第四章 整式的加减 4.2 整式的加法与减法-【支点·同步系列】2025-2026学年新教材七年级上册数学（人教版2024）

4.2整式的加法与减法 第1课时合并同类项 要点提示 1.同类项的既念：在多填式中，所含宇丹相同，并且相同宇母的指数也相同的项叫作周美项.(1)理解概念时要注 意“两个相同”的含义：一是所含字母相同，二是相可字母的指数也相同，(2)注意判别可类项时的“三个死关”： ①与系数无关②与数字的指数无关：③与字母的排列顺序无关. 2.合并同类项的概念：犯多项式中的同类项合并成一项，叫作合并同类项 3.合并同类项的法则：合并同类项后，所得项的系数是合并首各同类项的系数的和，且字母连同它的指数不变 O1固基础 (3)2a26+1 ab-8a26-3 a6 知识点①同类项 1.(2024内江)下列单项式中，ab的同类项是 ( A.3ab B.2a2b3 C.-a2B2 D.ab 知识点3合并同类项的应用 2.(2024一2025南昌二十八中期中)下列各组 7.某工厂第一年生产a件产品，第二年比第一 中，不是同类项的是 ( 年增产20%，则两年共生产 件 A.25与53 B.-ab与ba 产品.（用含a的代数式表示） 8.“藕农”赵大哥承包的ab2m2藕塘喜获丰收， C.0.2a26与- 5a6 D.a2b与-ab 采挖莲藕也提上了日程.若春节前他采挖了 3.（2024一2025赣州安远期中)若2a"b与 藕塘的号，则还剩 m3的藕塘 一3a'b是同类项，则m一n 没有采挖（用含a,b的式子表示） 知识点2合并同类项 9.甲、乙两人从同一地点出发，甲每小时走 4.下列计算正确的是 ( 5km,乙每小时走3km,若他们反向行走 A.-3y-3y=0 B.5mn-nm=4mn th,则两人相距 km;若他们同向 C.4a2-a=3a D.a2b-3ab2=2ab2 行走th,则两人相距 km.(用含t 5.计算：-3x十2y-5x7y= 的式子表示) 6.化简： 10.某食品厂打折出售食品，第一天卖出mkg, (1)9a-4a+3b-5a-2b. 第二天比第一天多卖出2kg,第三天卖出 的是第一天卖出的3倍.这个食品厂这三 天共卖出多少千克食品？当m=50时，这 个食品厂这三天共卖出多少千克食品？ (2)3m2-5m-2m2十3m-1. 数学七年级RJ版 O2提能力 18.如果整式A与整式B的和为一个有理数 a,那么称A,B为数a的“友好整式”.例 11.(2024广元改编)如果单项式一x2y2与单 如：x-4与一x十5为数1的“友好整式” 项式2xy2“的和仍是一个单项式，则下列 若关于x的整式4x3-kx2+6与-4.x2 运算正确的是 3xm十k一1为数n的“友好整式”，求mn A.mn-4 B.m-n=1 的值 c- D.m2+2=5 12.下列对关于a,b的多项式-3ab+ba十a 十2的认识不正确的是 A.一3ab和ba是同类项，可以合并 B.2是常数项 C.当b=0时，这个多项式的值总比2大 D.这个多项式的次数是3 13.多项式x2-3kxy一3y2十xy-8化简后不 含xy项，则为 A.0 …03拓思维 c号 19.新定义题规定(a,b)表示a,b两个数中较 D.3 小的一个，[a,b]表示a,b两个数中较大的 14.多项式7x3-6xy十3x2y十3x3+6x3y- 一个.例如：(3,1)-1，[3,1]-3. 3x2y-10x3的值 ( A.与字母x,y无关 D计算：(-23)+[-子-] B.只与x有关 (2)化简：[-m,-m-1]十(m,m-2). C.只与y有关 (3)先化筒，再求值：(x2y2-3,x2y)十 D.与字母x,y都有关 [4x2y,4x2y+3]+（-3x2y,-3xy2- 15.若关于x,y的多项式x十axy-(bx2-y -3)不含二次项，则a一b的值为() 2》,其中x-3y=1 A.0 B.-2 C.2 D.-1 16.若mx2y1十3x2y=0(其中x≠0，y≠0)， 则m十n= A.-3B.3 C.5 D.10 17.如图，左边三角形的面积为 2m2一3m,右边三角形的面积 为9十5m,空白部分的面积为 第17题图 m2,则图中阴影部分的面积为 上册弟四章 第2课时去括号 要点提示 去括号：如果括号外的由数是正飘，去括号后原括号内各项的特号与原来的将号湘周：如果括号外的因敏是童 熱，去括号后原括号内各项的符号与原来的将号相反 注意：去多重括号，要注意去括号的厚，一般是先去小括号，再去中括号，最后去大活号 O1固基础 7.