专题07 函数的单调性（讲义） -新疆2026年“三校生升高职”考试一轮复习《数学知识点清单》（解析版+原卷版）

编写说明：新疆2026年“三校生升高职”考试一轮复习《数学知识点清单》，依据《新疆“三校生升高职”考试数学科目考试大纲》及新疆历年“三校生升高职”考试真题进行编写。本资料将高考必备知识进行科学划分，系统总结归纳知识点，全面梳理高考题型。整套资料共包含10个模块共38个专题，每个专题均配备配套讲义、课件及练习题。 本专题是新疆2026年“三校生升高职”考试一轮复习《数学知识点清单》的第7个专题：函数的单调性。本专题涵盖函数的单调性、函数的最值、函数值域等知识点，每个知识点后均配有真题及模拟题，供学生进行知识检测。 新疆2026年“三校生升高职”考试 一轮复习 《数学知识点清单》 专题07 函数的单调性（讲义） 知识点1 函数的单调性 1．增函数与减函数的定义 一般地，设函数f(x)的定义域为I，区间D⊆I： ①如果∀x1，x2∈D，当x1<x2时，都有f(x1)<f(x2)，那么就称函数f(x)在区间D上单调递增，特别地，当函数f(x)在它的定义域上单调递增时，我们称它是增函数。 ②如果∀x1，x2∈D，当x1<x2时，都有f(x1)>f(x2)，那么就称函数f(x)在区间D上单调递减，特别地，当函数f(x)在它的定义域上单调递减时，我们称它是减函数． 2．函数的单调区间 若函数y＝f(x)在区间D上是增函数或减函数，则称函数y＝f(x)在这一区间上具有(严格的)单调性，区间D叫做y＝f(x)的单调区间． 3．证明函数单调性的步骤 第一步：取值．设是定义域内一个区间上的任意两个自变量，且； 第二步：变形．作差变形（变形方法：因式分解、配方、有理化等）或作商变形； 第三步：定号．判断差的正负或商与1的大小关系； 第四步：得出结论． 4．常见函数的单调性 函数 单调性 一次函数（） 当时，在上单调递增 当时，在上单调递减 反比例函数（） 当时，在和上单调递减 当时，在和上单调递增 二次函数（） 对称轴为 当时，在上单调递减； 在上单调递增 当时，在上单调递增； 在上单调递减 1．（22-23高三下·新疆·职教高考）已知函数在区间上为减函数，则一定有（   ） A． B． C． D．无法确定 2．（21-22高三·新疆·对口/高职单招）下列函数中，既是偶函数又在区间上单调递减的是（    ） A． B． C． D． 3．（18-19高三·新疆·职教高考）已知函数为偶函数，且，若，则等于（    ） A．1 B． C． D．2 4．（23-24高三下·新疆·对口/高职单招）设函数 (1)判断的奇偶性，并说明理由； (2)判断的单调性. 5．（21-22高三·新疆·对口/高职单招）已知函数，其中m为常数. (1)求证：当时，函数在R上是减函数； (2)当函数是奇函数时，求实数m的值. 1．已知函数在上是增函数，则（   ） A． B． C． D． 2．设，都是函数的单调区间，且，，，则与的大小关系是（   ） A． B． C． D．无法确定 3．若函数在上为减函数，则一定有（     ） A． B． C． D．不确定 4．下列函数中，在区间上是增函数的是（    ） A． B． C． D． 5．若函数在区间上的最大值是4，则实数的值为（    ） A． B．1 C．3 D．1或3 6．定义在区间上的函数的图象如图所示，则的单调递减区间为（    ） A． B． C． D． 7．已知函数是定义在R上的增函数，且，则a的取值范围是（    ） A． B． C． D． 8．如图是函数的图象，则此函数的单调递减区间的个数是（ ） A．1 B．2 C．3 D．4 9．若函数在上不单调，则m的取值范围为（ ） A． B． C． D． 10．若函数在上单调递增，且，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 11．已知函数的值域为，则它的定义域为 ． 12．如图是定义在区间的函数，则的增区间是 ． 13．若函数在R上为增函数，且，则x的取值范围是 ． 14．已知函数，若，比较： （填“=、>、<、、”） 15．若函数是定义在R上的增函数，则与的关系是 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！34 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$ 编写说明：新疆2026年“三校生升高职”考试一轮复习《数学知识点清单》，依据《新疆“三校生升高职”考试数学科目考试大纲》及新疆历年“三校生升高职”考试真题进行编写。