第02讲 相似三角形的判定（知识点+题型+分层强化）（讲义）-2025-2026学年九年级数学上册满分全攻略备考系列（沪教版五四制）

第02讲 相似三角形的判定（知识点+题型+分层强化） 目录 知识梳理 1.相似三角形的定义 2．相似三角形的判定 3.三角形相似的判定定理1 4.三角形相似的判定定理2 5.三角形相似的判定定理3 题型巩固 一、利用平行判定相似 二、利用两角对应相等判定相似 三、利用三边对应成比例判定相似 四、利用两边对应成比例及其夹角相等判定相似 五、相似三角形的判定综合 六、选择或补充条件使两个三角形相似 分层强化 一、单选题（6） 二、填空题（10） 三、解答题（9） 知识梳理 知识点1.相似三角形的定义 如果一个三角形的三个角与另一个三角形的三个角对应相等，且它们各有的三边对应成比例，那么这两个三角形叫做相似三角形． 如图，是的中位线，那么在与中， ， ，；．由相似三角形的定义，可知这两个三角形相似．用符号来表示，记作，其中点与点、点与点、点与点分别是对应顶点；符号“”读作“相似于”． D A B C E 用符号表示两个相似三角形时，通常把对应顶点的字母分别写在三角形记号“”后相应的位置上． 根据相似三角形的定义，可以得出： （1）相似三角形的对应角相等，对应边成比例；两个相似三角形的对应边的比，叫做这两个三角形的相似比（或相似系数）． （2）如果两个三角形分别与同一个三角形相似，那么这两个三角形也相似． 知识点2．相似三角形预备定理 （1）平行线法：平行于三角形的一边的直线与其他两边相交，所构成的三角形与原三角形相似； 这是判定三角形相似的一种基本方法．相似的基本图形可分别记为“A”型和“X”型，如图所示在应用时要善于从复杂的图形中抽象出这些基本图形． 知识点3.三角形相似的判定定理1 如果一个三角形的两角与另一个三角形的两角对应相等，那么这两个三角形相似． 可简述为：两角对应相等，两个三角形相似． 如图，在与中，如果、，那么． A B C A1 B1 C1 知识点4.三角形相似的判定定理2 如果一个三角形的两边与另一个三角形的两边对应成比例，并且夹角相等，那么这两个三角形相似． 可简述为：两边对应成比例且夹角相等，两个三角形相似． 如图，在与中，，，那么． A B C A1 B1 C1 知识点5.三角形相似的判定定理3 如果一个三角形的三条边与另一个三角形的三条边对应成比例，那么这两个三角形相似． 可简述为：三边对应成比例，两个三角形相似． 如图，在与中，如果，那么∽． A B C A1 B1 C1 题型巩固 题型一、利用平行判定相似 1．如图，A，B两地被池塘隔开，小明通过下列方法测出了A、B间的距离：先在外选一点C，然后测出的中点M，N，并测量出的长为，由此他就知道了A、B间的距离．有关他这次探究活动的描述错误的是（    ） A． B． C． D． 2．如图，在中，点、在上，点、分别在、上，且， ，交于点图中与相似的三角形有多少个？把它们表示出来，并说明理由． 题型二、利用两角对应相等判定相似 3．在判断“有一个锐角相等的两个直角三角形”是否相似时，甲、乙同学的观点如下：甲：相似；乙：不相似．对于两人的观点，下列说法正确的是（　　） A．两人都对 B．两人都不对 C．甲对，乙不对 D．甲不对，乙对 4．如图，点、分别在的边、上，且，则图中相似三角形有 对． 5．如图，在中，，于点D． (1)求证: ． (2)若O是边上一点，连接交于点E，交边于点F，求证: ． 题型三、利用三边对应成比例判定相似 6．如图，当的值为多少时，（　　） A．20 B．27 C．36 D．45 7．如图，在的正方形网格中，图中的点都在网格线的交点上．将点分别与点，连接，得到和，这四个三角形中与相似的是 ． 8．在边长为1的小正方形网格中，的顶点、、均落在格点（小正方形的顶点）上，请只用无刻度的直尺按要求完成作图． (1)将绕点按逆时针方向旋转，得到，请在图1中作出．（点与点是对应点） (2)请在图2中画一个三角形，使得该三角形与相似（不全等）． 题型四、利用两边对应成比例及其夹角相等判定相似 9．如图，根据图中给出的数据，一定能得到（   ） A． B． C． D． 10．（24-25九年级上·上海·期中）如图， 已知点D、E分别在的边和上， 如果 那么 得到． （填“能”或“不能”） 11．如图，在与中，，，求证：． 题型五、相似三角形的判定综合 12．（24-25九年级上·上海宝山·阶段练习）下列命题中，假命题是（   ） A．有两边及其中一条边上的高对应成比例的两个三角形相似 B．有两边及其中一边上的中线对应成比例的两个三角形相似 C．有一条直角边及斜边的中线对应成比例的两个三角形相似 D．