第03讲 相似三角形的性质（知识点+题型+分层强化）（讲义）-2025-2026学年九年级数学上册满分全攻略备考系列（沪教版五四制）

第03讲 相似三角形的性质（知识点+题型+分层强化） 目录 知识梳理 1．相似三角形的性质 2．相似三角形的判定与性质 3．相似三角形的应用 题型巩固 一、利用相似三角形的性质求解 二、证明三角形的对应线段成比例 三、利用相似求坐标 四、在网格中画与已知三角形相似的三角形 五、相似三角形——动点问题 六、相似三角形实际应用 七、相似三角形的判定与性质综合 八、重心的有关性质 九、相似三角形的综合问题 分层强化 一、单选题（5） 二、填空题（11） 三、解答题（6） 知识梳理 知识点1．相似三角形的性质 相似三角形的定义：如果两个三角形的对应边的比相等，对应角相等，那么这两个三角形相似． （1）相似三角形的对应角相等，对应边的比相等． （2）相似三角形（多边形）的周长的比等于相似比； 相似三角形的对应线段（对应中线、对应角平分线、对应边上的高）的比也等于相似比． （3）相似三角形的面积的比等于相似比的平方． 由三角形的面积公式和相似三角形对应线段的比等于相似比可以推出相似三角形面积的比等于相似比的平方． 知识点2．相似三角形的判定与性质 （1）相似三角形是相似多边形的特殊情形，它沿袭相似多边形的定义，从对应边的比相等和对应角相等两方面下定义；反过来，两个三角形相似也有对应角相等，对应边的比相等． （2）三角形相似的判定一直是中考考查的热点之一，在判定两个三角形相似时，应注意利用图形中已有的公共角、公共边等隐含条件，以充分发挥基本图形的作用，寻找相似三角形的一般方法是通过作平行线构造相似三角形；或依据基本图形对图形进行分解、组合；或作辅助线构造相似三角形，判定三角形相似的方法有时可单独使用，有时需要综合运用，无论是单独使用还是综合运用，都要具备应有的条件方可． 知识点3．相似三角形的应用 （1）利用影长测量物体的高度．①测量原理：测量不能到达顶部的物体的高度，通常利用相似三角形的性质即相似三角形的对应边的比相等和“在同一时刻物高与影长的比相等”的原理解决．②测量方法：在同一时刻测量出参照物和被测量物体的影长来，再计算出被测量物的长度． （2）利用相似测量河的宽度（测量距离）．①测量原理：测量不能直接到达的两点间的距离，常常构造“A”型或“X”型相似图，三点应在一条直线上．必须保证在一条直线上，为了使问题简便，尽量构造直角三角形．②测量方法：通过测量便于测量的线段，利用三角形相似，对应边成比例可求出河的宽度． （3）借助标杆或直尺测量物体的高度．利用杆或直尺测量物体的高度就是利用杆或直尺的高（长）作为三角形的边，利用视点和盲区的知识构建相似三角形，用相似三角形对应边的比相等的性质求物体的高度． 相似三角形的定义：如果两个三角形的对应边的比相等，对应角相等，那么这两个三角形相似． （1）相似三角形的对应角相等，对应边的比相等． （2）相似三角形（多边形）的周长的比等于相似比； 相似三角形的对应线段（对应中线、对应角平分线、对应边上的高）的比也等于相似比． （3）相似三角形的面积的比等于相似比的平方． 由三角形的面积公式和相似三角形对应线段的比等于相似比可以推出相似三角形面积的比等于相似比的平方． 题型巩固 题型一、利用相似三角形的性质求解 1．（2025·上海长宁·一模）如果将一个的三边长都扩大为原来的3倍，那么新三角形的面积（   ） A．扩大为原来的3倍 B．扩大为原来的9倍 C．没有变化 D．无法确定 【答案】B 【知识点】利用相似三角形的性质求解 【分析】本题考查了相似三角形的判定和性质，理解题意，掌握相似三角形的判定和性质是解题的关键． 根据题意可得，可证，得到，由此即可求解． 【详解】解：的边长为，将的三边长都扩大为原来的3倍，假设为， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴扩大为原来的9倍， 故选：B ． 2．（2025九年级上·上海·专题练习）已知，且和的最长边分别是5和，如果的面积是6，那么的面积是 ． 【答案】 【知识点】利用相似三角形的性质求解 【分析】根据相似三角形的面积比等于相似比的平方进行解答即可． 此题考查了相似三角形的性质． 【详解】解：∵，且和的最长边分别是5和， ∴， ∴， 故答案为：． 3．（23-24九年级上·上海·阶段练习）在同一时刻物高与影长成比例，如果一教学楼在地面的影长为10米，同时高为1米的测杆的影长为50厘米，那么教学楼高多少米？ 【答案】教学楼高20米 【知识点】利用相似三角形的性质求解 【分析】本题考查了相似三角形的性质，根据“同一时刻物高与影长成比例”，即可得出，进而即可求出答案． 【详解】解：设教学楼高x米， 50厘米米， 根据题意可得， 解得， 答：教学楼高20米． 题型二、证明三角形的对应线段成比例 4．（22-23九年级上·上海浦东新·期中）两个相似三角形的对应角平分线的比为，则它们的周长比为（    ） A． B． C． D．以上答案都不对 【答案】A 【知识点】证明三角形的对应线段成比例 【分析】两个相似三角形的对应边的比，对应角平分线的比，对应中线的比，对应高线的比，周长的比都等于相似比． 【详解】两个相似三角形的对应角平分线的比为， 两个相似三角形的相似比为， 周长的比为． 故选A． 【点睛】本题考查相似三角形的性质，解题的关键是熟记相似三角形的性质并灵活运用． 5．如图，点D、E分别在的边AB、AC上，且，若DE=3，BC=6，AC=8，则 ． 【答案】4 【知识点】证明三角形的对应线段成比例 【分析】根据∠ADE=∠C及∠A为公共角可得△ADE∽△ACB，根据相似三角形的性质可得，进而求出AD的值即可. 【详解】∵∠ADE=∠C，∠A为公共角， ∴△ADE∽△ACB， ∴， ∵DE=3，BC=6，AC=8， ∴， 解得：AD=4， 故答案为：4 【点睛】本题考查相似三角形的判定与性质，如果一个三角形的两个角与另一个三角形的两个角对应相等，那么这两个三角形相似；熟练掌握相似三角形的判定定理是解题关键. 