专题02 数列（讲义）-2026版广东省“3+证书”考试二轮复习《数学考纲专题练》

编写说明：2026版广东省“3+证书”考试二轮复习《数学考纲专题练》依据《中等职业学校数学课程标准》及广东省历年真题编写。本资料紧扣历年考试趋势和最新考试动态，聚焦高频考点，精讲精练，助力考生高效复习。同时，为构建完整学习体系，每个专题均配套对应讲义和AB卷习题，满足多样化学习需求。 本专题是2026版广东省“3+证书”考试二轮复习《数学考纲专题练》大题专项的第2个专题，内容为数列。 2026版广东省“3+证书”考试 二轮复习《数学考纲专题练》大题专项 专题02 数列 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！1 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 一、课标解读 (1)数列的概念：了解数列及有关概念;理解数列的通项公式。 (2)等差数列：了解等差数列的概念;了解等差数列前n项和公式的推导过程;掌握等差数列的通项公式及前n项和公式。 (3)等比数列：了解等比数列的概念;了解等比数列前"项和公式的推导过程:掌握等比数列的通项公式及前m项和公式， (4)数列的应用：初步掌握从实际情境中抽象出等差数列和等比数列模型解决简单实际问题的方法。 二、考情聚焦 年份 题型 题号 考查内容 分值 考情总结 2025 解答题 22 等差数列通项余求和、裂项相消 12 广东省“3+证书”考试真题中，数列的考查呈现以下特点： 数列解答题每年都有涉及，主要等差、等比数列的求项与求和，数列下标的性质，分值12分。 2024 解答题 21 等比数列下标和性质与求和 12 2023 解答题 21 等差数列通项与求和 12 三、考点预测 预估2026年广东省“3+证书”考试有1道填空题与解答题考查数列，共12分。 具体考点： · 等差数列 · 等比数列 四、知识梳理 （一）数列的概念 1．数列的定义 按照确定的顺序排列的一列数称为数列，数列中的每一个数叫做这个数列的项． 2．数列的表示方法 列表法 列出表格表示n与an的对应关系 图象法 把点(n，an)画在平面直角坐标系中 解析式法 通项公式 数列{an}的第n项an与它的序号n之间的对应关系可以用一个式子来表示，那么这个式子叫做这个数列的通项公式 递推公式 如果一个数列的相邻两项或多项之间的关系可以用一个式子来表示，那么这个式子叫做这个数列的递推公式 3.数列的分类 分类标准 名称 含义 按项的个数 有穷数列 项数有限的数列 无穷数列 项数无限的数列 4.数列的前n项和 (1)表示：在数列{an}中，Sn＝a1＋a2＋…＋an叫做数列的前n项和． (2)an与Sn的关系：若数列{an}的前n项和为Sn，则an＝ （二）等差数列 1.等差数列的概念 (1)定义：对于一个数列，如果从第2项起，每一项与它的前一项的差都是同一个常数，那么称这样的数列为等差数列.数学语言表达式：an＋1－an＝d(n∈N+，d为常数). (2)等差中项：如果在a与b之间插入一个数A，使a，A，b成等差数列，那么A叫作a与b的等差中项.根据等差数列的定义可以知道，2A＝a＋b. 2.等差数列的通项公式与前n项和公式 (1)若等差数列{an}的首项是a1，公差是d，则其通项公式为an＝a1＋(n－1)d. (2)前n项和公式：Sn＝na1 ＋ ＝. 3.等差数列的性质 (1)通项公式的推广：an＝am＋(n－m)d(n，m∈N+). (2)若{an}为等差数列，且k＋l＝m＋n(k，l，m，n∈N+)，则ak＋al＝am＋an. （三）等比数列 1.等比数列的概念 (1)定义：如果一个数列从2项起，每一项与它的前一项的比值都是同一个常数，那么称这样的数列为等比数列，称这个常数为等比数列的公比，通常用字母q表示(q≠0).数学语言表达式：＝q(n≥2，q为非零常数). (2)等比中项：如果在a与b之间插入一个数G，使得a，G，b成等比数列，那么根据等比数列的定义，＝，G2＝ab，G＝±，我们称G为a，b的等比中项. 2.等比数列的通项公式及前n项和公式 (1)若等比数列{an}的首项为a1，公比是q，则其通项公式为an＝a1qn－1； 通项公式的推广：an＝amqn－m. (2)等比数列的前n项和公式：当q＝1时，Sn＝na1；当q≠1时，Sn＝＝. 3.等比数列的性质 已知{an}是等比数列，Sn是数列{an}的前n项和. 若k＋l＝m＋n(k，l，m，n∈N+)，则有ak·al＝am·an. 五、10分钟小测验 1.已知等差数列的前项和为，公差，且，成等比数列. (1)求公差的值； (2)求. 2.