精品解析：江苏省南通市海安市紫石中学2024-2025学年上学期12月份学情调研八年级数学 试卷

2024-2025学年度第一学期学情调研（202412） 八年级数学 一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分） 1. 下列古代的吉祥图案中，不是轴对称图形的是（　　） A. B. C. D. 2. 如图，点E，点F在上，，添加一个条件，不能证明的是（ ） A. B. C. D. 3. 下列计算正确的是（ ） A. B. C. D. 4. 下列二次根式中，是最简二次根式的是（ ） A. B. C. D. 5. 下列说法错误的是（ ） A. 当时，分式无意义 B. 当时，分式的值为正数 C. 当分式时， D. 分式与的最简公分母是 6. 如果，那么代数式值为（ ） A. B. C. 6 D. 13 7. 如图，在中，，，是角平分线．若点到的距离为3，则的长为（ ） A. 12 B. C. 9 D. 6 8. 如图所示，点是内一点，要使点到、的距离相等，且，点是（ ） A. 的角平分线与边上中线的交点 B. 的角平分线与边上中线的交点 C. 的角平分线与边上中线的交点 D. 的角平分线与边上中线的交点 9. 甲，乙两名同学作为志愿者帮助图书馆清点一批图书，甲清点完这批图书的，乙加入清点剩余的图书，两人合作清点完剩余的图书．如果乙单独清点这批图书需要几小时？若设乙单独清点这批图书需要，则根据题意可列方程为（ ） A. B. C. D. 10. 如图，，点是射线上的定点，点是直线上的动点，要使为等腰三角形，则满足条件的点共有（ ） A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个 二、填空题（本大题共8小题，11~12每小题3分，13~18每小题4分，共30分） 11. 若在实数范围内有意义，则的取值范围是______． 12. 分解因式：______． 13. 在平面直角坐标系中，点关于轴对称点坐标是______． 14. 如图，在三角形中，已知，为边上的一点，且，，则等于______． 15. 若，且，则的值为______． 16. 已知，化简二次根式的正确结果是______． 17. 在等腰中，，，点，分别是边，上的动点，与关于直线对称，点的对称点为．若且，，则的面积______． 18. 如图，在中，，点是中点，交于，点在上，，，，则______． 三、解答题（本大题共8小题，共90分，请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明） 19. 计算： （1） （2）． （3）解方程：； （4）因式分解：； 20. 先化简，再从中选一个适合的整数代入求值． 21. 有一块矩形木板，木工采用如图的方式，在木板上截出两个面积分别为和的正方形木板． （1）截出的两块正方形木料的边长分别为______，______． （2）求剩余木料的面积． 22. 已知：如图，等边三角形，D是上一点，，，求证：是等边三角形． 23. 下面是一些方程和它们的解． 的解为，； 的解为，； 的解为，； …… 根据上面的方程和它们的解所反映的规律，解答下面问题： （1）的解为______； （2）关于的方程的解为______； （3）试求：关于的方程的解． 24. 将一个多项式分组后，可提公因式或运用公式继续分解的方法是分组分解法． 例如：（）． （1）分解因式：； （2）若，都是正整数且满足，求的值； （3）若，为实数且满足，整式，求整式的最小值。 25. 已知，，且，满足，，点关于轴的对称点为． （1）求，的值和点的坐标； （2）如图1，点在的延长线上，点在边上，且，连接，若点为的中点，求证：； （3）如图2，若点在线段上，点在线段上，满足，试探究，，之间的数量关系，并证明你的结论． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 2024-2025学年度第一学期学情调研（202412） 八年级数学 一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分） 1. 下列古代吉祥图案中，不是轴对称图形的是（　　） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据关于某条直线对称的图形叫轴对称图形，进而判断得出即可． 【详解】A. 是轴对称图形，不合题意； B. 是轴对称图形，不合题意； C. 不是轴对称图形，符合题意； D. 是轴对称图形，不合题意. 故答案选：C. 【点睛】本题考查了轴对称图形，解题的关键是熟练的掌握轴对称图形的定义. 2. 如图，点E，点F在上，，添加一个条件，不能证明的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了全等三角形的判定定理，能熟记全等三角形的判定定理是解此题的关键．