有两边及其第三条边的中线对应成比例的两个三角形相似 13．的边长分别为的边长分别，则与 （选填“一定”“不一定” “一定不”）相似 14．已知：D、E是的边、上的点，，，，，求证：． 题型六、选择或补充条件使两个三角形相似 15．（24-25九年级上·上海金山·期中）中，点是边上一点，联结，下列条件中，不能判定与相似的是（   ） A． B． C． D． 16．（24-25九年级上·上海闵行·期中）已知、分别是的边上的点（不与端点重合），且与不平行，要使得与相似，那么添加一个条件可以为 （只填一个）． 17．如图，在中，，点D在边上（点D不与A，C重合）．若再增加一个条件能使，则这个条件是______；结合你所添加的条件，证明． 分层强化 一、单选题 1．如图，已知中，，于点D，则图中相似的三角形有（    ） A．0对 B．1对 C．2对 D．3对 2．下列条件，不能判定△ABC与△DEF相似的是（　　） A．∠C=∠F=，∠A=，∠D= B．∠C=∠F=，AB=10，BC=6，DE=15，EF=9 C．∠C=∠F=， D．∠B=∠E=， 3．有一个锐角相等的两个直角三角形的关系是（   ） A．全等 B．相似 C．既不全等与也不相似 D．无法确定 4．已知的一边，另两边长分别是3，4，若是边上异于，的一点，过点作直线截，截得的三角形与原相似，满足这样条件的直线有（    ）条 A．4 B．3 C．2 D．1 5．如图，已知△ABC与△BDE都是等边三角形，点D在边AC上（不与A、C重合），DE与AB相交于点F，则图中相似三角形有(   ) A．2对 B．3对 C．4对 D．5对 6．如图，点D在的边上，添加一个条件，使得．以下是天翼和往琛的做法．下列说法不正确的是（    ）    天冀的做法：添加条件． 证明：∵，． ∴（两组角对应相等的两个三角形相似） 往琛的做法：添加条件． 证明：∵,． ∴（两组对应边成比例及一组对应角相等的两个三角形相似） A．天翼的做法证明过程没有问题 B．往琛的做法证明过程没有问题 C．天翼的做法添加的条件没有问题 D．往琛的做法添加的条件有问题 二、填空题 7．如图，在中，点D，E分别在，边上，，若，则 ．    8．如图，在中，，分别交、于点、，、交于点，则相似三角形有 ． 9．如图，和中，，添加一个适当的条件 ，使．    10．若在△ABC内有一点D，使得∠ADB=∠ADC，AD=a，CD=b，则当BD= 时，△ABD与△ACD相似． 11．如图，在中，，过边上一点D作直线交边于点E，使所得的三角形与原三角形相似，这样的直线可以作 条．    12．如图直角梯形中，，，，，，，则 ．（用、的代数式表示） 13．如图，，，在、、、、、中写出一对相似三角形 ． 14．已知：△ABC中，点E是AB边的中点，点F在AC边上，若以A，E， F为顶点的三角形与△ABC相似，则需要增加的一个条件是 ．（写出一个即可） 15．如图，P为线段AB上一点，AD与BC交于点E，∠CPD＝∠A＝∠B，BC交PD于点F，AD交PC于点G，则图中相似三角形有 对． 16．如图，是中边上一点，连接，有如下条件：①，②，③，④，其中能判定的条件是 （填序号）． 三、解答题 17．如图，已知，点E、F在线段BD上，，，求证： 18．如图，在正方形ABCD中，点E是AD的中点，点F在CD上，且，连接EF、BE．求证：∽ 19．如图，在中，点D是边上的一点，连接，请添加一个条件，使，并说明理由． 20．如图，在中，． (1)在图中作出的平分线，交于点D．（要求：尺规作图，保留作图痕迹，不写作法） (2)在（1）的条件下，求证：． 21．如图，已知正方形ABCD，点E是BC上一点，点F是CD延长线上一点，连接EF，若BE＝DF，点P是EF的中点． (1)在边AB上找一点M，使得BM＝BE，求证：△BEM与△PFA相似； (2)若∠AEB＝75°，AB＝2，求△DFP的面积． 22．如图，在正方形ABCD中，E是CD上的一点，F是BC的延长线上的一点，且CE=CF，BE的延长线交DF于点G，求证：△BGF∽△DCF． 23．如图，已知在正方形ABCD中，Q为DC的中点，.求证：. 24．如图，AD．BC相交于点E，且AE=54cm，ED=36cm，CE=30cm，BE＝45cm，∠B=78o. (1)△AEB与△DEC相似吗？ (2)求∠C的度数. 25．如图，在中，，平分，作交于点E，垂足为F．作，垂足为G．    (1)求证：． (2)求证：． 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第02讲 相似三角形的判定（知识点+题型+分层强化） 目录 知识梳理 1.