第三章 圆锥曲线（A卷·考点梳理卷）-《同步单元AB卷》（《数学 拓展模块一上册》高教版2023修订版）（原卷版+解析版）

编写说明：本套【湖南专用】《同步单元AB卷》紧扣《数学 拓展模块一（上册）》（高教版2023修订版）教材，以教材单元为基准精准覆盖核心考点。A卷为考点梳理卷，侧重考点分层突破；B卷为单元测试卷，强化综合能力检测，助力师生高效把握区域教学重点，提升应试能力与知识应用水平。 本卷是第三章圆锥曲线的考点梳理卷，主要梳理和考查了平椭圆、双曲线和抛物线的定义，标准方程，图像及性质等常见考点。 第三章 圆锥曲线 目录 考点一 椭圆的定义 1 考点二 椭圆的标准方程 2 考点三 椭圆的几何性质 3 考点四 双曲线的定义 4 考点五 双曲线的标准方程 5 考点六 双曲线的几何性质 6 考点七 抛物线的定义 7 考点八 抛物线的标准方程 7 考点九 抛物线的几何性质 9 考点十 直线与圆锥曲线的位置关系 10 考点一 椭圆的定义 1.填空. 把平面内与两个定点F₁，F₂的距离的和等于 的点的轨迹称为椭圆.这两个定点称为椭圆的 ，两个焦点之间的距离称为椭圆的 . 数学表达式为： . 【答案】 平面内与两定点F₁，F₂的距离的和等于常数(大于|F₁F₂|)的点P的轨迹称为椭圆，这两个定点称为椭圆的焦点，两焦点的距离称为椭圆的焦距. 数学表达式为：|PF₁|+|PF₂|=2（2＞|F₁F₂|= 2）. 考点二 椭圆的标准方程 2.填空. 焦点位置 在轴上 在轴上 图形 标准方程 焦点 ,b,c关系 【答案】 焦点位置 在轴上 在轴上 图形 标准方程 焦点 ,b,c关系 3.求满足下列条件的椭圆的标准方程： （1）焦点在轴上，焦距为8，椭圆上的点到两个焦点的距离之和为10. （2）焦点为，，椭圆上一点P的坐标为(3,2). 【答案】（1）（2） 【解析】（1）∵焦距2= 8 ,则 椭圆上的点到两个焦点的距离之和2= 10 ,则 ,又∵； 故椭圆标准方程 . （2）由焦点坐标可知c=2且焦点在轴上， ，∴2=5+3=8 ,则=4 . 故椭圆标准方程 . 考点三 椭圆的几何性质 4.填空. 标准方程 =1 性质 范围 对称性 对称轴： 对称中心： 顶点 A₁ ,A₂ B₁ ,B₂ A₁ ,A₂ B₁ ,B₂ 轴 长轴A₁A₂的长为 短轴B₁B₂的长为 焦距 离心率 、b、c 的关系 【答案】 标准方程 =1 =1 性质 范围 对称性 对称轴：坐标轴 对称中心：原点 顶点 A₁(-,0),A₂(,0) B₁(0,-b),B₂(0,b) A₁(0,-),A₂(0,) B₁(-b,0),B₂(b,0) 轴 长轴A₁A₂的长为 短轴B₁B₂的长为 焦距 离心率 (0,1) 、b、c 的关系 5.求椭圆的长轴长、短轴长、离心率、焦点和顶点坐标. 【答案】长轴长 短轴长2 离心率,焦点(0,±2),顶点坐标(0,±)和(±,0). 【解析】把已知方程化成标准方程于是 所以椭圆的长轴长和短轴长分别是=和2b=2，离心率 两个焦点坐标分别是(0,-2)、(0,2). 四个顶点坐标分别是 (0,)、(0,)、(,0)、(-,0). 6.若椭圆的焦点分别为F₁，F₂，点P为椭圆上一点，且求△F₁PF₂的面积. 【答案】 【解析】∵椭圆∴=5和b=3, ,焦点和, 设, ,有 又因为且所以，即有 故. 考点四 双曲线的定义 7.填空. 平面内与两个定点 F₁，F₂的距离 等于非零常数(小于|F₁F₂|)的点的轨迹称为双曲线.