6．（2023·上海松江·一模）如图，已知梯形中，．是边上一点，与对角线交于点，且． 求证： (1)； (2)． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【知识点】相似三角形的判定与性质综合、证明三角形的对应线段成比例 【分析】（1）由可证，得到，再由得到，即可证明； （2）由得到，得到，进而得到，即可得到． 【详解】（1）∵， ∴ ∵， ∴ ∴ ∵， ∴ ∴； （2）∵， ∴ ∵， ∴ ∴ ∴ ∴． 【点睛】本题考查相似三角形的判定与性质，相似三角形判定方法是解题的关键． 题型三、利用相似求坐标 7．如图，在平面直角坐标系中，点A，B的坐标分别为、，连接．动点P从点A开始在折线段上以每秒2个单位长度的速度向点O移动，同时动点Q从点B开始在线段上以每秒3个单位长度的速度向点A移动．设点P、Q移动的时间为t秒，当与相似时，点P的坐标是 ． 【答案】或； 【知识点】利用相似求坐标 【分析】本题主要考查相似三角形的性质，熟练掌握相似三角形的性质是解题的关键． 由题意易得，然后可分情况进行讨论：①当时，有；②当时，有；进而根据相似三角形的性质可进行求解． 【详解】解：∵点A，B的坐标分别为、， ∴，， ∴ ，， ①当时，有，如图所示： ∴，即， 解得：， ∴， ∴， ∴； ②当时，有，如图所示： ∴，即， 解得：， ∴， ∴， ∴； 综上所述：当与相似时，或； 8．如图，点A，B，C，D，E是平面直角坐标系的第一象限内的格点． （1）在坐标系画出一个以C，D，E为顶点的三角形与△ABC相似． （2）写出符合（1）的所有点E的坐标． 【答案】（1）答案见解析；（2）E（6，2），（4，2），（4，5），（6，5），（4，0），（6，0）． 【知识点】利用相似求坐标、相似三角形实际应用 【详解】试题分析：已知直角三角形的直角边比值是1:2，夹角是90°，所以构造新的直角三角形只需要直角边比值是1:2就满足题意. 试题解析：由题意得，已知三角形直角边的比值是1:2，所以画出新三角形直角边比值是1:2即可，CD是短的直角边，E(6，5),（4,5），CD是长的直角边（6,2），（6,0），（4,0），（4,2）. 题型四、在网格中画与已知三角形相似的三角形 9．（23-24九年级上·上海普陀·期中）如图，是正方形网格中的格点三角形（顶点在格点上），点都是格点，下列三角形中与相似的是（    ）    A．以点为顶点的三角形 B．以点为顶点的三角形 C．以点为顶点的三角形 D．以点为顶点的三角形 【答案】B 【知识点】在网格中画与已知三角形相似的三角形 【分析】先计算出每条边的长度，再进行比较即可，选出适合的选项． 【详解】解：设每个正方格边长为1， 则， ， ∴， 故选：B． 【点睛】本题考查相似三角形的判定，能够掌握数形结合思想是解决本题的关键． 10．（23-24九年级上·上海长宁·期中）在每个小正方形的边长都为1的网格图形中，每个小正方形的顶点称为格点，顶点都是格点的三角形称为格点三角形．如图，已知是的网格图形中的格点三角形，则该图中所有与相似的格点三角形中，最大的三角形面积是 ．    【答案】4 【知识点】在网格中画与已知三角形相似的三角形 【分析】本题考查相似三角形的性质．根据相似三角形的性质，相似三角形中，最大的三角形的长边等于，画出这个相似三角形即可解决问题． 【详解】图中所有与相似的格点三角形中，最大的如图所示：   ． 故答案为：4． 11．在的网格中，画一个格点三角形（三角形的顶点都在虚线的交点上），使得它与相似但不全等，请画出两种不同相似比的情况．（所画图形不能超出虚线范围） 【答案】见解析 【知识点】在网格中画与已知三角形相似的三角形 【分析】本题主要考查了在网格中画相似三角形，勾股定理，熟知相似三角形的性质与判定是解题的关键． （1）利用勾股定理画出一个使得，且相似比为2即可； （2）利用勾股定理画出一个使得，且相似比为即可． 【详解】解：如图(1)所示，即为所求； ∵，，， ，，， ∴， ∴， ∴即为所求； 如图(2)所示，即为所求； ∵，，， ，，， ∴， ∴， ∴即为所求． 题型五、相似三角形——动点问题 12．如图，在中，，，点从点出发以1个单位长度/秒的速度向点运动，同时点从点出发以2个单位长度/秒的速度向点运动，其中一点到达另一点即停．当以，，为顶点的三角形与相似时，运动时间为（    ） A．秒 B．秒 C．秒或秒 D．以上均不对 【答案】C 【知识点】相似三角形——动点问题 【分析】首先设秒钟与以、、为顶点的三角形相似，则，，，然后分两种情况当和当讨论． 【详解】解：设运动时间为秒． ，，， 当，， 即， 解得； 当，， 即， 解得， 综上所述，当以，，为顶点的三角形与相似时，运动时间为或， 故选：C． 【点睛】本题考查了相似三角形的判定与性质，注意数形结合思想与分类讨论思想． 13．已知，在矩形ABCD中，点M是边AB上的一个点（与点A、B不重合），联结CM，作∠CMF＝90°，且MF分别交边AD于点E、交边CD的延长线于点F．点G为线段MF的中点，联结DG． （1）如图1，如果AD＝AM＝4，当点E与点G重合时，求△MFC的面积； （2）如图2，如果AM＝2，BM＝4．当点G在矩形ABCD内部时，设AD＝x，DG2＝y，求y关于x的函数解析式，并写出定义域； （3）如果AM＝6，CD＝8，∠F＝∠EDG，求线段AD的长．（直接写出计算结果） 【答案】（1）；（2）；（3）或 【知识点】相似三角形——动点问题 【分析】（1）运用ASA证明△求出FD的长再运用三角形面积公式即可得到答案； （2）证明，根据相似三角形的性质列出比例式，代入相关数值即可求出函数关系式； （3）分点在矩形内部和外部两种情况求解即可． 