相似三角形的定义 2．相似三角形的判定 3.三角形相似的判定定理1 4.三角形相似的判定定理2 5.三角形相似的判定定理3 题型巩固 一、利用平行判定相似 二、利用两角对应相等判定相似 三、利用三边对应成比例判定相似 四、利用两边对应成比例及其夹角相等判定相似 五、相似三角形的判定综合 六、选择或补充条件使两个三角形相似 分层强化 一、单选题（6） 二、填空题（10） 三、解答题（9） 知识梳理 知识点1.相似三角形的定义 如果一个三角形的三个角与另一个三角形的三个角对应相等，且它们各有的三边对应成比例，那么这两个三角形叫做相似三角形． 如图，是的中位线，那么在与中， ， ，；．由相似三角形的定义，可知这两个三角形相似．用符号来表示，记作，其中点与点、点与点、点与点分别是对应顶点；符号“”读作“相似于”． D A B C E 用符号表示两个相似三角形时，通常把对应顶点的字母分别写在三角形记号“”后相应的位置上． 根据相似三角形的定义，可以得出： （1）相似三角形的对应角相等，对应边成比例；两个相似三角形的对应边的比，叫做这两个三角形的相似比（或相似系数）． （2）如果两个三角形分别与同一个三角形相似，那么这两个三角形也相似． 知识点2．相似三角形预备定理 （1）平行线法：平行于三角形的一边的直线与其他两边相交，所构成的三角形与原三角形相似； 这是判定三角形相似的一种基本方法．相似的基本图形可分别记为“A”型和“X”型，如图所示在应用时要善于从复杂的图形中抽象出这些基本图形． 知识点3.三角形相似的判定定理1 如果一个三角形的两角与另一个三角形的两角对应相等，那么这两个三角形相似． 可简述为：两角对应相等，两个三角形相似． 如图，在与中，如果、，那么． A B C A1 B1 C1 知识点4.三角形相似的判定定理2 如果一个三角形的两边与另一个三角形的两边对应成比例，并且夹角相等，那么这两个三角形相似． 可简述为：两边对应成比例且夹角相等，两个三角形相似． 如图，在与中，，，那么． A B C A1 B1 C1 知识点5.三角形相似的判定定理3 如果一个三角形的三条边与另一个三角形的三条边对应成比例，那么这两个三角形相似． 可简述为：三边对应成比例，两个三角形相似． 如图，在与中，如果，那么∽． A B C A1 B1 C1 题型巩固 题型一、利用平行判定相似 1．如图，A，B两地被池塘隔开，小明通过下列方法测出了A、B间的距离：先在外选一点C，然后测出的中点M，N，并测量出的长为，由此他就知道了A、B间的距离．有关他这次探究活动的描述错误的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【知识点】利用平行判定相似、三角形中位线的实际应用 【分析】本题考查了三角形中位线定理以及相似三角形的判定及性质．熟练掌握中位线定理是解题的关键． 根据三角形的中位线平行于第三边并且等于第三边的一半可得，再根据相似三角形的判定解答． 【详解】解：∵的中点M，N，的长为， ∴，，故A，B，C选项正确，不符合题意； ∴，故D选项错误，符合题意； 故选：D 2．如图，在中，点、在上，点、分别在、上，且， ，交于点图中与相似的三角形有多少个？把它们表示出来，并说明理由． 【答案】图中与相似的三角形有个，，， 【知识点】利用平行判定相似 【分析】本题考查了相似三角形的判定，熟练掌握相似三角形的判定方法是解题的关键． 根据相似三角形的判定推出答案即可． 【详解】解：图中与相似的三角形有个，，，， 理由：， ，， ， ， ． 题型二、利用两角对应相等判定相似 3．在判断“有一个锐角相等的两个直角三角形”是否相似时，甲、乙同学的观点如下：甲：相似；乙：不相似．对于两人的观点，下列说法正确的是（　　） A．两人都对 B．两人都不对 C．甲对，乙不对 D．甲不对，乙对 【答案】C 【知识点】利用两角对应相等判定相似 【分析】此题考查了相似三角形的判定，根据两角分别相等的两个三角形相似进行解答即可． 【详解】解：有一个锐角相等，同时直角相等，根据两角分别相等的两个三角形相似即可判定两个直角三角形相似， 故甲对，乙不对， 故选：C 4．如图，点、分别在的边、上，且，则图中相似三角形有 对． 【答案】4/四 【知识点】利用两角对应相等判定相似 【分析】本题考查相似的判定，熟练掌握相似的判定条件是解题的关键． 是、、的公共角，然后根据所给的相等的角，可找出图中的相似三角形； 再根据，可知，可得出，即可判定出，看共有几组即可． 【详解】解：∵，， ∴； ∵，， ∴； ∵， ∴； ∵， ∴， ∴， 又∵， ∴， ∴图中相似三角形有4对． 