数学老师在上课时出了这样一道题： 先化简，再求值：5x4-(8x3y-2x2y)+4x 知识点1去括号 +(8x3y-2x2y-9x)+2025,其中x= 1.化简一(a-b-c十d0的结果是 2024,y=-2025. A.a-b-c+d B.-a-b-c+d 同学们思考时，小丽认为本题中x一2024，y C.a+b+c-d D.-a+6+c-d =一2025是多余的条件；小强马上反对，认 2.下列各项去括号所得结果正确的是( 为这不可能，多项式中含有x和y,不给出 A.x2-(x-y+2x)=x2-x+y+2x x,y的值怎么能求出多项式的值呢？你同 B.x-(-2x+3y-1)=x+2x-3y+1 意哪名同学的观点？请说明理由 C.3x十(5x-1)=3x-5x-1 D.(x-1)-(x2-2)=x-1-x2-2 3.下列各式中，与多项式2a-(b一3c)相等的 是 ( ) A.2a+(-b+3c) B.2a+(-b)-3c C.2a+(-b-3c) D.2a+[-(b+3c)] 知识点2去括号且合并同类项 4.化简m+n十(m一)的结果为 A.2m B.-2mC.-2n D.2n 5.化简y-(3x-y)的结果是 知识点3去括号化简的应用 A.-3x-y B.-3x-2y 8.(教材变式)笔记本的单价是x元，圆珠笔的单 C.-3x D.-3x十2y 价是y元，小红买了10本笔记本和6支圆珠 6.化简下列各式： 笔：小明买了4本笔记本和3支圆珠笔，则小红 (1)(8x-7y)-(4x-7y). 比小明多花了 元 9.已知轮船在静水中的速度为(a+b)km/h, 它的逆流速度为(2a一)km/h,则顺流速度 为 km/h. ●易错点整式加减时忽略括号的作用 (2)(9a-2b)-[8a-(5b-2e)]+2c. 10.老师在黑板上书写了一个正确的演算过 程，随后用手学捂往了一部分，形式如 下专+2-2x+1=-x2+5x-3. 则所捂的部分为 数学七年级RJ版 O2提能力 (2)请你帮助这名同学求出正确的结果 11.有理数a在数轴上的位置如图所示，则|a 4|十a-11化简后为 ( 05a10 第11题图 A.7 B.-7 C.2a-15 D.无法确定 12.(2024一2025上饶鄙阳月考)已知M-4x -3x-2,N=62-3x+6,则M与N的大 小关系是 ( A.M<N B.MN …念O3拓思维 C.M=N D.无法确定 16.(2024一2025赣州安远期中)【阅读材料】 13.(2024一2025曲靖期中)若代数式x2十ax 我们知道，2x十3x-x=(2+3-1)x=4x, 一(bx2-x一3)的值与x的取值无关，则b 类似地，我们把(a十b)看成一个整体，则 一a的值为 2(a+b)+3(a+b)-(a+b)=(2+3 A.-1B.1 C.0 D.2 1)(a十b)=4(a十b).“整体思想”是中学数 14.以下是小宇同学化简式子(ab十4ab)一(ab 学解题中的一种重要的思想方法，它在多 一ab)的步骤： 项式的化简与求值中应用极为广泛， 原式=a2b十4ab-ab-ab第一步 【尝试应用】 =a2b-a2b+4ab-ab第二步 (1)把(x一y)看成一个整体，化简2(x =3ab.第三步 y)2-4(x-y)2+(x-y) (1)小字同学在第 步开始出错， (2)已知2m-3n=3,求代数式4m-6n十5 出错原因是 的值 【拓广探索】 (2)请你帮助小宇同学写出正确的解答 (3)已知a-2b=4,b-c=-2,3c十d=6, 步骤. 求(a+3c)一(2b十c)+(b+d)的值. 15.某同学做一道题，已知两个多项式A,B,求 A一B的值.他误将“A一B”看成“A十B”, 经过正确计算得到的结果是x2十14x一6， 其中A=-2x2+5x-1. (1)求多项式B的表达式. 上册弟四章 第3课时 整式的加减 要点提示 整式的加减：一放地，几个整式相加减，如果有括号就先去格号，然后再合开周集项， O1固基础心 分.小明全部回答且答错了2道题，他得到 的分数是 ) 知识点①整式的加减 A.6x+4 B.6x-4 1.a一3(6一c)去括号后，变形正确的是( C.8x+4 D.8x-4 A.a+36-3c B.a-3b+c 7.