【详解】解（1）过M作MH⊥DC，垂足为H，如图1 易得四边形ADHM是正方形， ∵ 又∠FED=∠MEA ∴△ ∴ ∵ ∴∠FHM=∠CHM=90°，∠HCM+∠HMC=90° ∵， ∴∠FMH+∠HMC=90° ∴∠FMH=∠HCM ∴△FMH∽△MCH ∴ ∴， ∴ （2）过M作MH⊥DC，过G点作GP⊥DC，垂足分别为H，P，如图2， ∵， ∴， ∵MH⊥DC， ∴∠MHF=∠MHC=90°，∠HMC+∠HCM=90° ∵∠FMC=90°， ∴∠FMH+∠HMC=90° ∴∠FMH=∠HCM ∴ ∴，即， ∴ ∴，， ∴ ∴ 由可得 ∴定义域为 （3）点在矩形内部时,延长DG交AB于J，联结AG，AF，如图 ∵ ∵ ∴， ∵， ∴ ∴∠ ∵∠ ∴∠ ∴∠ ∴垂直平分 ∴ ∵ ∴ 点在矩形外部时，延长DG交BA延长线于L，联结DM，如图 ∵， ∴， ∴ ∵∠，∠FMC为直角， ∴，垂直平分 ∴，， ∴ 综上，或 【点睛】收费题主要考查了三角形全等的判定与性质、垂直平分线的判定与性质，相似三角形的判定与性质，熟练掌握相关定理和性质是解答此题的关键． 题型六、相似三角形实际应用 14．（24-25九年级上·上海·阶段练习）小杰身高1.5米，在操场的影长为2米，同时测得教学大楼在操场的影长为24米，则教学大楼的高度为（   ） A．18米 B．20米 C．22米 D．30米 【答案】A 【知识点】相似三角形实际应用 【分析】本题考查相似三角形的应用，在相同时刻，物高与影长组成的直角三角形相似，利用对应边成比例可得所求的高度．用到的知识点为：在相同时刻，物高与影长的比相同． 【详解】解：设教学大楼的高度为米， 在相同时刻，物高与影长组成的直角三角形相似， ， 解得 则教学大楼的高度为18米． 故选：A． 15．（24-25九年级上·上海静安·期中）如图，用手电来测量古城墙高度，将平面镜水平放置在点处，光线从点出发，经过平面镜反射后，光线刚好照到古城墙的顶端处．若，，米，米，米，根据物理学中光的反射定律，可计算出该古城墙的高度是 米． 【答案】 【知识点】相似三角形实际应用 【分析】本题考查了相似三角形的应用，熟练掌握相似三角形的性质与判定是解题的关键．通过证明，得到，再代入数据求出的长，即可解答． 【详解】解：，， ， 由题意得，， ， ，即， 解得：米． 该古城墙的高度是米． 故答案为：． 16．（24-25九年级上·上海·阶段练习）近期黑神话：悟空正式在全球上线，不仅迅速吸引了全球游戏爱好者的目光，同时也因其对中国地理风貌和中国古建筑、塑像、壁画等文化宝藏的精细还原，成为文旅界关注的对象黑神话：悟空游戏中选取的处山西极具代表性的古建筑，由南至北横跨个地市，不仅展示了山西深厚的文化底蕴，也为当地文旅产业带来新的发展机遇，更为山西的文化元素提供了一个面向全球游戏玩家群体的数字化传播窗口飞虹塔是山西省非常有名的一座塔楼，这座塔的位置位于山西省洪洞县广胜寺景区某实践小组欲测量飞虹塔的高度，过程见下表． 主题 跟着悟空游山西，测 量“飞虹塔”的大致高度 测量方案及示意图 测量步骤 步骤：把长为米的标杆垂直立于地面点处，塔尖点和标杆顶端确定的直线交水平于点，测得米； 步骤：将标杆沿着的方向平移到点处，塔尖点和标杆顶端确定的直线交直线于点，测得米，米；以上数据均为近似值 根据表格信息，求飞虹塔的大致高度． 【答案】米 【知识点】相似三角形实际应用 【分析】本题考查相似三角形的应用，关键是根据相似三角形的判定和性质得出边的大小解答． 证明，得到对应边成比例，列方程解决即可． 【详解】解：设米，米． ， ， ． ，，， ． ， ， ． ，，， ， ， ， ， 经检验，是原方程的解， ， ， 经检验，是原方程的解， 答：飞虹塔的高度为米． 题型七、相似三角形的判定与性质综合 17．（24-25九年级上·上海普陀·阶段练习）线段与线段交于点，连接、、、，若，且，，，则的值为（   ） A．或 B．或 C．或 D．或 【答案】A 【知识点】相似三角形的判定与性质综合 【分析】本题考查相似三角形的判定和性质，掌握相似三角形的判定和性质是解题的关键． 先证，根据对应边成比例求出的长度，再证，利用面积的比等于相似比的平方求解． 【详解】如图：∵，， ∴， ∴， 设，则，，， ∴， 解得：， 经检验，都是原方程的根， ∵，即，且， ∴， ∴， 当时，， ； 当时，， ； 故选：A． 18．（24-25九年级上·上海·期中）新定义：平行于三角形一边的直线被其他两边所截得的线段叫做“三角形的弦”，已知等边三角形的一条弦的长度为，且这条弦将等边三角形分成面积的两个部分，那么这个等边三角形的边长为 ． 【答案】或 【知识点】相似三角形的判定与性质综合 【分析】此题考查了相似三角形的判定与性质，由 ，然后由相似三角形面积比等于相似比的平方，求得答案. 【详解】如图，根据题意得：， ∴， 当时， ， ， ， ， 当时， ， ， ， ， 即这个等边三角形的边长为：或， 故答案为：或． 19．（24-25九年级上·上海普陀·阶段练习）如图，在中，点、分别在边、上，，点在边上，，与相交于点． (1)求证：； (2)当点为中点时，求证：． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【知识点】相似三角形的判定与性质综合 【分析】本题主要考查了相似三角形的判定和性质，平行线的性质，解题的关键是熟练掌握相似三角形的判定和性质． （1）根据条件证明，然后利用对应边成比例，等量代换即可求解； （2）过点作，交的延长线于点，证明，利用对应边成比例，再根据中位线的性质定理，等量代换即可求解． 【详解】（1）证明：∵， ∴， ∵， ， ∴， ， ， ∴； （2）证明：如图所示，过点作，交的延长线于点， ， ， ∵点为中点， ∴， ∴． 题型八、重心的有关性质 20．（22-23九年级上·上海嘉定·期中）如果点是的重心，是边的中点，那么的值为（　　） A．2 B． C． D． 【答案】A 【知识点】重心的有关性质 【分析】根据重心的性质进行求解即可． 【详解】解：∵点是的重心，是边的中点， ∴， 故选A． 