两个定点 F₁，F₂称为双曲线的 ，两焦点间的距离称为双曲线的 ，数学表达式为： . 【答案】平面内与两个定点F₁、F₂的距离的差的绝对值等于常数(小于|F₁F₂|)的点的轨迹称为双曲线. 两个定点 F₁，F₂称为双曲线的焦点，两焦点间的距离称为双曲线的焦距. 数学表达式为： ||F₁|-|F₂||=2（2＜|F₁F₂|2） 考点五 双曲线的标准方程 8.填空. 焦点位置 在轴上 在轴上 图形 方程 焦点 、b、c的关系 【答案】 焦点位置 在轴上 在轴上 图形 方程 =1(＞0,b＞0) =1(＞0,b＞0) 焦点 、b、c的关系 9.求满足下列条件的双曲线的标准方程： （1）=4，焦点在轴上，且分别为， （2）=4，焦点在轴上，焦距为26 【答案】（1）1（2）1 【解析】（1）由已知可得和，所以 故双曲线的标准方程为：1 （2）由已知可得，所以 故双曲线的标准方程为：1 考点六 双曲线的几何性质 10.填空. 标准方程 =1(＞0,b＞0) =1(＞0,b＞0) 图像 范围 对称性 对称中心： ，对称轴： 顶点坐标 A₁ ,A₂ A₁ ,A₂ 焦点坐标 F₁ ,F₂ F₁ ,F₂ 渐近线 轴长、焦距 线段A₁A₂实轴长为 , 线段B₁B₂虚轴长为 ,|F₁F₂|焦距为 离心率 ,b,c关系 【答案】 标准方程 =1(＞0,b＞0) =1(＞0,b＞0) 图像 范围 对称性 对称中心：原点，对称轴：轴,轴 顶点坐标 A₁(-,0),A₂(,0) A₁(0,-),A₂(0,) 焦点坐标 F₁(-c,0),F₂(c,0) F₁(0,-c),F₂(0,c) 渐近线 轴长、焦距 线段A₁A₂实轴长为2, 线段B₁B₂虚轴长为2b,|F₁F₂|焦距为2c 离心率 ＞1 ,b,c关系 11.求双曲线的实轴长、虚轴长、焦点坐标、顶点坐标、离心率与渐近线方程. 【答案】，，， 【解析】由双曲线方程得其标准方程为得=,,且焦点在轴上.又∵, ，=， 12.已知经过双曲线的左焦点F₁的直线交双曲线的左支于 A,B 两点.若|AB|=2,F₂为右焦点，求△ABF₂的周长. 【答案】 【解析】由题意可得， ①+②得 ∵,∴ 则△ABF₂的周长. 考点七 抛物线的定义 13.填空. 平面内与一个定点F和一条定直线(F∉)的距离 的点M的轨迹称为抛物线.定点F称为抛物线的 ，定直线称为抛物线的 . 数学表达式为： . 【答案】平面内与一个定点F和一条定直线(F∉)的距离相等的点M的轨迹称为抛物线.定点F称为抛物线的焦点，定直线称为抛物线的准线. 数学表达式为：|MF|=d 考点八 抛物线的标准方程 14.填空. 焦点位置 在轴正半轴 在轴负半轴 在轴正半轴 在轴负半轴 标准方程 图象 焦点 准线 【答案】 焦点位置 在轴正半轴 在轴负半轴 在轴正半轴 在轴负半轴 标准方程 ²=2p(p＞0) ²=-2p(P＞0) ²=2p(p＞0) ²=-2p(P＞0) 图象 焦点 F(,0) F(,0) F(0,) F(0,) 准线 15.求满足下列条件的抛物线的标准方程： （1）抛物线的准线方程为= （2）顶点在原点，焦点为（3,0） 【答案】（1）²（2） 【解析】（1）准线方程为，这意味着抛物线的焦点在轴的负半轴上。 准线方程，所以。即抛物线的标准方程为² （2）顶点在原点(0,0)，焦点为(3,0)，这意味着抛物线的焦点在轴的正半轴上。 所以，，即抛物线的标准方程为 考点九 抛物线的几何性质 16.填空. 