几何直观如右图所示的是 C.a-36-3c D.a-3b+3c 由长为4、宽为3的长方形 2.下列选项中，正确的是 ( 与边长为x(x<3)的正方 A.a+(6-c)=a-6+c 形拼成的图形 B.a-2(b-c)=a-26+c (1)用含有x的式子表示图中阴影部分的面 C.2a-(-3a)=-a 积并化简. D.-2(3a-6)+3(2a+b)=5b (2)当x=2时，求阴影部分的面积. 3.(2024一2025南昌二十八中期中)化简：(5a2 -3ab+7)-7(5ab-4a2+7)= 4.(2024一2025龙南期中)化简： (1)}9y-3)+2y+1D. ●易错点混淆了多个数量之间的等量关 22-+3-4(e-2+2》 系而致错 8.某工厂第一车间有m人，第二车间的人 数比第一车间的人数的2倍少5，第三车 间的人数比第一车间的人数的3倍多7， 则第三车间的人数比第一、二车间的人数 知识点2整式加减的应用 的和多还是少？请说明理由。 5.一个长方形的一边长为3m十2n,与它相邻 的一边比它长m一，则这个长方形的周长 是 ( A.4m十n B.8m+2n C.14m+6元 D.7m+3n 6.某校举办知识竞赛，共10道题，规定答对1 道题加x分，不答或答错1道题扣(x一2) 数学七年级RJ版 02提能力 ……… (3)若a=30,b=5,篱爸的单价为60元/m,请 计算篱笆的总造价 9.若A=2-2y,B=名y十，则A-2B为 A.3x2-2y2-5xy B.x2-2y2-3xy C.-5xy-2y2 D.3x2+2y 10.化简(9x-3)-2(x+1)的结果是（ A.2x-2 B.x+1 03拓思维) C.5x+3 D.x-3 15.阅读材料：已知多项式A和B,且 11.若m,n互为相反数，则(8m一2n)一2(2m- 2A+B=7ab+6a-2b-11,2B-A 3n+1)的值为 ( =4ab-3a-4b+18. A.-2B.3 C.1 D.4 我们可以通过添加括号，求出多项式B. 12.已知m-n-2,mn--5,则3(mn-n)- 如：5B=(2A十B)十2(2B-A) (nn-3m)的值为 =(7ab+6a-2b-11)+2(4ab-3a-4b+18) 13.先化简，再求值：3y2-x2十2(2x2-3xy) =15ab-10b+25, 3(x2+y2),其中x=1,y=-2. 所以B=3ab-2b十5. 根据材料中的已知条件解决下列问题： (1)求多项式A. (2)小红取互为倒数的一对a,b的值代入 多项式A中，恰好得到A的值为0，求多项 式B的值， 14.(2024一2025赣州章 (3)聪明的小刚发现，只要字母b取一个固定 贡区期中}如右图，公 的值，无论字母a取何值，B的值总比A的值 园有一块长为(2a 大7，那么小刚所取的b的值是多少呢？ 1)m、宽为am的长 (2a-1}m 方形土地（一边靠着墙），现将三边留出宽 都是bm的小路，余下部分设计成长方形 花圃ABCD,并用篱笆把花圃不靠墙的三 边围起来 (1)花围的宽AB为 m,花 面的长BC为 m.(用 含a,b的式子表示) (2)求篱笆的总长度（用含a,b的式子表示）. 上册第四章8.解：(1)2m十十2的值为10或一6. (2)mm十a十b的值为10或-10. 本章小结 1.C2.B3.C4.B5.(h-0） 6.用300元买x盒该款艾条后余下的钱 7.解：(1)23.5十(7-1)×0.5=26.5(cm),即标号为7的鞋的 尺码为26.5cm. (2)标号为m(1≤m≤14)的鞋的尺码可表示为23.5十0.5(m -1)=(23十0.5m)cm. 8.B9.B10.D11.-8或-212.-9 13.解：1)因为4=5，b1■3， 所以a=±5，b=±3. 因为a>b, 所以a=5,b■3或a=5,b=-3. 当a=5,b=3时，3a-2b=3×5-2×3=9: 当4=5，b=-3时，34-2b=3×5-2×(-3)=21. 故3a一2b的值为9或21. (2)因为|a十2|+6一4|+(c-5)2=0, 所以a+2=0,6—4=0,c-5=0, 解得4=一2，b=4,6=5, 则原式=-2-2°一(-3)×5 =-2-16+15 =-3 14.