已知等差数列的前项和为，等比数列的前项和为， (1)若，求数列的通项公式； (2)若，求 答案解析 1【答案】(1) (2) 【详解】（1）成等比数列，， 由得：，解得：， 公差. （2）由（1）得：. 2【答案】(1)， (2)或 【分析】（1）利用已知条件，结合等差数列和等比数列的通项即可得出公差和公比，即可求得结果. （2）利用已知求出，再利用等差数列的前项和公式求解即可. 【详解】（1）设的公差为，的公比为， 由，得， 又，得， 与联立，解得（舍去）或， 因此数列的通项公式为. （2）由，得，解得或， 当时，由得，则， 当时，由得，则， 综上，或. 六、经典例题解析 （一）等差数列的综合题 1.已知数列是首项为23，公差为-4的等差数列. (1)求的通项公式； (2)设的前n项和为，求的最大值. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）利用等差数列的通项公式求解； （2）求得数列的所有正数项，它们的和为的最大值. 【详解】（1）因为数列是首项为23，公差为-4的等差数列， 所以数列的通项公式为； （2）令，可得，所以数列的前6项为正， 所以数列的前6项和为的最大值，最大值=. 2.已知数列为等差数列，且，. （1）求数列的通项公式； （2）求数列的前项和的最大值. 【答案】（1）；（2）36. 【详解】解：因为为等差数列，令其公差为， 则由题意得， 得， 故 ， 即的通项公式为. （2）由（1）知，， 故 ， 所以当，的最大值为. （二）等比数列的综合题 1.在数列中，，． (1)求数列的通项公式； (2)若，求数列的前n项和． 【答案】(1)(2) 【详解】（1）因为， 所以数列是以为首项，3为公比的等比数列， 所以，所以； （2）因为， 所以. 2.等比数列的各项均为正数，且，. （1）求数列的通项公式； （2）求数列的前项和. 【答案】（1）；（2）. 【详解】解：（1）设数列的公比为， 则，由 得：，所以. 由，得到 所以数列的通项公式为. （2）由条件知， 又 将以上两式相减得 所以. （三）等差数列与等比数列的综合题 1.已知数列是公差为2的等差数列，它的前n项和为Sn，且成等比数列. （1）求的通项公式； （2）求数列的前n项和. 【答案】（1），（2） 【详解】（1）因为数列是公差为2的等差数列，且成等比数列， 所以即，解得， 所以； （2）由（1）得， 所以. 2.已知等差数列的前项和为，公差，且，成等比数列. (1)求公差的值； (2)求. 【答案】(1)(2) 【详解】（1）成等比数列，， 由得：，解得：， 公差. （2）由（1）得：. 七、专题归纳小结 （一）、专题核心内容总结 基础理论：了解数列的概念。理解等差数列和等比数列的定义；理解等差中项公式、等差数列的通项公式与前n 项和的公式；理解等比中项公式、等比数列的通项公式与前n项和的公式；会解简单的数列应用题。 （2） 、解题策略与技巧 1、解决数列问题时，首先要判断数列的类型，比如是等差数列还是等比数列。可通过观察数列中相邻项的关系（如差是否恒定、商是否恒定）来识别，明确类型后再调用相应的性质解题。 2、求数列的通项时，若已知数列的前几项，可先观察项与项数之间的规律，尝试归纳出通项；若给出递推关系，可通过变形（如凑配成熟悉的等差或等比数列形式）将其转化为可直接求解的类型，逐步推导。 3、数列求和时，需根据数列的特点选择合适的方法。比如，若数列是由几个简单数列组合而成，可分开求和。 （3） 、易错点总结 1、识别数列类型时，容易忽略特殊情况，比如误将 “从第二项起才满足等差 / 等比关系” 的数列当成完整的等差 / 等比数列，导致后续性质应用错误。 2、求通项或求和时，常因忽略项数而出错。比如，计算前 n 项和时，误把项数算少或算多，尤其是数列的首项或末项特殊时，更容易出现项数判断失误。 3、等比数列中，容易忽略公比的取值限制（如公比不能为 0），或在涉及负数项时，因符号变化规律混乱而计算错误。 （四）、复习建议 1、专项练习：针对等差数列、等比数列及递推数列的常见题型（如求通项、求和、判断单调性等）进行分类练习，熟悉每种题型的解题思路，形成 “类型 — 方法” 的对应记忆。 2、归纳梳理：整理不同数列的核心特征（如等差数列的差恒定、等比数列的商恒定）、常见递推关系的转化方法（如凑配法、累加法等），以及求和时的拆解技巧，形成清晰的解题框架。 3、真题演练：聚焦考试中数列的高频考点，通过真题练习熟悉命题规律，重点关注递推数列转化、求和方法应用等易错点。做题时刻意检查项数、首项验证、符号判断等细节，错题及时复盘，避免重复犯错，提升解题准确性。 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！7 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$