玉山期末)3x=一4(x十5). 文书，已知每本数学书厚0.8cm,每本语文 书厚1.2cm. (1)数学书和语文书共90本恰好摆满该书 架，书架上数学书和语文书各多少本？ (2)如果书架上已摆放10本语文书，那么数 (2)3(x十2)-2=x+2. 学书还可以摆多少本？ 84 cm (3)3x-2=1-2(x+1). 数学七年级RJ版 易错点去括号时漏乘项致错 壶中的酒加一倍，每次看见花就喝去一斗 7.嘉琪同学在解方程2(3一x)=9时，步骤 这样，他先遇到店，再看见花，共反复三次， 如下： 在最后一次看到花时，把酒喝完了.壶中原 解：去括号，得6一x=9,第一步 来有多少斗酒？清解答上述问题。 移项，得一x=9一6，第二步 合并同类项，得一x=3,第三步 系数化为1，得x=一3.第四步 嘉琪从第几步开始出错？错误的原因是 什么？请给出正确的解答过程， ……心03拓思维 13.注重学习过程【阅读理解】在解形如3x 02提能力乡 2|=|x一2|十4这一类含有绝对值的方程 8.如果5(x一2)与2(x一3)互为相反数，那么x 时，可以根据绝对值的意义分x<2和x≥ 的值为 2两种情况讨论： A号 c D ①当x<2时，原方程可化为一3(x一2) 一(x一2)十4，解得x=0,符合x<2: 9.若式子2(x十1)+3(x十2)的值为8，则式子 ②当x≥2时，原方程可化为3(x一2)=(x 2(x-2)十3(x-1)的值为 ( 一2)十4，解得x=4,符合x≥2. A.0 B.11 C.-7 D.-15 故原方程的解为x=0或x=4. 10.若关于x的方程(k-2026)x-2024=6一 【尝试应用】运用分类讨论先去绝对值符号 2026(x十1)的解是整数，则整数k的取值 的方法解方程：x-3|一3|2x-6|=x-9. 有 () A.6个B.5个 C.3个 D.2个 11.数轴上表示数a,b的点分别位于原点的两侧， 且到原点的距离相等.若a,b表示的数分别是 1一4x和2(x一7)，则x的值是 12.跨语文学科古代民间流传着这样一道题： “李白街上走，提壶去打酒.遇店加一倍，见 花喝一斗.三遇店和花，喝光壶中酒.试问 酒壶中，原有多少酒？”意思是李白在街上 走，提着酒壶边喝边打酒，每次遇到店就将 上册第五章 第4课时利用去分母解一元一次方程 要点提示 1.去分母：当方程中有些系数是分数时，通常把分数系数化成整数系数.去分母的理论依据是等式的性质2，即在 方程的两边同乘各分母的最小公体数，把方程的系数化为整熬， 2.去分母解一元一次方程的一般步骤：(1)去分号.(2)去括号.(3)移项，(4)合并同类项，(5)系数化为1 O1固基础念 中有多少户人家？设城中有x户人家，则x 的值为 () 知识点1利用去分母解一元一次方程 A.25 B.40 C.50 D.75 1.(教材变式)若代数式号与代数式2。的和 5.老师说：“我六分之一的时光是幸福的童年， 之后从小学到读完大学花了我年龄一半的 为号，则x的值为 ( 时间，随后至今仍十二年如一日地站在讲台 A.-5 B.-3 C.3 D.5 上.谁知道我现在的年龄？”老师现在的年龄 2.若代数式红一号比2己的值大号那么工 是 岁 6.一些技工做由若干个零件构成的模具.3名 的值为 A级技工一天做6套模具，结果有18个零 3.解下列方程： 件未来得及做.同样的时间内，5名B级技 2024滨州21 工做8套模具，结果还多做了10个零件.已 2 知每名A级技工比B级技工一天多做4个 零件，求每套模具中的零件个数， (2)(2024-2025南昌青山湖区月考)2江+1 5x-1=1. 6 》易错点去分母时，漏乘不含分母的项而 致错 7.在解关于y的方程y。1=ya-1时， 知识点2去分母解一元一次方程的应用 3 4.古代数学文化《孙子算经》中记载了这么一 小明在去分母的过程中，右边的“一1”漏 道题：“今有百鹿入城，家取一鹿，不尽，又三 乘了公分母6，因而求得方程的解为y 家共一鹿，适尽.问：城中家几何？”大意为今 4,方程正确的解为 有100头鹿进城，每家取1头鹿，没有取完， A.y=-1 B.y=-2 剩下的鹿每3家共取1头，恰好取完.问：城 C.y=1 D.y=2 数学七年级RJ版 02提能力 之和为40mg/km.判断技术改进后该汽车 的A类物质排放量是否符合“标准”，并说 8若的倒数与0。互为相反数，则a的值 明理由 为 ( A. B.3 c-号 D.-3 9.当x= 时，式子写与。2的值 相等. 10.若使多项式-号y-少+号y一x 10中不含xy项，则k的值为 1.关于x的方程牛3-m。1=-1的解为 6 03拓思维]◆ 整数，则符合条件的正整数m的值之和为 14.新定义题用△定义一种运算：对于任意有 理数a和b,规定a△b=ab+2ab十1.例 12.