内容正文:
第一章 动量与动量守恒定律
1.动量
目录
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课后课时作业
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1.认识常见的碰撞现象,了解历史上对碰撞的研究。2.能够通过实验探究碰撞过程的守恒量。3.理解动量、动量的改变量及其矢量性,会计算物体的动量及动量的改变量。
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一 碰撞现象及其研究
1.碰撞
(1)碰撞的定义:做相对运动的两个(或几个)物体相遇并发生相互作用,在_______的时间内,它们的___________会发生显著变化,这一过程叫作碰撞。
(2)实例:击球、子弹中靶、陨石坠地、粒子轰击原子核等。
2.惠更斯的观点
(1)运动量:物体的________和________的乘积。
(2)每个物体所具有的“运动量”在碰撞时可以增多或减少,但是它们的量值在___________________却保持不变。
很短
运动状态
质量m
速度v
同一个方向的总和
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二 探究碰撞过程的守恒量
大量实验表明,两个物体相互碰撞时,碰前运动量的总和(mAvA+mBvB)与碰后运动量的总和(mAvA′+mBvB′)总是______的,即质量m与速度v乘积的矢量和在碰撞过程中____________,或者说______。
三 动量
1.定义:物理学中把______与______的乘积称为动量。常用符号p表示。
2.表达式:_________。
3.矢量性:动量是矢量,动量的方向与______的方向相同。
4.单位:在国际单位制中,动量的单位是____________,符号是_________。
相等
保持不变
守恒
质量
速度
p=mv
速度
千克米每秒
kg·m/s
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提示
1.判一判
(1)动量越大的物体,其速度越大。( )
(2)一个物体的运动状态发生变化,它的动量一定发生改变。( )
(3)动量是矢量,其方向与物体速度的方向相同。( )
提示 (1)× 由动量定义式p=mv知,动量大的物体,其速度不一定大。
(2)√ 描述物体运动状态的物理量是速度,动量是质量和速度的乘积,物体质量不变,速度发生改变,则它的动量一定发生改变。
(3)√ 根据动量定义式p=mv,可知其方向与物体速度的方向相同。
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提示
2.想一想
质量相同的两个物体动能相同,它们的动量也一定相同吗?
提示:不一定。动量是矢量,有方向,而动能是标量,无方向。质量相同的两个物体动能相同,速度大小一定相同,但速度方向不一定相同。
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探究 动量
仔细观察下列图片,认真参与“师生互动”。
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提示
活动1:荷兰物理学家惠更斯用弹性摆球做过如图甲所示的碰撞实验,实验中两个弹性球A、B的质量相同。在这个实验中惠更斯定义了“运动量”——物体的质量m和速度v的乘积。根据实验现象可得出什么结论?
提示:由于碰撞前后瞬间物体速度在同一直线上,我们选定A球初速度方向为正方向,用mA、mB表示A、B两球的质量,用vA、vB表示碰撞前瞬间A、B两球的速度,vA′、vB′表示碰撞后瞬间A、B两球的速度。
在实验一中,碰撞前运动量mAvA+mBvB=mv-mv=0,碰撞后的运动量mAvA′+mBvB′=-mv+mv=0,即两个小球所具有的运动量在水平方向的总和保持不变。
在实验二中,碰撞前运动量mAvA+mBvB=mv+0=mv,碰撞后的运动量mAvA′+mBvB′=0+mv=mv,两个小球所具有的运动量在水平方向的总和仍保持不变。
所以可得出结论:每个物体所具有的“运动量”在碰撞时可以增多或减少,但是它们的量值在同一个方向的总和却保持不变。
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提示