【点睛】本题主要考查了重心的性质，熟知重心的性质是解题的关键． 21．（24-25九年级上·上海·阶段练习）已知在中，是中线，G是重心，如果，那么 ． 【答案】6 【知识点】重心的有关性质 【分析】本题考查重心的性质，掌握重心的性质是解题的关键．根据重心到顶点的距离与重心到对边中点的距离之比为2：1求解即可． 【详解】解：由题意可知，即， ∴． 故答案为：6． 22．如图，点是的重心，过点作，分别交于点，且，求的长． 【答案】4.32cm 【知识点】相似三角形的判定与性质综合、重心的有关性质 【分析】如图连接AG并延长，交BC于点P，由三角形的重心的性质可知AG＝2GP，则AG：AP＝2：3．又EF∥BC，根据相似三角形的判定可知△AGF∽△APC，得出AF：AC＝2：3，最后由EF∥BC，得出△AEF∽△ABC，从而求出EF：BC＝AF：AC＝2：3，结合EF+BC＝7.2cm来求BC的长度． 【详解】解：如图，连接AG并延长，交BC于点P． ∵G为△ABC的重心， ∴AG＝2GP， ∴AG：AP＝2：3， ∵EF过点G且EF∥BC， ∴△AGF∽△APC， ∴AF：AC＝AG：AP＝2：3． 又∵EF∥BC， ∴△AEF∽△ABC， ∴． ∴EF=BC 又∵EF+BC＝7.2cm， ∴BC＝4.32cm． 【点睛】本题主要考查了三角形的重心的性质，相似三角形的判定及性质．三角形三边的中线相交于一点，这点叫做三角形的重心．重心到顶点的距离等于它到对边中点距离的两倍．平行于三角形一边的直线截其它两边，所得三角形与原三角形相似．相似三角形的三边对应成比例． 题型九、相似三角形的综合问题 23．如图，在中，，AC=4，BC=3，O是AB上一点，且AO:OB=2:5，过点O作垂足为D， （1）求点O到直线AC的距离OD的长；（图1） （2）若P是边AC上的一个动点，作交线段BC于Q（不与B、C重合）（图2） ①求证：； ②设，，试求关于的函数解析式，并写出定义域； ③若与相似，求的长度. 【答案】（1）；（2）①见解析；②；③或 【知识点】相似三角形的综合问题 【分析】（1）首先作，判断出，推得，即可判断出；然后根据，求出OD的长度，就是点O到AC的距离； （2）①根据同角的余角相等得到，然后利用相似三角形的判定定理证明； ②由（1）可知，求出AD、PD的长度各是多少，然后根据，即可推得，据此求出y关于x的函数解析式，并写出函数定义域即可； ③根据题意，分两种情况：当时，当PQ平分时，分类讨论，根据②中函数解析式和角平分线的性质，分别求出AP长是多少即可. 【详解】解：（1）如图1，作， ∵， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴， 又∵， ∴， 解得， 即点O到AC的距离是； （2）①如图3，作， ∵， ∴， 又∵， ∴， 在和△QPC中， ， ∴； ②如图3，作， ，， ∴， ∴， ∴， 又∵， ∴， 解得，， ∵， ∴， ∴， ∴； ③如图4，当时，与相似， ∵， ∴， ∴， 解得， ∴， 解得或， 如图5，作于点E， 当PQ平分时，， ∵，，， ∴， ∵，， ∴， 又∵，， ∴， ∴， 即点P为CD的中点, 由，可得， 解得， 综上可得：当与相似时，、或. 【点睛】此题主要考查了三角形相似的判定和性质的应用，要熟练掌握，解答此题的关键是要明确：①三边法：三组对应边的比相等的两个三角形相似；②两边及其夹角法：两组对应边的比相等且夹角对应相等的两个三角形相似；③两角法：有两组角对应相等的两个三角形相似；另外要注意分类讨论思想的应用以及数形结合思想的应用，应熟练掌握. 分层强化 一、单选题 1．如果两个相似三角形的周长之比为，那么它们对应边之比为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了相似三角形的性质．熟练掌握相似三角形的性质是解题的关键． 利用相似三角形的性质求解作答即可． 【详解】解：由题意知，如果两个相似三角形的周长之比为，那么它们对应边之比为， 故选：B． 2．如图，已知小君的身高是米，他在路灯下的影长为米，小君与灯杆的距离为米，那么路灯距地面的高度是（    ） A．米 B．米 C．米 D．米 【答案】A 【分析】本题考查了相似三角形的应用，解题关键是结合已知条件找出图中存在的相似三角形．由题可知，，，则，由此可判定，得到，即可求解． 【详解】解：，， ， ，， ， ， ，即， 米， 路灯距地面的高度为米， 故选：A． 3．已知，与的相似比为，与的相似比为，那么与的相似比为（  ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了相似三角形的性质，根据与的相似比为，即，再结合与的相似比为，所以，即，即可作答． 【详解】解：∵与的相似比为， ∴， ∵与的相似比为， ∴， 即， ∵， ∴与的相似比为， 故选：B． 4．在四边形中，对角线与交于点，下列说法正确的是（） A．如果，那么 B．如果，那么 C．如果，那么 D．如果，那么 【答案】D 【分析】本题考查了相似三角形的判定和性质，熟练掌握相似三角形的判定和性质定理是解题的关键．根据相似三角形的判定和性质判断即可． 【详解】解：A．， ， 则不能得到，故不符合题意； B．， ， ， ， 不能得到，故不符合题意； C．， ， ， ， ， ，故不符合题意； D．， ， ， ， ， ，故符合题意； 故选：D． 5．在中，，是内上的高，且，则的度数为（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】此题考查了相似三角形的判定与性质，直角三角形的性质，画出图形，可得，由相似三角形的对应角相等，即可解答．熟知相似三角形的判定方法有：两对对应角相等的两三角形相似；三边对应成比例的两三角形相似；两边对应成比例且夹角相等的两三角形相似是解题的关键． 