解：(10(6ab-a2) (2)当a=3,b=5时， 6a6-a2=6×3×5-9=81(m2), 40×81=3240(元). 故利余铁皮喷楼的费用为3240元. 15.解：(1)方案A的费用为40×5十40×50%x=(20x+ 200)元. 方案B的费用为40×60%(5十x)=(24x十120)元 (2)当x=50时，20x+200=20×50十200=1200（元），24x +120=24×50+120=1320(元). 因为1200<1320， 所以选择A方案更为优惑： 第四章整式的加减 4.1整式 第1课时单项式 1.C2.A3.B4.C5.36.mm(答案不唯一） 7.解：(1)增产25%之后的产量为1.25mt,系数为1.25，次数为 1. (2)体积为号Shm,系数为了，次数为2. (3)这个月盈利0.75a元，系数为0.75，次数为1， (4)小刚上学需走号h,系数为号，次数为1 n+72(②)-202529.D10.C 8.(1)(-1)+11 1.A12.①②④⑤13.-号6（答案不雅-）14.-3 15.解：(1)由题意，得2b十1十2=1十3， 所以6=之 (2)由题意，得2m=4,2n2=0,所以m=2,=0, 所以m十2=4， 所以这个单项式为4x 16.解：(1)128x -512x -513x (2)第①行第9个单项式为2x, 第②@行第9个单项式为（一2）x, 174 数学七年级RJ版 第③行第9个单项式为(2十1)x, 所以A=2x2+(-2)x3+(28+1)x0, 所以当x=时A=-1+十- 所以12(A+）=2×(六-子+）= 第2课时多项式 1.B2.A3.A4.C 5.5xy+32y2-1(答案不难-)6.D 1 7.解：单项式：62寸aa20%m,-y,-1 多项式a+6,子x一y 整式：言xy,d,+6,20%m,-x,号x-y,-1 8.(85%a+60%b) 9.解：0)a=10+100×15=310 (2)T=10+3x. (3)把1=75代人T=10十3t,得T=10十3×75=235 故当时间t为75min时，温度T是235℃. 10.C11.B12.B13.a2b十ab-ab十a2(答案不唯一) 14.解：因为多项式3x-3x2“y一5xy是一个七次三项式，n是 二次项的系数， 所以2m十1=7，=一5，解得m=3, 所以m3十n=3十（一5）=9一5=4. 15.解：(1)因为-5x2y+1+xy2-3x2-6是六次四项式， 所以2十m十1=6，所以m=3. 因为3x2y的次数也是6， 所以2m十5-m=6,即2m十5一3=6，所以n=2. 故m=3,=2. (2)由(1)，得该多项式为-5x2y十xy2一3x一6， 所以核多项式的常数项为一6，各项的系数和为一5十1一3 -6=-13. 16.解：不对.从第①步开始出错 正确解法：由原多项式知，第一项的次数为m十3，第二项的 次数为m,第三项的次数为3， 所以最高次数为m十3. 又因为原多项式是六次多项式 所以m十3=6，即m=3. 故原多项式为-5xy+10x-4xy. 4.2整式的加法与减法 第1课时合并同类项 1.A2.D3.14.B5.-8x-5y 6.解：(1)原式=(9a-4a-5a)十(36-2)■， (2)原式=(3m3-2m2)+(-5m十3m)一1 ■m2-2m-1, （原式=(2b-8cb+(号此-是6】 =-b- 7.2.2a8.ab29.8t2r 10.解：由题意可知，第二天卖出(m+2)kg,第三天卖出3mkg, 所以这个食品厂这三天共卖出m十m十2十3m=(5m十2)kg 食品， 当m=50时，这个食品厂这三天共卖出5×50十2=252 (kg)食品. 11.D12.C13.C14.A15.D16.B17.2m+9 18.解：因为关于x的整式4x一x2十6与一4x一3x”十k一1 为数n的“友好整式”， 所以4x2-kx2+6-4红3-3x十k-1=-k2-3x+5+是 =n, 所以m=2,一k一3=0,5十k=n, 所以表=一3，n=2, 所以mn=2×2=4. 19.解：1)原式=-2+(-号）=一景 (2)原式=一m十m一2=一2. 3》源式=ry-3+y+3-3xy-是=2x2y-号 当=y=1时，原式=2xy-号=2×（）×1 =0 第2课时去括号 1.D2.B3.A4.A5.D 6.