活动2:惠更斯用两个相同的弹性球所做的实验,其结论具有普遍意义吗?请根据图乙装置设计实验,进一步探究碰撞前后物体运动量变化遵循的规律(须写出实验方案,并设计合理的数据记录表格)。
提示:没有。
(1)先用天平分别测出带弹簧片的滑块1、滑块2的质量m1、m2,然后用手推动滑块1,使其获得初速度v1,与静止的滑块2相碰(相碰时,两弹簧片要正对)。测定碰撞前后两滑块的速度大小,算出相关数据,填入设计的表格中。
(2)再换用不带弹簧片的两滑块按照上面的步骤进行实验,并读取实验数据,填入设计的表格中。
(3)将两滑块上的弹簧片换成橡皮泥,用天平分别测出滑块1、滑块2的质量。使有橡皮泥的两端正对,让滑块1与滑块2相碰,测算出相关数据,并填入设计的表格中。
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提示
(4)通过对实验结果的分析,得出结论。
数据记录表格如下
表 碰撞前后运动量的计算
注:表格中质量的单位用kg,速度的单位用m/s,“运动量”的单位用kg·m/s。
次数 1 2 3
滑块质量 m1
m2
碰前 速度 v1
v2
运动量 m1v1
m2v2
运动量之和 m1v1+m2v2
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提示
注:表格中质量的单位用kg,速度的单位用m/s,“运动量”的单位用kg·m/s。
碰后 速度 v1′
v2′
运动量 m1v1′
m2v2′
运动量之和 m1v1′+m2v2′
运动量的改变量 (m1v1′+m2v2′)-(m1v1+m2v2)
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1.动量
(1)大量实验表明,两个物体相互碰撞时,碰前运动量的总和(mAvA+mBvB)与碰后运动量的总和(mAvA′+mBvB′)总是相等的,即质量m与速度v乘积的矢量和在碰撞过程中保持不变,或者说守恒。
(2)物体的质量和速度的乘积叫作物体的动量,用字母p表示,p=mv,动量的单位是千克米每秒,符号为kg·m/s。
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2.对动量的理解
(1)动量是一个状态量。计算动量时,要明确是哪一个物体在哪一个时刻(位置)的动量。公式p=mv中的速度v是瞬时速度。
(2)动量是矢量,方向与物体速度的方向相同。运算遵循平行四边形定则(或三角形定则),如图所示。如果物体沿直线运动,在选定坐标轴的方向之后,动量的运算就可以简化为代数运算。
(3)动量具有相对性:物体的动量与参考系的选择有关。选不同的参考系时,同一个物体的动量可能不同,通常在不说明参考系的情况下,物体的动量是指物体相对地面的动量。
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4.动量的变化量
(1)表达式:Δp=p′-p。
(2)矢量性:动量变化量是矢量,与速度变化的方向相同。
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5.物体动量变化的几种典型情况
(1)物体做匀速直线运动时,其动量不变——动量的大小和方向都不变。
(2)物体做匀速圆周运动时,其动量时刻改变——动量的大小不变,但方向时刻改变。
(3)物体做平抛运动时,其动量时刻改变——动量的大小时刻改变,方向也时刻改变。
(4)物体做匀变速直线运动时,其动量时刻改变——动量的大小时刻改变,方向可能改变。
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例 如图所示,一个质量为0.18 kg的垒球,以大小为25 m/s的水平速度向左飞向球棒,被球棒打击后反向水平飞回,速度大小变为45 m/s,则这一过程中动量的变化量( )
A.大小为3.6 kg·m/s,方向水平向左
B.大小为3.6 kg·m/s,方向水平向右
C.大小为12.6 kg·m/s,方向水平向左
D.大小为12.6 kg·m/s,方向水平向右
答案
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提示
(1)垒球的初、末动量大小各是多少?
(2)垒球初、末动量的方向是相同还是相反?