本资料将高考必备知识进行科学划分，系统总结归纳知识点，全面梳理高考题型。整套资料共包含10个模块共38个专题，每个专题均配备配套讲义、课件及练习题。 本专题是新疆2026年“三校生升高职”考试一轮复习《数学知识点清单》的第7个专题：函数的单调性。本专题涵盖函数的单调性、函数的最值、函数值域等知识点，每个知识点后均配有真题及模拟题，供学生进行知识检测。 新疆2026年“三校生升高职”考试 一轮复习 《数学知识点清单》 专题07 函数的单调性（讲义） 知识点1 函数的单调性 1．增函数与减函数的定义 一般地，设函数f(x)的定义域为I，区间D⊆I： ①如果∀x1，x2∈D，当x1<x2时，都有f(x1)<f(x2)，那么就称函数f(x)在区间D上单调递增，特别地，当函数f(x)在它的定义域上单调递增时，我们称它是增函数。 ②如果∀x1，x2∈D，当x1<x2时，都有f(x1)>f(x2)，那么就称函数f(x)在区间D上单调递减，特别地，当函数f(x)在它的定义域上单调递减时，我们称它是减函数． 2．函数的单调区间 若函数y＝f(x)在区间D上是增函数或减函数，则称函数y＝f(x)在这一区间上具有(严格的)单调性，区间D叫做y＝f(x)的单调区间． 3．证明函数单调性的步骤 第一步：取值．设是定义域内一个区间上的任意两个自变量，且； 第二步：变形．作差变形（变形方法：因式分解、配方、有理化等）或作商变形； 第三步：定号．判断差的正负或商与1的大小关系； 第四步：得出结论． 4．常见函数的单调性 函数 单调性 一次函数（） 当时，在上单调递增 当时，在上单调递减 反比例函数（） 当时，在和上单调递减 当时，在和上单调递增 二次函数（） 对称轴为 当时，在上单调递减； 在上单调递增 当时，在上单调递增； 在上单调递减 1．（22-23高三下·新疆·职教高考）已知函数在区间上为减函数，则一定有（   ） A． B． C． D．无法确定 【答案】A 【分析】根据函数的单调性可得结果. 【详解】因为函数在区间上为减函数，且， 所以. 故选：A 2．（21-22高三·新疆·对口/高职单招）下列函数中，既是偶函数又在区间上单调递减的是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】利用函数的单调性和奇偶性的定义，逐一判断各个选项中的函数是否满足条件，从而得出结论. 【详解】对于A，函数是偶函数，且在区间上单调递减，故A满足题意； 对于B，函数是偶函数，且在区间上单调递增，故排除B； 对于C，函数是奇函数，故排除C； 对于D，函数它是非奇非偶函数，故排除D； 故选：A. 3．（18-19高三·新疆·职教高考）已知函数为偶函数，且，若，则等于（    ） A．1 B． C． D．2 【答案】C 【分析】根据偶函数的概念和已知条件即可求解. 【详解】因为函数为偶函数， 所以， 又因为， 则. 故选：C. 4．（23-24高三下·新疆·对口/高职单招）设函数 (1)判断的奇偶性，并说明理由； (2)判断的单调性. 【答案】(1)偶函数，理由见解析. (2)函数在上单调递增，在上单调递减. 【分析】（1）利用函数的奇偶性的定义，即可判断. （2）结合对称性，利用函数单调性的定义，即可判断. 【详解】（1）由题意知函数， 所以要使函数有意义，则， 所以函数的定义域为， 所以定义域关于原点对称， 又， 所以函数为偶函数. （2）由（1）知函数为偶函数， 当时，令， 则， 因为，所以， 所以，即， 所以函数在上单调递增， 又因为函数为偶函数， 所以根据对称性可知函数在上单调递减， 综上函数在上单调递增，在上单调递减. 5．（21-22高三·新疆·对口/高职单招）已知函数，其中m为常数. (1)求证：当时，函数在R上是减函数； (2)当函数是奇函数时，求实数m的值. 【答案】(1)证明见解析 (2) 【分析】（1）将参数代入函数，得到函数解析式，再根据函数单调性的定义求解. （2）根据奇函数的定义求解. 【详解】（1）函数，当时，. 设，且， 故. 故. 所以函数在R上是减函数. （2）因为是奇函数， 故. 即，得到，即. 故，函数是奇函数. 1．已知函数在上是增函数，则（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据一次函数的单调性即可求解. 【详解】∵已知函数在上是增函数， ∴，解得. 