专题02 含有理数运算的数轴与绝对值问题（专项训练）数学人教版2024七年级上册

专题02 含有理数运算的数轴与绝对值问题 目录 A题型建模・专项突破 题型一、用数轴上的点表示有理数 1 题型二、利用数轴比较有理数的大小 4 题型三、数轴上的动点问题 6 题型四、绝对值的非负性 10 题型五、利用数轴化简绝对值 11 题型六、分类讨论化简绝对值 13 B综合攻坚・能力跃升 题型一、用数轴上的点表示有理数 1.已知5个数分别为0，，，， (1)将题中5个数在数轴上表示出来； (2)将题中5个数按从小到大的顺序用“”连接起来． 2.（1）请你在数轴上表示下列有理数：，，，，． （2）将上列各数用“”号连接起来：_________． 3.已知下列有理数： (1)中，底数是_______，指数是_______． (2)在数轴上表示出这些有理数，并找出一对相反数． (3)把这些有理数用“＜”号连接起来． 4.有理数：，0，，，，． (1)将上面各数在数轴上表示出来，并用“”连接起来； (2)将上面的数填入相应的圈内． 题型二、利用数轴比较有理数的大小 5．实数，互为相反数，其在数轴上对应的点的位置如图所示，下列结论中，正确的是（ ） A． B． C． D． 6．数轴上表示数a，b的点如图所示，把按照从小到大的顺序排列，正确的是（   ） A． B． C． D． 7．已知有理数、在数轴上的位置如图所示，则下列结论正确的是（   ） A． B． C． D． 8．如图，数轴上的两个点所表示的数分别为，以下结论错误的是（   ） A． B． C． D． 题型三、数轴上的动点问题 9．数轴上三点对应的数为，动点从出发，每秒向右移动单位，同时动点从出发，每秒向左移动单位． (1)几秒后相遇？ (2)相遇时点对应的数是多少？ 10．如图，已知数轴的单位长度为1，的长度为1个单位长度． (1)如果点A，B表示的数是互为相反数，求点C表示的数． (2)若点A为原点，在数轴上有一点F，当时，求点F表示的数． (3)如果点B，E表示的数的绝对值相等，动点P从点B出发沿数轴正方向运动，速度是每秒3个单位长度，动点Q同时从点C出发也沿数轴正方向运动，速度是每秒2个单位长度，求运动几秒后，点P可以追上点Q？ 11．已知如图，数轴上点A表示的数为6，B是数轴上在A左侧的一点，且A，B两点间的距离为10．动点P从点A出发，以每秒4个单位长度的速度沿数轴向左匀速运动，设运动时间为秒． (1)数轴上点B表示的数是___________；当点P运动到的中点时，它所表示的数是__________． (2)动点Q从点B出发，以每秒2个单位长度的速度沿数轴向左匀速运动，若点P，Q同时出发．求： ①当点P追上点Q时，点P所表示的数是多少？ ②当点P运动多少秒时，点P与点Q间的距离为8个单位长度？ 12．如图，数轴上，两点对应的有理数分别为和，点从点出发，以每秒个单位长度的速度沿数轴负方向运动，点同时从点出发，以每秒个单位长度的速度沿数轴正方向运动，设运动时间为秒． (1)当时，数轴上的点、表示的数分别是______和______； (2)当时，求、两点间的距离； (3)在运动过程中是否存在时间使、两点间的距离与、两点间的距离相等，若存在，请求出此时t的值，若不存在，请说明理由． 题型四、绝对值的非负性 13．，那么 ． 14．若，则的值为 ． 15．当 时，的值最小． 16．若式子有最小值，则该最小值为 题型五、利用数轴化简绝对值 17．有理数a，b，c在数轴上表示的点如图所示， (1)比较大小： ______0， ______0， ______0， (2)化简 18．已知、、为有理数，且它们在数轴上的对应点的位置如图所示． (1)根据数轴化简：________：________；________； (2)若，，，求的值． 19．如图，数轴上有a，b，c三点． (1) 0； 0； 0；（填“”，“”，“”） (2)化简． 20．已知有理数在数轴上的对应点的位置如图．    (1)请在数轴上表示出数对应的点的位置； (2)请将，，，，0按从小到大的顺序排列； (3)化简：． 题型六、分类讨论化简绝对值 21.已知、、均为不等式0的有理数，则的值为 ． 22.已知、，那么＝ 23.