根据全等三角形的判定定理进行分析即可． 【详解】解：， 当时，利用可得，故A不符合题意； 当时，利用可得，故B不符合题意； 当时，利用可得，故C不符合题意； 当时，无法证明，故D符合题意； 故选：D． 3. 下列计算正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了幂的运算和合并同类项，解题关键是熟练运用法则进行准确计算．根据幂的运算和合并同类项法则逐项判断即可． 【详解】解：A． ，正确，符合题意； B． ，原选项错误，不符合题意； C． ，原选项错误，不符合题意； D． ，不是同类项，不能合并，原选项错误，不符合题意； 故选：A． 4. 下列二次根式中，是最简二次根式的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题主要考查了最简二次根式的判断，准确分析计算是解题的关键．根据最简二次根式的定义逐个判断即可． 【详解】解：A. ，不是最简二次根式，不合题意； B. ，不是最简二次根式，不合题意； C. ，不是最简二次根式，不合题意； D. ，是最简二次根式，符合题意； 故选：D. 5. 下列说法错误的是（ ） A. 当时，分式无意义 B. 当时，分式的值为正数 C. 当分式时， D. 分式与的最简公分母是 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了分式有意义的条件及分式为零的条件，最简公分母的求法，解题的关键是掌握分式值为0，及分子为零，计算后需要验证分母有没有意义．利用分式有意义的条件及分式为零的条件，最简公分母的求法依次判断即可． 【详解】解：A．当时，分母为0，分式无意义，正确，不符合题意； B．当时，分母大于0，与分子同号，故分式的值为正数，正确，不符合题意； C．当分式时，即，解得，当时，分母无意义，故错误，符合题意； D．分式与的最简公分母是，正确，不符合题意； 故选：C． 6. 如果，那么代数式的值为（ ） A. B. C. 6 D. 13 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了整式的化简求值，完全平方公式，单项式乘以多项式，利用整体代入的思想解决问题是关键．由已知可知，再将代数式变形为，即可计算求值． 【详解】解：， ， ， 故选：D． 7. 如图，在中，，，是的角平分线．若点到的距离为3，则的长为（ ） A. 12 B. C. 9 D. 6 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了角平分线的性质，点到直线的距离，含30度角的直角三角形，掌握角平分线上的点到角两边的距离相等．过点作于点，根据角平分线的性质，得到，再由30度角所对的直角边等于斜边一半，得到，即可求出的长． 详解】解：如图，过点作于点， 是的角平分线，， ， 点D到的距离为3， ， 在中，， ， ， 故选：C． 8. 如图所示，点是内一点，要使点到、的距离相等，且，点是（ ） A. 的角平分线与边上中线的交点 B. 的角平分线与边上中线的交点 C. 的角平分线与边上中线的交点 D. 的角平分线与边上中线的交点 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查角平分线，三角形中线，全等三角形的知识，解题的关键是延长交于点，过点作的延长线交于点，过点作交，根据角平分线的性质，则点在的角平分线上，根据，则，根据全等三角形的判定和性质，则，推出，即可． 【详解】延长交于点，过点作的延长线交于点，过点作交于点， ∵点到、的距离相等， ∴点在的角平分线上， ∵， ∴， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∴是上的中线， ∴点是的角平分线与边上中线的交点． 故选：B． 9. 甲，乙两名同学作为志愿者帮助图书馆清点一批图书，甲清点完这批图书的，乙加入清点剩余的图书，两人合作清点完剩余的图书．如果乙单独清点这批图书需要几小时？若设乙单独清点这批图书需要，则根据题意可列方程为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了由实际问题抽象出分式方程的知识，分析题意，找到关键描述语，找到合适的等量关系是解决问题的关键．此题涉及的公式：工作总量工作效率工作时间．先设乙单独清点这批图书需要的时间是小时，根据“甲3小时清点完一批图书的”和“两人合作小时清点完图书”列出方程． 【详解】解：设乙单独清点这批图书需要， 根据题意，得，即 故选：A． 10. 