故选：A. 2．设，都是函数的单调区间，且，，，则与的大小关系是（   ） A． B． C． D．无法确定 【答案】D 【分析】根据函数的单调性的概念可判断 【详解】函数单调性是指某个单调区间上的增减性，不同单调区间函数值无法比较； 因为，，属于不同的区间， 因此不能确定与的大小关系； 故选：D. 3．若函数在上为减函数，则一定有（     ） A． B． C． D．不确定 【答案】C 【分析】根据函数的单调性即可求解. 【详解】因为函数在上为减函数，又， 则. 故选：C. 4．下列函数中，在区间上是增函数的是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据函数的图象，可得函数在区间上的单调性，即可求解． 【详解】各个函数图象分别如下： 由图象可知，在区间上单调递增，是增函数； 而、以及在区间(0,1)上都是单调递减的，不满足题意. 故选：A． 5．若函数在区间上的最大值是4，则实数的值为（    ） A． B．1 C．3 D．1或3 【答案】B 【分析】根据一次函数单调性即可解得. 【详解】当时，在区间上为增函数， 则当时，取得最大值， 即，解得； 当时，在区间上为减函数， 则当时，取得最大值， 即，解得（舍去）， 所以， 故选：B 6．定义在区间上的函数的图象如图所示，则的单调递减区间为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据图像判断函数单调区间即可解得. 【详解】由题图知：在上的单调递减，在上的单调递增， 所以的单调递减区间为， 故选：B． 7．已知函数是定义在R上的增函数，且，则a的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】利用函数是定义在上的增函数，且，转化为具体不等式，即可求实数a的取值范围． 【详解】∵是定义在上的增函数，且， ∴，解得， 则a的取值范围为. 故选：A． 8．如图是函数的图象，则此函数的单调递减区间的个数是（ ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】B 【分析】由图像判断函数单调性即可得解. 【详解】由图像可知，图像有两段呈下降趋势， 由图象可知函数的单调递减区间有2个. 故选：. 9．若函数在上不单调，则m的取值范围为（ ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据函数的单调性得到关于m的不等式，解出即可． 【详解】因为的对称轴为， 若在上不单调， 所以， 解得：. 故选：B. 10．若函数在上单调递增，且，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据函数单调性解不等式即可解得. 【详解】在上单调递增，， ，解得：， 实数的取值范围为， 故选：C． 11．已知函数的值域为，则它的定义域为 ． 【答案】 【分析】求函数的定义域就是求出自变量的取值范围，由题意知函数在定义域上单调递减，由函数的值域即可得到函数的定义域． 【详解】函数为减函数，且函数的值域为， 则，解得， 所以函数的定义域为． 故答案为：. 12．如图是定义在区间的函数，则的增区间是 ． 【答案】和 【分析】根据的图象即可写出它的增区间． 【详解】由图可知：在，上都单调递增，在上单调递减. 故答案为：和． 13．若函数在R上为增函数，且，则x的取值范围是 ． 【答案】 【分析】根据函数的单调性求解不等式即可. 【详解】因为函数是R的增函数，且， 所以，解得， 所以x的取值范围为：， 故答案为：． 14．已知函数，若，比较： （填“=、>、<、、”） 【答案】 【分析】根据函数解析式，将，代入进行比较即可，或者利用函数的单调性进行分析. 【详解】法一：因为， 所以， 因为，所以， 所以，即. 法二：因为， 所以在上单调递减， 又因为，所以. 故答案为：. 15．若函数是定义在R上的增函数，则与的关系是 【答案】 【分析】由函数的单调性将比较函数值的大小转化为比较自变量的大小，从而得出结论. 【详解】因为， 又函数是定义在R上的增函数， 所以， 故答案为：． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！34 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$