提示:初动量大小为p0=mv0=0.18×25 kg·m/s=4.5 kg·m/s;末动量大小为p=mv=0.18×45 kg·m/s=8.1 kg·m/s。
提示:相反。
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规范解答
规范解答 选水平向左为正方向,则动量的变化量为Δp=mv-mv0=0.18×(-45) kg·m/s-0.18×25 kg·m/s=-12.6 kg·m/s,即大小为12.6 kg·m/s,负号表示其方向水平向右,故D正确。
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规律点拨
同一直线上动量变化量的计算方法
在分析计算时:①首先确定正方向,一般取初速度v1的方向为正方向;②然后分别写出初、末状态的动量p1和p2,与v1同向为正,与v1反向为负;③最后由Δp=p2-p1进行计算。动量的变化量是末动量与初动量的差。
课堂探究评价
[变式训练1]下列关于动量和动能的说法正确的是( )
A.质量大的物体的动量一定大
B.质量和速率都相同的物体的动量一定相同
C.一个物体的动量改变,它的动能一定改变
D.一个物体的动能变化,它的动量一定改变
答案
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解析
解析 根据动量的定义,它是质量和速度的乘积,因此它由质量和速度共同决定,故A错误;动量是矢量,它的方向与速度的方向相同,质量和速率都相同的物体,其动量大小一定相同,但方向不一定相同,故B错误;一个物体的动量改变,可能只是速度方向改变,速度大小不变,如做匀速圆周运动的物体,其动量改变,动能不变,故C错误;一个物体的动能变化,则它的速度大小一定发生了变化,它的动量也一定发生了变化,故D正确。
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[变式训练2]一个质量为50 kg的蹦床运动员,从离水平网面1.8 m高处自由下落,着网后沿竖直方向蹦回到离水平网面2.45 m高处。已知运动员和网接触的时间为1 s,g取10 m/s2。运动员与网接触的这段时间内,动量变化量的大小为( )
A.50 kg·m/s B.300 kg·m/s
C.350 kg·m/s D.650 kg·m/s
答案
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解析
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课后课时作业
1.(动量的理解)(多选)关于物体的动量,下列说法中正确的是( )
A.动量越大的物体,其惯性也越大
B.同一物体的动量越大,其速度一定越大
C.物体的加速度不变,其动量一定不变
D.运动物体在任一时刻的动量方向一定是该时刻物体速度的方向
答案
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解析
解析 惯性大小的唯一量度是物体的质量,根据p=mv可知物体的动量大,物体的质量可能很小,所以不能说动量越大的物体其惯性就越大,A错误;动量等于物体的质量与物体速度的乘积,即p=mv,同一物体的动量越大,其速度一定越大,B正确;物体的加速度不变且不为零时,速度是变化的,物体的动量一定变化,C错误;动量等于物体的质量与物体速度的乘积,即p=mv,动量是矢量,运动物体在任一时刻的动量方向就是该时刻物体速度的方向,D正确。
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答案
2.(动量的理解)关于动量,下列说法中正确的是( )
A.做匀速圆周运动的物体,动量不变
B.做匀变速运动的物体,它的动量一定在改变
C.物体动量变化,可能未受到力的作用
D.甲物体动量p1=5 kg·m/s,乙物体动量p2=-10 kg·m/s,所以p1>p2
解析
解析 动量是矢量,做匀速圆周运动的物体的速度方向时刻在变化,所以动量时刻在变化,故A错误;根据Δv=aΔt,做匀变速运动的物体的速度时刻在变化,所以它的动量一定在变化,故B正确;物体动量变化,即Δp=mΔv≠0,则物体运动状态发生改变,由牛顿第一定律可知,物体一定受到力的作用,故C错误;动量的正负号只表示方向,与大小无关,故甲、乙两物体动量大小关系为p1<p2,故D错误。