如图，，点是射线上的定点，点是直线上的动点，要使为等腰三角形，则满足条件的点共有（ ） A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了等腰三角形的定义，分两种情况：当为腰时，当为底时，分别画出图形，即可得出答案，熟练掌握等腰三角形的定义是解此题的关键． 【详解】解：如图， ， 当为腰时，，，均是以为腰的等腰三角形， 当为底时，为等腰三角形， 满足条件的点共有个， 故选：D． 二、填空题（本大题共8小题，11~12每小题3分，13~18每小题4分，共30分） 11. 若在实数范围内有意义，则的取值范围是______． 【答案】且 【解析】 【分析】本题考查了二次根式的性质、分式有意义的条件，熟练掌握二次根式被开方数大于等于0，分式的分母不为0，是解题的关键．根据被开方数大于等于0，分母不等于0列式计算即可得到答案． 【详解】解：在实数范围内有意义， ， 解得：且， 故答案为：且． 12. 分解因式：______． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查因式分解，原式提取后，再运用平方差公式 进行因式分解即可． 【详解】解： ， 故答案为：． 13. 在平面直角坐标系中，点关于轴的对称点坐标是______． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查了关于x轴的对称点的坐标特点，熟知关于x轴对称的点横坐标相同，纵坐标互为相反数是解题的关键．根据关于x轴对称的点横坐标相同，纵坐标互为相反数进行求解即可． 【详解】解：在平面直角坐标系中，点关于x轴的对称点的坐标是， 故答案为：． 14. 如图，在三角形中，已知，为边上的一点，且，，则等于______． 【答案】##度 【解析】 【分析】本题考查了等腰三角形的性质，三角形内角和定理以及三角形的外角的性质．根据等腰三角形的性质得到，根据三角形外角的性质得到，于是得到，在中利用三角形内角和定理可求出． 【详解】解：， ， ， ， ， ， 又， ， ， 故答案为：． 15. 若，且，则的值为______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了完全平方公式与平方差公式因式分解，先根据完全平方公式得出，根据题意得出，进而根据平方差公式因式分解即可求解． 【详解】解：∵， ∴即 ∴ ∴ ∴ ∵ ∴ ∴ 故答案为：． 16. 已知，化简二次根式的正确结果是______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了二次根式的性质，熟练掌握二次根式的性质是解题的关键．根据二次根式的性质求解即可． 【详解】解：由中被开方数总要大于等于0可知， ∵分母， ∴分子，则， 又，则， ∴， 故答案为：． 17. 在等腰中，，，点，分别是边，上的动点，与关于直线对称，点的对称点为．若且，，则的面积______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了轴对称的性质、等腰直角三角形的性质、等边三角形的判定和性质，以及“直角三角形中30度的角所对的直角边等于斜边的一半” ，作出辅助线且能证明是等边三角形是解题的关键．作于D点，由轴对称的性质可得，由等腰直角三角形的性质可得，由此得．再证是等边三角形，则可得，进而得，由此得．根据三角形的面积公式，再结合即可求出的面积． 【详解】解：如图，作于D点， ∵与关于直线对称， ． 又， ． 中，， ， ． 又， 是等边三角形， ， ， ， 又∵， ． 故答案为：． 18. 如图，在中，，点是的中点，交于，点在上，，，，则______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了线段垂直平分线的性质与判定，等腰三角形的性质，含度角的直角三角形的性质，正确的作出辅助线是解题的关键．根据含度角的直角三角形的性质得出，过作于，根据等腰三角形的性质得到，根据直角三角形的性质即可得到结论． 【详解】解：， ，， ， 过作于， 点是的中点， ，， ， ， ， ， ， ， ， ， ． 故答案： ． 三、解答题（本大题共8小题，共90分，请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明） 19. 计算： （1） （2）． （3）解方程：； （4）因式分解：； 【答案】（1） （2） （3）无解 （4） 【解析】 【分析】本题考查了二次根式的混合运算，整式的乘法以及解分式方程和因式分解； （1）根据二次根式的运算法则进行计算即可求解； （2）根据完全平方公式，多项式乘以多项式进行计算，然后合并同类项，即可求解； （3）方程两边同时乘以，化为整式方程，解方程，并检验，即可求解； （4）先提公因式，进而根据完全平方公式因式分解，即可求解． 