精品解析：江苏省苏州市中等职业学校2024-2025学年高一下学期期末考试数学试题

苏州市职业学校2024—2025学年度第二学期期末试卷 高一数学 注意事项：1.本试卷考试时间120分钟，满分150分； 2.请在答题纸上指定位置作答，在其他位置作答一律无效. 一、 选择题 （本大题共10小题，每小题4分，共40分） 1. 已知点，，则 （ ） A. 3 B. 4 C. 5 D. 6 2. 徐州市为了迎接年江苏省城市足球联赛，市政府采用按照性别分层抽样方法从某高校报名的名学生志愿者中抽取人组成联赛志愿者小组，若人中共有男生人，则名学生志愿者中女生可能有（ ） A. 人 B. 人 C. 人 D. 人 3. 袋中装有红、黄、绿球各一个，有放回地取两次球，则球颜色完全相同的概率是（ ） A. B. C. D. 4. 已知向量，则“”是“”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要 5. 若，则的值为（ ） A. B. C. D. 6. 下列表述正确的个数是（ ） ①两个非零向量，若存在实数，使得；②；③；④. A. 0 B. 1 C. 2 D. 3 7. 已知圆锥侧面展开图是半径为4的半圆，则该圆锥的体积为（ ） A. B. C. D. 8. 直线与圆相切，则（ ） A. B. 或 C. D. 或 9. 若和是方程两个根，则等于（ ） A. B. C. D. 10. 已知，，若，则的最小值为（ ） A. B. C. D. 二、填空题（本大题共5小题，每小题4分，共20分） 11. 若直线与直线垂直，则实数________. 12. 已知向量，若与共线，则实数________. 13. 若函数的定义域为，则的取值范围是______. 14. 已知，直线求直线的概率_________. 15. 已知或，或（），若是的必要不充分条件，则实数的取值范围是______. 三、解答题（本大题共8小题，共90分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 16. （1）求斜率是，且经过点的直线方程； （2）求点到直线距离. 17. 设向量. （1）求； （2）若，，求的值. 18. 已知函数且，且函数图像经过点. （1）求函数的解析式； （2）若成立，求实数的取值范围. 19. 已知函数且图像恒经过定点，且，且的图像也经过点. （1）求的值； （2）若函数，求函数的单调区间. 20. 如图所示，正四棱锥的底面边长为，侧棱长为5，求该正四棱锥的表面积和体积. 21. 已知圆与轴相切，被轴截得的弦长为，且圆心在直线上，求圆的标准方程. 22. 某校为本市“中职数学竞赛”进行选拔性测试，规定：成绩大于或等于分的有参赛资格，分以下（不包括分）的则被淘汰.现有人参加测试，测试成绩的频率分布直方图如图所示. （1）求获得参赛资格的人数； （2）根据频率分布直方图，估算这名学生测试的平均成绩； （3）现从成绩、（单位：分）的同学中采用分层抽样随机抽取人，从这人中任选人，求至少有人的成绩在的概率. 23. 2025年5月阿富汗加入中巴经济走廊，其作为“一带一路”倡议的旗帜项目升级为中巴阿经济走廊.我国与阿富汗“一带一路”合作国家计划联合修建一条跨国铁路和圆形环城公路，如图所示.跨国铁路直线从我国西部喀什地区通往阿富汗港口；环城公路以阿富汗首都喀布尔为圆心，规划半径为3公里的圆形公路，用于连接周边卫星城. （1）求铁路线的直线方程； （2）判断港口是否在环城公路的圆形路径上，并说明理由； （3）若阿富汗计划在铁路线上修建一座车站，要求车站到首都C的距离最短，求该车站的坐标及最短距离. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 苏州市职业学校2024—2025学年度第二学期期末试卷 高一数学 注意事项：1.本试卷考试时间120分钟，满分150分； 2.请在答题纸上指定位置作答，在其他位置作答一律无效. 一、 选择题 （本大题共10小题，每小题4分，共40分） 1. 已知点，，则 （ ） A. 3 B. 4 C. 5 D. 6 【答案】C 【解析】 【分析】利用两点间距离公式可求. 【详解】因为点，， 则； 故选：C. 2. 徐州市为了迎接年江苏省城市足球联赛，市政府采用按照性别分层抽样的方法从某高校报名的名学生志愿者中抽取人组成联赛志愿者小组，若人中共有男生人，则名学生志愿者中女生可能有（ ） A. 人 B. 人 C. 人 D. 人 【答案】D 【解析】 【分析】根据分层抽样等比例性质即可求女生人数. 【详解】由题设，若名学生志愿者中女生有人，则， 所以人. 故选：D. 3. 