【详解】解：如图所示， ， ， ， ， ， ， ， 则； 故选：C． 二、填空题 6．两个相似三角形的对应边上中线之比为，它们的周长之和为，那么较大的三角形的周长为 ． 【答案】12 【分析】本题考查相似三角形的性质，根据相似三角形的周长比等于相似比，对应边上的中线比等于相似比，设较小三角形的周长为，较大三角形的周长为，列出方程进行求解即可． 【详解】解：∵两个相似三角形的对应边上中线之比为， ∴两个三角形的相似比为：， ∴两个三角形的周长比为：； ∴设较小三角形的周长为，较大三角形的周长为， 则：， 解得：， ∴较大的三角形的周长为； 故答案为：． 7．如图，在中，与相交于点，若，则 ． 【答案】2 【分析】本题考查了三角形重心的性质，熟练掌握和运用三角形重心的性质是解决本题的关键． 根据题意可知：点O是的重心，然后根据重心的性质即可解答． 【详解】解：在中，与相交于点， ∴分别是的中线， ∴点O是的重心， ∵， ∴ 故答案为：2． 8．如图，，且，交于，则 ． 【答案】 【分析】本题考查了相似三角形的判定和性质，由于，而，由此根据相似的性质即可求出，同理求出，即可解答，熟练证明相关的三角形相似是解题的关键． 【详解】解：，且， ， ，， 设，则， ， ， ， 故答案为：． 9．如图，一根直立于水平地面上的木杆AB在灯光下形成影子，当木杆绕A按逆时针方向旋转直至到达地面时，影子的长度发生变化．设AB垂直于地面时的影长为AC﹙假定AC＞AB﹚，影长的最大值为m，最小值为n，那么下列结论中：①m＞AC；②m＝AC；③n＝AB；④影子的长度先增大后减小．正确的结论序号是 ．﹙直角填写正确的结论的序号﹚． 【答案】①③④ 【分析】由当AB与光线BC垂直时，m最大即可判断①②，由最小值为AB与底面重合可判断③，点光源固定，当线段AB旋转时，影长将随物高挡住光线的不同位置发生变化过程可判断④． 【详解】解：当木杆绕点A按逆时针方向旋转时，如图所示当AB与光线BC垂直时，m最大，则m＞AC，①成立； ①成立，那么②不成立； 最小值为AB与底面重合，故n=AB，故③成立； 由上可知，影子的长度先增大后减小，④成立． 故答案为：①③④． 10．在中，，，，动点从点开始沿边向点以的速度移动，动点从点开始沿边向点以的速度移动，如果、两点分别从、两点同时出发，那么当与相似时，的面积是 ． 【答案】或 【分析】本题考查相似三角形性质．根据题意分情况讨论并列式即可得到本题答案． 【详解】解：根据题意得：设、两点的运动时间是s， ∴，， ∴， ∵， ①当时，， ∵，， ∴，解得：， ∴，， ∴的面积是：； ②当时，， ∴，解得：， ∴，， ∴的面积是：； 故答案为∶ 或． 11．在方格纸中，每个小格的顶点叫做格点，以格点连线为边的三角形叫做格点三角形．如图，请在边长为1个单位的2×3的方格纸中，找出一个格点三角形DEF．如果△DEF与△ABC相似（相似比不为1），那么△DEF的面积为 ． 【答案】； 【分析】根据小正方形的边长，分别求出和三边的长，然后判断它们是否对应成比例，再用三角形面积公式求解即可. 【详解】如图， ∵， ∴ ∵，， ∴ ∴ ∴ ∴ 故答案为：1 【点睛】本题考查了在网格中画与已知三角形相似的三角形、三角形全等的判定以及三角形面积公式，熟练掌握三角形全等的判定是解题的关键. 12．在正方形网格中，每个小正方形的顶点称为格点，以格点为顶点的三角形叫做格点三角形．如图，是格点三角形，在图中的正方形网格中作出格点三角形（不含），使得（同一位置的格点三角形只算一个），这样的格点三角形一共有 个． 【答案】6 【分析】本题考查了在直角坐标系中画出与已知三角形相似的图形，解题的关键在于找出与已知三角形各边长成比例的三角形，并在直角坐标系中无一遗漏地表示出来． 根据题意，得出的三边之比，并在直角坐标系中找出与各边长成比例的相似三角形，并在直角坐标系中无一遗漏地表示出来． 【详解】解：有图可知：的三边为： ，， ， 如图所示： 可能出现的相似三角形共有以下六种情况： ， 故答案为：6． 13．已知点A(2，0)，点B(b，0)(b＞2)，点P是第一象限内的动点，且点P的纵坐标为，若△POA和△PAB相似，则符合条件的点P坐标为 ． 【答案】 【分析】如图，分类讨论：（1）；（2），根据相似三角形的相似比列式计算出b的值，写出点P的坐标即可． 【详解】由题意可得：OA=2，OB=b，AP=， 如图：（1）当时， ， OA=AB=2， b=4， P(2，)； （2）当时， ， ， 解得：b=9±， P(2，3±)； 综上：P的坐标为：(2，)，(2，3±)． 故答案为：(2，)，(2，3±)． 【点睛】本题主要考查相似三角形的性质，分类讨论，根据相似三角形的性质求出对应边的长度进而写出点的坐标是解题关键． 14．如图，点D、E、F分别位于△ABC的三边上，满足DE∥BC，EF∥AB，如果AD：DB=3：2，那么BF：FC= ． 【答案】3:2 【详解】因为DE∥BC,所以,因为EF∥AB,所以,所以,故答案为: 3:2. 15．如图，从点发出一束光，经x轴反射，过点，则这束光从点A到点B所经过的路径的长为 . 【答案】５ 【分析】先过点B作BD⊥x轴于D，再由A、B的坐标确定，即可得OA,BD,OD的长度，由题意可证得△AOC∽△BDC，根据相似三角形的对应边成比例，即可求解. 【详解】解：如图， 过点B作BD⊥x轴于D， ∵A（0，2），B（5，3）， ∴OA=2，BD=3，OD=5， 由反射定律可得：∠ACO=∠BCD， 又∵∠AOC=∠BDC=90° ∴△AOC∽△BDC， ∴OA：BD=OC：DC=AC：BC=2：3， ∴OC=2，OD=3 在Rt△BCD中，CD=3，BD=３ ∴BC＝＝ 又∵AC：BC=2：3 ∴AC＝ ∴AC+BC＝5 ..故选5. 【点睛】本题考查了相似三角形的判定与性质、勾股定理以及点与坐标的性质，解此题的关键是作出辅助线，构造相似三角形. 16．若与相似，且，则 ． 