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答案
3.(动量相关图像)小球从某一高度由静止自由落下,与地面发生碰撞,碰撞时间极短,碰撞后弹起。不计空气阻力和碰撞中机械能的损失,小球从高处落下到第一次弹起至最高处过程中,小球的动量p与时间t的关系图像正确的是( )
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解析 因为不计空气阻力和碰撞中机械能的损失,则小球从高处落下到第一次弹起至最高处过程中,先做自由落体运动,然后原速率反弹做竖直上抛运动,即速度先向下均匀增大后向上均匀减小,因为动量大小p=mv,且动量方向与速度方向相同,即动量也是先向下均匀增大,后向上均匀减小,故选C。
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4.(动能与动量的关系)两个具有相等动量的物体A、B,质量分别为m1和m2,且m1>m2,则( )
A.B动能较大 B.A动能较大
C.两物体动能相等 D.无法判断
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5.(动量的变化量、动能的变化量)一质量为2 kg的物体,速度由向东3 m/s变为向西3 m/s,在这个过程中该物体的动量与动能的变化量分别是( )
A.0、0 B.0、18 J
C.12 kg·m/s、0 D.12 kg·m/s、18 J
答案
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6.(探究碰撞过程的守恒量)某同学运用以下实验器材,设计了一个碰撞实验来寻找碰撞前后的不变量:电磁打点计时器、低压交流电源(频率为50 Hz)、纸带、表面光滑的长木板、带撞针的小车A、带橡皮泥的小车B、天平。
该同学设计的实验步骤如下:
①用天平测出小车A的质量为mA=0.4 kg,小车B的质量为mB=0.2 kg;
②把长木板平放在桌面上,在一端固定打点计时器,连接电源;
③小车A靠近打点计时器放置,在车后固定纸带,把小车B放在长木板中间;
④接通电源,并给小车A一定的初速度vA;
⑤更换纸带重复操作三次。
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(1)打点计时器打下的纸带中,比较理想的一条如图所示,根据这些数据完成表格。
(2)根据以上数据猜想碰撞前后不变量的表达式为_______________________。
答案
mAvA+mBvB=(mA+mB)v
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7.(动量的计算)一个质量为5 kg的物体在合力F的作用下从静止开始沿直线运动。F随时间t变化的图像如图所示。
(1)t=1 s时物体的动量大小是__________;
(2)t=4 s时物体的动量大小是__________。
答案
20 kg·m/s
10 kg·m/s
解析
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8.(动量、动能及动量变化量的理解)下列关于物体的动量和动能的说法,正确的是( )
A.若两个物体的动量相同,它们的动能也一定相同
B.两物体中动能大的物体,其动量也一定大
C.物体的速度大小不变时,动量的变化量Δp不一定为零
D.物体做曲线运动时,动量的变化量一定不为零
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9.(综合)物体的运动状态可用位置x和动量p描述,称为相,对应px图像中的一个点。物体运动状态的变化可用px图像中的一条曲线来描述,称为相轨迹。假如一质点沿x轴正方向做初速度为零的匀加速直线运动,则对应的相轨迹可能是( )
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10.(综合)(多选)如图实线abc为一陨石绕行星做椭圆运动的部分轨迹,图中虚线是以行星中心为圆心的同心圆。设陨石质量保持不变,不计阻力,不考虑其他星体对陨石的引力作用。则下列说法正确的是(提示:本题可能用到开普勒第二定律)( )