标准方程 焦点在轴正半轴 焦点在轴负半轴 焦点在轴正半轴 焦点在轴负半轴 ²=2p(p＞0) ²=-2p(p＞0) ²=2p(p＞0) ²=-2p(p＞0) 顶点 对称轴 焦点 离心率 准线方程 范围 【答案】 标准方程 焦点在轴正半轴 焦点在轴负半轴 焦点在轴正半轴 焦点在轴负半轴 ²=2p(p＞0) ²=-2p(p＞0) ²=2p(p＞0) ²=-2p(p＞0) 顶点 对称轴 焦点 F(,0) F(,0) F(0,) F(0,) 离心率 准线方程 范围 17.求抛物线²的焦点坐标和准线方程. 【答案】焦点坐标为 (0,-2),准线方程为 【解析】将抛物线²化为标准形式,是在轴负半轴抛物线,且-2p=-8，∴p=4，所以焦点坐标为(0,-2)，准线方程为. 18.设抛物线的焦点为F，若点A(1，4)在抛物线上，则|AF|= . 【答案】 【解析】∵点A(1, 2)在抛物线上, ∴2p=16,即p=8,则焦点F（4，0） ∴|AF| 考点十 直线与圆锥曲线的位置关系 19.已知椭圆及直线.当为何值时，直线与椭圆有一个公共点、有两个公共点、没有公共点？ 【答案】当时，直线与椭圆有一个公共点； 当时，直线与椭圆有两个公共点； 当或时，直线与椭圆没有公共点。 【分析】直线与椭圆 的位置关系判断方法： 联立消去(或) 得到一个一元二次方程. 若，则直线与椭圆相交，方程有两个解；若，则直线与椭圆相切，方程有一个解；若，则直线与椭圆相离，方程无解. 【解析】由已知可联立 当时，直线与椭圆有一个公共点，即. 当时，直线与椭圆有两个公共点，即. 当时，直线与椭圆没有公共点，即. 20.己知双曲线 与直线 相交于A、B两点，求|AB|. 【答案】 【分析】弦长公式：若直线与圆锥曲线相交于A(₁,₁), B(₂,₂)两点，联立两者方程消元得到一个一元二次方程，再利用韦达定理算出两根之和，两根之积， 则|AB|=· 【解析】由已知可设A(₁,₁), B(₂,₂)，联立 则有, , 即有|AB|··. 21.斜率为1的直线经过抛物线的焦点，与抛物线相交于两点 A、B，求|AB|. 【答案】16 【分析】抛物线的弦与焦点弦：连接抛物线上任意两点的线段，称为抛物线的弦； 过抛物线焦点的弦，称为焦点弦. AB为过²=2p(p＞0)焦点的弦，A(₁,₁)、B(₂,₂),则: |AF|=₁+，|BF|=₂+，|AB|=₁+₂+p 【解析】∵抛物线∴焦点为,得过焦点的直线方程为 设A(₁,₁)、B(₂,₂)，联立，有 12. 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！1 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$ 编写说明：本套【湖南专用】《同步单元AB卷》紧扣《数学 拓展模块一（上册）》（高教版2023修订版）教材，以教材单元为基准精准覆盖核心考点。A卷为考点梳理卷，侧重考点分层突破；B卷为单元测试卷，强化综合能力检测，助力师生高效把握区域教学重点，提升应试能力与知识应用水平。 本卷是第三章圆锥曲线的考点梳理卷，主要梳理和考查了平椭圆、双曲线和抛物线的定义，标准方程，图像及性质等常见考点。 第三章 圆锥曲线 目录 考点一 椭圆的定义 1 考点二 椭圆的标准方程 1 考点三 椭圆的几何性质 2 考点四 双曲线的定义 3 考点五 双曲线的标准方程 3 考点六 双曲线的几何性质 4 考点七 抛物线的定义 5 考点八 抛物线的标准方程 5 考点九 抛物线的几何性质 6 考点十 直线与圆锥曲线的位置关系 7 考点一 椭圆的定义 1.