【答案】或 【分析】本题考查了相似三角形的判定和性质，根据与相似进行分类讨论，即可解答，分类讨论是解题的关键． 【详解】解：与相似，， 故可分两种情况， 当时， 可得，即， ； 当时， 可得，即， 故答案为：或． 三、解答题 17．如图，G为的重心，，求的值．    【答案】24 【分析】G为的重心，判断出点是边的中点，即可判断出；即可得出，求出即可得出结论． 【详解】解： 点为的重心， ， ∴ ， ， 点为的重心， 点是边的中点， ； 点为的重心， ， ， ， ∴． 【点睛】此题主要考查了三角形的重心的性质和应用以及相似，要熟练掌握，解答此题的关键是要明确：重心就是三条中线的交点，重心到顶点的距离与重心到对边中点的距离之比为． 18．如图，在阳光下，某一时刻，旗杆的影子一部分在地面上，另一部分在建筑物的墙面上．小明测得旗杆在地面上的影长为，在墙面上的影为．同一时刻，直立于地面长的标杆的影长为，求旗杆的高度． 【答案】旗杆的高度为 【分析】本题主要考查了相似三角形的相似的应用，灵活运用相似三角形的判定与性质解决实际问题是解题的关键． 如图：分别延长、相交于点F，，易得，则；再证明，然后运用相似三角形的性质求解即可． 【详解】解：如图：分别延长、相交于点F，， 根据题意得： ，解得： ∵ ， ∵， ∴， ∵， ， ，即，解得：． 答：旗杆的高度为． 19．如图，中，，，点从点出发沿以的速度向点移动，点从点出发沿以的速度向点移动，若两点同时移动，则经过几秒时，与相似？ 【答案】3或 【分析】本题考查了三角形相似的判定和性质，熟练掌握判定和性质是解题的关键． 先表示，，，再分和两种情况求解． 【详解】解：设经过，与相似． ∵，，点D从A点出发沿以的速度向B点移动，点E从C点出发沿以的速度向A点移动， ∴，，， 当时，则即， 解得； 当时，则即， 解得； 综上所述：经过3或秒时，与相似． 20．如图，，，． (1)与相似吗？请说明理由； (2)若，求的长． 【答案】(1)，理由见解析； (2)． 【分析】本题考查了相似三角形的判定与性质，掌握相似三角形的判定与性质是解题的关键． （）通过，，，可得，然后证明即可； （）由可得，然后代入即可求解． 【详解】（1）解：，理由： ∵，，， ∴，， ∴， 又∵， ∴； （2）解：∵， ∴， ∴， ∴． 21．图①、图②、图③均是的正方形网格，每个小正方形的边长为1，每个小正方形的顶点叫格点．的顶点均在格点上．只用无刻度的直尺，在给定的网格中，分别按下列要求画图，保留作图痕迹． (1)在图①中，分别在边上画点，连接，使，且． (2)在图②中，分别在边上画点，连接，使，且． (3)在图③中，分别在边上画点，连接，使，且． 【答案】(1)图见解析 (2)图见解析 (3)图见解析 【分析】本题考查格点图中画相似三角形： （1）根据相似三角形的判定和相似比，画图即可； （2）根据相似三角形的判定和相似比，画图即可； （3）根据相似三角形的判定和相似比，画图即可； 【详解】（1）解：如图，即为所求； （2）如图，即为所求； （3）如图，即为所求； 22．已知和有公共顶点，，连接，取的中点M并连接． （1）如图1，若点D位于线段上，则_________．（直接写出答案） （2）如图2，若点D位于线段上， ①不添加其它字母和连线，直接写出图中除外的另一组相似三角形； ②猜想与的位置关系，并证明你的结论； （3）当点D运动到图3所示位置时，线段之间的数量关系和位置关系是否发生变化？并证明你的结论． 【答案】（1），（2）①，②，证明见解析，（3）没有变化，证明见解析． 【分析】（1）设OD=a，OA=b，表示出BC和OM即可； （2）①，利用两边成比例夹角相等证明即可； ②根据相似，利用三角形内角和得出OM与BC垂直； （3）延长OM交BC于N,在MN上截取MH=OM,证出即可． 【详解】解：（1）设OD=a，OA=b， ∵，， ∴， CD=2 a，OC= ， 同理，OB=， BC=， AD=， ∵的中点是M， ∴DM=， OM=OD+DM=， ， （2）①， 延长OM交BC于N, 由（1）得，，∠AOD=∠BOC=90°， ∴； ②由相似得，∠DAO=∠CBO， ∵的中点是M， ∴MO=MD， ∴∠ADO=∠NOB， ∵∠DAO+∠ADO=90°， ∴∠CBO+∠NOB=90°， ∴； （3）延长OM交BC于N,在MN上截取MH=OM, ∵AM=MD,∠OMD=∠AMH， ∴△OMD≌△AMH, ∴AH=OD,∠HAD=∠ADO， ∴AH∥OD, ∴∠HAO+∠AOD=180°， ∵， ∴∠AOD+∠BOC=180°， ∴∠BOC=∠HAO， 由（2）可知，， ∴ ∴， ∴，∠CBO =∠AOH， ∴， ∵∠AOH+∠NOB=90°， ∴∠CBO+∠NOB=90°， ∴； 【点睛】本题考查了相似三角形的综合问题和勾股定理，解题关键是恰当的作辅助线，构造相似三角形，利用相似三角形的性质解决问题. 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第03讲 相似三角形的性质（知识点+题型+分层强化） 目录 知识梳理 1．相似三角形的性质 2．相似三角形的判定与性质 3．相似三角形的应用 题型巩固 一、利用相似三角形的性质求解 二、证明三角形的对应线段成比例 三、利用相似求坐标 四、在网格中画与已知三角形相似的三角形 五、相似三角形——动点问题 六、相似三角形实际应用 七、相似三角形的判定与性质综合 八、重心的有关性质 九、相似三角形的综合问题 分层强化 一、单选题（5） 二、填空题（11） 三、解答题（6） 知识梳理 知识点1．相似三角形的性质 相似三角形的定义：如果两个三角形的对应边的比相等，对应角相等，那么这两个三角形相似． （1）相似三角形的对应角相等，对应边的比相等． （2）相似三角形（多边形）的周长的比等于相似比； 相似三角形的对应线段（对应中线、对应角平分线、对应边上的高）的比也等于相似比． （3）相似三角形的面积的比等于相似比的平方． 