我们知道数轴上表示数a的点与原点的距离叫做数a的绝对值，利用数轴及绝对值知识结合数形结合．分类讨论思想可以解决一些问题.求解下列问题： (1)若时，的值为___________； (2)若成立，则___________； (3)若，则___________； (4)当式子取最小值时，相应的x的取值范围___________，最小值是___________． 一、单选题 1．若与互为相反数，则的值为（　　） A．3 B． C．0 D．3或 2．在数轴上，点表示的数是，到点距离4个单位的点表示的数是（   ） A． B．或 C．9 D． 3．实数a，b在数轴上的位置如图所示，下列结论正确的是（    ） A． B． C． D． 4．已知，则的最大值为（    ） A．6 B．5 C．4 D．3 5．如图，已知，在的左侧是数轴上的两点，点对应的数为，且，动点从点出发，以每秒个单位长度的速度沿数轴向左运动，在点的运动过程中，，始终为，的中点，设运动时间为秒，则下列结论中正确的有　　 ①对应的数是； ②点到达点时，； ③时，； ④在点的运动过程中，线段的长度会发生变化． A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 二、填空题 6．当 时，的值最大． 7．如图，数轴上点A，B表示的数分别是，10，C是线段上的一个动点，以C为圆心，为半径画弧交数轴于点D．若，则点C表示的数是 ． 8．已知有理数、满足，则 ． 9．点，在数轴上的位置如图所示，其对应的数分别是和，对于以下结论：①；②；③；④．其中正确的是 （填序号） 10．如图，已知数轴上A，B两点表示的数分别是，8．若点P从点A出发，以每秒2个单位长度的速度向右运动，同时点Q从点B出发，以每秒1个单位长度的速度向左运动，设运动时间为t秒，当点Q遇到点P时，两点都立即以原来的速度向相反的方向运动，当点P到达点A时，两点同时停止运动．当 秒时，． 三、解答题 11．在数轴上表示下列各数，并用“<”号把它们按照从小到大的顺序排列． 12．已知有理数a，b，c在数轴上对应位置如图所示： (1)用“”，“”填空：_____；______；_____； (2)化简：． 13．我们本学期学习了绝对值的概念：我们把数轴上表示数的点与原点的距离叫做数的绝对值，记作． 【定义应用】计算： ； ； ； 【学习总结】当时， ；当 时，； 【学以致用】，在数轴上的位置如图所示，化简 ．    14．根据这一性质，解答下列问题： (1)当 时，有最小值，此时最小值为 ； (2)当a取何值时，有最小值？这个最小值是多少？ (3)当a取何值时，有最大值？这个最大值是多少？ 15．如图，点均在数轴上，点所对应的数是，点在点的右边，且距点个单位长度，点是数轴上的两个动点． (1)求出点所对应的数； (2)当点到点的距离之和是个单位长度时，求出此时点所对应的数； (3)若点分别从点出发，均沿数轴向左运动，点每秒运动个单位长度，点每秒运动个单位长度．若点先出发秒后点出发，当两点相距个单位长度时，直接写出此时点分别对应的数． 16．在解决问题的过程中，我们常用到“分类讨论”的数学思想，下面是运用分类讨论的思想解决问题的过程，请仔细阅读并填空，根据要求解决下列问题． 【提出问题】若非零有理数，同号，求的值． 【解决问题】解：由，同号可知，，有两种可能． （1）若，，有，，所以__________； （2）若_____0，，有，_____，所以_____． 综上所述，的值为2或． 【拓展探究】若三个有理数，，满足，求的值． 1 / 14 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题02 含有理数运算的数轴与绝对值问题 目录 A题型建模・专项突破 题型一、用数轴上的点表示有理数 1 题型二、利用数轴比较有理数的大小 4 题型三、数轴上的动点问题 6 题型四、绝对值的非负性 10 题型五、利用数轴化简绝对值 11 题型六、分类讨论化简绝对值 13 B综合攻坚・能力跃升 题型一、用数轴上的点表示有理数 1.已知5个数分别为0，，，， (1)将题中5个数在数轴上表示出来； (2)将题中5个数按从小到大的顺序用“”连接起来． 