故答案为：4． 5．如图，在中，，于点D． (1)求证: ． (2)若O是边上一点，连接交于点E，交边于点F，求证: ． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【知识点】利用两角对应相等判定相似 【分析】（1）利用两角对应相等的两个三角形相似证明即可． （2）利用两角对应相等的两个三角形相似证明即可． 本题考查了三角形相似的判定，熟练掌握判定定理是解题的关键． 【详解】（1）证明：∵， ∴． ∵， ∴， ∴， ∴． ∵， ∴． （2）证明：由(1)可知， ∵， ∴． ∵， ∴， ∴． 题型三、利用三边对应成比例判定相似 6．如图，当的值为多少时，（　　） A．20 B．27 C．36 D．45 【答案】C 【知识点】利用三边对应成比例判定相似 【分析】本题考查了相似三角形的判定，熟练掌握相似三角形的判定是解题的关键．根据根据题意当时，即可求解． 【详解】解：根据题意可知，当时，， 由图可知，，，，，，， ∴， ∴， 故选：C． 7．如图，在的正方形网格中，图中的点都在网格线的交点上．将点分别与点，连接，得到和，这四个三角形中与相似的是 ． 【答案】 【知识点】利用三边对应成比例判定相似 【分析】本题主要考查相似三角形的判定，分别计算出每个三角形的边长，依据三边对应成比例进行判断即可得出结论． 【详解】解：的三边长分别为：，，； 的三边长分别为：，，， ∵， ∴与不相似； 的三边长分别为：，，； ∴， ∴； 的三边长分别为：，，， ∴， ∴与不相似； 的三边长分别为：，，, ∴， ∴与不相似； 故答案为：． 8．在边长为1的小正方形网格中，的顶点、、均落在格点（小正方形的顶点）上，请只用无刻度的直尺按要求完成作图． (1)将绕点按逆时针方向旋转，得到，请在图1中作出．（点与点是对应点） (2)请在图2中画一个三角形，使得该三角形与相似（不全等）． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【知识点】利用三边对应成比例判定相似、画旋转图形 【分析】本题主要考查了旋转作图，相似三角形的判定，解题的关键是熟练掌握旋转的性质和相似三角形的判定定理． （1）根据旋转的性质，先作出点B、C的对应点、，然后再顺次连接即可； （2）根据相似三角形的判定求解即可． 【详解】（1）解：如图所示，为所求作的三角形； （2）解：如图所示， 题型四、利用两边对应成比例及其夹角相等判定相似 9．如图，根据图中给出的数据，一定能得到（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】利用两边对应成比例及其夹角相等判定相似 【分析】本题主要考查了相似三角形的判定，熟练掌握相似三角形的判定方法是解题关键． 根据题意，推得，再利用相似三角形的判定即可求解． 【详解】解：，，，， ，， ，， ， ， ． 故选：C． 10．（24-25九年级上·上海·期中）如图， 已知点D、E分别在的边和上， 如果 那么 得到． （填“能”或“不能”） 【答案】不能 【知识点】利用两边对应成比例及其夹角相等判定相似 【分析】本题考查相似三角形的判定定理，根据条件无法判断，据此即可得到结论． 【详解】解：∵，不能判断， ∴不能得到， 故答案为：不能． 11．如图，在与中，，，求证：． 【答案】见解析 【知识点】利用两边对应成比例及其夹角相等判定相似 【分析】本题主要考查了相似三角形的判定和性质，由可得出，再根据相似三角形的判定得出，由相似三角形的性质得出． 【详解】证明：， 则， ， ， ， ， ． 题型五、相似三角形的判定综合 12．（24-25九年级上·上海宝山·阶段练习）下列命题中，假命题是（   ） A．有两边及其中一条边上的高对应成比例的两个三角形相似 B．有两边及其中一边上的中线对应成比例的两个三角形相似 C．有一条直角边及斜边的中线对应成比例的两个三角形相似 D．有两边及其第三条边的中线对应成比例的两个三角形相似 【答案】A 【知识点】相似三角形的判定综合 【分析】本题考查命题，三角形相似的判定条件，熟练掌握以上知识点是解题的关键．根据三角形相似的判定条件逐一分析各选项． 【详解】解：A：两边及其中一边上的高对应成比例，无法保证夹角相等，不一定能构成相似，是假命题，故该选项符合题意； B：若两边及其中一边上的中线成比例，则第三边必成比例，满足相似条件，能构成相似，是真命题，故该选项不合题意； C：直角三角形斜边中线为斜边的一半，若直角边及斜边的中线成比例，则斜边必成比例，能构成相似，是真命题，故该选项不合题意； D：两边及第三边中线对应成比例，可推导第三边成比例，满足相似条件，能构成相似，是真命题，故该选项不合题意． 