已知关于x的方程3(x+号)=4x与3 2 如：1△5=1×5+2×1×5+1=36. _1+5x=1有相同的解，求a的值. 根据这个规定，解答下列问题： 3 (1)计算：3△(-2). (2)若引m-4|十(n十1)2=0，化简x△m n△x. (3)解方程：[△3]△(-)=2. 13.(2024北京)为防治污染，保护和改善生态 环境，自2023年7月1日起，我国全面实 施汽车国六排放标准6b阶段（以下简称 “标准”).对某型号汽车，“标准”要求A类 物质排放量不超过35mg/km,A,B两类物 质排放量之和不超过50mg/km.已知该型 号某汽车的A,B两类物质排放量之和原 为92mg/km,经过一次技术改进，该汽车 的A类物质排放量降低了50%，B类物质 排放量降低了75%，A,B两类物质排放量 上册第五章 61第五章一元一次方程 5.1方程 5.1.1从算式到方程 1.B2.C3.A4.-15.1.5x+10=706.A7.B8.1 9.解：1)2 (2)不是，理由如下： 由(1)可知，方程为一4x一6=0. 把x=3代人方程左边，得左边=一4×3一6=一18. 因为右边■0，所以左边≠右边 所以x=3不是方程的解。 5.1.2等式的性质 1.C2.B3.C4.20 5.解：两边同时减1，得5x+1一1-2x+10-1, 化简，得5x=2x十9， 两边可时减2x并化简，得3x=9, 两边同时除以3，得x=3. 6.D7.A 8.解：(1)是.理由如下 因为一江=号所以两边同时乘一青，得二一号 41 因为一是-是十（一3》，所以一3江-是是“和解方程巴 (2)由题意，得x=m十2是方程2x=m的解，所以2(m十2) =m,整理，得4十2m=m,两边同时减4，得2例=m一4，两边 同时减m,得m=一4. 5.2解一元一次方程 第1课时利用合并同类项解一元一次方程 1.B2.D 3.解：(1)合并同类项，得7x=一42， 系数化为1，得x=一6. (2)合并同类项，得0x=一2， 系数化为1，得x=一40. (③合并同类项，得子x=子， 系数化为1，得x=号 4.A5.D 6.解：设顶层有x整灯，由题意，得x十2x十4x十8x十16x十32x 十64x=381,解得x=3. 故塔的顶层有3盏灯 7.C8.59.624 10.解：方程变形如下 (1-是）+（是-号）x+(号-)++(202 2025/x=2024 1 合并同类项，得(1一2十2 十3 +…十202 2025/x=2024, 整重，相 x=2024, 系数化为1，得x=2025. 11.解：(1)由题意可知，爸爸的骑行速度是小月的骑行速度的2 倍，所以设小月的骑行速度为xm/mi,则爸爸的骑行速度 为2xm/min. 根据题意，得2(2x一x)=400,解得x=200, 所以2x=400. 故小月的骑行速度为200m/min,爸爸的特行速度为 176 数学七年级RJ版 400 m/min. (2)设再经过ymin,小月和爸爸在相遇前相距100m. 分以下两种情况讨论： ①当400y+200y=100,解得y=言 1 ②当40y十20y=40-10,解得y=号 故再经过专min或立im,小月和爸爸在相遇前相距 100m. 12.解：(1)设xh后相距84km. ①相遇前：96x+72x=336一84，解得x=1.5: ②相遇后：96x+72x=336+84,解得x=2.5. 故1.5h或2.5h后相距84km (2)设kh后相距1008km 由题意，得96k十72k十336=1008，解得k=4. 故4h后相距1008km. 第2课时利用移项、合并同类项解一元一次方程 1.A 2.解：门)移项，得一2x一3x=-9一6， 合并同类项，得-5x■一15， 系数化为1，得x=3. (2)移项，得4x十x=3十2， 合并间类项，得5x=5, 系数化为1，得x=1. 3.B4.9705.3 6.解：设该班共有x名学生 由题意，得2x十30=4x一10， 移项，得2x一4x=一10一30，台并同类项，得一2x=一40，系 数化为1，得x=20. 故该班共有20名学生 7.C8.B9.2.510.0或6或8 11.解：(1)因为4*6=a2一2ab, 所以6#7=6一2×6×7=36-84=-48. (20因为4*b=4-2ab,(-3),(2x)=21, 所以(-3)2-2×(-3)×2x=21, 即9十12x=21,解得x=1, 12.解：由题意，得x=1是关于x的方程4x十2x=15一3a 的解， 所以4十2=15一34，解得4=3. 把4=3代人原方程，得4x十9=2x十15， 解得x=3. 故a的值为3，原方程的解为x=3 13.解：设有x间房间. 根据题意，得7x+7=9x一9，每得x=8,则7×8十7=63 人). 故有8间房间，63个客人 14.