【答案】(1)作图见解析 (2) 【分析】本题主要考查了绝对值、用数轴上的点表示有理数、利用数轴比较有理数大小等知识，将各数准确表示在数轴上是解题关键． （1）首先化简，然后根据数轴的定义和性质，将各数在数轴上表示出来即可； （2）在数轴上表示的有理数，它们从左到右的顺序就是从小到大的顺序，即左边的数小于右边的数，结合数轴比较各数大小即可． 【详解】（1）解：，， 在数轴上表示出来，如图所示； （2）解：由各点在数轴上的位置可知： ． 2.（1）请你在数轴上表示下列有理数：，，，，． （2）将上列各数用“”号连接起来：_________． 【答案】（1）见解析；（2） 【分析】（1）根据绝对值，有理数的乘方，多重符号的化简整理各数，再利用有理数与数轴对应的关系在数轴上表示各有理数； （2）根据各有理数在数轴上的位置比较大小，即可解题． 【详解】解：（1）因为，，， 则在数轴上表示有理数如下图所示： （2）由数轴可知：． 故答案为：． 【点睛】本题考查化简绝对值，有理数的乘方，多重符号的化简，在数轴上表示有理数，以及利用数轴比较大小，解题的关键在于熟练掌握相关知识． 3.已知下列有理数： (1)中，底数是_______，指数是_______． (2)在数轴上表示出这些有理数，并找出一对相反数． (3)把这些有理数用“＜”号连接起来． 【答案】(1)， (2)数轴见解析，与1是相反数 (3) 【分析】（1）根据乘方的意义解答即可； （2）先化简乘方、多重符号，然后在数轴上准确找出各数对应的点； （3）从数轴上按照从左到右的顺序用“<”号把这些数连接起来即可． 【详解】（1）解：中，底数是，指数是3． 故答案为：，3； （2）解：， 如图，与1是相反数，      （3）． 【点睛】本题主要考查了有理数乘方、化简多重符号、数轴、有理数大小比较等知识点，准确在数轴上找出各数对应的点是解题的关键． 4.有理数：，0，，，，． (1)将上面各数在数轴上表示出来，并用“”连接起来； (2)将上面的数填入相应的圈内． 【答案】(1)见解析， (2)见解析 【分析】本题主要考查了利用数轴比较有理数大小比较，绝对值与相反数，有理数的分类，解题的关键是熟练掌握数轴上点的特点． （1）根据数轴上点的特点把各数表示在数轴上，并根据数轴上左边的数总比右边的数小得出比较结果即可； （2）根据有理数的分类解答即可． 【详解】（1）解：，，，， 如图所示： ， 故． （2）解：如图所示： 题型二、利用数轴比较有理数的大小 5．实数，互为相反数，其在数轴上对应的点的位置如图所示，下列结论中，正确的是（ ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了利用数轴比较有理数的大小，相反数的定义，利用数轴上右边的点表示的数比左边的点表示的数大逐项分析即可． 【详解】解：A．，互为相反数，，，，，故A错误； B．，互为相反数，，，故B错误； C．，互为相反数，，故C错误； D．，互为相反数，，，故D正确． 故选∶D． 6．数轴上表示数a，b的点如图所示，把按照从小到大的顺序排列，正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了数轴上点表示数，相反数的意义，利用数轴比较大小．先在数轴上表示出，，然后根据数轴上点的特点越向右越大得出答案即可． 【详解】解：将，在数轴上表示出来，如图， ， ∴由数轴上的点表示的数右边的总比左边的大，得． 故选：A． 7．已知有理数、在数轴上的位置如图所示，则下列结论正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题主要考查了数轴，利用数轴比大小，利用数形结合的数学思想解答是解题的关键． 观察数轴可得，，，即可求解． 【详解】解：观察数轴得：，， ，， ， 故选：A． 8．如图，数轴上的两个点所表示的数分别为，以下结论错误的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了数轴上表示数，有理数的大小比较，根据数轴可知，，然后逐一判断即可，掌握知识点的应用是解题的关键． 【详解】解：、由数轴可知， ∴， ∴，原选项正确，不符合题意； 、由数轴可知，， ∴， ∴，原选项正确，不符合题意； 、由数轴可知， ∴不能判定与的大小，原选项错误，符合题意； 、由数轴可知， ∴，原选项正确，不符合题意； 故选：． 