【小问1详解】 解： ； 【小问2详解】 解： 【小问3详解】 解： 方程两边同时乘以， 得 ∴ 解得： 当时， ∴原方程无解； 【小问4详解】 解： ． 20. 先化简，再从中选一个适合的整数代入求值． 【答案】； 【解析】 【分析】本题考查了分式化简求值，解题关键是熟练运用分式运算法则进行求解． 先根据分式的加减计算括号内的，同时将除法转化为乘法，再根据分式的性质化简，最后将字母的值代入求解． 【详解】解： ∵且为整数， ∴时，原式 21. 有一块矩形木板，木工采用如图的方式，在木板上截出两个面积分别为和的正方形木板． （1）截出的两块正方形木料的边长分别为______，______． （2）求剩余木料的面积． 【答案】（1）， （2） 【解析】 【分析】（1）根据平方根的定义计算即可； （2）利用面积公式进行计算即可； 本题主要考查二次根式的应用，掌握二次根式的运算法则是解题的关键． 【小问1详解】 解：两个正方形木板面积分别为和， 这两个正方形的边长分别为： , ． 【小问2详解】 这两个正方形的边长分别为：， ∴剩余木料的面积为． 22. 已知：如图，是等边三角形，D是上一点，，，求证：是等边三角形． 【答案】见解析 【解析】 【分析】本题主要考查了全等三角形的性质与判定，等边三角形的性质与判定，平行线的性质，先由等边三角形的性质得到，，则由平行线的性质可得，据此证明得到，即可证明是等边三角形． 【详解】证明：是等边三角形， ，． ， ． ． ， ． ． 是等边三角形． 23. 下面是一些方程和它们的解． 的解为，； 的解为，； 的解为，； …… 根据上面的方程和它们的解所反映的规律，解答下面问题： （1）的解为______； （2）关于的方程的解为______； （3）试求：关于的方程的解． 【答案】（1），； （2），； （3）或 【解析】 【分析】本题考查了解分式方程． （1）观察阅读材料中的方程解过程，归纳总结得到结果； （2）仿照方程解方程，归纳总结得到结果； （3）方程变形后，利用得出的规律得到结果即可； 【小问1详解】 解：猜想关于x的方程的解是； 故答案为：； 【小问2详解】 解：猜想关于x的方程的解是，； 故答案为：，； 【小问3详解】 解：， 方程变形得：， 即 ∴或， 解得：或． 24. 将一个多项式分组后，可提公因式或运用公式继续分解的方法是分组分解法． 例如：（）． （1）分解因式：； （2）若，都是正整数且满足，求的值； （3）若，为实数且满足，整式，求整式的最小值。 【答案】（1） （2）或 （3）的最小值是 【解析】 【分析】本题考查了分组分解法进行因式分解，熟练掌握运用提公因式法以及公式法进行因式分解是解题的关键． （1）先分组，再运用提公因式法进行因式分解； （2）先将变形为，即，然后再解决本题． （3）先将变形为，再代入，然后进行变形，得到，最后根据非负数的性质得出的最小值． 【小问1详解】 解： 【小问2详解】 解：∵ ∴ ∴ ∴ ，都是正整数 ，且、都是整数， 或 或 或 解得或其他两种不符合，为正整数，舍去 故：或； 【小问3详解】 由得代入 ， ∵， ∴， ∴的最小值是． 25. 已知，，且，满足，，点关于轴的对称点为． （1）求，的值和点的坐标； （2）如图1，点在的延长线上，点在边上，且，连接，若点为的中点，求证：； （3）如图2，若点在线段上，点在线段上，满足，试探究，，之间的数量关系，并证明你的结论． 【答案】（1），， （2）见解析 （3），理由见解析 【解析】 【分析】本题主要是几何变换综合题，考查了全等三角形的判定和性质，等边三角形的性质，线段垂直平分线的性质等知识及利用非负性求值，添加恰当辅助线构造全等三角形是解题的关键． （1）由非负性可求，的值，可求得点的坐标，再根据关于轴对称坐标的特征，即可求得点的坐标； （2）根据（1）中所求坐标，可知是等边三角形，过点作交于，可得也是等边三角形，利用垂直平分线的性质可得，，，可得（），从而得到，延长至，使得，连接，可得（），从而得到，，可证得（），即可证得； （3）在上截取，连接，在延长线上截取，连接，由“”可证，可得由外角的性质可得，可得结论． 【小问1详解】 解：∵，即 ∴，， ∴ ∵点关于轴的对称点为 ∴点的坐标为： 【小问2详解】 由（1）可知，，， ∴，，由勾股定理，得：， ∴是等边三角形，则， 过点作交于，可得也是等边三角形， ∴，， ∴， 又∵点为的垂直平分线与的交点， ∴， ∴ 在与中， ∴（）， 又∵ ∴， 延长至，使得，连接， 又∵点为的中点， ∴ 又∵ ∴（） ∴， ∴ 又∵， ∴，即， 在与中， ∴（） ∴ 【小问3详解】 ，理由如下： 如图2，在上截取，连接，在的延长线上截取，连接， 由（2）可知是等边三角形， ∴，， 又∵， ∴是等边三角形， ∴，， ∴，，， ∴（）， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$