A.陨石在b点处的动量大小最大
B.陨石在a点和c点的动量相同
C.陨石从a点运动到c点,加速度先增大后减小
D.陨石的动量p在垂直于陨石与行星连线方向的分量和陨石与行星距离r的乘积叫作陨石的角动量J,则陨石运动过程中,角动量不变
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11.(综合)如图所示,某滑板爱好者脚踩滑板从离地面一定
高度的平台上水平飞离A点后顺利越过水平地面上的水坑,A点
与坑口右端点B间水平距离x=3 m,竖直距离h=1.8 m,人与滑
板总质量m=70 kg,整个过程人与滑板始终保持相对静止,不
计空气阻力,重力加速度g=10 m/s2。求:
(1)人与滑板离开A点后在空中运动的时间t;
(2)若人与滑板离开A点后恰好落在B点,求人与滑板离开A点时动量pA;
(3)若人与滑板离开A点后恰好落在B点,求人与滑板在空中运动的整个过程动量的变化量Δp。
答案 (1)0.6 s (2)350 kg·m/s,方向水平向右 (3)420 kg·m/s,方向竖直向下
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[名师点拨] (1)动量是矢量,计算动量及动量变化量时,如无特殊说明,除了计算大小,还需要指出方向。
(2)曲线运动中动量变化量Δp的计算方法
①矢量计算法:动量是矢量,所以计算曲线运动中动量的
变化量Δp=p′-p时,不能用标量加减法,一般情况下应使用矢
量加减法则——平行四边形定则或三角形定则。由上式得p′=p+Δp,据此可作出矢量三角形求解Δp,如图所示。
②动量定义法:根据p=mv,可得Δp=mΔv。根据此式结合速度的合成与分解、运动学规律,也可以求解Δp。这种方法适合求解匀变速曲线运动中动量的变化量。
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3.动量与动能的联系与区别
(1)联系:动量和动能都是描述物体运动的物理量,速度不太大(远小于光在真空中的速度)时它们之间数值的关系是:Ek=eq \f(p2,2m)或p=eq \r(2mEk)。
(2)区别:动量从物体运动的作用效果描述物体的运动状态,而动能从能量的角度描述物体的运动状态;动量是矢量,而动能是标量。
解析 根据题意,运动员从h1=1.8 m高处下落过程机械能守恒,则有mgh1=eq \f(1,2)mveq \o\al(2,0),解得运动员开始接触水平网面时的速度大小为v0=eq \r(2gh1)=eq \r(2×10×1.8) m/s=6 m/s,运动员离开网面上升h2=2.45 m的过程机械能守恒,则有mgh2=eq \f(1,2)mveq \o\al(2,1),解得运动员离开水平网面时的速度大小为v1=eq \r(2gh2)=eq \r(2×10×2.45) m/s=7 m/s。规定竖直向下为正方向,则运动员与网接触的这段时间内,动量变化量为Δp=m(-v1)-mv0=50×(-7) kg·m/s-50×6 kg·m/s=-650 kg·m/s,负号表示方向竖直向上,即动量变化量的大小为650 kg·m/s,故D正确,A、B、C错误。
解析 物体动能与动量间的关系为Ek=eq \f(p2,2m),两个具有相等动量的物体A、B,质量分别为m1和m2,且m1>m2,则EkA<EkB,即B物体的动能较大,故A正确。
解析 设向西为正方向,则物体的初速度v0=-3 m/s,末速度v=3 m/s,故这个过程中,该物体动量的变化量为Δp=mv-mv0=12 kg·m/s,方向向西;动能的变化量为ΔEk=eq \f(1,2)mv2-eq \f(1,2)mveq \o\al(2,0)=0,故C正确,A、B、D错误。
碰撞前
碰撞后
A车
B车
A、B整体
质量/kg
速度/(m·s-1)
eq \f(v,m)/(m·s-1·kg-1)
mv/(kg·m·s-1)
mv2/(kg·m2·s-2)
0.4
0.2
0.6
3.0
0
2.0
7.5
0
3.3
1.2
0
1.2
3.6
0
2.4