故选：A． 13．的边长分别为的边长分别，则与 （选填“一定”“不一定” “一定不”）相似 【答案】不一定 【知识点】相似三角形的判定综合 【分析】先求出两个三角形三边的比，再根据三边对应成比例判断两个三角形相似即可． 【详解】解：∵的边长分别为的边长分别， ∴两个三角形对应边的比分别为： ， 当a=b=c时，，这两个三角形相似， 当a≠b≠c时，，这两个三角形不相似， ∴与不一定相似， 故答案为：不一定． 【点睛】本题考查相似三角形的判定，熟练掌握相似三角形的判定方法是解答的关键． 14．已知：D、E是的边、上的点，，，，，求证：． 【答案】见详解 【知识点】相似三角形的判定综合 【分析】本题主要考查用两边对应成比例且夹角相等来证明两三角形相似．根据已知条件得出，且，即可证明． 【详解】证明：在和中， ∵， ∴ 又∵ ∴． 题型六、选择或补充条件使两个三角形相似 15．（24-25九年级上·上海金山·期中）中，点是边上一点，联结，下列条件中，不能判定与相似的是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】选择或补充条件使两个三角形相似 【分析】本题考查了相似三角形的判定，由图可知，是与的公共角，所以再添加一组角相等或者添加夹的两边成比例即可判断． 【详解】解：如图所示， A．， ， ， ， 故A不符合题意； B．， ， ， 不能判定与相似， 故B符合题意； C．， ， 故C不符合题意； D．，， ， 故D不符合题意； 故选：B． 16．（24-25九年级上·上海闵行·期中）已知、分别是的边上的点（不与端点重合），且与不平行，要使得与相似，那么添加一个条件可以为 （只填一个）． 【答案】（答案不唯一）． 【知识点】选择或补充条件使两个三角形相似 【分析】本题考查了相似三角形的判定．添加条件即可求得，即可解题． 【详解】解：∵，， ∴， 故添加条件即可求得． 故答案为：（答案不唯一）． 17．如图，在中，，点D在边上（点D不与A，C重合）．若再增加一个条件能使，则这个条件是______；结合你所添加的条件，证明． 【答案】（答案不唯一），见解析 【知识点】选择或补充条件使两个三角形相似 【分析】本题考查相似三角形的判定，熟知相似三角形的判定方法即可求解． 【详解】解：（答案不唯一） 证明：在和中， ∴．（有两角对应相等的两个三角形相似） 分层强化 一、单选题 1．如图，已知中，，于点D，则图中相似的三角形有（    ） A．0对 B．1对 C．2对 D．3对 【答案】D 【分析】找出对应角判定相似即可． 【详解】∵, ∴,,, ∵, ∴,, ∴,, ∴,,, ∴题图中相似的三角形有3对． 故选D． 【点睛】本题考查相似的判定,关键在于熟练掌握相似的判定条件． 2．下列条件，不能判定△ABC与△DEF相似的是（　　） A．∠C=∠F=，∠A=，∠D= B．∠C=∠F=，AB=10，BC=6，DE=15，EF=9 C．∠C=∠F=， D．∠B=∠E=， 【答案】D 【详解】试题解析：A．相似：∵∠A=∴∠B=-=∵∠D=∴∠B=∠D∵∠C=∠F∴△ABC∽△DEF； B．相似：∵AB=10，BC=6，DE=15，EF=9，则，，∴，又∵∠C=∠F∴△ABC∽△DEF； C．相似：∵∠C=∠F=，∴△ABC∽△DEF； D．不相似：∵∠B=∠E=，，有一组角相等两边对应成比例，但该组角不是这两边的夹角，故不相似． 故选D． 3．有一个锐角相等的两个直角三角形的关系是（   ） A．全等 B．相似 C．既不全等与也不相似 D．无法确定 【答案】B 【分析】根据“两角对应相等，两三角形相似”即可判定. 【详解】两角均为直角三角形，又因另一个锐角也对应相等，故依据“两角对应相等，两三角形相似”，判定这两个直角三角形相似. 故选择B. 【点睛】本题考查了相似三角形的判定方法. 4．已知的一边，另两边长分别是3，4，若是边上异于，的一点，过点作直线截，截得的三角形与原相似，满足这样条件的直线有（    ）条 A．4 B．3 C．2 D．1 【答案】B 【分析】由，另两边长分别是3，4，可知△ABC是直角三角形，过点P作直线与另一边相交，使所得的三角形与原三角形有一个公共角，只要再作一个直角就可以． 【详解】解：如图， ∵，另两边长分别是3，4， 又∵， ∴，即△ABC是直角三角形， ∵过P点作直线截△ABC，则截得的三角形与△ABC有一公共角， ∴只要再作一个直角即可使截得的三角形与Rt△ABC相似， ∴过点P可作AB的垂线、AC的垂线、BC的垂线，共3条直线． 