由三角形的面积公式和相似三角形对应线段的比等于相似比可以推出相似三角形面积的比等于相似比的平方． 知识点2．相似三角形的判定与性质 （1）相似三角形是相似多边形的特殊情形，它沿袭相似多边形的定义，从对应边的比相等和对应角相等两方面下定义；反过来，两个三角形相似也有对应角相等，对应边的比相等． （2）三角形相似的判定一直是中考考查的热点之一，在判定两个三角形相似时，应注意利用图形中已有的公共角、公共边等隐含条件，以充分发挥基本图形的作用，寻找相似三角形的一般方法是通过作平行线构造相似三角形；或依据基本图形对图形进行分解、组合；或作辅助线构造相似三角形，判定三角形相似的方法有时可单独使用，有时需要综合运用，无论是单独使用还是综合运用，都要具备应有的条件方可． 知识点3．相似三角形的应用 （1）利用影长测量物体的高度．①测量原理：测量不能到达顶部的物体的高度，通常利用相似三角形的性质即相似三角形的对应边的比相等和“在同一时刻物高与影长的比相等”的原理解决．②测量方法：在同一时刻测量出参照物和被测量物体的影长来，再计算出被测量物的长度． （2）利用相似测量河的宽度（测量距离）．①测量原理：测量不能直接到达的两点间的距离，常常构造“A”型或“X”型相似图，三点应在一条直线上．必须保证在一条直线上，为了使问题简便，尽量构造直角三角形．②测量方法：通过测量便于测量的线段，利用三角形相似，对应边成比例可求出河的宽度． （3）借助标杆或直尺测量物体的高度．利用杆或直尺测量物体的高度就是利用杆或直尺的高（长）作为三角形的边，利用视点和盲区的知识构建相似三角形，用相似三角形对应边的比相等的性质求物体的高度． 相似三角形的定义：如果两个三角形的对应边的比相等，对应角相等，那么这两个三角形相似． （1）相似三角形的对应角相等，对应边的比相等． （2）相似三角形（多边形）的周长的比等于相似比； 相似三角形的对应线段（对应中线、对应角平分线、对应边上的高）的比也等于相似比． （3）相似三角形的面积的比等于相似比的平方． 由三角形的面积公式和相似三角形对应线段的比等于相似比可以推出相似三角形面积的比等于相似比的平方． 题型巩固 题型一、利用相似三角形的性质求解 1．（2025·上海长宁·一模）如果将一个的三边长都扩大为原来的3倍，那么新三角形的面积（   ） A．扩大为原来的3倍 B．扩大为原来的9倍 C．没有变化 D．无法确定 2．（2025九年级上·上海·专题练习）已知，且和的最长边分别是5和，如果的面积是6，那么的面积是 ． 3．（23-24九年级上·上海·阶段练习）在同一时刻物高与影长成比例，如果一教学楼在地面的影长为10米，同时高为1米的测杆的影长为50厘米，那么教学楼高多少米？ 题型二、证明三角形的对应线段成比例 4．（22-23九年级上·上海浦东新·期中）两个相似三角形的对应角平分线的比为，则它们的周长比为（    ） A． B． C． D．以上答案都不对 5．如图，点D、E分别在的边AB、AC上，且，若DE=3，BC=6，AC=8，则 ． 6．（2023·上海松江·一模）如图，已知梯形中，．是边上一点，与对角线交于点，且． 求证： (1)； (2)． 题型三、利用相似求坐标 7．如图，在平面直角坐标系中，点A，B的坐标分别为、，连接．动点P从点A开始在折线段上以每秒2个单位长度的速度向点O移动，同时动点Q从点B开始在线段上以每秒3个单位长度的速度向点A移动．设点P、Q移动的时间为t秒，当与相似时，点P的坐标是 ． 8．如图，点A，B，C，D，E是平面直角坐标系的第一象限内的格点． （1）在坐标系画出一个以C，D，E为顶点的三角形与△ABC相似． （2）写出符合（1）的所有点E的坐标． 题型四、在网格中画与已知三角形相似的三角形 9．（23-24九年级上·上海普陀·期中）如图，是正方形网格中的格点三角形（顶点在格点上），点都是格点，下列三角形中与相似的是（    ）    A．以点为顶点的三角形 B．以点为顶点的三角形 C．以点为顶点的三角形 D．以点为顶点的三角形 10．（23-24九年级上·上海长宁·期中）在每个小正方形的边长都为1的网格图形中，每个小正方形的顶点称为格点，顶点都是格点的三角形称为格点三角形．如图，已知是的网格图形中的格点三角形，则该图中所有与相似的格点三角形中，最大的三角形面积是 ．    11．在的网格中，画一个格点三角形（三角形的顶点都在虚线的交点上），使得它与相似但不全等，请画出两种不同相似比的情况．（所画图形不能超出虚线范围） 题型五、相似三角形——动点问题 12．如图，在中，，，点从点出发以1个单位长度/秒的速度向点运动，同时点从点出发以2个单位长度/秒的速度向点运动，其中一点到达另一点即停．当以，，为顶点的三角形与相似时，运动时间为（    ） A．秒 B．秒 C．秒或秒 D．以上均不对 13．已知，在矩形ABCD中，点M是边AB上的一个点（与点A、B不重合），联结CM，作∠CMF＝90°，且MF分别交边AD于点E、交边CD的延长线于点F．点G为线段MF的中点，联结DG． （1）如图1，如果AD＝AM＝4，当点E与点G重合时，求△MFC的面积； （2）如图2，如果AM＝2，BM＝4．当点G在矩形ABCD内部时，设AD＝x，DG2＝y，求y关于x的函数解析式，并写出定义域； （3）如果AM＝6，CD＝8，∠F＝∠EDG，求线段AD的长．（直接写出计算结果） 题型六、相似三角形实际应用 14．（24-25九年级上·上海·阶段练习）小杰身高1.5米，在操场的影长为2米，同时测得教学大楼在操场的影长为24米，则教学大楼的高度为（   ） A．18米 B．20米 C．22米 D．30米 15．（24-25九年级上·上海静安·期中）如图，用手电来测量古城墙高度，将平面镜水平放置在点处，光线从点出发，经过平面镜反射后，光线刚好照到古城墙的顶端处．若，，米，米，米，根据物理学中光的反射定律，可计算出该古城墙的高度是 米． 16．