题型三、数轴上的动点问题 9．数轴上三点对应的数为，动点从出发，每秒向右移动单位，同时动点从出发，每秒向左移动单位． (1)几秒后相遇？ (2)相遇时点对应的数是多少？ 【答案】(1)秒 (2) 【分析】本题主要考查数轴上的点表示有理数，两点之间距离的计算，掌握数轴的特点是关键． （1）根据题意，运用路程等于速度和乘以时间，由此列式即可求解； （2）运用两点之间距离的计算即可． 【详解】（1）解：∵单位， ∴秒， ∴秒后相遇； （2）解：点对应的数是： ． 10．如图，已知数轴的单位长度为1，的长度为1个单位长度． (1)如果点A，B表示的数是互为相反数，求点C表示的数． (2)若点A为原点，在数轴上有一点F，当时，求点F表示的数． (3)如果点B，E表示的数的绝对值相等，动点P从点B出发沿数轴正方向运动，速度是每秒3个单位长度，动点Q同时从点C出发也沿数轴正方向运动，速度是每秒2个单位长度，求运动几秒后，点P可以追上点Q？ 【答案】(1)点C表示的数为5； (2)点表示的数为或1； (3)运动4秒后，点P可以追上点Q． 【分析】本题考查了相反数、数轴及两点间的距离、数轴上的动点问题，解题的关键是利用数形结合的思想及分类讨论的思想进行求解． （1）、互为相反数，就知道、分别表示，从而确定原点位置，即而得出表示的数； （2）分两种情况进行讨论，当点在点左边时，当点在点的右边时； （3）、E表示绝对值相等，则到原点距离相等，从而确定出原点位置，根据追及问题即可求得点P追上点Q所用时间． 【详解】（1）解：、互为相反数，且，如图： 表示，表示1， 表示的数为5； （2）解：由题意，可知点在点的左边或右边： 当点在点的左边时，如图： 由图可知点表示的数是； 当点在点的右边时，如图： 由图可知点表示的数为1， 故当时，点表示的数为或1； （3）解：、E表示的数的绝对值相等，即互为相反数，可确定原点为点A， 则点B表示的数为，点C表示的数为， ∴点P追上点Q所用时间为， 答：运动4秒后，点P可以追上点Q． 11．已知如图，数轴上点A表示的数为6，B是数轴上在A左侧的一点，且A，B两点间的距离为10．动点P从点A出发，以每秒4个单位长度的速度沿数轴向左匀速运动，设运动时间为秒． (1)数轴上点B表示的数是___________；当点P运动到的中点时，它所表示的数是__________． (2)动点Q从点B出发，以每秒2个单位长度的速度沿数轴向左匀速运动，若点P，Q同时出发．求： ①当点P追上点Q时，点P所表示的数是多少？ ②当点P运动多少秒时，点P与点Q间的距离为8个单位长度？ 【答案】(1)；1 (2)①；②1或9秒 【分析】（1）由已知得，则，因为点 B在原点左边，即可求出； 当点P运动到的中点时，它所表示的数是，计算即可求出； （2）①点P运动t秒时追上点Q，由于点P要多运动10个单位才能追上点Q，则，然后解方程得到，得到点P运动距离为，再根据和P点在负半轴，即可求出；②分两种情况：当点P运动a秒时，不超过Q，则；超过Q，则；由此求得答案即可． 此题考查的知识点是两点间的距离及数轴，根据已知得出各线段之间的等量关系是解题的关键． 【详解】（1）解：∵数轴上点A表示的数为6， ∴， 则， ∵点B在原点左边， ∴数轴上点B所表示的数为； 当点P运动到的中点时，它所表示的数是 故答案为：，1； （2）①点P运动t秒时追上点Q，根据题意得， 解得， ∴当点P运动5秒时，点P追上点Q； ∴点P运动距离为 ∴ ∵此时P点在负半轴， ∴当点P追上点Q时，点P所表示的数是； ②设当点P运动a秒时，点P与点Q间的距离为8个单位长度 当P不超过Q，则，解得； 当P超过Q，则，解得； 答：当点1秒或9秒点P与点Q间的距离为8个单位长度． 12．如图，数轴上，两点对应的有理数分别为和，点从点出发，以每秒个单位长度的速度沿数轴负方向运动，点同时从点出发，以每秒个单位长度的速度沿数轴正方向运动，设运动时间为秒． (1)当时，数轴上的点、表示的数分别是______和______； (2)当时，求、两点间的距离； (3)在运动过程中是否存在时间使、两点间的距离与、两点间的距离相等，若存在，请求出此时t的值，若不存在，请说明理由． 