故选：B． 【点睛】本题主要考查勾股定理的逆定理、三角形相似判定定理及其运用，解题时运用了两角法（有两组角对应相等的两个三角形相似）来判定两个三角形相似． 5．如图，已知△ABC与△BDE都是等边三角形，点D在边AC上（不与A、C重合），DE与AB相交于点F，则图中相似三角形有(   ) A．2对 B．3对 C．4对 D．5对 【答案】D 【分析】根据相似三角形的判定定理，两个等边三角形的3个角分别相等，可推出△ABC∽△EDB，根据对应角相等推出△BDC∽△EFB∽△AFD．△BDF∽△BAD 【详解】∵△ABC与△BDE都是等边三角形， ∴∠A=∠C=∠BDE=∠EBD=∠E=∠ABC=60°， ∴△ABC∽△EBD， ∵∠ADF+∠BDE=∠C+∠DBC， ∴∠ADF=∠DBC， ∴△BCD∽△DAF， ∵∠A=∠E，∠BFE=∠DFA，∴△BEF∽△DAF，∴△BCD∽△BEF， ∵∠A=∠BDF=60°，∠ABD=∠DBF，∴△BDF∽△BAD， 共5对相似三角形， 故选D. 【点睛】本题主要考查相似三角形的判定定理及有关性质的运用，关键在于根据图中两个等边三角形，找出相关的相等关系，然后结合已知条件，证明结论． 6．如图，点D在的边上，添加一个条件，使得．以下是天翼和往琛的做法．下列说法不正确的是（    ）    天冀的做法：添加条件． 证明：∵，． ∴（两组角对应相等的两个三角形相似） 往琛的做法：添加条件． 证明：∵,． ∴（两组对应边成比例及一组对应角相等的两个三角形相似） A．天翼的做法证明过程没有问题 B．往琛的做法证明过程没有问题 C．天翼的做法添加的条件没有问题 D．往琛的做法添加的条件有问题 【答案】B 【分析】根据题意已知，故添加两组对应边成比例夹角为或者添加一组对应角相等，即可求解．本题考查了相似三角形的判定，正确记忆相关知识点是解题关键． 【详解】解：依题意，，添加一组对应角相等，可以使得，故天翼的做法以及过程没有问题，往琛的做法添加的条件有问题，应为，证明过程中用到两组对应边成比例夹角相等，故B选项符合题意， 故选：B． 二、填空题 7．如图，在中，点D，E分别在，边上，，若，则 ．    【答案】 【分析】本题考查了相似三角形的判定与性质，熟练掌握相似三角形的判定与性质是解答本题的关键．因为，所以，由，得到，利用相似三角形的性质，即得答案． 【详解】， ， ， ， ． 8．如图，在中，，分别交、于点、，、交于点，则相似三角形有 ． 【答案】∽，∽ 【分析】根据，找出相等的角，进而得到相似三角形. 【详解】解：∵， ∴∠ADE＝∠ABC，∠AED＝∠ACB， ∴∽， ∵， ∴∠EDO＝∠BCO，∠DEO＝∠CBO， ∴∽， 故答案为∽，∽. 【点睛】本题考查了平行线的性质以及相似三角形的判定，解题的关键是掌握：一个三角形的两个角与另一个三角形的两个角对应相等，这两个三角形相似. 9．如图，和中，，添加一个适当的条件 ，使．    【答案】（答案不唯一） 【分析】由，可得，故添加即可使得． 【详解】解∶添加 理由：∵， ∴，即， 又， ∴． 故答案为：（答案不唯一） 【点睛】本题考查了相似三角形的判定，掌握相似三角形的判定方法是解答本题的关键． 10．若在△ABC内有一点D，使得∠ADB=∠ADC，AD=a，CD=b，则当BD= 时，△ABD与△ACD相似． 【答案】b或 【分析】分两种情况分别求解即可． 【详解】解：如图，∵∠ADB=∠ADC， ∴当∠BAD=∠DAC时，∵AD=AD， ∴△ADB≌△ADC（ASA），∴BD=CD=b， 当∠BAD=∠ACD时， ∴△ADB∽△CDA，∴，∴， 故答案为b或． 【点睛】本题考查相似三角形的判定和性质，解题的关键是学会用分类讨论的思想思考问题，属于中考常考题型． 11．如图，在中，，过边上一点D作直线交边于点E，使所得的三角形与原三角形相似，这样的直线可以作 条．    【答案】2 【分析】本题可分2种情况：①作，则，因此符合所求直线的要求；②依据预备定理，过D作，那么符合所求直线的要求． 【详解】解：如图；    ①作； ∵，， ∴； ②作． ∵， ∵， ∴ 因此共有2种作法， 故答案为：2． 【点睛】此题考查了相似三角形的判定．①有两个对应角相等的三角形相似；②有两个对应边的比相等，且其夹角相等，则两个三角形相似；③三组对应边的比相等，则两个三角形相似． 12．如图直角梯形中，，，，，，，则 ．（用、的代数式表示） 【答案】 【分析】由题目条件易得∠D=∠ACB=90°，∠ACD=∠BAC，可判定△ACD∽△BAC，然后由对应边成比例可求出AB. 