填空. 把平面内与两个定点F₁，F₂的距离的和等于 的点的轨迹称为椭圆.这两个定点称为椭圆的 ，两个焦点之间的距离称为椭圆的 . 数学表达式为： . 考点二 椭圆的标准方程 2.填空. 焦点位置 在轴上 在轴上 图形 标准方程 焦点 ,b,c关系 3.求满足下列条件的椭圆的标准方程： （1）焦点在轴上，焦距为8，椭圆上的点到两个焦点的距离之和为10. （2）焦点为，，椭圆上一点P的坐标为(3,2). 考点三 椭圆的几何性质 4.填空. 标准方程 =1 =1 性质 范围 对称性 对称轴： 对称中心： 顶点 A₁ ,A₂ B₁ ,B₂ A₁ ,A₂ B₁ ,B₂ 轴 长轴A₁A₂的长为 短轴B₁B₂的长为 焦距 离心率 、b、c 的关系 5.求椭圆的长轴长、短轴长、离心率、焦点和顶点坐标. 6.若椭圆的焦点分别为F₁，F₂，点P为椭圆上一点，且求△F₁PF₂的面积. 考点四 双曲线的定义 7.填空. 平面内与两个定点 F₁，F₂的距离 等于非零常数(小于|F₁F₂|)的点的轨迹称为双曲线.两个定点 F₁，F₂称为双曲线的 ，两焦点间的距离称为双曲线的 ，数学表达式为： . 考点五 双曲线的标准方程 8.填空. 焦点位置 在轴上 在轴上 图形 方程 焦点 、b、c的关系 9.求满足下列条件的双曲线的标准方程： （1）=4，焦点在轴上，且分别为， （2）=4，焦点在轴上，焦距为26 考点六 双曲线的几何性质 10.填空. 标准方程 =1(＞0,b＞0) =1(＞0,b＞0) 图像 范围 对称性 对称中心： ，对称轴： 顶点坐标 A₁ ,A₂ A₁ ,A₂ 焦点坐标 F₁ ,F₂ F₁ ,F₂ 渐近线 轴长、焦距 线段A₁A₂实轴长为 , 线段B₁B₂虚轴长为 ,|F₁F₂|焦距为 离心率 ,b,c关系 11.求双曲线的实轴长、虚轴长、焦点坐标、顶点坐标、离心率与渐近线方程. 12.已知经过双曲线的左焦点F₁的直线交双曲线的左支于 A,B 两点.若|AB|=2,F₂为右焦点，求△ABF₂的周长. 考点七 抛物线的定义 13.填空. 平面内与一个定点F和一条定直线(F∉)的距离 的点M的轨迹称为抛物线.定点F称为抛物线的 ，定直线称为抛物线的 . 数学表达式为： . 考点八 抛物线的标准方程 14.填空. 焦点位置 焦点在轴正半轴 焦点在轴负半轴 焦点在轴正半轴 焦点在轴负半轴 标准方程 图象 焦点 准线 15.求满足下列条件的抛物线的标准方程： （1）抛物线的准线方程为= （2）顶点在原点，焦点为（3,0） 考点九 抛物线的几何性质 16.填空. 标准方程 在轴正半轴 在轴负半轴 在轴正半轴 在轴负半轴 ²=2p(p＞0) ²=-2p(p＞0) ²=2p(p＞0) ²=-2p(p＞0) 顶点 对称轴 焦点 离心率 准线方程 范围 17.求抛物线²的焦点坐标和准线方程. 18.设抛物线的焦点为F，若点A(1，4)在抛物线上，则|AF|= . 考点十 直线与圆锥曲线的位置关系 19.已知椭圆及直线.当为何值时，直线与椭圆有一个公共点、有两个公共点、没有公共点？ 20.己知双曲线 与直线 相交于A、B两点，求|AB|. 21.斜率为1的直线经过抛物线的焦点，与抛物线相交于两点 A、B，求|AB|. 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！1 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$