（24-25九年级上·上海·阶段练习）近期黑神话：悟空正式在全球上线，不仅迅速吸引了全球游戏爱好者的目光，同时也因其对中国地理风貌和中国古建筑、塑像、壁画等文化宝藏的精细还原，成为文旅界关注的对象黑神话：悟空游戏中选取的处山西极具代表性的古建筑，由南至北横跨个地市，不仅展示了山西深厚的文化底蕴，也为当地文旅产业带来新的发展机遇，更为山西的文化元素提供了一个面向全球游戏玩家群体的数字化传播窗口飞虹塔是山西省非常有名的一座塔楼，这座塔的位置位于山西省洪洞县广胜寺景区某实践小组欲测量飞虹塔的高度，过程见下表． 主题 跟着悟空游山西，测 量“飞虹塔”的大致高度 测量方案及示意图 测量步骤 步骤：把长为米的标杆垂直立于地面点处，塔尖点和标杆顶端确定的直线交水平于点，测得米； 步骤：将标杆沿着的方向平移到点处，塔尖点和标杆顶端确定的直线交直线于点，测得米，米；以上数据均为近似值 根据表格信息，求飞虹塔的大致高度． 题型七、相似三角形的判定与性质综合 17．（24-25九年级上·上海普陀·阶段练习）线段与线段交于点，连接、、、，若，且，，，则的值为（   ） A．或 B．或 C．或 D．或 18．（24-25九年级上·上海·期中）新定义：平行于三角形一边的直线被其他两边所截得的线段叫做“三角形的弦”，已知等边三角形的一条弦的长度为，且这条弦将等边三角形分成面积的两个部分，那么这个等边三角形的边长为 ． 19．（24-25九年级上·上海普陀·阶段练习）如图，在中，点、分别在边、上，，点在边上，，与相交于点． (1)求证：； (2)当点为中点时，求证：． 题型八、重心的有关性质 20．（22-23九年级上·上海嘉定·期中）如果点是的重心，是边的中点，那么的值为（　　） A．2 B． C． D． 21．（24-25九年级上·上海·阶段练习）已知在中，是中线，G是重心，如果，那么 ． 22．如图，点是的重心，过点作，分别交于点，且，求的长． 题型九、相似三角形的综合问题 23．如图，在中，，AC=4，BC=3，O是AB上一点，且AO:OB=2:5，过点O作垂足为D， （1）求点O到直线AC的距离OD的长；（图1） （2）若P是边AC上的一个动点，作交线段BC于Q（不与B、C重合）（图2） ①求证：； ②设，，试求关于的函数解析式，并写出定义域； ③若与相似，求的长度. 分层强化 一、单选题 1．如果两个相似三角形的周长之比为，那么它们对应边之比为（   ） A． B． C． D． 2．如图，已知小君的身高是米，他在路灯下的影长为米，小君与灯杆的距离为米，那么路灯距地面的高度是（    ） A．米 B．米 C．米 D．米 3．已知，与的相似比为，与的相似比为，那么与的相似比为（  ） A． B． C． D． 4．在四边形中，对角线与交于点，下列说法正确的是（） A．如果，那么 B．如果，那么 C．如果，那么 D．如果，那么 5．在中，，是内上的高，且，则的度数为（　　） A． B． C． D． 二、填空题 6．两个相似三角形的对应边上中线之比为，它们的周长之和为，那么较大的三角形的周长为 ． 7．如图，在中，与相交于点，若，则 ． 8．如图，，且，交于，则 ． 9．如图，一根直立于水平地面上的木杆AB在灯光下形成影子，当木杆绕A按逆时针方向旋转直至到达地面时，影子的长度发生变化．设AB垂直于地面时的影长为AC﹙假定AC＞AB﹚，影长的最大值为m，最小值为n，那么下列结论中：①m＞AC；②m＝AC；③n＝AB；④影子的长度先增大后减小．正确的结论序号是 ．﹙直角填写正确的结论的序号﹚． 10．在中，，，，动点从点开始沿边向点以的速度移动，动点从点开始沿边向点以的速度移动，如果、两点分别从、两点同时出发，那么当与相似时，的面积是 ． 11．在方格纸中，每个小格的顶点叫做格点，以格点连线为边的三角形叫做格点三角形．如图，请在边长为1个单位的2×3的方格纸中，找出一个格点三角形DEF．如果△DEF与△ABC相似（相似比不为1），那么△DEF的面积为 ． 12．在正方形网格中，每个小正方形的顶点称为格点，以格点为顶点的三角形叫做格点三角形．如图，是格点三角形，在图中的正方形网格中作出格点三角形（不含），使得（同一位置的格点三角形只算一个），这样的格点三角形一共有 个． 13．已知点A(2，0)，点B(b，0)(b＞2)，点P是第一象限内的动点，且点P的纵坐标为，若△POA和△PAB相似，则符合条件的点P坐标为 ． 14．如图，点D、E、F分别位于△ABC的三边上，满足DE∥BC，EF∥AB，如果AD：DB=3：2，那么BF：FC= ． 15．如图，从点发出一束光，经x轴反射，过点，则这束光从点A到点B所经过的路径的长为 . 16．若与相似，且，则 ． 三、解答题 17．如图，G为的重心，，求的值．    18．如图，在阳光下，某一时刻，旗杆的影子一部分在地面上，另一部分在建筑物的墙面上．小明测得旗杆在地面上的影长为，在墙面上的影为．同一时刻，直立于地面长的标杆的影长为，求旗杆的高度． 19．如图，中，，，点从点出发沿以的速度向点移动，点从点出发沿以的速度向点移动，若两点同时移动，则经过几秒时，与相似？ 20．如图，，，． (1)与相似吗？请说明理由； (2)若，求的长． 21．图①、图②、图③均是的正方形网格，每个小正方形的边长为1，每个小正方形的顶点叫格点．的顶点均在格点上．只用无刻度的直尺，在给定的网格中，分别按下列要求画图，保留作图痕迹． (1)在图①中，分别在边上画点，连接，使，且． (2)在图②中，分别在边上画点，连接，使，且． (3)在图③中，分别在边上画点，连接，使，且． 22．已知和有公共顶点，，连接，取的中点M并连接． （1）如图1，若点D位于线段上，则_________．（直接写出答案） （2）如图2，若点D位于线段上， ①不添加其它字母和连线，直接写出图中除外的另一组相似三角形； ②猜想与的位置关系，并证明你的结论； （3）当点D运动到图3所示位置时，线段之间的数量关系和位置关系是否发生变化？并证明你的结论. 学科网（北京）股份有限公司 $$