【答案】(1)； (2) (3)或 【分析】本题考查了数轴上的点的移动，距离，熟悉掌握数轴上点的特征是解题的关键． （1）列出点的表达式，代入运算即可； （2）根据表达式代入运算即可； （3）分类讨论点的位置，列出方程运算即可． 【详解】（1）解：由题意可得：， ∴当时，， 故答案为：；； （2）解：把代入，可得： ，， ∴； （3）解：∵点到点的时间为：；点到点的时间为：； ∴当时，大致如图所示： ∵，，，， ∴， ∴ 解得：； 当时，大致如图所示： ∴， ∴ 解得：； 当时，大致如图所示： ∴， ∴ 解得：（舍去）； 综上所述：或． 题型四、绝对值的非负性 13．，那么 ． 【答案】/ 【分析】本题考查绝对值的非负性及非负数和为0成立的条件，根据题意，由绝对值的非负性及非负数和为0的条件列方程求解即可得到答案，熟练掌握非负数和为0成立的条件是解决问题的关键． 【详解】解：，，且， ，且， 解得，， ∴， 故答案为：． 14．若，则的值为 ． 【答案】5 【分析】本题考查绝对值的非负性，代数式求值，根据非负性求出的值，进而求出代数式的值即可． 【详解】解：∵， ∴， ∴， ∴； 故答案为：5． 15．当 时，的值最小． 【答案】 【分析】本题考查了绝对值的非负性，，当取最小值时候，的值最小，据此可求解． 【详解】解：∵ ∴当时，的值最小， 此时，, 故答案是：． 16．若式子有最小值，则该最小值为 【答案】 【分析】本题考查的是非负数的性质，根据任何数的绝对值都是非负数解答即可． 【详解】解：∵， ∴当时，式子有最小值，最小值为． 故答案为：． 题型五、利用数轴化简绝对值 17．有理数a，b，c在数轴上表示的点如图所示， (1)比较大小： ______0， ______0， ______0， (2)化简 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了数轴，绝对值的性质，合并同类项等知识点，能根据数轴得出，是解此题的关键． （1）根据数轴得出，，再根据有理数的加减运算法则得出答案即可； （2）根据（1）中结果，结合绝对值的性质，去括号法则，计算即可． 【详解】（1）解：由数轴，可得，， ∴，，． 故答案为：． （2）∵，，， ∴ ． 18．已知、、为有理数，且它们在数轴上的对应点的位置如图所示． (1)根据数轴化简：________：________；________； (2)若，，，求的值． 【答案】(1)；； (2) 【分析】本题主要考查了有理数与数轴，代数式求值，求一个数的绝对值等等，熟知绝对值的定义是解题的关键． （1）根据数轴可判断出，据此根据绝对值的定义求解即可； （2）根据（1）结合已知条件可得a、b、c的值，再代值计算即可得到答案． 【详解】（1）解：由数轴可得， ∴， ∴，，； （2）解：∵，，，且， ∴， ∴． 19．如图，数轴上有a，b，c三点． (1) 0； 0； 0；（填“”，“”，“”） (2)化简． 【答案】(1)；；； (2) 【分析】本题考查了根据点在数轴的位置判断式子的正负，整式的加减，绝对值化简，解题的关键是结合数轴判断绝对值符号里面代数式的正负． （1）根据数轴分别判断，，的正负，即可解题； （2）根据（1）中式子正负结合绝对值性质进行化简，即可解题． 【详解】（1）解：由图知，， 所以，，， 故答案为：；；； （2）解： ． 20．已知有理数在数轴上的对应点的位置如图．    (1)请在数轴上表示出数对应的点的位置； (2)请将，，，，0按从小到大的顺序排列； (3)化简：． 【答案】(1)见解析 (2) (3) 【分析】本题主要考查了有理数大小比较，掌握数轴上的点表示的数右边的总比左边的大是解题关键． （1）根据相反数的意义在数轴上描点即可； （2）根据数轴上的点表示的数右边的总比左边的大即可解答； （2）根据绝对值的意义即可解答． 【详解】（1）解：对应的点的位置如图所示：    （2）解：由数轴上的点表示的数右边的总比左边的大，可得： ． （3）解： ． 题型六、分类讨论化简绝对值 21.已知、、均为不等式0的有理数，则的值为 ． 【答案】3，-3，1，−1． 【分析】根据绝对值的性质，将绝对值符号去掉，然后计算．