解：(1)设y=0.7,则10y=7.7.因为7,7=7+0.7，所以 10y=7十y,移项，合并同类项，得9y=7,解得y-子，即0.分 (22设a=0.12,则100a=12.i2.因为12.12=12十0.i2, 所以100a=12十a,移项，合并同类项，得99a=12,解得a 斋即o.i2-前 第3课时利用去括号解一元一次方程 1.C2.A 3.解：(1)去括号，得3x=一4x-20, 移项，得3x十4x=一20， 合并同类项，得7x=一20： 系数化为1，得=一9。 (2)去括号，得3x+6一2=x十2， 移项，得3x-x=2-6十2， 合并同类项，得2x=-2, 系数化为1，得x=一1. (3)去括号，得3x-2=1-2x-2, 移项，得3x十2x=1一2十2， 合并同类项，得5x=1, 系数化为1，得x=号 4.A5.20 6解：(1)设书架上数学书x本，则语文书(90一x)本， 根据题意可列方程0,8x十1.2(90一x)=84, 解得x=60, 所以90一x=30. 故书架上数学书60本，语文书30本 (2)设数学书还可以摆m本。 根据题意可列方程10×1.2十0.8m=84, 解得m一90. 故数学书还可以摆90本. 7,解：嘉琪从第一步开始出错，错误的原因是去括号时括号里 的第二项漏乘2.正确的解答过程如下： 去括号，得6一2x=9, 移项，得-2x=9一6， 合并同类项，得一2x=3, 系数化为1，得=一 8A9C0A1.-号 12.解：设壶中原来有x斗酒，则他第一次遇店又见花后，壶中 有(2x一1)斗酒： 第二次遇店又见花后，壶中有[2(2x一1)一1门斗酒： 第三次酒店又见花后，壶中有{2[2(2x一1)一1]-1)斗酒. 由题意，得2[2(2x-1)一1]-1=0， 1 解得x=8 鼓壶中原来有号斗酒。 13.解：①当x<3时，原方程可化为3-x十3(2x一6)=x一9， 解得x=号，符台x<3:②当≥3时，原方程可化为x一3 一3(2红一6)=x一9，解得x=4,符合x≥3. 故原方程的解为工=号攻红=4 第4课时利用去分母解一元一次方程 1.D2号 3.解：(1)去分母，得2(2x一1)=3(x十1)， 去括号，得4x一2=3x十3， 移项，得4x一3x=3十2. 合并同类项，得x=5. (2)去分母，得2(2x+1)一(5x-1)=6, 去括号，得4x十2-5x十1=6， 移项，得4x一5x=6一2一1， 合并同类项，得一x=3, 系数化为1，得x=一3， 4.D5.36 6,解：设每套模具中的零件个数为工. 由题意，相6江18-8红十10+4， 3 5 去分母，得5(6x-18)=3(8x+10)+60. 去括号，得30x-90=24x十30十60， 移项、合并同类项，得6x=180, 系数化为1，得x=30 故每套模具中的零件个数为30. 7A8B9410号1.19 12.解：由3(x+号）-x,得x=a 由3红寸4-1+5-=1，得x=3a一8. 3 因为两个方程的解是相同的，所以a=3a一8，解得a=4. 故a的值为4. 13.解：技术改进后该汽车的A类物质排放量符合“标准” 理由：设技术改进后该汽车的A类物质排放量为x口g/km, 则B类物质排放量为(40一x)mg/km. 40-3x 由题意，得-50%十一75或-92，解得x一34 因为34<35，所以技术改进后该汽车的A类物质排放量符 合“标准”。 14.解：(1)3△(-2)=3×(-2)￥+2×3×(-2)+1=1. (2)因为m-4|十(m十1)2=0， 所以|m一4|=0，(n十1)2=0， 所以m=4,n=一1，所以x△m一△x=x△4一（一1）△x= (x·42十2x·4+1)-[(-1)·x2十2×(-1)·x十1] 16x+8x+1+x2+2x-1=x2+26x 3因为[生史△3]△(-》=2， 所以[安D+3y+D+1]△(-）=2， 所u[152]△(-）-2， 所以15y+17_15y12+1=2, 8 2 解得y一碧 5.3实际问题与一元一次方程 第1课时配套问题、工程问题 1.C2.16 3.解：(1)设每天安排x名工人缝制被套，则安排15一x)名工 人缝制枕套. 根据题意，得2×50x=20015一x), 解得x=10, 50x=50×10=500(个). 故每天缝制的被套有500个. (2)设最终能组成x套四件套 根据题意，得2x十x=885, 解得x=295. 故最终能组成295赛四件套 4.B 5.解：设这次小蜂打扫了xh,则爸爸打扫了(3一x)h. 根据题意，得子+3。-1， 2 解得x=2. 故这次小峰打扫了2h 6.D7.12x=15(90-x)508.5 9,解：(1)设再需增加y人帮忙才能在规定的时间内完成， 根据题意，得品+品。3（十1）-1，解得y一2 上册参考答案 177