解：(1)原式=8x一7y-4x十7y ■4无， (2)原式=9a-2b-(8a-5b+2c)+2c =9a-2b-8a+5b-2c+2c ■a+36 7解：可意小丽的观点.理由如下： 原式=5x-8xy+2x2y十4x+8xy-2x2y-9x+2025 =2025, 所以结果与x和y的值无关，所以本题中x=2024,y= 一2025是多余的条件. 8.(6x+3y09.3610.-2x2十7x-411.A12.A13.D 14.解：(1)一去括号时，第二个括号内的第二项没有变号 (2)原式=a2b十4ab-ab十a2b=a2b+a2b+4ab-ab=2a2b +3ab. 15.解：(1)因为A十B=x2十14x-6,A=-2x2十5x-1, 所以B=(A十B)一A =x2+14x-6-(-2x2+5x-1 =x2+14x-6+2x2-5x+1 =3x2十9x-5. (2)A-B=-2x+5x-1-(3x2+9x-5) =-2x2+5x-1-3x2-9x+5 =-5x2-4x十4， 16解：(1)原式=(2-4+1)(x-y)2=-(x-y)2 (2)因为2m一3m一3，所以原式■2(2m一3m)十5 =2×3+5=6+5=11. (3)原式=4十3c-2b-c十b十d=(a-2b)十(b-c)+(3c十 d) 因为a-2%=4,b-c■-2,3c十d=6,所以原式=4-2+6 =8. 第3课时整式的加减 1.D2.D3.33a2-38ab-42 4.解：(1)原式=3y-1十2y+2 =5y+1. (②)源式-22-音十3x一4红+4-2 =62-x 5.C6.A 7解：1)阴影部分的面积为士十4×3一号士-号×3x十40 -是×43-x =2+12--受x-6-6+2a 3 =22+2x (2)当x=2时，阴影部分的面积为号×2：+之×2=3. 8.解：第三车间的人数比第一、二车间的人数的和多，理由 如下： 由题意，得第二车间的人数为2m一5，第三车间的人数为3m +7. 因为3m十7-(m十2m一5) =3m十7-(3m-5) =3m+7-3m十5 =12>0, 所以第三车间的人数比第一，二车间的人数的和多 9.B10.D11.A12.-4 13.解：原式=3y-x2+4x3-6xy-3x2-3y=-6xy. 当x=1,y=一2时，原式=一6×1×（一2）=12. 14.解：(1)(a-b)(2a-1-2b) (2)因为花面的长为(2a-1-2)m,宽为(a-)m, 所以篇笆的总长度为(2a一1-2b)十2(4-6)=2a一1-26 +2a-2b=(4a-4b-1)m (3)当a=30,b=5时， (4a-4b-1)×60=(4×30-4×5-1)×60=5940(元). 故篱笆的总造价为5940元. 15.解：(1)A=2ab+3a-8. (2)B=7 (3)b=3. 本章小结 1.B2A3-号485.D6A 7.D8.2a-6-c9.(1)3x(2)1 10.解：(1)因为A十2B=9x2+2x-1,B=x2+3x-2, 所以A=9x2十2x一1一2B =9x2+2x-1-2(x2+3x2) =9x2+2x-1-2x2-6x+4 =7x2-4x十3. (2)由(1)，得2A+B=2(7x2-4x+3)+x2+3x一2 =14x2-8x十6十x2十3x-2 =15x2-5x十4. 1.解：原式=2a+4ab-号ab+2护=2c+2ab)-言(ab 68). 因为a2+2ab=-2,a6-b=-4, 所以源式=2X(-2》-号×（一=-4+2=-2 12.B13.(1013m,-n2)29 2 14.解：由题意可得， 冻土地段全长为100tkm, 非冻土地段全长为120（一0.5）km, 所以100-120(：-0.5)=(60-20t)km 所以冻土地段与非冻土地段全长相差(60一20)km, 这段铁路的全长为1001十120(t-0.5)=100r+120t-60= (2201-60)km. 15.解：(1)100(m十n） (2)①总销售额为60(m十n)十(100一60)×0.8(m十)= (92m十92m)元. ②实际盈利为92m十92n一100m=(92n一8m)元 因为100n一(92n一8m)=8(m十n)(元)， 所以她将比实际销售多应利8(m十)元 上册参考答案 175