由于不知道a、b、c的符号，故需分类讨论． 【详解】解：(1)当a>0，b>0，c>0时，=1+1+1=3； (2)当a<0，b<0，c<0时，==−1−1−1=−3； (3)当a>0，b>0，c<0时，==1+1−1=1； 同理，a>0，b<0，c>0；a<0，b>0，c>0时原式的值均为1． (4)当a<0，b<0，c>0时，==−1−1+1=−1； 同理，当a<0，b>0，c<0；a>0，b<0，c<0时原式的值均为−1． 故答案为：3，-3，1，−1． 【点睛】本题考查了绝对值规律的性质：一个正数的绝对值是它本身；一个负数的绝对值是它的相反数；0的绝对值是0，解答时要注意分类讨论． 22.已知、，那么＝ 【答案】±2或0 【分析】根据x+a，x+b的符号，结合绝对值的性质进行计算即可． 【详解】解：当x+a＞0，x+b＞0时，原式＝1+1＝2， 当x+a＞0，x+b＜0时，原式＝1﹣1＝0， 当x+a＜0，x+b＞0时，原式＝﹣1+1＝0， 当x+a＜0，x+b＜0时，原式＝﹣1﹣1＝﹣2， 故答案为：±2或0． 【点睛】本题考查绝对值，理解绝对值的性质是解答的关键． 23.我们知道数轴上表示数a的点与原点的距离叫做数a的绝对值，利用数轴及绝对值知识结合数形结合．分类讨论思想可以解决一些问题.求解下列问题： (1)若时，的值为___________； (2)若成立，则___________； (3)若，则___________； (4)当式子取最小值时，相应的x的取值范围___________，最小值是___________． 【答案】(1) (2)2 (3)0或 (4)；7 【分析】（1）根据绝对值的性质代入化简即可； （2）根据题意得出表示数轴上数a的点到的距离与到9的距离相等，然后求出中点到的距离为7，即可求解； （3）根据题意，分情况讨论分析，然后代入求解即可； （4）表示数轴上数x的点到的距离与到4的距离和，得出当时，距离和即为到4的距离即可求解． 【详解】（1）解：时，， 故答案为：； （2）表示数轴上数a的点到的距离与到9的距离相等， ∵与9的距离为， ∴中点到的距离为7， ∴， ∴， 故答案为：2； （3）∵， ∴分情况讨论：当时，，； 当时，，； 当时，，； 当时，，； 综上可得：值为0或， 故答案为：0或； （4）表示数轴上数x的点到的距离与到4的距离和， 当时，距离和即为到4的距离， 故答案为：；7． 【点睛】题目主要考查绝对值的意义及化简，理解绝对值在数轴上的意义上解题关键． 一、单选题 1．若与互为相反数，则的值为（　　） A．3 B． C．0 D．3或 【答案】A 【分析】本题重点考查了绝对值的非负性，属于基础题，记住“几个非负数之和等于0，则每个非负数都等于0”是解题关键．根据相反数的定义可得，再通过“几个非负数之和等于0，则每个非负数都等于0”，计算出a和b的值，即可得出结果． 【详解】解：∵与互为相反数， ∴， ， ， ∴， 故选：A． 2．在数轴上，点表示的数是，到点距离4个单位的点表示的数是（   ） A． B．或 C．9 D． 【答案】B 【分析】本题考查了数轴表示数，数轴上两点的距离，分两种情况或，即可求解，掌握相关知识是解题的关键． 【详解】解：∵点表示的数是， ∴到点距离4个单位的点表示的数是：或， ∴到点距离4个单位的点表示的数是或， 故选：B． 3．实数a，b在数轴上的位置如图所示，下列结论正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】此题考查了数轴与绝对值，有理数的运算，弄清数轴上点的位置是解本题的关键．根据数轴上点的位置判断，且，再进一步分析即可． 【详解】解：由数轴上的点位置得：，且， ∴，，，， 故选：B． 4．已知，则的最大值为（    ） A．6 B．5 C．4 D．3 【答案】C 【分析】本题考查有理数的运算，根据，得到的符号为2正1负，或者2负1正，根据绝对值的意义，以及式子的特点得到，时，式子的值最大，进行求解即可． 【详解】解：∵， ∴的符号为2正1负，或者2负1正， ∴，，为2个1，1个或1个，2个 ∵最大， ∴，， ∴ 的最大值为； 故选C． 5．