【详解】∵DC∥AB ∴∠ACD=∠BAC ∵DA⊥DC，AC⊥BC ∴∠D=∠ACB=90° ∴△ACD∽△BAC ∴ ∴ 在Rt△ACD中， ∴ 故答案为. 【点睛】本题考查相似三角形的判定和性质，熟练掌握判定定理，找出对应角相等是解决本题的关键. 13．如图，，，在、、、、、中写出一对相似三角形 ． 【答案】 【分析】设AP，求得AB=，由相似三角形的判定定理可求解． 【详解】解：设AP， ∵∠APD=90°，AP=PB=BC=CD， ∴AP=PB=BC=CD， ∴AB=， ∴，， ∴， 又∵∠ABC=∠DBA， ∴△ABC∽△DBA， 故答案为：△ABC∽△DBA． 【点睛】本题考查了相似三角形的判定，勾股定理等知识，掌握相似三角形的判定定理是本题的关键． 14．已知：△ABC中，点E是AB边的中点，点F在AC边上，若以A，E， F为顶点的三角形与△ABC相似，则需要增加的一个条件是 ．（写出一个即可） 【答案】AF=AC或∠AFE=∠ABC． 【详解】 分两种情况： 即 要使以A、E、F为顶点的三角形与相似，则或． 故答案为：或． 15．如图，P为线段AB上一点，AD与BC交于点E，∠CPD＝∠A＝∠B，BC交PD于点F，AD交PC于点G，则图中相似三角形有 对． 【答案】3 【分析】先根据条件证明△PCF∽△BCP，利用相似三角形的性质：对应角相等，再证明△APD∽△PGD，进而证明△APG∽△BFP再证明时注意图形中隐含的相等的角． 【详解】解：∵∠CPD＝∠B，∠C＝∠C， ∴△PCF∽△BCP． ∵∠CPD＝∠A，∠D＝∠D， ∴△APD∽△PGD． ∵∠CPD＝∠A＝∠B，∠APG＝∠B+∠C，∠BFP＝∠CPD+∠C ∴∠APG＝∠BFP， ∴△APG∽△BFP． 则图中相似三角形有3对， 故答案为：3． 【点睛】本题考查相似三角形的判定．识别两三角形相似，除了要掌握定义外，还要注意正确找出两三角形的对应边、对应角． 16．如图，是中边上一点，连接，有如下条件：①，②，③，④，其中能判定的条件是 （填序号）． 【答案】①②③ 【分析】由图可得△APC和△ACB已经有一个公共角∠A，再根据相似三角形的判定方法依次分析各小题即可判断. 【详解】由图可知，∠A为△ACP和△ABC的公共角， ①∠ACP=∠B，符合两角对应相等，两三角形相似，故①正确； ②∠APC=∠ACB，符合两角对应相等，两三角形相似，故②正确； ③由AC2=AP•AB可得，符合两边对应成比例，夹角相等，两三角形相似，故③正确； ④，∠A与∠BCP不一定相等，不能判定两三角形相似，故④错误， 所以能判定△ACP∽△ABC的条件是①②③， 故答案为①②③. 【点睛】本题考查了相似三角形的判定，解答本题的关键是熟练掌握有两组角对应相等的两个三角形相似；两组边对应成比例且夹角相等的三角形相似. 三、解答题 17．如图，已知，点E、F在线段BD上，，，求证： 【答案】见解析 【分析】由，可得，又由，，由此即可判定； 【详解】证明：∵ ∴ 又∵， ∴ ∴． 【点睛】此题考查了相似三角形的判定与性质．注意掌握有两边对应成比例且夹角相等三角形相似是关键． 18．如图，在正方形ABCD中，点E是AD的中点，点F在CD上，且，连接EF、BE．求证：∽ 【答案】见解析 【分析】根据两边对应成比例且夹角相等进行证明即可． 【详解】证明：设， 在正方形ABCD中， ， ，， ， ∽． 【点睛】本题考查相似三角形的判定定理，要熟练掌握，根据已知条件灵活运用． 19．如图，在中，点D是边上的一点，连接，请添加一个条件，使，并说明理由． 【答案】添加（答案不唯一），理由见解析 【分析】本题考查了相似三角形的判定，掌握相似三角形的判定方法是解题的关键．利用相似三角形的判定可求解． 【详解】解：添加（答案不唯一）， 理由如下： 又∵，， ∴． 20．如图，在中，． (1)在图中作出的平分线，交于点D．（要求：尺规作图，保留作图痕迹，不写作法） (2)在（1）的条件下，求证：． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【分析】本题考查了角的平分线尺规作图，三角形相似的判定． （1）根据角平分线的尺规作图的基本要求画图即可． （2）根据三角形相似的判定解答即可． 【详解】（1）根据基本步骤作图如下： 则即为所求． （2）∵ 的平分线， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴． 21．如图，已知正方形ABCD，点E是BC上一点，点F是CD延长线上一点，连接EF，若BE＝DF，点P是EF的中点． (1)在边AB上找一点M，使得BM＝BE，求证：△BEM与△PFA相似； (2)若∠AEB＝75°，AB＝2，求△DFP的面积． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】（1）由四边形ABCD是正方形得AB＝AD，ADBC，∠B＝∠C＝90°，则∠ADF＝∠C，即可证明△ABE≌△ADF，得AE＝AF，∠BAE＝∠DAF，可推导出∠EAF＝90°，因为点P是EF的中点，所以∠APF＝90°，PA＝PF＝PE＝EF，而BM＝BE，则，即可证明△BEM∽△PFA； （2）作PG⊥CD于点G，由∠AFE＝∠AEF＝45°，∠AFD＝∠AEB＝75°得∠CFE＝30°，则CF＝CE，设BE＝DF＝m，则CE＝2﹣m，CF＝2+m，于是有，得DF＝m＝，再求出PG的长，即可求出△DFP的面积． 【详解】（1）证明：如图1，∵四边形ABCD是正方形， ∴AB＝AD，ADBC，∠B＝∠C＝90°， ∴∠ADF＝∠C＝90°， ∴∠B＝∠ADF， ∵BE＝DF， ∴△ABE≌△ADF（SAS）， ∴AE＝AF，∠BAE＝∠DAF， ∴∠EAF＝∠EAD+∠DAF＝∠EAD+∠BAE＝∠BAD＝90°， ∵点P是EF的中点， ∴， ∴∠APF＝90°， ∴∠B＝∠APF，   ∵BM＝BE， ∴， ∴△BEM∽△PFA． （2）解：如图2，作PG⊥CD于点G，则∠PGF＝90°， ∵PE＝PF，∠EAF＝90°， ∴∠AFE＝∠AEF＝45°， ∵∠AFD＝∠AEB＝75°， ∴∠CFE＝30°， ∴FE＝2CE， ∴， 设，则， ∴，   解得， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴△DFP的面积是． 【点睛】此题重点考查正方形的性质、等腰直角三角形的性质、全等三角形的判定与性质、直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半、直角三角形中30°角所对的直角边等于斜边的一半、相似三角形的判定、勾股定理等知识，正确地作出所需要的辅助线是解题的关键． 22．如图，在正方形ABCD中，E是CD上的一点，F是BC的延长线上的一点，且CE=CF，BE的延长线交DF于点G，求证：△BGF∽△DCF． 【答案】见解析． 【分析】先根据正方形的性质得出DC=BC，∠DCB =∠DCF =90°，由CE=CF可得出△DCF≌△ECB，故∠CDF=∠CBE，再根据∠F为公共角即可得出结论． 【详解】∵正方形ABCD ∴∠DCB=∠DCF=90，DC=BC ∵CE=CF ∴△DCF≌△ECB ∴∠CDF =∠CBE ∵∠CDF＋∠F=90 ∴∠CBE＋∠F=90 ∴∠BGF=90=∠DCF ∴△BGF∽△DCF 【点睛】本题考查的是相似三角形的判定，熟知有两组角对应相等的两个三角形相似是解答此题的关键． 23．如图，已知在正方形ABCD中，Q为DC的中点，.求证：. 【答案】证明见解析 【分析】根据正方形的性质得，.再根据已知，证，又，可得. 【详解】∵四边形ABCD是正方形，∴，. ∵Q为DC的中点. ∴. ∵.∴，∴.∴. 又∵，∴. 【点睛】考核知识点：相似三角形的判定.根据正方形性质得到角和边的关系，找出“两边成比例且夹角相等”的关系是关键. 24．如图，AD．BC相交于点E，且AE=54cm，ED=36cm，CE=30cm，BE＝45cm，∠B=78o. (1)△AEB与△DEC相似吗？ (2)求∠C的度数. 【答案】（1）相似，理由见解析；（2）78°. 【分析】（1）利用两边及其夹角法，可判断△AEB与△DEC相似； （2）根据相似三角形的性质可得∠C的度数． 【详解】(1)∵ ，∠AEB=∠DEC， ∴△AEB∽△DEC. (2)∵△AEB∽△DEC， ∴∠C=∠B=78°. 【点睛】此题考查相似三角形的判定，解题关键在于掌握判定定理. 25．如图，在中，，平分，作交于点E，垂足为F．作，垂足为G．    (1)求证：． (2)求证：． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【分析】本题考查相似三角形的性质和判定．熟知相似三角形的判定定理和性质是正确解题的关键． （1）由已知条件先证∽，再得出对应成比例的线段即可； （2）先证≌，得出，再证∽，得出成比例的线段即可． 【详解】（1）证明：∵，， ∴． 又∵， ∴∽， ∴，即． （2）证明：∵平分， ∴． 又∵，， ∴≌， ∴． ∵， ∴． 又∵， ∴， ∴． ∵， ∴， ∴∽， ∴，即， ∴． 学科网（北京）股份有限公司 $$