解析 (1)碰撞前后均为匀速直线运动,由纸带上的点迹分布求出速度。碰后小车A、B合为一整体,求出A、B整体的共同速度。注意打点计时器的频率为50 Hz,打点时间间隔为0.02 s,通过计算得下表。
碰撞前
碰撞后
A车
B车
A、B整体
质量/kg
0.4
0.2
0.6
速度/(m·s-1)
3.0
0
2.0
eq \f(v,m)/(m·s-1·kg-1)
7.5
0
3.3
mv/(kg·m·s-1)
1.2
0
1.2
mv2/(kg·m2·s-2)
3.6
0
2.4
(2)由表中数值可看出mv一行中数值相同,可猜想碰撞前后不变量的表达式为mAvA+mBvB=(mA+mB)v。
解析 规定0~1 s内物体所受合力的方向为正方向。
(1)根据题图及牛顿第二定律知,物体在0~1 s内的加速度a1=eq \f(F1,m)=eq \f(20 N,5 kg)=4 m/s2,t=1 s时物体的速度v1=a1t1=4 m/s2×1 s=4 m/s,
则t=1 s时物体的动量为
p1=mv1=5 kg×4 m/s=20 kg·m/s,
故t=1 s时物体的动量大小为20 kg·m/s。
(2)根据题图及牛顿第二定律知,
物体在1~4 s内的加速度a2=eq \f(F2,m)=eq \f(-10 N,5 kg)=-2 m/s2,
t=4 s时物体的速度v2=v1+a2t2=4 m/s+(-2 m/s2)×(4-1) s=-2 m/s,
则t=4 s时物体的动量为
p2=mv2=5 kg×(-2 m/s)=-10 kg·m/s,
故t=4 s时物体的动量大小为10 kg·m/s。
解析 由动量p=mv和动能Ek=eq \f(1,2)mv2可解得Ek=eq \f(p2,2m),若两个物体的动量相同,而质量不同,则它们的动能不相同,A错误;两物体中动能大的物体质量可能小,由p=eq \r(2mEk)知,其动量不一定大,B错误;当物体的速度大小不变、方向变化时,Δp≠0,C正确;当物体做曲线运动时,动量的变化量Δp可能为零,如做匀速圆周运动的物体运动一周时的Δp为零,D错误。
解析 质点沿x轴正方向做初速度为零的匀加速直线运动,则有v2=2ax,而动量为p=mv,联立可得p=meq \r(2ax)=meq \r(2a)·xeq \s\up7(\f(1,2)),且x和p均应为正值,故对应的相轨迹为图像D。
解析 在陨石从a点运动到c点的过程中,行星引力对陨石先做正功再做负功,根据动能定理可知,陨石的动能先增大后减小,速率先增大后减小,在b点处速率最大,在a、c点处速度大小相同而方向不同,则在b点处陨石的动量大小最大,在a点和c点处陨石的动量大小相同、方向不同,故A正确,B错误;陨石从a点运动到c点的过程中,陨石与行星之间的距离先减小后增大,陨石受到的行星的引力先增大后减小,且在整个过程中陨石只受到行星的引力作用,故陨石的加速度先增大后减小,C正确;如图所示,陨石沿椭圆轨道运动到任一点d时,设速度大小为v,与陨石、行星连线的夹角为θ,根据题意可知,陨石的角动量J=mvsinθ·r,设极短时间Δt内陨石运动到e点,△Oed面积为ΔS,则ΔS=eq \f(1,2)vΔtsinθ·r,联立可得J=2meq \f(ΔS,Δt),根据开普勒第二定律可知,陨石与行星的连线在任意相等时间Δt扫过的面积ΔS是常量,即eq \f(ΔS,Δt)恒定不变,则陨石运动过程中,角动量J不变,D正确。
解析 (1)人与滑板离开A点后在空中做平抛运动,有h=eq \f(1,2)gt2,
则它们在空中运动的时间为
t=eq \r(\f(2h,g))=eq \r(\f(2×1.8,10)) s=0.6 s。
(2)人与滑板离开A点时速度的大小
vA=eq \f(x,t)=eq \f(3,0.6) m/s=5 m/s,
则人与滑板离开A点时动量的大小
pA=mvA=350 kg·m/s,方向水平向右。
(3)根据动量的定义可知,Δp=mΔv,
设人与滑板做平抛运动的末速度的竖直分量为vBy,根据平抛运动的规律可知,人与滑板在空中运动的整个过程,即做平抛运动的整个过程,速度的变化量Δv=vBy,方向竖直向下,而veq \o\al(2,By)=2gh,
联立各式并代入数据可得Δp=420 kg·m/s,方向竖直向下。
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