袋中装有红、黄、绿球各一个，有放回地取两次球，则球的颜色完全相同的概率是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】首先计算出两次取球的所有可能，再找出球的颜色相同的所有可能，最后由古典概型的计算公式求值即可. 【详解】袋中装有红、黄、绿球各一个， 则每次取球都有种可能，所以共有种不同的可能， 其中球的颜色完全相同有红红，黄黄，绿绿共种可能， 所以球的颜色完全相同的概率是， 故选：B. 4. 已知向量，则“”是“”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要 【答案】A 【解析】 【分析】根据向量垂直求出参数，然后根据充分条件、必要条件的概念可知. 【详解】由题可知：若，则或. 所以“”能推出“”，“”不能推出“”，所以“”是“”的充分不必要条件. 故选：A 5. 若，则的值为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据分段函数，代值计算即可. 【详解】由， 所以， 又，所以，即. 故选：A 6. 下列表述正确的个数是（ ） ①两个非零向量，若存在实数，使得；②；③；④. A. 0 B. 1 C. 2 D. 3 【答案】C 【解析】 【分析】利用平行向量的定义，零向量的定义，向量的加法及向量的内积可判断. 【详解】两个非零向量，若存在实数，使得，①正确； ，若，则与可以是任意方向，不一定平行，②错误； ，③错误； ，④正确； 综上①④正确； 故选：C. 7. 已知圆锥侧面展开图是半径为4的半圆，则该圆锥的体积为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】依据题意得到圆锥底面圆的半径，然后求出圆锥的高度，最后根据圆锥的体积公式计算. 【详解】由题可知：圆锥母线的长度为4，设圆锥底面的半径为， 所以. 则圆锥的高度为， 所以圆锥的体积为. 故选：C 8. 直线与圆相切，则（ ） A. B. 或 C. D. 或 【答案】B 【解析】 【分析】由直线与圆的相切关系，列出式子解得答案. 【详解】圆的圆心为，半径, 由于直线与圆相切， 所以可得， 解得或， 故选：B. 9. 若和是方程的两个根，则等于（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据韦达定理以及对数函数运算求解即可. 【详解】因为和是方程的两个根，. 则，解得. 故选：D. 10. 已知，，若，则的最小值为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据向量平行的坐标表示求出x与y之间的关系，再利用基本不等式即可求解. 【详解】因，，且， 所以，则， 所以， 当且仅当，即时等号成立， 所以的最小值为. 故选：C. 二、填空题（本大题共5小题，每小题4分，共20分） 11. 若直线与直线垂直，则实数________. 【答案】10 【解析】 【分析】分别求出两条直线的斜率，然后根据两直线垂直可知，计算即可. 【详解】直线的斜率为：；直线的斜率为：， 因为两条直线垂直，所以. 故答案为：10 12. 已知向量，若与共线，则实数________. 【答案】## 【解析】 【分析】由向量共线的坐标表示即可求解. 【详解】向量共线，所以，解得. 故答案为：. 13. 若函数定义域为，则的取值范围是______. 【答案】 【解析】 【分析】依据题意等价转化为在上恒成立，根据判别式进行判断即可. 【详解】由题可知：函数的定义域为，则在上恒成立， 所以，又且， 所以. 故答案为： 14. 已知，直线求直线的概率_________. 【答案】 【解析】 【分析】先得到选择所有可能结果总数，然后根据两直线平行关系可得，并求得满足的所有结果，然后根据古典概型公式计算. 【详解】由题可知：选择所有可能结果总数有：， 直线的斜率为：； 由，则直线的斜率存在且为， 即， 所以一共有和两种情形， 所以直线的概率为. 故答案为： 15. 已知或，或（），若是的必要不充分条件，则实数的取值范围是______. 【答案】 【解析】 【分析】根据集合的包含关系求解即可. 【详解】由题可知：是的必要不充分条件，所以（等号不同时成立），所以. 故答案为： 三、解答题（本大题共8小题，共90分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 16. （1）求斜率是，且经过点的直线方程； （2）求点到直线的距离. 【答案】， 【解析】 【分析】（1）列出点斜式方程化简为一般式即可；（2）利用点到直线距离公式可求. 【详解】（1）因为直线斜率是，且经过点， 所以直线方程为，即； （2）点到直线的距离. 17. 设向量. （1）求； （2）若，，求的值. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）先由向量的坐标运算求得，然后求出. （2）根据列方程组，化简求得，进而求得. 【小问1详解】 ，； 【小问2详解】 ， 所以，解得，所以. 18. 已知函数且，且函数图像经过点. （1）求函数的解析式； （2）若成立，求实数的取值范围. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）将点代入函数解析式中列方程求解即可. （2）由指数函数的单调性转化为一元二次不等式，求解即可. 【小问1详解】 已知函数且， 将点代入得，，解得， 所以. 【小问2详解】 由（1）可知，， 且该函数在上为增函数， 则由得， ，即， 解得， 所以实数的取值范围为. 19. 已知函数且的图像恒经过定点，且，且的图像也经过点. （1）求的值； （2）若函数，求函数的单调区间. 【答案】（1） （2）单调递增区间为，单调递减区间为 【解析】 【分析】（1）根据指数函数的性质可知点，然后代入函数计算可知； （2）根据复合函数的单调性可知结果. 【小问1详解】 由题可知：函数经过定点，则，由，所以， 又的图像也经过点，所以 【小问2详解】 由（1）可知：，令，所以或， 所以函数的定义域为. 令， 函数在定义域上是增函数， 函数 的对称轴为，且开口向上， 所以函数在单调递减，在单调递增. 所以函数单调递增区间为，单调递减区间为 20. 如图所示，正四棱锥的底面边长为，侧棱长为5，求该正四棱锥的表面积和体积. 【答案】 【解析】 【分析】利用棱锥表面积与体积计算公式，即可求解. 【详解】取中点，连接交于点， 连接，是正四棱锥的高， 由正四棱锥的性质可知，,, 在中，， 因为平面，平面，所以， 在中，， ， ， . 21. 已知圆与轴相切，被轴截得的弦长为，且圆心在直线上，求圆的标准方程. 【答案】或 【解析】 【分析】设定圆心坐标，依据题意并结合圆的弦长公式计算即可. 【详解】由圆心在直线，设圆心，半径为， 又圆与轴相切，所以，由圆被轴截得的弦长为，所以， 化简得，则或， 当时，，圆的标准方程为：； 当时，，圆的标准方程为： 22. 某校为本市“中职数学竞赛”进行选拔性测试，规定：成绩大于或等于分的有参赛资格，分以下（不包括分）的则被淘汰.现有人参加测试，测试成绩的频率分布直方图如图所示. （1）求获得参赛资格的人数； （2）根据频率分布直方图，估算这名学生测试的平均成绩； （3）现从成绩、（单位：分）的同学中采用分层抽样随机抽取人，从这人中任选人，求至少有人的成绩在的概率. 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【分析】（1）由题意根据频率分布直方图计算即可求解. （2）由平均值组中值组距计算即可求解. （3）先由题意求出各层人数，再由古典概型概率计算公式即可求解. 【小问1详解】 由频率分布直方图得， 获得参赛资格的人数为人. 【小问2详解】 设名学生的平均成绩为，则 . 【小问3详解】 成绩在的人数为人， 成绩在的人数为人， 所以应从成绩在中抽取人， 从成绩在中抽取人， 不妨将抽取的人按成绩从低到高编号为， 故, ，从, , , , 中任取两人， 共有和 这种不同的情况， 其中含有，的共有种， 所以至少有人的成绩在的概率为. 23. 2025年5月阿富汗加入中巴经济走廊，其作为“一带一路”倡议的旗帜项目升级为中巴阿经济走廊.我国与阿富汗“一带一路”合作国家计划联合修建一条跨国铁路和圆形环城公路，如图所示.跨国铁路直线从我国西部喀什地区通往阿富汗港口；环城公路以阿富汗首都喀布尔为圆心，规划半径为3公里的圆形公路，用于连接周边卫星城. （1）求铁路线的直线方程； （2）判断港口是否在环城公路的圆形路径上，并说明理由； （3）若阿富汗计划在铁路线上修建一座车站，要求车站到首都C的距离最短，求该车站的坐标及最短距离. 【答案】（1） （2）不，理由见解析 （3）车站的坐标为，车站到首都C的距离最短为 【解析】 【分析】（1）根据两点，计算斜率，利用点斜式得到直线方程； （2）求得环城公路的圆形路径方程，然后代点计算判断即可； （3）根据点到直线的距离，然后求得垂线的方程与联立可知. 【小问1详解】 由题可知：直线经过，两点，所以直线的斜率为， 所以直线的方程为：，即. 【小问2详解】 由题可知：环城公路的圆形路径的圆心为，半径为3公里，所以方程为， 由，所以港口不在环城公路的圆形路径上. 【小问3详解】 由题可知：过点作的垂线交于点，如图： 所以，由，设直线的方程为， 由直线过点，所以，所以直线的方程为. 所以，则， 所以车站的坐标为，车站到首都C的距离最短为 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$