如图，已知，在的左侧是数轴上的两点，点对应的数为，且，动点从点出发，以每秒个单位长度的速度沿数轴向左运动，在点的运动过程中，，始终为，的中点，设运动时间为秒，则下列结论中正确的有　　 ①对应的数是； ②点到达点时，； ③时，； ④在点的运动过程中，线段的长度会发生变化． A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】B 【分析】本题考查了数轴上两点距离．利用数轴，分类讨论即可求解． 【详解】解：已知，在的左侧是数轴上的两点，点对应的数为，且， 对应的数为：；故①是正确的； ，故②是正确的； 当时，，，故③是错误的； 在点的运动过程中，，故④是错误的； 故选：B． 二、填空题 6．当 时，的值最大． 【答案】 【分析】本题考查了绝对值的意义，根据，若使有最大值，则应为即可． 【详解】解：， 要使得的值最大，则需满足，即． 故答案为：． 7．如图，数轴上点A，B表示的数分别是，10，C是线段上的一个动点，以C为圆心，为半径画弧交数轴于点D．若，则点C表示的数是 ． 【答案】或 【分析】本题考查数轴上两点之间的距离，数轴表示有理数，根据题意得到，以及，再结合分两种情况①当点D在点B左侧时，②当点D在点B右侧时，讨论求解，即可解题． 【详解】解：数轴上点A，B表示的数分别是，10， ， 由题可知， ， ①当点D在点B左侧时， ， ， ， 则点C表示的数是， ②当点D在点B右侧时， ， ， ， 则点C表示的数是， 综上所述，点C表示的数是或； 故答案为：或． 8．已知有理数、满足，则 ． 【答案】2或或0 【分析】本题主要考查了有理数的绝对值和有理数的加法运算，属于常考题型，全面分类、掌握解答的方法是解题关键． 分a、b同号与a、b异号两种情况，根据绝对值的意义和有理数的加法法则解答即可． 【详解】解：∵， ∴，， 若a、b同号， 当，时，； 当，时，； 若a、b异号， 当，时，； 当，时，； 综上分析可知，的值为2，，0． 故答案为2或或0． 9．点，在数轴上的位置如图所示，其对应的数分别是和，对于以下结论：①；②；③；④．其中正确的是 （填序号） 【答案】②④/④② 【分析】本题考查了绝对值的意义，比较两个数大小的方法，有理数的运算．由数轴得，，然后绝对值意义，用理数的加法、除法法则判断两数的和、差、商的符号即可． 【详解】解：由数轴得，， ∴，故错误，不符合题意； 由数轴得，， ∴，故正确，符合题意； 由数轴得，， ∴，故不符合题意； 由数轴得，， ∴，故正确，符合题意． 故答案为：②④． 10．如图，已知数轴上A，B两点表示的数分别是，8．若点P从点A出发，以每秒2个单位长度的速度向右运动，同时点Q从点B出发，以每秒1个单位长度的速度向左运动，设运动时间为t秒，当点Q遇到点P时，两点都立即以原来的速度向相反的方向运动，当点P到达点A时，两点同时停止运动．当 秒时，． 【答案】3或5 【分析】本题主要考查了数轴上的动点．熟练掌握数轴上点表示的数，两点间的距离，是解题的关键． 相遇前点P表示的数，点Q表示的数，，，根据，解得；相遇后，点P表示的数，点Q表示的数t，，，得． 【详解】解：∵A，B两点表示的数分别是，8， ∴点P表示的数为：，点Q表示的数为， ∴，， ∵， ∴， 解得； 相遇时间是， 相遇点表示的数为：， 相遇后，点P表示的数为：，点Q表示的数为， ∴，， ∴， 解得． ∴或． 故答案为：3或5． 三、解答题 11．在数轴上表示下列各数，并用“<”号把它们按照从小到大的顺序排列． 【答案】数轴见解析， 【分析】本题考查了相反数和绝对值的性质，用数轴上的点表示有理数，利用数轴比较有理数的大小，注意，在数轴上表示的数，右边的数总比左边的数大． 先将各数能化简的化简，再在数轴上表示出来，根据数轴上右边的数总大于左边的数，进行排列即可作答． 【详解】，，，，， 在数轴上表示为： ． 12．已知有理数a，b，c在数轴上对应位置如图所示： (1)用“”，“”填空：_____；______；_____； (2)化简：． 【答案】(1)，， (2) 【分析】（1）观察数轴判断，，的正负和绝对值的大小关系，然后再根据有理数的加减法则进行判断即可； （2）根据有理数的加减法则判断，和的正负，然后根据绝对值的性质进行化简即可． 本题主要考查了实数的大小比较，解题关键是熟练掌握绝对值的性质． 【详解】（1）解：（1）观察数轴可知：，， ∴，，， 故答案为：，，； （2）∵观察数轴可知：，， ∴，，， ． 13．我们本学期学习了绝对值的概念：我们把数轴上表示数的点与原点的距离叫做数的绝对值，记作． 【定义应用】计算： ； ； ； 【学习总结】当时， ；当 时，； 【学以致用】，在数轴上的位置如图所示，化简 ．    【答案】定义应用：，0，6；学习总结：a，；学以致用：a 【分析】本题主要考查了数轴、绝对值、整式的加减等知识点，掌握绝对值的意义成为解题的关键． 定义应用：根据绝对值的意义求解即可； 学习总结：根据定义应用的结论归纳总结即可解答； 学以致用：根据题意可得：，从而可得，然后利用绝对值的意义取绝对值，最后合并同类项即可． 【详解】解：定义应用：；；． 故答案为：，0，6． 学习总结： 当时，；当时，； 故答案为：a，； 学以致用： 由数轴可得：， ∴， ． 故答案为：a． 14．根据这一性质，解答下列问题： (1)当 时，有最小值，此时最小值为 ； (2)当a取何值时，有最小值？这个最小值是多少？ (3)当a取何值时，有最大值？这个最大值是多少？ 【答案】(1)4，0 (2)，3 (3)，4 【分析】本题考查了整式的绝对值的求解能力，对绝对值的性质的理解和掌握是解题的关键． （1）根据绝对值的性质，可知0的绝对值最小，为0，则可得时，有最小值，由此即可求解； （2）要使有最小值，则要取最小，即，由此即可求解； （3）要使有最大值，则取最小值，结合即可求解． 【详解】（1）因为，所以当时，有最小值，这个最小值是0． 故答案为：4，0 （2）因为，所以当时，有最小值，这个最小值是3． （3）因为，所以，所以当时，有最大值，这个最大值是4． 15．如图，点均在数轴上，点所对应的数是，点在点的右边，且距点个单位长度，点是数轴上的两个动点． (1)求出点所对应的数； (2)当点到点的距离之和是个单位长度时，求出此时点所对应的数； (3)若点分别从点出发，均沿数轴向左运动，点每秒运动个单位长度，点每秒运动个单位长度．若点先出发秒后点出发，当两点相距个单位长度时，直接写出此时点分别对应的数． 【答案】(1)； (2)或； (3)点对应的数是，点对应的数是或点对应的数是，点对应的数是． 【分析】（）根据两点间的距离公式即可求解； （）分两种情况：点在点的左边，；点在点的右边，进行讨论即可求解； （3）分两种情况：点在点的左边，点在点的右边，进行讨论即可求解； 本题考查了两点间的距离和数轴，解题的关键是熟练掌握数轴及“分类讨论”的数学思想． 【详解】（1），故点所对应的数是； （2）， 点在点的左边， ， 点在点的右边， ， 故点所对应的数是或； （3）点在点的左边， （秒）， 点对应的数是，点对应的数是； 点在点的右边， （秒）， 点对应的数是，点对应的数是， 综上可知：点对应的数是，点对应的数是或点对应的数是，点对应的数是． 16．在解决问题的过程中，我们常用到“分类讨论”的数学思想，下面是运用分类讨论的思想解决问题的过程，请仔细阅读并填空，根据要求解决下列问题． 【提出问题】若非零有理数，同号，求的值． 【解决问题】解：由，同号可知，，有两种可能． （1）若，，有，，所以__________； （2）若_____0，，有，_____，所以_____． 综上所述，的值为2或． 【拓展探究】若三个有理数，，满足，求的值． 【答案】（1）2；（2）；3或 【分析】本题考查了绝对值、有理数的混合运算、分类讨论等，熟练掌握相关知识并能运用分类讨论思想是解题的关键． 解决问题：（1）当a、b都正数；（2）当a、b都是负数分别求解即可； 拓展探究：由题意得：a，b，c三个有理数都为正数或其中一个为正数，另两个为负数，分情况讨论：①当a，b，c都是正数，即时，②当a，b，c有一个为正数，另两个为负数时，设，代入计算即可． 【详解】解：（1）若，，有，，所以， （2）若，，有，，所以， 故答案为：（1）2；（2）； 拓展探究：由，可得a，b，c三个有理数都为正数或一正两负，分情况讨论如下： ①当a，b，c都是正数，即时， 则， ②当a，b，c一正两负时：设， 则， 的值为3或． 1 / 14 学科网（北京）股份有限公司 $$